Связанные понятия
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Формальное дифференцирование — операция над элементами кольца многочленов или кольцом формальных степенных рядов, повторяющая форму производных из математического анализа. Алгебраическое преимущество формального дифференцирования состоит в том, что оно не опирается на понятие предела, которое в общем случае невозможно определить для кольца. Многие свойства производной верны для формального дифференцирования, но некоторые, особенно касающиеся утверждений, содержащих числа, не верны. В основном формальное...
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...
Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность элементов числового пространства.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Равномощность — отношение эквивалентности на множествах ключевое в определении мощности множества.
Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.
Множество больших тригонометрических сумм — понятие теории чисел — множество индексов, в которых преобразование Фурье характеристической функции заданного подмножества группы принимает достаточно большие значения.
Симметрия встречается не только в геометрии, но и в других областях математики. Симметрия является видом инвариантности, свойством неизменности при некоторых преобразованиях.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам.
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.
Единица в теории колец — двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей. Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Аддитивная комбинаторика (от англ. addition — сложение) — междисциплинарная область математики, изучающая взаимозависимость различных количественных интерпретаций понятия структурированности подмножества группы (как правило, конечной), а также аналогичные свойства производных от множества структур, использующихся при этих интерпретациях. Кроме того, аддитивная комбинаторика изучает структурированность в различных смыслах некоторых специфических множеств или классов множеств (например, подмножеств...
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый.
Тополо́гия Зари́сского , или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
Подробнее: Кручение (алгебра)
Таблица характеров — это двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям группы, а столбцы которой соответствует классам сопряжённости элементов группы. Элементы матрицы состоят из характеров, следов матриц, представляющих группу элементов класса столбца в определяемом строкoй представлении группы.
В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
Праймориал (англ. Primorial, иногда именуется также «примориал») — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющие дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например, категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют...
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле...