Арифметика

Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική, arithmētikḗ — от ἀριθμός, arithmṓs «число») — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте и вычислениях, связанных с задачами учёта при централизации сельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики — в частности, философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые, в первую очередь, для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».

С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты выдвинули новые требования к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны, в первую очередь, со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Вера Рассела в могущество логики и логического анализа вполне объяснима. Как и Фреге, он был математиком, обратившимся к философии в связи с проблемой оснований математики. Как и Фреге, он увлекся логицистской идеей сведения всей «чистой» математики к логике. Когда в 1900 г. Рассел на Международном философском конгрессе познакомился с результатами Дж. Пеано по аксиоматизации арифметики, его программа построения всей математики как единой дедуктивной системы, опирающейся на минимальное количество понятий и основоположений, которые могут быть соответственно определены в логических терминах и выведены из чисто логических принципов, приняла вполне осязаемые очертания. В ходе осуществления этой программы Рассел построил формальный логический язык[17], который в своих принципиальных чертах совпадал с языком, используемым в этих же целях Фреге, но были и некоторые важные различия. Во-первых, Рассел стал применять более простую и наглядную, чем у немецкого логика, систему записи выражений формального языка, которая сохраняется до настоящего времени. Во-вторых, хотя Рассел, подобно Фреге, для описания логической структуры суждения использовал понятие функции, он сохранил для нее традиционное название «предикат». В-третьих, его логическая система содержала такой важный компонент, как «теория типов», созданная им для преодоления парадокса[18], который он обнаружил в теории множеств весной 1901 г. и который впоследствии был назван его именем. Однако наиболее важные изменения коснулись интерпретации формального языка и созданной в этих целях теории значения.

Л. Б. Макеева, Язык, онтология и реализм, 2011

С середины XIX века усилия сосредотачиваются на проблеме арифметизации континуума. Несмотря ни на какие успехи математики и математического естествознания, невозможно уже было скрывать, что даже в геометрии мы, строго говоря, не любой отрезок можем измерить. Ведь уже греки открыли факт несоизмеримости. Нужна была строгая концепция действительного числа. В 1870-х годах такие концепции были предложены целым рядом математиков: Ш. Мере, К. Вейерштрассом, Г. Кантором, Р. Дедекиндом. Существенно, что все их конструкции использовали актуальную бесконечность. Кантор в своих исследованиях тригонометрических рядов подходит к идее общей теории множеств. В 1870-1880-х годах у него уже созрели основные понятия этой теории: понятия мощности множества, кардинальных и ординальных чисел. Он доказывает знаменитую теорему, носящую с тех пор его имя, о несчетности множества действительных чисел, строит свою арифметику бесконечных чисел[39]. В геометрии главной проблемой для теории множеств является конструирование континуума. Кантор предлагает несколько таких конструкций, стремясь выделить в континууме то, что делает его собственно непрерывным. Встает вопрос о мощности множества точек континуума. Кантор делает предположение, что эта мощность есть следующая по величине после счетного множества («континуум-гипотеза»). Однако доказать это или опровергнуть ему не удается[40].

В. Н. Катасонов, О границах науки, 2017

Технологий для измерения коротких временны́х промежутков не существовало. Переменные величины типа скорости можно было оценить лишь приблизительно. Фундаментальные единицы измерения – например, секунды – в средневековой философии попадались редко. Непрерывные количества чего бы то ни было расплывчато описывались «степенями» величины – или им присваивали сравнительные размеры. Например, о каком-нибудь слитке серебра могло быть сказано, что он весит, как треть ощипанной курицы или вдвое больше мыши. Неуклюжесть системы усугубляло и то, что главной книгой Средневековья в части численных пропорций являлась «Арифметика» Боэция, а Боэций для их описания дробями не пользовался. Для средневековых ученых пропорции, описывавшие количества, числами не являлись, и к ним – в отличие от чисел – нельзя было применять арифметические действия.

Леонард Млодинов, Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, 2001

Коренное отличие современной математики от античной, отличие, которому она обязана своим быстрым развитием и методологическим превосходством, основано всецело на признании ею одного принципа, который античности остался навсегда чуждым: принципа бесконечного. К открытию и установлению его привела не одна, а целый ряд проблем, относящихся к различным отраслям математической науки. В арифметике это была проблема ряда (иррационального числа), в геометрии – проблема касательной, в механике – проблема движения. Все эти проблемы ведут свое начало из древности. Но античная математика не могла дать на них удовлетворительного ответа; она стояла еще целиком на почве Архимедова принципа, по которому объектом математики может быть только то, что доступно точному измерению. Это определение, a limine исключающее из ведения математики бесконечное, раз навсегда отрезало научной мысли античности путь к разрешению целого ряда основных проблем, неразрывно связанных с понятием бесконечности; прежде всего к решению проблемы непрерывного. Раз подчинившись принципу Архимеда, она никогда более не могла выйти за пределы прерывного и дискретного бытия.

Коллектив авторов, Новые идеи в философии. Сборник номер 5, 2015

Необходимо ли знание арифметики римских цифр для понимания истории – отдельный вопрос. Можно допустить, что какая-то историческая теория – какое-то объяснение – зависит от определенных методов, которые древние римляне использовали для умножения. Ведь есть же предположение о том, например, что их особые методы строительства водопроводов из свинцовых труб, отравлявших питьевую воду, внесли свой вклад в падение Римской империи! Если так, то нам следует узнать, какие это были методы, если мы хотим понять историю, а следовательно, и понять все, что понято. Но ни одно современное объяснение истории не связано с методикой умножения чисел, так что наши сведения относительно этих методов – не более чем констатация фактов. Все, что понятно, может быть понято и без заучивания этих фактов. Мы в любое время можем посмотреть в справочник, если, например, расшифровываем древний текст, в котором эти методы упоминаются.

Дэвид Дойч, Структура реальности. Наука параллельных вселенных, 1997

Основоположниками английской школы политических арифметиков были Д. Граунт (1620—1674 гг.), Э. Галлей (1656—1742 гг.) и В. Петти (1623—1687 гг.). В их трудах преобладали два направления: демографическое с уклоном к вопросам страхования жизни у Д. Граунта и Э. Галлея и статистико–экономическое у В. Петти Д. Граунт впервые открыл закономерности массовых общественных явлений и показал, как следует обрабатывать и анализировать множественный первичный материал. Он впервые попытался построить таблицу смертности для населения. Э. Галлей – знаменитый английский астроном выдвинул идею закона больших чисел и применил методы устранения случайных отклонений.

Группа авторов, Теория статистики: конспект лекций

Размер, форма и движение небесных тел определяются с помощью геометрии, а их гармония и ритм – посредством музыки. Если убрать астрономию, не пострадает ни геометрия, ни музыка, но, если устранить геометрию и музыку, астрономия станет беспомощна. Арифметика, стало быть, первична по отношению ко всему и фундаментальна. Эту науку в пифагорейской школе изучали досконально.

Людмила Большедворова, Нумерология. Коды жизни и судьбы, 2008

Отечественное математическое образование, которым мы, по праву гордимся, имеет славную и давнюю историю. В России создана уникальная учебная литература для школы по арифметике, алгебре, тригонометрии, геометрии, элементам математического анализа и методике их обучения. Во многих трудах представлен богатый опыт по преподаванию различных тем школьного курса математики, много дидактических находок и методических приёмов. С удовольствием представим некоторые интересные, поучительные, серьёзные работы.

И. М. Смирнова, Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и педагогическом вузе, 2017

1. Проанализируйте и выявите положительные и отрицательные стороны монографического и вычислительного методов обучения детей арифметике.

Л. И. Павлова, Теория и методика развития математических представлений у дошкольников, 2017