Связанные понятия
Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Интуициони́зм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций «интуитивной убедительности». Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.
Классическая логика — термин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.
Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.
Упоминания в литературе
В соответствии с теорией Франка, каждая научная система базируется на небольшом числе основных утверждений о реальности или
аксиом , которые считаются самоочевидными. Истинность аксиом определяется не рассуждением, а непосредственной интуицией; они произведены имагинативными способностями ума, а не логикой2. Применяя строгие логические процедуры, можно извлечь из аксиом систему других утверждений или теорем. Возникнет чисто логическая по природе теоретическая система – она подтверждает саму себя, и ее истинность по существу не зависит от физических случайностей, происходящих в мире. Чтобы оценить степень практической применимости и соответствия такой системы, следует проверить ее отношение к эмпирическим наблюдениям. Для этого элементы теории должны быть описаны с помощью «операциональных определений» в бриджменовском смысле3. Только тогда можно определить пределы применимости теоретической системы к материальной реальности.
Что касается методов, характерных для теоретического исследования, выделим следующие. Формализация – это построение абстрактно – математических моделей, когда рассуждения о предмете переносятся в плоскость оперирования со знаками (формами), тогда производится вывод новых форм по правилам логики и математики. При аксиоматическом методе производится логический вывод на основе каких-либо заранее принятых без доказательства
аксиом . Так была построена вся геометрия Евклида и даже «Этика» Спинозы. В развитой науке аксиомы предлагаются как некоторая предполагаемая к исследованию система отношений, отвлеченных от их носителя и исследуемых аппаратом математической логики. Возможности этих методов также не безграничны (как это казалось до середины 30-х годов, когда была открыта знаменитая теорема Геделя). В науках, так или иначе имеющих эмпирическую основу, более эффективным является гипотетико-дедуктивный метод. Сущность его – в создании системы связанных между собой гипотез, из которой дедуктивным образом выводятся эмпирически проверяемые (и тем самым свидетельствующие об истинности общей теории) следствия. Этим путем шло развитие и подтверждение теории относительности, а анализ определенных следствий из нее задал целые направления современной науки.
Согласно методологическим принципам теорий, развитая теория имеет исходные (аксиомы) и производные предложения, логически следующие из
аксиом . Однако доказательства могут быть и из аксиом, и на основе анализа свойств области предметов теории. Последнее доказательство называется предметным доказательством. Поэтому нельзя доказывать системность языка как объекта из аксиом досемиотического этапа развития науки о языке, не владея самим предметным знанием. Скорее более эффективными здесь пока окажутся постулаты ИИ, за которыми в когнитивной лингвистике уже признается их методологический характер.
Фундаментальное значение положений Вейсмана не только для теории эволюции, но и для всей биологии позволяет говорить о них как об
аксиомах биологии. При этом тезис об обособленности кодирующих структур от сомы, очевидно, в логическом порядке должен быть первым; его можно назвать аксиомой организации живого (или первой аксиомой Вейсмана), а тезис о ненаследуемости приобретенных признаков – аксиомой наследования (или второй аксиомой Вейсмана)[13].
Суть метода в первом приближении проста. Это, во-первых, однозначное определение базовых понятий теории и однозначная привязка их к опыту. Одновременно, в силу однозначной связи между понятиями и
аксиомами , вводятся и привязываются к опыту аксиомы теории. А во-вторых, это аксиоматическая развертка теории и получение вводов. Эта кажущаяся простота и известность метода в его первом приближении ожидаемы. Ведь мало того, что метод уже существовал в рациональной науке (на уровне подсознания) и я лишь проявил, сформулировал его. Он является квинтэссенцией рационалистического мировоззрения, как такового. Поэтому сами идеи однозначного определения понятий, их привязки к опыту, аксиоматического построения хорошо известны каждому ученому (естественнику). Но все не так просто, как выглядит в первом приближении. Хотя то, что надо однозначно определять понятия и привязывать их к опыту, хорошо известно, но никому до сих пор не удалось показать, как именно это можно сделать. (Потому и оставались до сегодня не опровергнутыми аргументы пост позитивистов, в частности Куайна [19], доказывающих невозможность привязки понятий к опыту). Аналогично, никто не против аксиоматического построения теории. Но строго аксиоматически выстроенных теорий в науке очень мало. А в философии господствует точка зрения, что достаточно богатую теорию вообще невозможно перестроить аксиоматически [20].
Связанные понятия (продолжение)
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости...
Логика первого порядка , называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
Доказательство «от противного » (лат. contradictio in contrarium) в математике — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Логика высказываний , или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей...
Формализм — один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в XX веке одним из направлений фундаментализма в философии математики.
Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».
Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.
Логици́зм — одно из основных направлений обоснования математики и философии математики, ставящее целью сведе́ние исходных математических понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм.
Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.
Посылка — это утверждение, предназначенное для обоснования или объяснения некоторого аргумента. В логике аргумент — это множество предложений (или «суждений») одни из которых являются посылками, а другие утвердительные предложения (или суждения) — логическими выводами.
Деду́кция (лат. deductio — выведение, также дедуктивное умозаключение, силлогизм) — метод мышления, следствием которого является логический вывод, в котором частное заключение выводится из общего. Цепь умозаключений (рассуждений), где звенья (высказывания) связаны между собой логическими выводами.
Подробнее: Дедуктивное умозаключение
Выска́зывание в математической логике — предложение, выражающее суждение. Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то и о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Истинность и ложность называются логическими, или истинностными, значениями высказываний.Высказывание должно быть повествовательным предложением, и противопоставляются повелительным, вопросительным...
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом...
Инду́кция (лат. inductio — наведение, от лат. inducere — влечь за собой, установить) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.
Подробнее: Индуктивное умозаключение
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных...
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов...
Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента.
Вероятностная логика — логика, в которой высказываниям приписываются не исключительно значения истины и лжи как в двузначной логике, а непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так, что ноль соответствует невозможному событию, единица — практически достоверному. Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Вывод (лат. conclusio) в логике — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям — заключениям. Вывод может проводиться в несколько этапов—умозаключений.
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.
Форма́льная ло́гика — наука о правилах преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий, а также конструирование этих правил. Будучи основателем формальной логики как науки, Аристотель называл её «аналитика», термин же «логика» прочно вошёл в обиход уже после его смерти в III веке до нашей эры.
Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математике, логике и философии, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике соответственно.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.
Филосо́фия матема́тики — раздел философии науки, исследующий философские основания и проблемы математики: онтологические, гносеологические, методологические, логические и аксиологические предпосылки и принципы математики в целом, её различных направлений, дисциплин и теорий. В широком смысле философия математики занимается построением семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущности абстрактных объектов.
Саморефере́нция (самоотносимость) — явление, которое возникает в системах высказываний в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя. Иначе говоря, если какое-либо выражение является одновременно самой функцией и аргументом этой функции.
Алгоритмическая разрешимость — свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.
Противоре́чие (контрадикторность) — отношение двух понятий и суждений, каждое из которых является отрицанием другого. В формальной логике противоречие считается недопустимым согласно закону противоречия. Однако, как показали Кант (антиномии) и Гегель, противоречие есть необходимый этап и результат всякого реального мышления — познания. Если у Канта, и в метафизике вообще, логическое противоречие трактуется как феномен, появляющийся в мышлении в силу его несовершенства или его неправомерного использования...
Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Гипотеза в математике — утверждение, которое на основе доступной информации представляется с высокой вероятностью верным, но для которого не удаётся получить математическое доказательство. Математическая гипотеза является открытой математической проблемой, и каждую нерешённую математическую проблему, которая является проблемой разрешимости, можно сформулировать в форме гипотезы. Однако в виде гипотезы может быть сформулирована не всякая математическая проблема. Например, конкретное решение некоторой...
Метало́гика — изучение метатеории логики. В то время, как логика представляет собой исследование способов применения логических систем для рассуждения, доказательств и опровержений, металогика исследует свойства самих логических систем.
Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.
Обобще́ние поня́тий — логическая операция, посредством которой в результате исключения видового признака получается другое понятие более широкого объема, но менее конкретного содержания; форма приращения знания путём мысленного перехода от частного к общему в некоторой модели мира, что обычно соответствует и переходу на более высокую ступень абстракции. Результатом логической операции обобщения является гипероним.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Доказательство — это процесс (метод) установления истины, логическая операция обоснования истинности утверждения с помощью фактов и связанных с ними суждений. С помощью совокупности логических приёмов истинность какого-либо суждения обосновывается исходя из других истинных суждений.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики — «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов».
На эту страницу установлено перенаправление со страницы «A posteriori», см. также статью о музыкальном альбоме «A Posteriori».Апостерио́ри, а постерио́ри (лат. a posteriori букв. «из последующего») — знание, полученное из опыта. Противопоставляется априори — доопытному знанию. Значение термина исторически менялось: нынешнее значение установилось благодаря И. Канту и его работе "Критика чистого разума" (впервые опубликована в 1781 году, второе издание в 1787 г.) Однако, в латинской форме, выражения...
Подробнее: Апостериори Упоминания в литературе (продолжение)
Символическая логика применяется для строгого логического анализа формализованных конкретных теорий, в которых «наряду с аксиоматизацией и точным установлением логических средств понятия и выражения данной теории заменяются некоторыми символическими обозначениями» [1, 235]. Логический анализ состоит в проверке независимости и непротиворечивости
аксиом , правильности и строгости применения правил формальной логики, выявлении возможности обобщения аксиом и замены аксиомы другой, противоположной по смыслу аксиомой и т. д. Безусловно, такой анализ дает возможность уточнять и развивать конкретную теорию. Но при этом упускается из виду, что идеальный конструкт – это теоретическая схема реального объекта. Изучая как угодно полно и точно теоретическую схему, мы можем получить некоторые знания об объекте только в том случае, если теоретическая схема достаточно полно в качественном отношении и достаточно точно в количественном отношении соответствует объекту.
В нашей модели заданы
аксиомы , но они не используются для доказательства каких-либо теорем. Они, аксиомы, сами по себе создают модель сознания. В соответствии с методологией конструктивизма, мы не провозглашаем предварительно приверженность к вероятностной логике – она возникает непосредственно из построенной модели. Отказ от закона исключенного третьего (одна из основных идей Брауэра) не постулируется заранее – он естественным образом следует из возникшего у нас бейесовского варианта логики.
С точки зрения математика, доказательство – это логически непротиворечивая демонстрация того, что утверждение следует из
аксиом . Так, теорема Пифагора следует из аксиом евклидовой геометрии (например аксиомы, гласящей, что параллельные прямые не пересекаются). Сколько бы вы ни измерили прямоугольных треугольников, пытаясь опровергнуть теорему Пифагора, вы зря потратите время. Кто угодно может прочитать доказательство, найденное пифагорейцами, и убедиться в его истинности. Теорема справедлива, и все тут! Чтобы отличить теорему от гипотезы, математики используют концепцию доказательства. Гипотеза представляет собой утверждение, которое кажется истинным, однако истинность его не доказана. В случае, если она будет доказана, гипотеза станет теоремой. Прекрасным примером гипотезы является проблема Гольдбаха, которая заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Поскольку математикам не удалось опровергнуть гипотезу, с позиций здравого смысла это уже не гипотеза, а факт Гольдбаха. Тем не менее никто и никогда не смог доказать истинность этой гипотезы (несмотря на приз, ожидающий того, кто сумеет это сделать), и математики совершенно справедливо отказывают этой гипотезе в членстве в клубе теорем. Если кто-либо найдет доказательство, утверждение будет переименовано в теорему Гольдбаха. Или, быть может, в теорему Х, где Х – способный математик, опубликовавший доказательство.
Автоматическое доказательство теорем – одна из старейших областей возможного применения ИИ, где было много достижений, исследований и программ, включая Универсальный решатель задач Ньюэлла и Саймона. Люгер подчеркивает, что именно "…эта ветвь принесла наиболее богатые плоды…" [264, стр. 44]. Благодаря исследованиям в этой области были формализованы алгоритмы поиска и разработаны языки формальных представлений, такие как исчисление предикатов и логический язык программирования Пролог. Приведем обоснование Дж. Люгера: "… привлекательность автоматического доказательства теорем основана на строгости и общности логики. В формальной системе логика располагает к автоматизации. Разнообразные проблемы можно попытаться решить, представив описание задачи и существенно относящуюся к ней информацию в виде логических
аксиом и рассматривая различные случаи задачи как теоремы, которые нужно доказать. Этот принцип лежит в основе автоматического доказательства теорем и систем математических обоснований" [264, стр. 44]. Далее следует замечательный вывод и итог 20 века в этой наиболее богатой ветви: "К сожалению, в ранних пробах написать программу для автоматического доказательства, не удалось разработать систему, которая бы единообразно решала сложные задачи" [264, стр. 44]. Таким образом, Дж. Люгер подтверждает наш тезис о том, что в прошлом веке даже в самых передовых областях ИИ ученые не смогли решить сложные задачи, а значит, нужны принципиально новые подходы и исследования, к числу которых относится и миварный подход.
Это утверждение с точки зрения Евклида является
аксиомой , но уж больно по своей сложности оно похоже на теорему. Поэтому люди две тысячи лет пытались его либо доказать, либо опровергнуть. В XIX веке трое ученых: Гаусс, Лобачевский и Риман – догадались отбросить логические законы и положить, что любое суждение о параллельных истинно, если на его базе можно развить геометрию. Так появились неэвклидовы геометрии и совершенно новое понимание свойств пространства и заодно ограниченности формальной логики.
Даже внутри математики (и логики) теория множеств столкнулась с серьезными препятствиями. Континуум-гипотеза не была доказана. В лице аксиомы-выбора выступило еще одно утверждение, которое нельзя было ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств стандартного типа. Эта
аксиома была необходима для доказательства многих важных положений математического анализа. Замена ее на другую приводила к построению довольно экзотических математик. Обнаружилось, что отнюдь не любые множества можно рассматривать в теории множеств («парадокс Рассела»). Все это заставило гораздо строже относиться к построениям с бесконечными множествами, чем это мыслилось в «наивной теории множеств» времен Кантора, и вводить здесь соответствующие ограничения. Тем не менее все здание математики было в XX веке поставлено на фундамент теории множеств. Каждая теория была интерпретирована как некоторая структура на бескачественном множестве. Систематически это было проделано группой французских математиков, которые под псевдонимом «Н. Бурбаки» начали с 40-х годов издание серии книг «Трактат по математике», с единой точки зрения представляющих все главные направления этой науки. И первым томом этой серии была как раз книга, посвященная теории множеств. Теория множеств стала в XX веке основным языком математики. Как сказал, обсуждая апории теории множеств, один из крупнейших математиков XX века Д. Гильберт: «Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор»[43].
Во-первых, человеческий интеллект не способен к такому анализу. Во-вторых, и это важнее, никаких подлинных «
аксиом », в сущности, нет. Все наши «законы природы» и «аксиомы», в действительности, только относительные законы и относительные аксиомы. С течением времени, с развитием науки, нам приходится отказываться от этих законов и аксиом: частью они оказываются выводимыми из более общих положений, частью просто ошибочными. Это относится даже к тому, что еще недавно почиталось «законами физики», даже к аксиомам математики, вроде такой, напр.: «целое больше своей части». Поэтому на практике научное познание идет иным путем.
Фреге очень необычный мыслитель, поскольку его творческий поиск осуществлялся на стыке философии и математики. Свою главную задачу он видел в том, чтобы подвести под арифметику надежное логическое основание, продемонстрировав возможность определения ее основных понятий и
аксиом в терминах чистой логики. Таким образом, Фреге первым выдвинул программу обоснования арифметики путем сведения ее к логике, которая получила название «логицизм». Для выполнения этой программы он создал совершенно новую логику, осуществив первое аксиоматическое построение пропозиционального исчисления и построив теорию квантификации и исчисление предикатов, которые образуют ядро современной математической логики. Эта новая логическая система была сформулирована Фреге на специально разработанном им формально-логическом языке. Задавая интерпретацию этого искусственного языка, Фреге заложил основы логической семантики, однако если в дальнейшем при создании логических языков стали четко отделять их синтаксис (задание словаря исходных символов, формулировка правил образования и преобразования выражений языка и т. п.) от семантики (сопоставление категориям языковых выражений различных типов внеязыковых сущностей), то Фреге выстраивает синтаксис и семантику своей системы одновременно по мере введения новых знаков и выражений. Более того, семантика языка формулируется им с учетом уже имеющейся онтологии внеязыкового мира, для представления которой и создается язык. Однако следует отметить, что Фреге не просто взял стандартную онтологию для арифметики, которая включает теорию чисел и математический анализ, но внес в нее существенные дополнения и изменения, по-новому осмыслив многие математические понятия, прежде всего понятия функции, класса и числа.
В основе как той, так и другой теории лежат постулаты – положения, принимаемые без доказательств, на веру. В геометрии такие положения называются
аксиомами .
3) формулируется система правил вывода, позволяющая преобразовывать исходные положения и переходить от одних положений к другим, вводить новые термины в теорию: осуществляется преобразование постулатов по правилам, дающим возможность из ограниченного числа
аксиом получать множество доказуемых положений. «Аксиоматический метод может быть хорошим методом классификации или преподавания, но он не является методом открытия»[19].
Чтобы некоторое суждение (совокупность суждений) А приобрело статус научного закона, необходимо условие В установить (подобрать специально!) таким образом, чтобы А было истинно всегда при наличии условия В. Если при наличии условий В возможны случаи, когда А ложно, то А не может рассматриваться как закон, отвергается в качестве закона. В практике познания условия В устанавливаются всегда лишь частично и приблизительно. В ряде случаев они вообще являются воображаемыми, невозможными в реальности. В таких случаях суждения «А при условии В» вообще не верифицируются (не подтверждаются и не отвергаются) путем сопоставления с эмпирической реальностью. Их ценность устанавливается косвенно, т. е. тем, что с их помощью получаются выводы, которые соответствуют или не соответствуют реальности. Они принимаются как
аксиомы или на основе логических рассуждений, в которых А выводится из каких-то посылок, включая в них В. Условия А могут быть в той или иной мере достигнуты в эксперименте или выявлены в результате логической обработки данных наблюдений.
1) в каждой науке имеются положения, которые служат её основой, и недоказуемые в рамках самой науки –
аксиомы (греч. axioma – принятое, бесспорное, достойное уважения), принимаемые по соглашению между учеными («Пусть…»); именно эти основополагающие научные положения являются предметом философии, поскольку философия берет на себя дело («бремя») их доказательства и объяснения; например, это принципы единства мира, симметрии, взаимодействия, элементарности (простоты) и комплементарности (сложнос- ти)и т.д.;
Правовая презумпция и
аксиома , как и другие рассмотренные выше правовые категории, также имеют некоторые схожие признаки. Сравнивая правовую презумпцию и аксиому, следует определить, что аксиома – исходное положение научной теории, принимаемое в качестве истинного без логического доказательства и лежащее в основе доказательства других положений этой теории[45]. В качестве примера правовой аксиомы можно привести такое положение, как «что не запрещено, то разрешено». Сходство правовых презумпций и правовых аксиом заключается в том, что оба эти понятия принимаются за истину независимо от доказывания[46]. Согласимся с тем, что правовые аксиомы являются очевидными и проверенными временем положениями и их истинность не вызывает сомнений[47]. На основе правовых аксиом строится вся правовая система. В данном случае правовые аксиомы имеют многие признаки правовых принципов. Отсутствие сомнений в истинности аксиом, то есть их неопровержимость, есть основное их отличие от правовых презумпций, поскольку принятие правовых презумпций за истину не ограничивает возможность их опровержения.
Каждый из нас хорошо помнит, что такое
аксиомы геометрии. Это не требующие доказательств очевидные истины, взятые из жизненного опыта. На основе аксиом доказываются теоремы, а с помощью теорем решаются различные практические задачи геометрии.
При изучении темы рассматриваются основные положения Г. Кантора о множестве. Изучаются основные понятия теории множеств: множество, элемент множества, подмножество, пустое множество, характеристическое свойство или условие задания множества. Рассматриваются основные виды и операции над множествами и др. Затем необходимо остановиться на основном способе сравнения множеств – установлении взаимно однозначного соответствия, понятии эквивалентности. С позиции теоретико-множественного подхода необходимо дать определение натурального числа. Анализируется роль теории множеств для понимания того, как дети осваивают представление о числе и счете. Анализируется аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Для этого необходимо изучить систему
аксиом для определения натурального числа Дж. Пеано.
Поскольку с появлением абстрактных гипотез биологи переходят от «экспериментального обоснования» в область логики, то есть им приходится строить длинные цепи понятий между провозглашенной
аксиомой и конкретной разбираемой в эксперименте гипотезой о группе, возникают и самые простые логические ошибки, например ошибка non sequtur (не следует). Это происходит, когда к аргументации присоединяется следующий пункт, по мысли авторов рассуждения, продолжающий и уточняющий аргументацию, а на деле этот пункт лишь похож, но не имеет отношения к сути дела. Скажем, положение «самцы такого-то вида имеют морфоструктуры, обладающие свойством экспрессивности» вовсе не связано прямо с положением «у данного вида имеется половой отбор», но эти положения сплошь и рядом воспринимаются как почти синонимичные.
Возвращаясь к методам реконструкции картин далекого прошлого, отметим, что с этой точки зрения актуализм (стремление в исторических реконструкциях отталкиваться от современных аналогов) совершенно корректен. Существование же в прошлом принципиально иных, чем ныне действующие, законов природы будет той самой «избыточной сущностью», которую и отсекает «бритва Оккама». Собственно говоря, прошлое вообще познаваемо ровно настолько, насколько точные аналогии былым ситуациям существуют в современности. Однако в следующих главах мы регулярно будем сталкиваться и с такими совокупностями фактов, для объяснения которых нам придется предполагать, что в природе существовали и ситуации, ныне совершенно немыслимые, как-то: экосистемы, не имевшие в своем составе хищников (с. 102); ландшафты, которые были не сушей и не морем, а чем-то средним (с. 86); атмосферная циркуляция, при которой число конвективных ячеек (с. 147) отлично от нынешнего. Не оказываются ли такие реконструкции отступлением от принципа актуализма? Нет, потому что принцип актуализма не является аксиоматичным положением.
Аксиома – это принимаемое без доказательств положение, на основе которого строится внутренне непротиворечивая система взглядов. Если мы принимаем за аксиому утверждение, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну (только одну) прямую, параллельную данной, то получаем внутренне непротиворечивую геометрию Евклида. А если принять, что через такую точку можно провести несколько прямых, не пересекающих данную, то возникнет геометрия Лобачевского, такая же внутренне непротиворечивая, как и «нормальная», евклидова.
6. Такова внешняя, видимая сторона происходящего. На самом деле под этим кроется нечто гораздо большее, а именно, попытка переосмысления границ человеческого мышления. Открытие неевклидовых геометрий, сделанное в первой половине XIX века К.Ф. Гауссом, Н.И. Лобачевским и Я. Бояйи, стало событием, которое повергло в смятение многие великие умы. Вплоть до XIX века никто не сомневался, что евклидова геометрия описывает единственно возможный реальный физический мир, и вдруг – революция в области человеческого сознания, приведшая к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Можно утверждать, что принцип противоречия Аристотеля стал для Лукасевича тем же самым, что пятый постулат геометрии Евклида о параллельности[32], отвергнутый вышеупомянутыми учеными. Вот как об этом пишет Лукасевич во вступлении к своей книге: «…действительно ли, из всех [принципов] этот принцип является краеугольным камнем всей нашей логики, или его можно преобразовать и даже убрать, создав систему неаристотелевой логики подобно тому, как посредством преобразования
аксиомы о параллельных, была создана система неевклидовой геометрии». Таким образом, Лукасевич покушается ни много, ни мало, а на святое святых – на саму логику.
Правовые
аксиомы определяются как самоочевидные истины, не требующие доказательств. Их значение в том, что они отражают уже установленные и достоверные знания. Наука опирается на них как на исходные, проверенные жизнью данные.
Таким образом, целенаправленная деятельность субъекта как элемент содержания методологии должна быть продуктивной деятельностью. Методология исследования государственно-правовых явлений в своем содержании складывается из функциональных и инструментальных элементов, объединенных учением о познании исследуемого явления. Функциональными элементами содержания методологии следует признать организацию и непосредственную деятельность субъекта (исследователя). Инструментальными элементами являются принципы, методы и уровни познания исследуемого явления. Совокупность функциональных и инструментальных элементов образует методологические основы познания, включающие: а) исходную эмпирическую основу – множество зафиксированных в данной области знания фактов, требующих теоретического объяснения (т. е. накопленные фактические данные об объекте исследования); б) исходную теоретическую основу – множество первичных допущений, постулатов,
аксиом , общих законов, описывающих идеализированный объект теории; в) логику теории – множество допустимых в данной теории правил вывода и способов доказательства; г) совокупность выведенных в теории утверждений с их доказательствами, составляющими основной массив нового теоретического знания (предмет исследования).[22] Именно такой методологический подход, по нашему мнению, учитывает как линейность, так и нелинейность познания социально-правовых явлений, их исторический, антропологический и метафизический аспекты.
Тем не менее, эта собственно спинозистская перспектива не имеет в виду только лишь
аксиому Аристотеля. Мы не понимаем, почему сам Аристотель и многие другие не дошли до теории параллелизма. Спиноза охотно признает: «Истинная же идея, как мы показали… показывает, каким образом или почему что-либо есть или произошло и что ее объективные действия в душе происходят в соответствии с формальной сущностью самого объекта; это то же самое, что говорили древние, именно, что истинная наука идет от причины к действиям; только древние, насколько я знаю, никогда не представляли, как мы здесь, душу, действующей по известным законам и как бы некиим духовным автоматом».[188] «Духовный автомат» прежде всего означает то, что идея, будучи модусом мышления, не находит свою причину (действующую и формальную) где-то еще, кроме как в атрибуте мышления. Точно также, объект, каков бы он ни был, находит свою действующую и формальную причину только в атрибуте, чьим модусом он является и чье понятие [concept] он свертывает. Следовательно, вот что отделяет Спинозу от древней традиции: между идеями и вещами, вещами и идеями исключается любая действующая или формальная каузальность (особенно материальная и конечная). Такой двойной вывод не отсылает к аксиоме, но является объектом доказательства, которое занимает начало книги II Этики.[189] Следовательно, Спиноза может утверждать независимость двух серий, серии вещей и серии идей. То, что – в любой идее – соответствует чему-либо, является, в данных условиях, первым элементом параллелизма.
Следующий этап конвенционализма связан с развитием математической логики в 30-х гг. ХХ в. и особенно ярко выражен в ранних работах Р.Карнапа и К.Айдукевича. Карнап сформулировал так называемый принцип терпимости, утверждающий, что в основу каждой естественнонаучной теории можно положить любую систему
аксиом и правил синтаксиса. Айдукевич разработал концепцию «радикального конвенционализма», согласно которому описание мира в науке зависит от выбора понятийного аппарата, причем, ученые свободны в этом выборе. Элементы конвенционализма имеются в неопозитивизме, прагматизме и операционализме.
Таким образом, ключевыми можно считать даже не вопросы «автономного» или «междисциплинарного» характера развития когнитивной социологии либо степени ее опоры на поведенческие или нейрофизиологические данные, а вопрос, формулируемый П. Стридомом как прямой тезис: «Решающим вопросом… остается конкретный способ, которым мы должны использовать когнитивную психологию или, шире, когнитивную науку» [44, 344]. Нам представляется, что ответ на этот вопрос заключается в продвижении проекта междисциплинарной когнитивной социальной науки. Для социологии, как, впрочем, и для философии и этики [см., в частности: 31], движение в этом направлении открывает перспективы уточнения собственных фундаментальных понятий и эмпирической проверки воспринимаемых в качестве
аксиом эпистемологических, онтологических или аксиологических предположений. Общей стратегией («способом») такого исследования могло бы стать изучение «наивного» социального знания и закономерностей «народной» социальной науки, а также соотнесение их с теми фундаментальными понятиями и «теоремами» социальных наук, которые предположительно их отражают. С этой точки зрения наиболее очевидным направлением исследований когнитивной социальной науки должно стать использование методов изучения обыденного знания и «народной науки», сложившихся в когнитивной науке, а также уточнение полученных в этой области результатов, применительно к «народной социологии» как совокупности повседневных типизированных понятий, убеждений, объяснительных моделей и нормативных принципов, имеющий, как принято считать, конститутивный статус относительно самого социального мира [11].
Итак, «творческий дух» народа можно определить как некоторый набор в высокой степени обобщенных простейших понятий и
аксиом , служащих схемой соотнесения для всего общества (или, по крайней мере, для значительной части его населения). Сами по себе эти аксиомы могут не сознаваться их обладателями; и, как правило, они могут быть извлечены из культурных или психологических данных. Они заключают в себе программу возможной культурной эволюции и, стало быть, устанавливают пределы возможного культурного развития того населения, которое их использует.
Один из парадоксов развития всякой научной дисциплины состоит в том, что её теоретические основания на каждом этапе её развития в силу неких логических ограничений оказываются разработанными в меньшей степени, чем те частные концепции, которые над этими основаниями надстроены. Получается, что возводят стены здания науки, не укрепив должным образом его фундамент. Прекрасный пример этому даёт математика, где вся строгость доказательств, нередко выдаваемая за идеал научности, базируется на весьма шатком фундаменте тех или иных базовых
аксиом , формируемых на основе интуитивного личностного знания (Френкель, Бар-Хиллел, 1966; Перминов, 2001). То же – в систематике: разного рода технические решения методических вопросов обычно выдаются за прогресс таксономических исследований, тогда как собственно начала систематики, анализ того, что должна отражать таксономическая система и на каких общих принципах она должна строиться, остается на заднем плане.
Рене Декарт (1596–1650) в отличие от Бэкона разрабатывает так называемую рационалистическую методологию. Декарт возражает против преувеличенных оценок роли чувственного опыта в познании; сущность вещей мы познаем иным путем. Путь к истине начинается с интуитивно ясных, простых понятий и идет к все более сложным. Интуиция и дедукция – основные компоненты метода Декарта. При этом у Декарта сближаются интуиция и врожденные идеи. Врожденные идеи не зависят от чувственности. К врожденным идеям Декарт относит идеи Бога, субстанции, движения,
аксиомы типа «две величины, равные третьей, равны между собой» и т. д. В дополнение к этому Декарт вводит принцип радикального сомнения по отношению к человеческому познанию, что должно исключить возможность поспешных суждений.
Вопреки хронологической последовательности начну с Канта. Кант видит в разуме высшую из теоретических (пока мы будем говорить о теоретической функции) способностей. Он определяет разум как способность давать принципы21, отличая его от рассудка как способности давать правила для подведения многообразного чувственности под единство понятия. Принцип, согласно Канту, – это не любое общее положение, которое могло бы служить большей посылкой умозаключения. Так,
аксиомы геометрии – это, по Канту, не принципы, потому что они предполагают опору на созерцание (т. е., говоря современным языком, не чуждым, впрочем, и Канту, являются результатом конструирования). А познание из принципов мы имеем тогда, когда познаем частное в общем посредством понятий, не прибегая к опыту22. «Всякое наше знание, – пишет Кант, – начинает с чувств, переходит затем к рассудку и заканчивается в разуме, выше которого нет в нас ничего для обработки материала созерцаний и для подведения его под высшее единство мышления»23.
Это значит, что научные знания никогда не смогут дать человеку возможность охватить все бытие в целом и тем более судить о гармоничности и целесообразности его устройства. Однако, несмотря на то что наука не может это доказать, она сама базируется на этом утверждении. Все естественные науки основаны на постулатах или
аксиомах , которые сами не нуждаются в доказательстве, но служат посылками для всех прочих умозаключений. Эти постулаты гласят: во-первых, мир реально существует и, во-вторых, он устроен разумно и закономерно. Из этих двух постулатов следует, что мир может быть познан человеческим разумом. Так, американский физик Ч. Таунс пишет: «Ученый должен быть заранее проникнут убеждением, что во Вселенной существует порядок и что человеческий разум способен понять этот порядок. Мир беспорядочный или непостижимый бессмысленно было бы даже пытаться понять»[5].
Фундаментальная идеология и оперативная идеология имеют одни и те же структурные составляющие, но если в фундаментальной идеологии доминируют предписания морального характера (основные
аксиомы , ценности, конечные цели), то в оперативной идеологии не меньшее, а то и большее значение приобретают технологии, т. е. принципы действия. Фундаментальная идеология тяготеет к рационализму, поскольку здесь «логика превалирует над наблюдениями, рассуждения – над практикой, принципы – над прецедентами, цели – над средствами, и познание является по преимуществу непрямым» (1976: 111). Оперативная же идеология является в основном эмпиристической, так как в ней «наблюдения стоят больше чистой логики, практика – больше рассуждений, прецеденты – больше принципов, средства важнее целей, и познание является более прямым» (111). Иными словами, фундаментальная идеология находится в более тесной зависимости от политической теории и философии, является более строгой и догматичной. Оперативная идеология функционирует внутри конкретного социального контекста и поэтому зачастую бывает вынуждена допускать отклонения от тезисов фундаментальной идеологии. Партия, находящаяся у власти, может также обнаружить, что практика выявляет противоречия как внутри фундаментальной идеологии, так и между фундаментальной и оперативной идеологией. Эти сложные взаимоотношения двух типов идеологии приводят к важным последствиям.
1. Начиная с 1958 г. советская доктрина доказательственного права, волею судеб, стала на путь безоглядной поддержки решения законодателя ввести в процессуальный обиход дерзкую юридическую новеллу – легальное определение понятия «процессуальное доказательство». Историко-политический контекст того времени позволяет судить, что главным последствием этого действия законодателя должно было стать внедрение в массовое правосознание взгляда на процессуальные доказательства как очевидный знак, некий символ чего-то объективно существующего и достоверного. В конечном счете – гарантию достижения объективной истины в уголовном процессе. Не удивительно, что в СССР данная идея приобрела статус condition sine qua non методологического основания всех теоретических, прикладных и законопроектных работ. Из этого следует: базовая идея освящена законодателем, она непоколебима, воспринимается как доктринальная
аксиома , а усилия исследователей должны быть направлены на углубленную проработку деталей легального определения (благо, пределов этому занятию нет)32.
Материалистическое направление философии, опиравшееся и на метафизическое, и на научное мышление, на представления точных наук, в силу отличия их от гуманитарных и при определенной разобщенности не могло привести к представлению о целостности бытия, тем более – охватить синтезом или обобщением его многообразие. Невозможной представлялась идея включения в бытие человека. Целостность, к которой тяготела философская мысль была присуща только сознанию, душе, а последние относились к сфере абстракций идеализма. Все это служило непреодолимым препятствием к тому, чтобы ввести человека в бытие в качестве демиурга начала, интегрирующего дух и материю, представить его бытие и сознание как целостность. Для этого необходимо было преодолеть сложившееся веками противопоставление сознания и бытия в идеализме и материализме. Нужно было сломать эту вековую, ставшую уже
аксиомой конструкцию философии, причем сломать сразу в нескольких звеньях: на место сознания поставить человека, определить сознание как свойство, качество человека, а затем предложить противоположную парадигму – их единства. Иными словами, рассуждая в материалистических формулах, нужно было не только заменить сознание человеком, но и представить все уравнение в другом качестве вместо противоположности – единстве их составляющих, целостности человека.
Представления Аристотеля о механике продержались до времени Галилея. Галилей создал новую механику, отвергающую принципы Аристотеля. Он установил физические законы для движения тел, ввел определения для силы, скорости, ускорения, равномерного движения, инерции, понятия средней скорости и среднего ускорения, впервые сопоставил понятие силы с математическим понятием вектора (при определении характера движения в зависимости от приложенной силы, он исходил из направления этой силы или взаимодействия сил), сформулировал четыре
аксиомы механики (две о свободном падении, одна – по поводу инерции и одна по поводу относительности движения):
2.
Аксиома транзитивности. Данная аксиома обеспечивает согласованность предпочтений потребителя. Считается, если для потребителя выполняется соотношение между товарами А, В и С: А > В > С, или A – B > С, или A > В – С, то А > С. В соответствие с этой аксиомой покупатель не может себе противоречить и принять решение о том, что А – С.
Бессмысленно доказывать очевидные вещи, например
аксиомы и постулаты, общепринятые определения понятий и т. д. Есть ряд положений, которые мы воспринимаем на веру, и аргументация в таких случаях бессильна. С помощью каких аргументов можно доказать, что я глубоко верующий человек или кого-либо без ума люблю? Как убедить реципиента, что на солнце становится жарко или что лимон кислый? Только эмпирически: заставить его позагорать или продегустировать цитрусовый плод.
Небезынтересна судьба редукционизма в биологии. В прошлом веке, в особенности в его начале, казалось
аксиомой утверждение о некой жизненной силе, присущей всему живому, о невозможности объяснить процессы, протекающие в живом веществе, только одними законами физики и химии. Это течение мысли получило название витализма. Однако оно довольно быстро стало размываться. Многие факты начали получать свое относительно простое объяснение, например, явлением наследственности, и они не требовали привлечения, казалось бы, потусторонних соображений о существовании некой жизненной силы. Поэтому влияние редукционизма весьма глубоко проникло и в различные области естествознания.
Я как объект исследования представляет собой настолько широкое проблемное поле деятельности, что появление новых дискуссионных тем нередко перестраивает уже сложившуюся систему анализа и интерпретации теоретических и эмпирических данных. Наиболее острыми вопросами изучения феномена Я являются: проблема становления и генеза структуры Я в процессе взросления; адаптивные и дезадаптивные функции Я; конфликтная и неконфликтная сферы Я; проблема защитных механизмов – их классификации, функционального назначения, динамики в процессе жизни, связи с копинг-стратегиями, диагностики и критериальной значимости для определения уровня развития личности; когнитивное предназначение Я как функции познания окружающего мира с целью адаптации к нему; роль инстанции Я в осуществлении баланса между влечениями и нормативными установками; механизмы формирования Супер-Эго в процессе динамики Я; сепарационные процессы, направленные на отделение от интроецированных объектов, ставших внутренними и др. Многие из перечисленных выше проблем являются предметом исследования целых научных направлений, например Эго-психологии (Х. Гартманн, Э. Эриксон, М. Малер), теории объектных отношений (Х. Кохут, М. Кляйн), селф-психологии и др. Однако, несмотря на разнообразие исследовательских позиций и подходов, некоторые вопросы начинают занимать статус научного факта или
аксиомы , достоверность которых, как считается, уже неразумно оспаривать или подвергать сомнению. В качестве такого научного факта можно упомянуть проблему защитных механизмов как способов редукции тревоги и поддержания самооценки, проблему идентичности личности как устойчивого комплекса индивидуальных черт, создающих ощущение стабильности Я во времени, проблему границ Я и не-Я, регулируемых с помощью механизмов приватизации и персонализации среды и многие другие.
Сегодня это уже почти
аксиома : многие беды человечества как единого целого, как суперсистемы, коренятся в непонимании принципа организации его собственного времени и собственного пространства. Но именно это и есть предмет науки гармонии (гармонистки) и ее семантических эквивалентов: синергетики – науки о кооперации и самоорганизации структурно сложных формирований; диатропики – науки о разнообразии; миксеологии – науки о правильном, законосообразном образовании, формировании и коррекции состояний сложных систем, составов, смесей; трибофатики – науки о закономерностях функционального и структурного износа материальных эксплуатируемых человеком систем и др.