Связанные понятия
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим замечательные свойства.
Упоминания в литературе
При конструктивном описании структуры объекта мы используем отношения, т.е. многоместные предикаты Fn, где n>1 и означает
число элементов, связанных отношением. Например, при n=2 речь идет о взаимодействии двух элементов, скажем a1 и a2. Эта взаимодействующая пара, если она показывает автономность, будет представлять собой новый объект, который обозначим через b. Отсюда следует, что объект b существует в силу того, что на объектах ai реализовано отношение F2. Это также означает, что собственные свойства объекта b, если они не тождественны свойствам элементов ai, являются результатом реализации отношения F2 и, следовательно, задаются этим отношением. Это также означает, что собственные свойства объекта b, если они не тождественны свойствам элементов а, являются результатом реализации отношения F2 и, следовательно, задаются этим отношением. Свойства реального объекта (индивида), во многом, обусловлены его конструкцией. Иными словами, объекты, связанные физическими отношениями, образуют новый объект, часто характеризуемый новыми свойствами, которых нет у исходных объектов (обычно приводимый пример – поваренная соль, отличающаяся по своим свойствам и от хлора и от натрия).
Семантические сети как альтернатива исчислению предикатов. Особое внимание необходимо уделить передаче сложных семантических значений. У Дж. Люгера подчеркнуто, что во многих областях ИИ решение задачи требует использования высокоструктурированных взаимосвязанных знаний [264, стр. 63]. Для описания предмета реального мира необходимо не только перечислить его составные части, но и указать способ соединения и взаимодействия этих частей. Структурное представление предметов используется во многих задачах. Кроме того, семантические отношения необходимы для описания причинных связей между событиями. Да, в обоих этих случаях взаимосвязи и взаимоотношения могут быть описаны группой предикатов, но для программиста, имеющего дело со сложными понятиями и стремящегося дать устойчивое описание процессов в программе, необходимо некоторое высокоуровневое представление структуры процесса. Предикатное описание можно представить графически, использую
для отображения предикатов, определяющих отношения, дуги или связи графа. Такое описание, называемое семантической сетью, является фундаментальной методикой представления семантического значения. Поскольку отношения явно выражены связями графа, алгоритм рассуждений о предметной области может строить соответствующие ассоциации просто следуя по связям, что значительно эффективнее, чем утомительный и исчерпывающий поиск в базе данных, содержащей описания на языке предикатов [264, стр. 64].
Физиологические основы психолингвистики: концепция Н.А.Бернштейна. Начнем с введенного им различия топологии и метрики в исследовании поведения. «Топологией
геометрического объекта я называю совокупность его качественных особенностей вне зависимости от его величины, формы, той или иной кривизны его очертаний и т.д. К топологическим свойствам линейной фигуры можно относить, например, то, замкнутая это фигура или незамкнутая, пересекают ее линии самих себя, как в восьмерке, или не пересекают, как в окружности, и т.д. …Движения живых организмов в не меньшей мере, нежели восприятие, определяются именно топологическими категориями… Никто из нас не затруднится нарисовать пятиконечную звезду, но можно предсказать с уверенностью, что этот рисунок будет выдержан только в топологическом, а не в метрическом отношении» (Бернштейн, 1966, с.63, 65 – 66). Этот топологический принцип организации движений вполне применим и к недвигательному поведению. (Кстати, такие понятия, как фонема или морфема, вообще все, что связано с языковой системой, топологичны; а реализация этих единиц в речи метрична.)
Начнем с того, что Фреге включает в свою онтологию такие типы объектов, как функции и предметы, которые могут выступать в роли аргументов и значений функций. При этом он значительно расширил понятие функции, освободив ее от связи с числами и определив в качестве ее возможных аргументов и значений любые другие предметы, например физические вещи, людей и т. п. Помимо перечисленных он включил в число предметов два абстрактных объекта – «истину» и «ложь», которые являются аргументами и(или) значениями особой категории функций – так называемых логических функций. Частным случаем логических функций (с одним аргументом, определенным на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) у Фреге оказываются понятия, которые играют ключевую роль в его логической системе, ибо, относя к арифметике все то, что поддается счету, он полагал, что ее область совпадает с областью понятийного мышления[9]. Поскольку, по его мнению, понятие должно указывать, каким свойством нужно обладать предмету, чтобы подпадать под данное понятие, именно в понятиях он усматривал «основание существования классов». Отождествив понятие с общим свойством, которым должны обладать подпадающие под него предметы, а объем понятия – с классом этих предметов, Фреге ввел в свою онтологию такие важные сущности, как свойства и классы. Кроме того, он особо выделил еще
два вида логических функций – отношения (функции с двумя аргументами, определенными на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) и пропозициональные функции, где и аргументами, и значениями выступают «истина» и «ложь», которые в дальнейшем стали называть истинностными значениями.
Функциональная структура понятий не составляет специфической особенности чистой математики (арифметики, алгебры). Она свойственна в одинаковой мере и ее остальным отраслям, а также области математически обоснованного естествознания. Не только понятие отвлеченного члена, но также и основные понятия геометрии, механики, физики, химии (как, например, понятия пространства, времени, атома, химического элемента) постепенно утрачивают в современной науке (или уже утратили вполне) свой субстанциальный характер и превращаются в функциональные понятия, в понятия отношений. В области геометрии первый шаг в этом направлении сделал Декарт, которому удалось при помощи открытой им аналитической геометрии свести основные отношения пространства на отношения чисел. Впоследствии дифференциальная и проективная геометрии и новейшие учения о пространственных многообразиях высшего порядка завершили этот логический процесс, представив исчерпывающее доказательство тому, что все пространственные образования, равно как и само пространство, целиком сводятся для научной
мысли к известным функциональным отношениям, точнее, к различным типам функциональных отношений, находящих свое адекватное выражение в закономерно развивающихся рядах численных значений.
Связанные понятия (продолжение)
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...
В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.
Подробнее: Коммутативная диаграмма
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле...
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру (подгруппа, подкольцо, в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы), показывающая степень некоммутативности групповой операции.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.
Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Гру́ппа Галуа ́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во...
Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов...
Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Расшире́ние Галуа ́ — алгебраическое расширение поля E/K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения ).
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
Подробнее: Универсальное свойство
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Топологическое векторное пространство , или топологическое линейное пространство, — векторное пространство, наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.
В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.
Подробнее: Естественное преобразование
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
Упоминания в литературе (продолжение)
Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А є В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класса принадлежит классу А и записывается как а є А.
Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А є В.
Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А с В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класс а принадлежит классу А и записывается как а с А.
Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А = В.
Описывая знак-изображение, мы употребляли термин изоморфизм. Его часто, особенно представители художественной интеллигенции, что отражается и в их публикациях, путают с гомоморфизмом. Изоморфизм (греч. isos – равный, одинаковый, подобный, morphe – вид, форма) – отношение между объектами одинаковой, тождественной структуры. Если каждому элементу одной структуры соответствует лишь один элемент другой структуры, то такие две структуры называются изоморфными друг другу структурами. Изоморфизм – понятие, уточняющее широко распространенное
понятие аналогии, модели, соответствие (отношение) между объектами, выражающее тождество их структуры (строения).
В вышеприведенных диаграммах линии между точками указывают на
определенные логические отношения между соответствующими предикатами (которые мы можем представлять себе как представленные уравнениями или функциями, содержащими предикаты), и мы видим, что даже если о предикатах можно сказать, что они остаются теми же самыми, изменения логических корреляций, происходящие при переходе от рис. 1 к рис. 2 или от рис. 3 к рис. 4, изменят значение Р и сделают его отличным от значения P' (но и другие значения тоже изменятся, хотя мы и не меняли других терминов). С другой стороны очевидно, что если структура сохранена, но хотя бы один из предикатов изменился, это изменит значение P' (как и остальных понятий).
Понятие «структура» является в настоящее время одним из центральных в языкознании. Основными признаками структуры являются целостность и связность.
Понятие связности как основного признака структуры заимствовано из математики. Этот признак является неотъемлемым показателем структуры, однако ее описание через один этот признак не является исчерпывающим. Понятие структуры применительно к тексту предполагает, наряду со связностью, еще один параметр – целостность объекта1. Это понятие заимствовано из естественных наук: свойство всего объекта не выводимо только из свойств отдельных элементов, из системы отношений между ними и не равняется простой арифметической сумме их свойств.
Специфические недостатки понятия «модальная личность» являются дополнительными по отношению к недостаткам понятия «базисная личность». Понятие базисной личности затрудняет рассмотрение вопросов о статистической частоте; понятие модальной личности – вопросов о структуре и образце. Как мы уже видели,
теория базисной личности, пользуясь отношением конфликта, связывает мотивы в сложные гомеостатические системы, которые трансформируются во времени, деформируясь и изменяясь соответственно тем давлениям, которые на них оказываются. Описание модальной личности может установить всего лишь основную тенденцию в частотном распределении значений какой-то одной переменной, в лучшем же случае должно довольствоваться установлением частоты проявления тех или иных комбинаций значений нескольких переменных. Так, например, Уоллесу удалось установить, что модальный тип личности, определенный по 21 параметру наблюдения в одной из индейских популяций, был свойствен лишь 37 % обследованной выборки (Wallace, 1952a). Такие комбинации, независимо от того, выявлены ли они с помощью простых методов корреляции и ассоциации, с помощью факторного анализа или же с помощью описанной Уоллесом методики модальной группы, не образуют сами по себе динамической структуры; они являются по сути дела таксономическими структурами. Динамическая структура (например, конфликтная структура), представленная той или иной конкретной комбинацией ценностей (например, в пятнах Роршаха), должна выводиться из формального интерпретативного кода. Кроме того, многие исследования модальной личности уязвимы перед статистической критикой процедуры выборки, отбора статистического показателя и обоснования вывода. Еще одна дополнительная слабость статистического подхода состоит в том, что этот метод требует крайней избирательности. В нем не схватывается все богатство человеческого опыта, ибо сам выбор статистического инструмента обычно означает, что в исследовании могут быть учтены лишь очень немногие параметры поведения и что они должны быть интегрированы в безжизненные абстрактные типы.
Классическому подходу («объективизму») противопоставляется неклассический («экспириенциализм»), который полагает формирование категорий не по правилам формальной логики, путем обобщения существенных свойств и отношений, а по правилам взаимодействия человека с действительностью, подчиненного решению определенных задач. Естественные категории функциональны и целостно содержательны, это оперативные единицы опыта (концепты, образы, гештальты) реальной жизни. Возникновение, функционирование и развитие категорий в значительной степени опираются на чувственный опыт и механизмы воображения. В отличие от формальной логики, образные явления обладают гештальт-качествами и экологической структурой (Лакофф, 2004). Принадлежность объекта к категории может быть описана с помощью аппарата нечеткой логики и теории нечетких множеств. У таких категорий нет жестких разделительных границ, функция принадлежности объекта множеству может принимать не только значения «все или ничего», но и промежуточные: объект может принадлежать множеству в некоторой степени, а границы категории становятся вероятностными. Формальные операции над нечеткими множествами позволяют описывать важные эмпирические результаты, полученные, например, в исследованиях категоризации цвета (Berlin, Kay, 1969; Kay, McDaniel, 1978). Согласно Лакоффу, универсальность тех или иных категорий для человека как вида, обнаруживаемая исследователями в
различных модальностях, есть функция общего предзаданного нейрофизиологического базиса и когнитивных структур, которые формируются в зависимости от культуры, опыта и индивидуальных различий. По мнению Дж. Остина (1999), в основе категоризации лежит определенная модель знания, сами же категории обладают прототипической структурой – собственной организацией, включающей ядро и периферию. Это позволяет образовывать категории не только путем учета совпадения свойств (признаков) объектов, но и путем учета их сходства или подобия. Между членами категорий нет равенства, но есть функциональная связь друг с другом, своего рода «фамильное» сходство.
Здесь на основе гегелевской «узловой линии мер» нами, посредством ее канонизации, был открыт закон строения пространства бинарных оппозиций[116], пространство каждой из которых представляет собой стоячую волну субстрата (вероятности, метрики, информации как ограниченного разнообразия, материи и т. п.). Один из перспективных путей построения общей теории гармонии с метрическим компонентом, активизирующий узловую линию мер в
ее канонической форме отношений единичного отрезка, позволяет найти и соответствующие инварианты, без которых, как таковых, никакая теория в принципе не состоятельна. Здесь инвариантами служат т. н. обобщенные золотые сечения (ОЗС), в динамике интегральных показателей систем выполняющие роль притягивающих точек, аттракторов на единой шкале, проявляющейся в превращенной форме узловой линии меры.
Примеров, показывающих неуниверсальность этого принципа, который в литературе получил название теоремы Пригожина – Глейнсдорфа, сейчас известно уже достаточно много. Поэтому я отношу принцип Онсагера – Пригожина – Глейнсдорфа, как и остальные классические вариационные
принципы, к числу важных утверждений физики и физикохимии, каждый из которых имеет свою вполне определенную область применимости. Что же касается принципа «минимума энтропии», который я ввел и использую в этой работе, то он не имеет прямого отношения к указанным выше принципам, не следует из них и представляет, с моей точки зрения, некоторое эвристическое утверждение, отвечающее тому, что мы наблюдаем в окружающем мире.
В нетопологических ГИС цифруются пространственные объекты, изначально не знающие друг о друге, и построение отношений между ними осуществляется в режиме постпроцесса. В топологических же ГИС фиксация топологических пространственных отношений между объектами (смежности, связности, вложенности и др.) является основой их конструкции.
Топологические системы являются более адекватным инструментом для создания цифровых карт, на основе которых можно производить различные аналитические и статистические операции. Топологические модели позволяют представить всю карту в виде графа. Площади, линии и точки описываются с помощью узлов и дуг. Каждая дуга идет от начального к конечному узлу. Известно, что находится справа и слева.
Второй аспект развиваемого мной взгляда на значение не столь обычен и имеет больше следствий. Два человека могут использовать набор взаимосвязанных терминов одинаковым образом, но применять в своей деятельности различные (в принципе совершенно несвязанные) наборы координат поля. Примеры приведены далее, а пока можно подумать над следующей метафорой. США могут быть нанесены на карту с помощью разных систем координат. Индивиды с разными картами будут определять положение, скажем, Чикаго, посредством различных пар координат. Но все они тем не менее будут устанавливать местонахождение одного и того же города, при условии, что карты масштабированы таким образом, что сохраняют относительное расстояние между элементами, нанесенными на карту. Метрика, сопутствующая каждому из различных наборов координат, должна, таким образом, быть выбрана так,
чтобы сохранять структурные геометрические отношения внутри нанесенной на карту территории[46].
Проблема значения в семиотике Лотмана – это проблема перекодировки. Художественное значение образуется благодаря тому, что элемент помещается в различные кодирующие системы, которые затем сопоставляются. Значение художественного элемента образуется на пересечении или даже при суммировании тех смыслов, которые элемент имеет в каждой отдельной системе. Роль кодирующих систем могут выполнять языки стилистических направлений, мировоззренческие дихотомии, точки зрения, социальные представления. Значение также образуется при установлении отношения параллелизма, повторяемости
или эквивалентности между элементами различных семиотических систем.
Образный аналог может быть представлен словесным описанием, рисунком и другими образными средствами. Его свойства могут быть описаны численными величинами. Образный аналог может быть построен как для отдельного конкретного объекта, так и для множества однотипных объектов. В последнем случае
имеем обобщенный абстрактный образ. Важно то, что основой образного аналога является чувственный образ. При решении конкретных задач рассматриваются не все свойства объекта, а только те, которые имеют отношение к решаемой задаче. Например, при решении кинематических задач для твердого тела необходимы только его геометрические характеристики (размеры и геометрическая форма). При решении динамических задач необходима еще и динамическая характеристика (масса).
Степень простоты и диапазон теории определяют присущую ей вероятность, а вероятность эта зависит от ее отношения к любым данным. Чем проще теория, тем более она вероятна. Простота теории, на мой взгляд, связана с тем, что она постулирует немногие (логически независимые) сущности, немногие свойства этих сущностей, немногие виды сущностей, немногие виды свойств (свойств, которые проще наблюдать), немногие независимые друг от друга законы с немногими понятиями, связывающими немногие переменные в наиболее математически
простые формулировки. Например, теория фундаментальных частиц будет простой в той мере, в которой она постулирует лишь немногие виды частиц с такими свойствами (например, масса и электрический заряд), которые мы можем наблюдать на примере других, более крупных, частиц, действие которых определяется простой математической формулой. Теория является более простой, а потому обладает большей предварительной вероятностью, в той степени, в которой она удовлетворяет этим критериям. Но часто случается так, что для того, чтобы быть возможно истинной, теория должна удовлетворять другому критерию (например, это может быть объяснительная сила), но сделать это может лишь не самая простая теория. Наилучшей теорией может оказаться не самая простая, но в отношении других вещей, при прочих равных условиях, сохраняется принцип: чем проще, тем более вероятно.
Синтаксические свойства информации выражают лишь внутренние отношения между элементами, их связями
и отношениями элементов множества самого по себе либо по отношению к таким же множествам[200].
Требование переходить от простого к сложному при рассмотрении какой-то совокупности объектов само по себе является неопределенным и примитивным назиданием скорее педагогического, чем методологического характера. В моей логической социологии оно, однако, приобретает вид работающего методологического приема. Суть его в двух словах такова. При исследовании сложных человеческих объединений необходимо выделить (найти) простейшие объекты (своего рода социальные атомы), путем комбинаций которых и эволюции этих комбинаций образуются прочие интересующие нас объекты. Грубо говоря, все сложное в мире есть нагромождение, комбинирование,
взаимодействие простого. Отношение простого и сложного имеет место в определенных рамках. Образование сложных объектов из простых происходит по определенным объективным законам – по законам социальной комбинаторики. На эту тему мы будем неоднократно говорить в дальнейшем.
Но если в любом исследовании всегда присутствует некоторый характерный интервал времени, то по отношению к нему мы можем провести (и всегда проводим) некоторое ранжирование или классификацию отдельных процессов. Например, в ряде случаев можно изучать функционирование объектов, считая их организацию неизменной, как в задаче об исследовании механических свойств кристалла. Это будет один вариант асимптотических теорий. В других случаях можно лишь игнорировать детали некоторых быстропротекающих явлений. Это будет другой тип асимптотических теорий. Поясним сказанное
на примере анализа изменения характеристик климатических процессов.
ОГК предполагает создание условных графических моделей, в которых частично сохраняется географическая ориентация традиционных (современных) карт и используются в качестве способов изображения и репрезентации способы изображения из математической (топологической) теории графов и т. н. диаграммы Венна (используемые, прежде всего, в логике). Образно-географическая карта
есть графический инвариант обобщенной (базисной) модели определенного ГО, при этом соответствующие этому ГО качества и параметры географического объекта с максимально возможной степенью плотности (интенсивности) «свертываются» в конкретные элементы такой карты (графически изображенные соотнесенные, связанные между собой архетипы, знаки и символы). Следовательно, образно-географическая карта в когнитивном отношении есть результат сгущения, концентрации знаний об определенном географическом пространстве в специфической знаково-символической форме.
Когда мы говорим о принципе, согласно которому для психического существуют единичные элементы, с одной стороны, и отношения между этими единичными элементами, – с другой, не следует думать, что это касается сложности соответствующих элементов. Нет,
сложные отношения между единичными элементами вполне могут стать, сами по себе, единичными элементами, а новые отношения между ними могут так и не быть построены. То есть, грубо говоря, человек имеет все шансы, обладая богатым пространством мышления, со временем скатиться обратно в плоскость мышления, лишенную действительной внутренней структуры. И в этом случае его личностное «я», сохраняя, возможно, определенное богатство своего содержания как интеллектуальный объект, в качестве специфической функции окажется почти ничтожным.
Равнозначные понятия (тождественные, эквивалентные, равнообъемные) различаются по содержанию, но объемы их совпадают (рис. 1). Все элементы объема одного понятия в этом случае –
одновременно элементы объема другого понятия. Существенные или отличительные признаки, присущие сравниваемым понятиям, принадлежат всем элементам множеств, составляющих их объемы. Примерами равнозначности могут служить отношения между классами равносторонних и равноугольных треугольников, а также между «законами природы» и «внутренними, существенными, устойчивыми, необходимыми, повторяющимися связями между явлениями».
Обратите внимание! Мы имеем полное право использовать данную классификацию даже в отношении произвольных матриц, так как мы не будем графически строить данные кривые, нас будет интересовать только вид кривой. Из курса алгебры хорошо
известно, что любые преобразования элементов матрицы не меняют знака определителя и не способны изменить его значения, если определитель равен нулю, что для нас важно и абсолютно достаточно.
В психологии понятие «структура» используется так же часто, как и в других науках. Оно употребляется применительно к психике вообще (К. Юнг, З. Фрейд), восприятию (М. Вертгеймер), памяти (К. Коффка), интеллекту (Б. Г. Ананьев, М. А. Холодная), личности (С. Л. Рубинштейн), мотивации (Х. Хекхаузен) и др. Думается, что именно в психологии различаются два подхода к пониманию структуры: первый характеризует ее как «относительно устойчивое единство некоторого множества взаимосвязанных элементов, характеризующее целостность соответствующего объекта… обеспечивает сохранение его основных свойств при различных внутренних и внешних изменениях» (Холодная, 2002, c. 247), согласно второму – структура рассматривается как «способ внутренней организации элементов объекта» (Глинский, Грязнов, Дынин, Никитин, 1965, c. 118), как «некоторый содержательно, качественно определенный тип системы отношений» (там же, с. 121). Иными словами, в одном случае акцент делается на системе компонентов, которые в своей взаимосвязи образуют структуру, а в другом – на характере
отношений, связей, зависимостей между компонентами.
В одних и тех же математических формулах могут быть описаны самые разнородные процессы – геометрические, форономические, фантастические; формулы энергетики в этом отношении ничем не отличаются от других формул. До этих пор анализ их приводит, поэтому, к математическим категориям, а эти последние уже предполагаются энергетикой. Впервые своеобразие понятий, выраженных в формулах, обусловливает то, что описанные отношения соответствуют действительным процессам природы. Очевидно, следовательно, что именно понятие энергии и ее факторов и есть то, чем определенное количеством и качеством образование выделяется как образование физическое. Сущность же этих физических образований заключается в том, что они сохраняют самостоятельное существование в пространстве и времени, что они действуют друг на друга и этим действиям подвержено и собственное наше тело. Закон, обусловливающий то, что предметы полагаются в связи вещей неизменными или изменяющимися во времени, оказывающими и воспринимающими воздействия,
называется понятием отношения. Следует, поэтому, ожидать, что в понятии энергии мы найдем категории отношения.
Четвертое положение развиваемой нами специальной теории индивидуальности касается проблемы связи индивидуально-психобиологических, т. е. формальных, и предметно-содержательных свойств индивидуальности человека. Нами предлагается импликативный подход к объяснению их взаимосвязи. В рамках этого подхода исследователь не должен оперировать отдельными, изолированными (дизъюнктивными, по терминологии А. В. Брушлинского) уровнями поведения: биохимическим, нейродинамическим, формально-динамическим, предметно-содержательным и т. д. без установления импликативных отношений между ними, т. е. без установления того, какой уровень является составной частью какого-то другого уровня (Брушлинский, 1970). Согласно этому
подходу, формальные свойства не существуют сами по себе, изолированно, а включаются в более «высокоорганизованные» структуры личности, в частности, включаются в интеллект и характер как необходимые компоненты динамических свойств этих структур.
Агентов и группы агентов Бурдье определял по их относительным позициям в пространстве. Агенты наделены свойствами, которые придают их обладателям силу, влияние и власть[19]. Последние понимаются в самом общем виде – как способность добиваться результатов. В объективированной форме эти свойства выполняют функцию капиталов, которые выступают как центры силы. Таким образом, социальное пространство, в интерпретации Бурдье, можно описать «как поле сил,
точнее, как совокупность объективных отношений сил, которые навязываются всем входящим в это поле и несводимы к намерениям индивидуальных агентов или же к их непосредственным взаимодействиям»[20]. Подобная трактовка позволяет дифференцировать социальное пространство по различным категориям. Универсальность характера сил, на которую указывал еще Флоренский[21], а также качественное разнообразие капиталов позволили Бурдье ввести понятие полей, которые в совокупности и составляют социальное пространство. От «основного» социального пространства поля отличаются только суженной типологией действующих в них сил, и потому нередко называются субпространствами, чем подчеркивается общность их природы. Такое строение социального пространства дало Бурдье основания предполагать возможности комбинации нескольких полей агентами, что соответствует различным вариантам срезов при анализе многомерного куба сложной информации.
Первая группа систем. Данную группу составляют системы, выделенные по форме познания. Системы данной группы делятся на два класса: абстрактные и конкретные, или так называемые материальные. Абстрактные системы основаны на умственном выделении общих существенных свойств и связей и отвлечении от других, частных, свойств их элементов и связей. В рамках абстрактных систем также выделяют три вида систем: изолированные (в которых вычленяются исследуемое свойство или связь (отношение) из некоторой целостности), обобщенные, дающие обобщенную характеристику
свойств и отношений элементов в системе, идеализированные, в которых происходит полное замещение реального эмпирического свойства и (или) отношения идеализированной схемой. Материальным, или конкретным, системам присущи единство, целостность их элементов во всем многообразии связей, отношений и свойств. Материальные системы делятся по составу элементов на системы неорганической природы (физические, геологические, химические, технические) и живой природы (биологические организмы, популяции, экологические системы).
Другая важнейшая характеристика развернутого высказывания – последовательность изложения. Наиболее распространенный тип последовательности изложения – последовательность сложных соподчиненных отношений – временных, пространственных, причинно-следственных, качественных (Н.П. Ерастов, 2003; Т.А. Ладыженская, 1980 и др.). Нарушение последовательности всегда негативно отражается на
связности речи. К числу основных нарушений последовательности изложения относятся: пропуск, перестановка членов последовательности; смешение разных рядов последовательности (когда, например, ребенок, в своем рассказе, не закончив описания какого-либо существенного свойства предмета, переходит к описанию следующего, а затем вновь возвращается к предыдущему и т. п.).
Поэтому Дж. Гибсон считает, что «неизменным объектам
соответствуют определенные инварианты оптической структуры, которые сами по себе лишены какой бы то ни было формы, а любому движению объекта соответствует свое особое возмущение оптической структуры – перспективное преобразование» (Дж. Гибсон, 1988, с. 350). Описывая же процесс восприятия, он говорит, что «происходит просто извлечение либо факта совпадения строя с самим собой, либо факта его диспаратности по отношению к самому себе, причем последний встречается чаще» (там же, с. 351).
Явления, которые мы воспринимаем непосредственно нашими чувствами и при помощи научных инструментов – то есть весь мир, изучаемый механистической наукой – представляют лишь фрагмент реальности, развернутый или эксплицитный (явный) порядок. Это особая форма, источником и генерирующей
матрицей которой является более фундаментальная всеобщность существования – свернутый или имплицитный (неявный) порядок, в нем эта форма содержится и из него возникает. В имплицитном порядке пространство и время уже не являются доминирующими факторами, детерминирующими отношения зависимости или независимости различных элементов. Различные аспекты существования значимо связаны с целым, они выполняют особые функции ради конечной цели, а не являются независимыми строительными блоками. Образ Вселенной напоминает, следовательно, живой организм, органы, ткани и клетки которого имеют смысл только в отношении к целому.
● наличие составных элементов (частей), из которых образуется система. Элемент рассматривается как минимальная единица, обладающая основным свойством данной системы и имеющая в ее рамках предел делимости. Выбор элемента как первичной единицы определяется характером и
задачами конкретной модели системы. Обычно для социальных систем элементом системы являются люди, их взаимодействия, отношения и связи;
Во втором случае это субъективная действительность, внутренний мир, данный субъекту в его отражении. И в третьем случае это интерсубъектное пространство, социальные и межличностные отношения, социальная действительность, существующая независимо от сознания каждого индивида в отдельности, однако обусловленная уникальной совокупной практикой данного конкретного социума, лишь для членов которого она выступает как объективная и неизменная. Тем самым мы можем от исторической схемы перейти к логической, в которой шесть логических определений смысла образуются пересечением трех возможных онтологических его характеристик и двух возможных функциональных характеристик. Наше убеждение в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности этих шести
логических определений, рассматривавшихся ранее как альтернативные, будет обосновано в последующих главах. Сейчас мы попытаемся лишь выделить в описанных подходах относительно инвариантные положения, повторяющиеся независимо друг от друга в разных концепциях, ориентирующихся на разные логические определения смысла.
В литературе приводится множество иных признаков и свойств информации, которые находятся за пределами ее легального определения. Так, Ю. И. Черняк, анализируя экономическую информацию, приходит к выводу о
существовании пяти ее важнейших свойств: полезности, наличия в информации смысла, знаковой воплощенности, перерабатываемости в определенной алфавитной системе по соответствующим грамматическим правилам, способности воплощаться в различные сигналы и восстанавливаться из них[13]. В. Н. Лопатин, выделяя основные признаки информации, принципиальные, с его точки зрения, для целей правового опосредования отношений по ее поводу, называет в их числе идеальность, неисчерпаемость, количественную определенность, нелинейность, системность, обособленность[14].
Когнитивная гибкость – это гибкость мышления и в первую очередь связана с дивиргентностью мышления. На сегодняшний день разработан большой класс диагностических методик для выявления дивергентного мышления, они разработаны на основе кубической модели структуры интеллекта Дж. Гилфорда и в них задействованы прежде всего следующие размерности: содержание (образное, символическое, семантическое) и результаты
(элементы, классы, отношения, системы, преобразования, выводы). Наибольшей популярностью пользуются следующие тесты:[47]
Анализ справочных изданий по психологии проводился с первого отеч. Психологического словаря Б. Е. Варшавы и Л. С. Выготского (1931). Понятия О. и К. в этом словаре отсутствуют, а «гипотеза взаимодействия» определяется как «идеалистическая гипотеза о взаимном влиянии телесных и душевных процессов друг на друга в отличие от гипотезы психофизич. параллелизма». След. попытка создать психол. словарь после почти сорокалетнего перерыва принадлежит К. К. Платонову (Краткий психологический словарь-хрестоматия, 1971). Термина К. в нем нет, а понятие О. определено как «осознанные связи людей, входящих в любую человеческую общность». При этом К. К. Платонов опирается на определение, данное Б. Д. Парыгиным, к-рое гласит, что понятие О. употребляется в узком смысле для характеристики наиболее непосредственных (лицом к лицу) отношений людей между собой в условиях малой группы. В этом определении впервые появляется филос. категория «отношение», к-рая характеризует взаимозависимость
элементов опр. системы. Из определения категории «отношение» следует, что О. не может определяться только через эту категорию – кроме взаимосвязи оно должно характеризоваться еще взаимодействием и взаимообменом.