Геометрия

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Что же это за новая геометрическая метафизика? Речь идет о введении неких новых постулатов в геометрию, необходимых для конструкций дифференциального исчисления. Так, в одном из первых учебников дифференциального исчисления маркиза Г. Ф. Лопиталя, ученика и соратника Лейбница, в деле развития этого нового учения мы читаем: вводится «…требование или допущение: требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий, или же (что то же самое) как многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон…»[32]. То, что многоугольник, вписанный, например, в окружность, при бесконечном увеличении (удвоении) его сторон будет стремиться к окружности, это, конечно, античные математики знали и даже использовали в своих вычислениях. Однако никто не считал на основании этого, что окружность есть бесконечный многоугольник с бесконечно малыми сторонами!.. Более того, острое чувство качественного отличия окружности от любого многоугольника, кривой от прямой, за которым стоял глубоко осознанный опыт онтологических рангов реальности, приводил к тому, что это соотношение вписанного многоугольника и описанной окружности нередко понимали как символ соотношения рассудочного знания и реальности: кажущаяся близость, но принципиальное внутреннее отличие…

В. Н. Катасонов, О границах науки, 2017

Функциональная структура понятий не составляет специфической особенности чистой математики (арифметики, алгебры). Она свойственна в одинаковой мере и ее остальным отраслям, а также области математически обоснованного естествознания. Не только понятие отвлеченного члена, но также и основные понятия геометрии, механики, физики, химии (как, например, понятия пространства, времени, атома, химического элемента) постепенно утрачивают в современной науке (или уже утратили вполне) свой субстанциальный характер и превращаются в функциональные понятия, в понятия отношений. В области геометрии первый шаг в этом направлении сделал Декарт, которому удалось при помощи открытой им аналитической геометрии свести основные отношения пространства на отношения чисел. Впоследствии дифференциальная и проективная геометрии и новейшие учения о пространственных многообразиях высшего порядка завершили этот логический процесс, представив исчерпывающее доказательство тому, что все пространственные образования, равно как и само пространство, целиком сводятся для научной мысли к известным функциональным отношениям, точнее, к различным типам функциональных отношений, находящих свое адекватное выражение в закономерно развивающихся рядах численных значений.

Коллектив авторов, Новые идеи в философии. Сборник номер 5, 2015

Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с величайшими достижениями математической мысли прошлого века – открытием неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых геометрий») и возникновением теории бесконечных множеств. Открытие неевклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые было обнаружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном случае – его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями, одинаково хорошо согласующимися с действительностью при определённых возможностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кантора продемонстрировала возможность строгого изучения бесконечности; она распространила на бесконечные совокупности понятие количества, замкнутое до того времени в рамки понятия натурального числа; оказалось, что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять из разного количества элементов.

В. А. Успенский, Апология математики (сборник статей)

Что касается методов, характерных для теоретического исследования, выделим следующие. Формализация – это построение абстрактно – математических моделей, когда рассуждения о предмете переносятся в плоскость оперирования со знаками (формами), тогда производится вывод новых форм по правилам логики и математики. При аксиоматическом методе производится логический вывод на основе каких-либо заранее принятых без доказательства аксиом. Так была построена вся геометрия Евклида и даже «Этика» Спинозы. В развитой науке аксиомы предлагаются как некоторая предполагаемая к исследованию система отношений, отвлеченных от их носителя и исследуемых аппаратом математической логики. Возможности этих методов также не безграничны (как это казалось до середины 30-х годов, когда была открыта знаменитая теорема Геделя). В науках, так или иначе имеющих эмпирическую основу, более эффективным является гипотетико-дедуктивный метод. Сущность его – в создании системы связанных между собой гипотез, из которой дедуктивным образом выводятся эмпирически проверяемые (и тем самым свидетельствующие об истинности общей теории) следствия. Этим путем шло развитие и подтверждение теории относительности, а анализ определенных следствий из нее задал целые направления современной науки.

В. Г. Торосян, Концепции современного естествознания

Таким образом, общим для всех фракталов является наличие рекурсивной процедуры их генерации и (бес)конечной цепочки автопоэзиса (самопостроения)[29]. В строгом математическом понимании фрактал бесконечен, поэтому фрактальная структура n-ного порядка называется предфракталом. При этом с помощью относительно несложных математических формул «можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии»[30]. Математические фракталы бесконечны, как и культурные фракталы, относящиеся к культурогенезу и культурной трансмиссии, однако фрактальные артефакты культуры (например, здания, матрешки или образы на рекламных объявлениях) имеют ограниченную «глубину» фрактальности, иногда не более двух итерационных уровней.

Е. В. Николаева, Фракталы городской культуры, 2014

Возможность подобной образно-географической интерпретации теории фракталов в приложении к явлениям живой и неживой природы основана на так называемом условном космографическом принципе, в котором утверждается, что перемещение начала координат какого-либо процесса ведет к его возобновлению на независимых началах, «все промежуточные остановки обладают абсолютно равными правами на звание Центра Мироздания»[158]. Именно соблюдение условного космографического принципа позволяет ввести при изучении фрактальной геометрии природы понятие броуновского (т. е. вероятностного) рельефа, и успешно моделировать настоящий земной рельеф, картографические очертания древних и современных островов и континентов, а также создавать модели идеальных ландшафтов[159]. Суть дела в том, что увеличение размерности в таком фрактальном моделировании приводит не только к увеличению сложности рисунка, но и к появлению необратимых изменений в общей, фиксируемой научными измерениями и наблюдениями конфигурации моделируемого физико-географического объекта. Следовательно, можно вполне весомо говорить о том, что классическая физическая география и картография имеют мощные социокультурные корни, ими, однако, не вполне осознаваемые. Образы географического пространства, разрабатывавшиеся в этих науках в течение тысячелетий, основаны на специфических правилах измерений и особой размерности. Переход к неэвклидовым геометриям и сферическим поверхностям в рамках теории фракталов показал относительность этих традиционных образов. В то же время стало ясно, что эти традиционные образы географического пространства занимают свое определенное место в фактически бесконечном пространстве представлений географического пространства – в рамках уже провозглашенного условного космографического принципа.

Д. Н. Замятин, Культура и пространство. Моделирование географических образов, 2006

При этом, как следует из совокупности экспериментальных данных, такое расстояние в пространстве – времени следует вычислять по формуле ?s2=c2?t2 −?r2. Отличие в знаке существенным образом сказывается на аналитических вычислениях и свойствах геометрии пространства – времени. Учитывая это, последующее геометрическое моделирование вполне адекватно описывает физику черных дыр. ?

Э. Т. Ахмедов, О рождении и смерти черных дыр, 2015

Утверждение освобождения от эмпирического происхождения неверно. Неевклидовы геометрии используют те же геометрические образы (точки, линии, поверхности и пр.), что и евклидова геометрия. Но все абстрактные образы евклидовой геометрии имеют чувственные прообразы. Прообразами точек являются реальные предметы, размеры которых пренебрежимо малы сравнительно с расстоянием между наблюдаемыми предметами (например, видимые невооруженным глазом объекты звездного неба). Прообразом прямой линии может быть натянутая нить.

Л. С. Якунин, Философские вопросы науковедения, 2017

Мы занимаем эту позицию по двум причинам. Первая – та, что, поскольку в случае классической и квантовой механики их теоретические контексты разные, это порождает различия интенсионалов их соответствующих теоретических и операциональных понятий. С этой точки зрения положение не слишком отличается от случая евклидовой и неевклидовой геометрии, где мы все время должны иметь в виду, что это не об одном и том же пространстве мы говорим, что в нем только одна, или более одной, или ни одна параллельная линия не может пройти через данную точку, поскольку аксиоматические контексты, определяющие пространство, в этих трех случаях разные. Именно поэтому, между прочим, в данном случае нет никакого нарушения ни принципа непротиворечия, ни исключенного третьего (т. е. нет конфликта теорий), поскольку оба эти принципа предполагают постоянство значений. В дополнение к этому мы можем сказать, что в случае сравнения классической и квантовой механики нам не помогут и операциональные понятия, поскольку операции измерения в квантовой механике не те же самые, что в классической механике. Поэтому можно сказать, что эти две дисциплины ссылаются на разные «объекты» и потому несравнимы с точки зрения их взаимного превосходства, поскольку у них разные области применения. Тот факт, что у них есть некоторые общие термины, является следствием того, что некоторые интенсиональные компоненты остаются более или менее неизменными в понятиях, выражаемых этими терминами; но эти компоненты относятся друг к другу по-разному и к тому же связаны в этих двух теориях с разными компонентами[153]. Поэтому мы должны говорить, что квантовую механику следует принять не «над» классической механикой, но рядом с ней.

Эвандро Агацци, Научная объективность и ее контексты, 2014

Условием существования такой идеальной плоскости является пятый постулат. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Условия никогда не доказываются!!! Лобачевский и другие изменили условие, взяли вместо идеальной плоскости другую поверхность и создали другую геометрию. Слава им! Но при чем здесь геометрия пространства, в котором мы живем? Насколько я знаю, все траектории для космических аппаратов рассчитываются в представлении, что пространство трехмерно и никакое иное.

П. А. Каравдин, В дебрях науки, или Почему в России нет инноваций, 2013

Основоположником конвенционализма является французский математик А.Пуанкаре (1854-1912), разработавший его теоретические принципы и развивший его применительно к математике и физике. Аксиоматизация ряда математических дисциплин, развитие неевклидовых геометрий, показавших, что одному и тому же пространству могут соответствовать различные, но эквивалентные друг другу геометрии, привели его к выводу, будто геометрия не имеет опытного происхождения и ничего не говорит о реальном мире.

Я. С. Полякова, Общие проблемы философии науки, 2011

ЛСД-пациенты, искушенные в математике и физике, неоднократно сообщали, что во время психоделических сеансов они достигали вдохновенных прозрений в суть различных концепций и построений, которые невозможно представить или визуализировать в обычном состоянии сознания. Имеется в виду, например, римановская геометрия шмерного пространства, пространство-время Минковского, неэвклидова геометрия, коллапс законов природы в черной дыре, специальная и общая теории относительности. Искривление пространства и времени, бесконечная, но самозам-кнутая Вселенная, взаимозаменяемость массы и энергии, различные порядки бесконечностей и нулей – все эти сложные понятия математики и физики были субъективно пережиты и качественно по-новому осмыслены некоторыми из пациентов. Оказалось даже возможным обнаружить прямые эмпирические корреляты для знаменитых уравнений Эйнштейна, основанных на преобразованиях Лоренца. Эти наблюдения настолько поразительны, что наводят на мысль о возможном будущем проекте, в котором выдающиеся физики будут иметь возможность испытать психоделические состояния для теоретического вдохновения и творческого решения проблем.

Станислав Гроф, За пределами мозга. Рождение, смерть и трансценденция в психотерапии, 1985

Картография тоже оставалась примитивной[98]. Карты средневековой Европы не предназначались для описания точных геометрических и пространственных соотношений, в них не соблюдались правила геометрии, равно как не существовало понятия о масштабе. В результате географические карты имели символический, исторический, декоративный или религиозный смысл.

Леонард Млодинов, Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, 2001

…В этот момент нарушается математически корректное описание геометрии пространства – времени. Такое свойство характерно для большинства физически приемлемых решений уравнения Эйнштейна. Существование таких сингулярностей наводит на мысль о некоторой неадекватности общей теории относительности. Очень может быть, что некая будущая теория окажется свободной от такого «греха».

О. О. Фейгин, Взрыв мироздания, 2016

Хотя в этом последнем названии прямо не указаны представленные компоненты, они легко определяются из явного указания темы школьного курса, которая изучается в 7–9 классах на уроках планиметрии. Из понятия «систематический курс» непосредственно следует, что данное исследование относится к основным урокам геометрии.

М. С. Мирзоев, Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и педагогическом вузе, 2017

Описание процесса изменения состояний – это и есть, с точки зрения математика или физика, описание процесса эволюции или развития изучаемого объекта. И в таком контексте понятие организации кажется, вообще говоря, ненужным – без него вроде бы можно и обойтись. Однако в процессе исследования того или иного объекта мы, как правило, обнаруживаем, что характерные времена изменения некоторых переменных его состояния значительно больше соответствующих времен других переменных. Вот эти первые переменные состояния мы и условимся относить к элементам организации. Другими словами, организация изучаемого объекта (системы) – это совокупность консервативных, медленно изменяющихся (в частном случае – постоянных, неизменных) характеристик объекта. У кристаллов это их геометрия – взаимное расположение вершин, ребер, граней. В турбулентном потоке – это средние характеристики давления, пульсации скоростей и т. д. С этих же позиций можно изучать и организацию живого мира, и общественные структуры, определяя каждый раз те характеристики эволюционного процесса, которые мы будем относить к организации. Например, в теории динамических систем под организацией естественно понимать топологию ее фазовых траекторий, структуру аттракторов и т. д. В процессе исследования мы следим за изменением организации системы, изучаем условия ее коренной перестройки. С помощью такого языка часто оказывается возможным описать более наглядно те или иные свойства механизмов бифуркационного типа, поскольку именно в точках катастрофы и происходит резкое изменение организации.

Н. Н. Моисеев, Алгоритмы развития, 1987

Каждый из нас хорошо помнит, что такое аксиомы геометрии. Это не требующие доказательств очевидные истины, взятые из жизненного опыта. На основе аксиом доказываются теоремы, а с помощью теорем решаются различные практические задачи геометрии.

Вадим Нагаев, Неизвестные аспекты бодибилдинга, 2015

Начинания Г. Галилея в той или иной мере (применительно к требованиям и социальным традициям соответствующего времени) продолжили и развили Блез Паскаль (1623–1662; вывел основной закон гидростатики, стоял у истоков математического анализа, теории вероятностей), Исаак Ньютон (1642–1727; автор закона всемирного тяготения, трех законов механики, работал в области интегрального и дифференциального исчисления); М. В. Ломоносов (1711–1765; известен своей молекулярно-кинетической теорией, одним из начал термодинамики); Карл Линней (1707–1778; автор системы классификации растительного и животного мира); Леонард Эйлер (1707–1783; автор многих работ по дифференциальной геометрии, математическому анализу, оптике, баллистике) и многие другие.

С. С. Антюшин, История и философия науки. Учебное пособие для аспирантов юридических специальностей, 2013

Физикально-абсолютная парадигма мышления, когда пространство и время мыслятся как самостоятельные и даже обособленные друг от друга реальности окружающего мира. Эти реальности представляются (осмысливаются) человеком как своеобразные абсолютные вместилища, в которых (а) находятся тела (живые и неживые объекты разного масштаба) и, соответственно, происходят те или иные события и (б) свойства которых не зависят от свойств объектов (событий), их заполняющих, а также и от свойств субъекта-наблюдателя. В качестве эмпирического основания для выделения пространства и времени в качестве объекта познания выступают непосредственно-чувственные данные, подтверждаемые непосредственно практической (предметной) деятельностью человека и абстрагированные от реального процесса их восприятия и тем самым от самого наблюдателя. Например, согласно непосредственным данным зрительного восприятия, Земля относительно Солнца неподвижна и имеет плоскую поверхность, но Солнце, звезды и Луна движутся относительно поверхности Земли (и, естественно, наблюдателя, находящегося на ней). Субъект-наблюдатель неподвижен. Пространство и время прямолинейны[11]. В предельной форме этот способ мышления (парадигма мышления, если хотите) нашел свое выражение: в античной философии – в апориях Зенона, в математике – в геометрии Евклида, в античной астрономии – в геоцентрической системе мироздания (Птолемей), в физике – в классической (механистической) физике (Ньютон, Галилей), в астрономии Нового времени – в гелиоцентрической системе мироздания, в философии Нового времени и позже – от «правил для ума» Декарта до постулирования Кантом пространства и времени в качестве априорных категорий нашего мышления, наконец, в психологии – в классических теориях восприятия пространства, времени и движения (Вундт, 1912; Сеченов, 1947; Helmholtz, 1896; Hering, 1879 и др.) и их современных вариациях (Грегори, 1963; Рок и др.), а также в психофизике. Бытие времени здесь абстрагировано от бытия пространства и от реального бытия субъекта-наблюдателя и не зависит от последнего.

В. И. Панов, Экопсихология. Парадигмальный поиск, 2014

Пифагор считал геометрию священной наукой, наукой, близкой к Богу. Все пропорции и соотношения в ней – матрица для мироздания и всех процессов жизни. Сущность красоты, таинства прекрасного, базирующегося на определенных геометрических параметрах, в Древней Греции сформировалось в отдельную научную ветвь – эстетику, тесно связанную с понятием космологии. Древние греки воспринимали окружающий мир как совокупность множества гармоничных элементов и оценивали Вселенную по законам геометрии.

Иоланта Прокопенко, Сакральная геометрия. Энергетические коды гармонии, 2013

Способность предсказывать или описывать что-либо, даже достаточно точно, совсем не равноценна пониманию этого. В физике предсказания и описания часто выражаются в виде математических формул. Допустим, я запомнил формулу, из которой при наличии времени и желания мог бы вычислить любое положение планет, которое когда-либо было записано в архивах астрономов. Что же я в этом случае выиграл бы по сравнению с непосредственным заучиванием архивов? Формулу проще запомнить, но ведь найти число в архивах может быть даже проще, чем вычислить его из формулы. Истинное преимущество формулы в том, что ее можно использовать в бесконечном множестве случаев помимо архивных данных, например, для предсказания результатов будущих наблюдений. С помощью формулы можно также получить более точное историческое положение планет, потому что архивные данные содержат ошибки наблюдений. И все же несмотря на то, что формула охватывает бесконечно больше фактов, чем архив наблюдений, знать ее не значит понимать движения планет. Факты невозможно понять, попросту собрав их в формулу, так же как нельзя понять их, просто записав или запомнив. Факты можно понять только после объяснения. К счастью, наши лучшие теории наряду с точными предсказаниями содержат глубокие объяснения. Например, общая теория относительности объясняет гравитацию на основе новой четырехмерной геометрии искривленных пространства и времени. Она точно объясняет, каким образом эта геометрия воздействует на материю и подвергается воздействию материи. В этом объяснении и заключается полное содержание теории; а предсказания движений планет – это всего лишь некоторые следствия, выводимые из этого объяснения.

Дэвид Дойч, Структура реальности. Наука параллельных вселенных, 1997

Ф[лоренский] видит в математике необходимую и первую предпосылку мировоззрения, но в самодовлеемости математики находит причину ее культурного бесплодия: направляющие импульсы математике необходимо получать, с одной стороны, – от общего миропонимания, а с другой – от опытного изучения мира и от техники. Собственные занятия Ф[лоренского] направлены в обе эти стороны, причем предметом техники служит электротехника, преимущественно электрические поля и их материальные среды. Учение о полях, расширительно, связывается с задачами геометрии, натурфилософии и эстетики, а материаловедение – с гистологией материалов, как областью применения учений о множествах и теории функций.

П. А. Флоренский, Автореферат. Троице-Сергиева Лавра и Россия. Иконостас. Имена. Метафизика имен в историческом освещении. Имя и личность. Предполагаемое государственное устройство в будущем, -1

Для простоты мы часто рисуем графы в двух измерениях, но лучше представлять их заполняющими трехмерное пространство, потому что именно его они иллюстрируют. Но здесь есть концептуальная ловушка: линии и узлы графа не занимают конкретные положения в пространстве. Каждый граф определяется только тем, как его части соединяются между собой и как они соотносятся с четко заданными границами (например, с границей области B). Однако нет никакого непрерывного трехмерного пространства, в котором, как может показаться, размещаются графы. Линии и узлы – это и есть пространство, геометрия которого определяется тем, как они соединяются.

О. О. Фейгин, Механика машины времени, 2016

Другими словами, организация изучаемого объекта (системы) – это совокупность консервативных, медленно изменяющихся (в частном случае – постоянных, неизменных) характеристик объекта. У кристаллов это их геометрия – взаимное расположение вершин, ребер, граней. В турбулентном потоке это средние характеристики давления, пульсации скоростей и т. д. В теории динамических систем под организацией естественно понимать топологию ее фазовых траекторий, структуру аттракторов и т. п.

Н. Н. Моисеев, Человек и ноосфера, 1990

Размер, форма и движение небесных тел определяются с помощью геометрии, а их гармония и ритм – посредством музыки. Если убрать астрономию, не пострадает ни геометрия, ни музыка, но, если устранить геометрию и музыку, астрономия станет беспомощна. Арифметика, стало быть, первична по отношению ко всему и фундаментальна. Эту науку в пифагорейской школе изучали досконально.

Л. С. Большедворова, Нумерология. Коды жизни и судьбы, 2008

Это утверждение вполне соотносится с двумя высказываниями Д. Бома: «…Вселенную нельзя, строго говоря, расчленять на резко разграниченные части. Наоборот, её следует рассматривать как неделимую единицу, а представление об её отдельных частях может быть хорошим приближением только в классическим пределе» [32, с. 196] и F. Hoyle: «Современные достижения космологии всё более настойчиво подталкивают нас к выводу, что условия нашей повседневной жизни не могли бы существовать в отрыве от далёких частей Вселенной, и если бы эти части каким-то образом были изъяты, то все наши представления о пространстве и геометрии моментально утратили бы свой смысл. Наш повседневный опыт, до самых мельчайших деталей, настолько тесно связан с крупномасштабными параметрами Вселенной, что невозможно даже представить себе, как одно могло бы быть отделено от другого» [364, p. 304][48].

А. А. Пелипенко, Избранные работы по теории культуры, 2014

Данная логика анализа – «визитная карточка» формальной социологии Г. Зиммеля. По Зиммелю, формальная социология – это социальная геометрия «форм обобществления» (Formen der Vergesellschaftung). Геометрия изучает пространственные формы абстрактно, в отрыве от их манифестаций в мире. Она интересуется только одним аспектом материального объекта – его пространственностью – оставляя другим наукам анализ прочих аспектов. Так же и Зиммеля занимают проблемы включения одного «социального круга» в другой «социальный круг», «точек интерференции», «отношений-„между“», «органической замкнутости» и «эксклавов». В сходных категориях «логического устройства» (безразличного к конкретным манифестациям в мире) могут анализироваться и события человеческой жизни, и целостность литературного произведения, и устроение публичного пространства, и порядок материальных предметов.

Коллектив авторов, Социология вещей (сборник статей), -1

Разумеется, речь не идет о том, чтобы выдвигать какие-либо запреты или апологетически превозносить философию только ради ее превознесения; напротив, предлагается выстраивать собственные размышления и рассуждения максимально последовательно и рефлексивно адекватно, то есть отслеживая их самоприменимость как минимум на следующем метауровне и учитывая неустранимые перформативные эффекты, неизбежно производимые самим актом выполняемого в той или иной контекстуальной среде утверждения. Ведь даже концептуальный отказ от философии неизбежно совершается средствами самой философии, а потенциальный отказ от культуры – средствами самой культуры; поскольку прямолинейный ход мысли тут не приводит к ожидаемому результату, постольку представляется принципиально важным не игнорировать соответствующую связность. Конечно, обратить внимание на такого рода неизбежную связность имеет смысл совсем не для того, чтобы превратить ее в новый абсолют взамен прежних (это ненужно, да и вряд ли выполнимо), а затем, чтобы попытаться обнаружить – отсутствие абсолюта вовсе не должно автоматически означать (насколько бы очевидным это кому бы то ни было ни казалось – из перспективы опять-таки классической бинарной оппозиции) подавляющего господства субъективизма и разгула вседозволенности или наступления полного хаоса. Ведь появление новых геометрий Лобачевского и Римана хотя и подорвало монополию единственной и несравненной Геометрии Евклида, но никоим образом не ликвидировало доказательность теорем, пусть даже и разных в различных аксиоматических системах. А создание Эйнштейном теории относительности хотя и устранило абсолютный характер системы отсчета, который предполагался в классической механике Ньютона, однако не уничтожило системы отсчета как таковые.

В. Ю. Кузнецов, Взаимосвязь единства мира и единства культуры, 2013

В 1898 г. В. П. Ермакова в числе первых педагогов пригласили в Киевский политехнический институт, где он с 1899 г., имея опыт тридцатилетней работы в университете, с энтузиазмом взялся за организацию математического образования, возглавив кафедру высшей математики этого вуза. Наряду с традиционными курсами, такими, как аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, В. П. Ермаков вводил и новые – дифференциальная геометрия, теория обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

О. А. Гапоненко, Ученые, прославившие Беларусь, 2017

Особенно отчетливо несовместимость разных стратегий (методов) построения картины мира у Спинозы проявляется в тех случаях, которые демонстрируют неприложимость натуралистического инструментария к метафизической стратификации всего сущего. Другими словами, усвоенные онтологией Спинозы реликты платонизма, то есть разделения реальности на две качественно различающиеся сферы – истинно сущего бытия и профанической реальности – разрушают тождество бытия, необходимое для актуализации названных выше Спинозой универсальных и единых «правил и законов Природы». Они лишают натуралистическую идею ее базисных принципов – аналогии бытия, тождества или однородности оперативного пространства. То есть в этом случае платонизм Спинозы вступает в противоречие с пропагандируемым им геометрическим методом (банальное напоминание о том, что и сам Платон весьма почитал геометрию и соответствующим образом анонсировал эту свою приверженность, мало что здесь объясняет).

А. Г. Гаджикурбанов, Этика Спинозы как метафизика морали, 2014

Нужно ли считать первоочередной задачей методичное разрушение кодов, относящихся к пространству? Нет. Перед нами стоит как раз обратная проблема. Коды эти, неотделимые от знания и социальной практики, давно уже размыты. От них остались одни лохмотья – отдельные слова, образы, метафоры. Главное событие прошло незамеченным, так что о нем приходится постоянно напоминать: около 1910 года пошатнулось пространство, общее для здравого смысла, науки, социальной практики, политической власти, пространство, служащее содержанием как повседневной речи, так и абстрактной мысли, среда и канал сообщений, пространство классической перспективы и геометрии, разрабатывавшееся со времен Ренессанса на основе греческого наследия (Евклида и логики) силами западного искусства и философии и встроенное в город. Оно получает столько ударов, подвергается таким нападкам, что с большим трудом сохраняет некую педагогическую реальность в рамках консервативного образования. Евклидово пространство, пространство перспективы исчезает как референт вместе с другими общими местами (городом, историей, родством, тональной системой в музыке, традиционной моралью и т. д.) Переломный момент. Между тем нетрудно понять, что евклидово пространство «здравого смысла» с его перспективой, равно как и алгебра и арифметика, как грамматика и ньютонова физика, не могут исчезнуть в единый миг, не оставив следов в сознании людей, в науке и педагогике. Дело не в том, чтобы разрушить коды во имя некоей критической теории, а в том, чтобы объяснить их разрушение, выявить его результаты и (быть может) с помощью теоретического перекодирования создать какой-то новый код.

Анри Лефевр, Производство пространства, 2000

Экспериментальный анализ гносеологической функции ГДС – ее способности непосредственно снимать информацию о пространственно-временных свойствах среды – показывает наличие широкого диапазона рассогласований между направлением взора и зрительным направлением объекта. Существует функциональный зазор между восприятием и действием, который характеризует меру относительной независимости параметров зрительного образа от движений глаз и одновременно пространство их ближайших преобразований. В обычной ситуации он проявляется в виде оперативной зоны фиксаций и в зависимости от условий восприятия меняет размер. До тех пор пока рассогласование зрительных и окуломоторных компонентов совершается внутри «функционального зазора», оно не оказывает серьезного влияния ни на ход восприятия, ни на характер движений глаз. Лишь выйдя за его пределы, тот или иной параметр окуломоторной активности приобретает статус внешнего, возмущающего перцептивный процесс «лимитирующего» фактора. С этой точки зрения уподобление отдельных параметров движений глаз пространственно-временным свойствам объекта выражает акт приспособления индивида к среде. Согласованность окуломоторных и собственно зрительных компонентов перцептивного процесса, а не воспроизведение «геометрии предмета» в «геометрии движений (направленности) глаз» является главным условием адекватного отражения действительности.

Коллектив авторов, Айтрекинг в психологической науке и практике, 2015

В восьмой главе описываются средства редактирования объектов, т. е. выполнение таких действий, которые приводят к изменению геометрии или местоположения объекта. Рассматриваются методы и команды выделения объектов; команды общего редактирования. Отдельно описываются команды для редактирования полилиний, мультилиний, сплайнов и размерных блоков. Кроме того, изучается метод редактирования при помощи ручек – наиболее простой способ редактирования любого объекта.

М. И. Бабенко, AutoCAD 2010. Самоучитель, 2010