Связанные понятия
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Упоминания в литературе
В одной из версий структурного типа, стремящейся охватить всё
многообразие группы, эта последняя, выделенная в результате типизации объектов, и обозначается как «тип», его проявления – не конкретные организмы, а скорее формы как таковые (Типология и классификация…, 1982). Простейшим воплощением такого типа таксона служит совокупность объединяющих и отличающих признаков группы, формой представления – некая таблица или решётка, в которой указаны эти признаки (Мейен, 1978, 2007; Васильева, 1989).
Особенно важно понимание наличия границ существования и развития идеального в человеческой культуре, в историческом, актуальном и будущем многообразии конкретных человеческих культур. Пример – рациональная философия и наука как системы развиваются и стали укорененными только в конкретных культурах. В настоящее время они воспроизводятся и развиваются в ряде культур Европы, России, Северной Америки. Для других культур они (пока?) инородны, внешни, искусственны. То есть, цивилизационное «тело», являющееся, наряду с биопсихосоциальной природой антропности, социально-культурной «материей» человечества, может оказываться благоприятной или неблагоприятной средой для функционирования и развития тех или иных форм (типов) идеального, в частности, для науки. Конкретная цивилизационно-культурная традиция «поддерживает» (способна «поддержать»)[125] лишь
конкретный набор идеальных компонентов. Существует культурная конкретность информационных полей и потоков, способов осмысления информации и оперирования ею, соотношения объективно сущей и субъективной (человеческой) информации, а также для рассуждений о сочетании ситуативных и перспективных типах информационной реальности, реальных и виртуальных информационных мирах. Инородные компоненты идеального не приживаются либо, напротив, приводят к стагнации тела культуры. Так происходит, например, с идеологией либерализма и индивидуализма в российской, китайской, японской, индийской и иных культурах. При этом, те культуры, которые нашли способ оградить себя от инородного воздействия, оказываются способными к дальнейшему развитию (Япония, Китай), а те, которые не смогли этого сделать, как это произошло в России, продолжают разрушаться под их воздействием. Поскольку «кристаллическая решетка» культуры, ее традиция (идеальный компонент традиции) в его конкретном здесь-и-теперь виде не бесконечно-морфен и не бесконечно-адаптируем к различным формам и видам иного идеального сущего (внутри себя и среды), как и любое иное природное образование.
ППМ абстрагирует качество пространственности, а потому описывает уровень целостности сознания и обеспечиваемого им мировосприятия, а потому задает научную парадигму в куновском смысле (как совокупность представлений, положений, законов и правил и проч.). ППМ – это своеобразный алгоритм мышления (ср. кантовское: пространство – априорная форма рассудка), некая кристаллическая решетка, которая отражает развитие психики человека, а, соответственно, форму и внутреннее содержание продуктов его творческой деятельности. «Любые законченные организованные образования в психике – теории, каноны, уравнения, философские системы, физические модели, композиции художественных, музыкальных произведений и т. д. – подчиняются основным законам композиции – устойчивой формы организованного существования отраженного и порожденного материала в психике человека. Более того, самим своим существованием все эти объективные (подтвержденные практикой) формы проявления структуры психики – теории, произведения, формулы, системы управления и т. д. – раскрывают и подтверждают законы организации материала в психическом пространстве. Изучая объективные формы проявления организованного материала психики, мы изучаем законы организации психологического пространства человека»[88].
Число размерностей ППМ определяет качество мировоззренческой картины человека, качество создаваемых им продуктов в различных сферах жизни и качество самого человека, фиксируя уровень его личностного развития. Парадигма пространственной многомерности – это мера, которая объединяет количественный и качественный аспекты бытия.
Приведенный пример с суппортом очень
прост. Как правило, характер связей и взаимовлияний бывает значительно более сложным. Так, кёлеровская обезьяна не может просто увидеть, что для решения годится только палка, что пучок соломы будет гнуться, а шляпа не пролезет между прутьями решетки. «В процессе труда человек должен учитывать не только внешние свойства предметов, но и меру их «расшатывания» – те внутренние их связи, учет которых позволяет изменить их свойства, форму и переводить из одного состояния в другое. Эту меру нельзя выявить до практического преобразования предметов и без него, т. к. только в этом процессе она себя и обнаруживает» (Давыдов, 1972, с. 250).
Марксистская «научная философия», непрерывно стагнируя, постепенно скатилась до играющей понятиями схоластической доктрины, не способной не только научить чему-либо, как к тому обязывало ее название, но и обнаруживать в себе способность сколько-нибудь внятно выражать состояния универсума. Если исключить из поля зрения небольшой круг работ, не относящихся к собственно марксизму, но нашедших в нем отдушину для возможности обнародовать нетривиальные идеи по методологии познания (уход философии в «методологизм» – для авторов этих работ был возможностью скрыться, избежав поимки «решеткой» косных установок), то различие между подлинной философией и философией «марксистской» оказалось гораздо большим, чем между литературой и превращающей ее в ничто критикой (а именно на критику, на разрушение конструктивных доктрин уходила значительная часть интеллектуального потенциала ее «жрецов»), между конструктивностью и тривиальной, соседствующей с чистой негацией деструктивностью, между, к примеру, пифагорейцами и скептиками или даже киниками. Это различие между методами и псевдометодами, между общей истиной бытия, выраженной предельно простым языком
количественных отношений меры как инвариантных отношений объективной действительности – с одной стороны, и отсутствием истины, более того, невозможностью приблизиться к ней ввиду злокачественно заложенной в ее генетический базис отношений безмерия, изначально обрекающих ее вращаться в круге схоластических упражнений – с другой. Не о таком ли роде бесплодного философствования высказывался К. Маркс в «Немецкой идеологии»? Выхолощенное и вырожденное самодовлеющее философствование – отмечал он – находится в таком же отношении к положительной науке как онанизм к половой любви. Судя по его большому семейству, он, прибегая к такому сравнению, по-видимому, знал толк в том и другом.
Растр – прямоугольная решетка – разбивает изображение на составные однородные далее неделимые части, называемые пикселами, каждому из которых поставлен
в соответствие некоторый код, обычно идентифицирующий цвет в той или иной системе цветов (цветовой модели).
Можно привести пример. На столе лежит карандаш. Как бы его охарактеризовали представители разных наук? Физик увидел бы физическое тело определенной массы, оказывающее давление на поверхность стола (если карандаш сделать из чего-то очень тяжелого, то поверхность не выдержит и проломится), или задумался бы об атомах, из которых оно состоит. Почему эти атомы стабильны, а те, которые образуются при ядерном взрыве, – нет? Химик обратил бы внимание на состав карандаша: оправа и графит (углерод)? Алмаз – тоже углерод, но им нельзя писать, как графитом. Почему? Потому что у них разные кристаллические решетки. Итак, физик видит карандаш как физическое тело, а химик – как вещество.
2
. Основой структуры металла является кристаллическая решетка, в узлах которой расположены ионы.
Связанные понятия (продолжение)
Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле...
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру (подгруппа, подкольцо, в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы), показывающая степень некоммутативности групповой операции.
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...
Расшире́ние Галуа ́ — алгебраическое расширение поля E/K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения ).
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...
Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.
Гру́ппа Галуа ́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают.
Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Локальные кольца — кольца, которые относительно просты и позволяют описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.
Подробнее: Локальное кольцо
Тополо́гия Зари́сского , или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
Подробнее: Кручение (алгебра)
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Симплициальный компле́кс , или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).
Топологическое векторное пространство , или топологическое линейное пространство, — векторное пространство, наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).