Математика

Матема́тика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά < μάθημα «изучение; наука») — наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории. Исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Функциональная структура понятий не составляет специфической особенности чистой математики (арифметики, алгебры). Она свойственна в одинаковой мере и ее остальным отраслям, а также области математически обоснованного естествознания. Не только понятие отвлеченного члена, но также и основные понятия геометрии, механики, физики, химии (как, например, понятия пространства, времени, атома, химического элемента) постепенно утрачивают в современной науке (или уже утратили вполне) свой субстанциальный характер и превращаются в функциональные понятия, в понятия отношений. В области геометрии первый шаг в этом направлении сделал Декарт, которому удалось при помощи открытой им аналитической геометрии свести основные отношения пространства на отношения чисел. Впоследствии дифференциальная и проективная геометрии и новейшие учения о пространственных многообразиях высшего порядка завершили этот логический процесс, представив исчерпывающее доказательство тому, что все пространственные образования, равно как и само пространство, целиком сводятся для научной мысли к известным функциональным отношениям, точнее, к различным типам функциональных отношений, находящих свое адекватное выражение в закономерно развивающихся рядах численных значений.

Коллектив авторов, Новые идеи в философии. Сборник номер 5, 2015

Направленность аналитического расчленения проблемы для ее последующего синтеза – важнейшая характеристика понимания в процессе математического мышления. Обсуждая два способа понимания в математике (топология и абстрактная алгебра), на это указывал известный немецкий математик Г. Вейль. В математическом исследовании различные стороны предмета подвергаются естественному разделению. Сначала каждая сторона задачи осваивается в отдельности, исходя из особого, сравнительно узкого и легко обозримого набора предположений. Затем математик возвращается к целому, подходящим образом объединяя частные результаты в сложное единство (Вейль, 1989).

Коллектив авторов, Принцип развития в современной психологии, 2016

Направленность аналитического расчленения проблемы для ее последующего синтеза – важнейшая характеристика понимания в процессе математического мышления. Обсуждая два способа понимания в математике (топология и абстрактная алгебра), на это указывал известный немецкий математик Г. Вейль. В математическом исследовании различные стороны предмета подвергаются естественному разделению. Сначала каждая сторона задачи осваивается в отдельности, исходя из особого, сравнительно узкого и легко обозримого набора предположений. Затем математик возвращается к целому, подходящим образом объединяя частные результаты в сложное единство (Вейль, 1989).

В. В. Знаков, Психология понимания мира человека, 2016

Вера Рассела в могущество логики и логического анализа вполне объяснима. Как и Фреге, он был математиком, обратившимся к философии в связи с проблемой оснований математики. Как и Фреге, он увлекся логицистской идеей сведения всей «чистой» математики к логике. Когда в 1900 г. Рассел на Международном философском конгрессе познакомился с результатами Дж. Пеано по аксиоматизации арифметики, его программа построения всей математики как единой дедуктивной системы, опирающейся на минимальное количество понятий и основоположений, которые могут быть соответственно определены в логических терминах и выведены из чисто логических принципов, приняла вполне осязаемые очертания. В ходе осуществления этой программы Рассел построил формальный логический язык[17], который в своих принципиальных чертах совпадал с языком, используемым в этих же целях Фреге, но были и некоторые важные различия. Во-первых, Рассел стал применять более простую и наглядную, чем у немецкого логика, систему записи выражений формального языка, которая сохраняется до настоящего времени. Во-вторых, хотя Рассел, подобно Фреге, для описания логической структуры суждения использовал понятие функции, он сохранил для нее традиционное название «предикат». В-третьих, его логическая система содержала такой важный компонент, как «теория типов», созданная им для преодоления парадокса[18], который он обнаружил в теории множеств весной 1901 г. и который впоследствии был назван его именем. Однако наиболее важные изменения коснулись интерпретации формального языка и созданной в этих целях теории значения.

Л. Б. Макеева, Язык, онтология и реализм, 2011

Нильсу Бору принадлежит известное высказывание о том, что описать процессы, протекающие в окружающем мире, с помощью одного языка невозможно. Необходимо много разных языков описания, в каждом из которых яснее проявляются те или иные особенности изучаемого явления. Понимание, необходимое человеку в его практической деятельности, требует рассмотрения предмета с разных позиций. Проблема понимания – это вечная проблема. Она стоит перед философией и другими науками со времен древних греков и носит не только идеологический, но и психологический характер. И сформулированный тезис Бора достаточно общепринят: вопросы интерпретации всегда занимают в любой научной дисциплине весьма важное место. Интерпретация особенно нужна при изучении проблем развития, где разнообразие материала делает становление понимания Особенно трудным. Различные интерпретации процесса самоорганизации, позволяющие рассмотреть его в разных ракурсах, дают возможность более отчетливо представить себе то общее, что присуще разным формам движения, и те различия, которые определяют необходимость непрерывного расширения средств анализа. Одна из таких интерпретаций связана с вариационной трактовкой принципов отбора. В 1744 г. французский математик и физик Мопертьюи обратил внимание на то, что законы Ньютона допускают вариационную формулировку. Другими словами, он показал, что движение, совершающееся по законам Ньютона, обеспечивает экстремальное значение некоторым функционалам. Будучи сыном своего века, он придал этому факту определенный телеологический смысл. Позднее появилось много других вариационных принципов: принцип наименьшего действия Гаусса, принцип Гамильтона – Остроградского, принцип виртуальных перемещений и т. д. Сначала вариационные принципы были открыты в механике, а затем в электродинамике и в других областях физики. Оказалось, что все основные уравнения, с которыми оперирует физика, определяют траектории, являющиеся экстремалями некоторых функционалов.

Н. Н. Моисеев, Алгоритмы развития, 1987

Что касается методов, характерных для теоретического исследования, выделим следующие. Формализация – это построение абстрактно – математических моделей, когда рассуждения о предмете переносятся в плоскость оперирования со знаками (формами), тогда производится вывод новых форм по правилам логики и математики. При аксиоматическом методе производится логический вывод на основе каких-либо заранее принятых без доказательства аксиом. Так была построена вся геометрия Евклида и даже «Этика» Спинозы. В развитой науке аксиомы предлагаются как некоторая предполагаемая к исследованию система отношений, отвлеченных от их носителя и исследуемых аппаратом математической логики. Возможности этих методов также не безграничны (как это казалось до середины 30-х годов, когда была открыта знаменитая теорема Геделя). В науках, так или иначе имеющих эмпирическую основу, более эффективным является гипотетико-дедуктивный метод. Сущность его – в создании системы связанных между собой гипотез, из которой дедуктивным образом выводятся эмпирически проверяемые (и тем самым свидетельствующие об истинности общей теории) следствия. Этим путем шло развитие и подтверждение теории относительности, а анализ определенных следствий из нее задал целые направления современной науки.

В. Г. Торосян, Концепции современного естествознания, -1

Любая попытка дать краткое объяснение этих причин неизбежно приведёт к неполной и неточной формулировке. Если всё же заранее согласиться на это, то можно сказать следующее: математика предлагает весьма общие и достаточно чёткие модели для изучения окружающей действительности, в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками; действительность же так усложнилась (как за счёт познания новых её сторон, так и за счёт создания человеком новых её форм), что без упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь одну сторону явления моделей ныне не обойтись. Появление таких моделей в какой-либо отрасли науки свидетельствует о том, что система понятий этой отрасли уточнилась настолько, что может быть подвергнута строгому и абстрактному, т. е. математическому, изучению. Такое изучение, в свою очередь, играет решающую роль в дальнейшем уточнении понятий, а следовательно, и в успешном их применении. Математическая модель нередко задаётся в виде особого «языка», предназначенного для описания тех или иных явлений. Именно так, в виде языка, возникли в XVII в. дифференциальное и интегральное исчисления. Важнейшим примером математического языка, описывающего количественную сторону явлений, служит «язык цифр»; вот почему упомянутый выше вычислительный аспект математики как производный от её основного языкового аспекта мы назвали вторичным. Замечательно, что, хотя математическая модель создаётся человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения; познавая её свойства, мы тем самым познаём и свойства отражённой моделью реальности.

В. А. Успенский, Апология математики (сборник статей), -1

Раздел математики, сейчас называемый «математический анализ», в старые годы был известен под названием «дифференциальное и интегральное исчисление». Отнюдь не всем обязательно знать точное определение таких основных понятий этого раздела, как производная и интеграл. Однако каждому образованному человеку желательно иметь представление о производном числе как о мгновенной скорости (а также как об угловом коэффициенте касательной) и об определённом интеграле как о площади (а также как о величине пройденного пути). Поучительно знать и о знаменитых математических проблемах (разумеется, тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) – решённых (таких как проблема Ферма и проблема четырёх красок[2]), ждущих решения (таких, как проблема близнецов[3]) и тех, у которых решения заведомо отсутствуют (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритмов). Ясное понимание несуществования чего-то – чисел ли с заданными свойствами, или способов построения, или алгоритмов – создаёт особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного. И культура невозможного, и предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления.

В. А. Успенский, Математическое и гуманитарное. Преодоление барьера, 2011

По мере того, как идеи фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта постепенно вышли за рамки естественнонаучного дискурса, фрактальный анализ стал действенным методологическим инструментом в гуманитарной математике, в т. ч. в урбанистике и социологии города. Как отмечал теоретик постмодернистской архитектуры Чарльз Дженкс, концепция Мандельброта открыла перспективу для выявления «нового порядка в организации городского пространства, который, словно тропический лес, всегда основан на самоподобии <…>, но является более эстетически-чувственным и удивительным, чем простое воспроизведение одних и тех же элементов»[61]. В рамках «фрактального» подхода города рассматриваются как фракталы и мультифракталы, т. е. как рекурсивные самоподобные объекты, которые имеют дробную размерность и состоят из паттернов, повторяющихся в той или иной степени на разных структурных уровнях.

Е. В. Николаева, Фракталы городской культуры, 2014

Методологическая и одновременно онтологическая идея прерывности получила в XX веке серьезную поддержку в связи с квантовой механикой и изучением микромира. В отличие от классических представлений, было выяснено, что энергия излучается квантами, электронные состояния образуют дискретную последовательность уровней, разрабатывались концепции квантованного пространства – времени. Хотя одновременно наряду с этим у микрочастиц были обнаружены и волновые свойства, что привело к формулировке тезиса о корпускулярно-волновом дуализме. Вообще физика и математика естествознания начиная с XVII столетия развивались в удивительной генетической близости. Уже с самого начала, как обсуждали мы выше, понятия дифференциала и касательной были специально выработаны для выражения интуиции мгновенной скорости, скорости в точке. Эта связь математики и физики оставалась прочной и в дальнейшем. Теоретико-множественная перестройка математики в XX веке оказывала характерное влияние и на физику, причем к концу столетия это влияние стало явно усиливаться. В отечественной физике появилась теория физических структур Ю. И. Кулакова, которая, по признанию самого автора, представляет собой «бурбакизацию» физики. В аналогичном же направлении разрабатывает свою теорию бинарных физических структур и Ю. С. Владимиров. Несмотря на то что философские и методологические установки этих двух авторов различны – Кулаков ориентирован на Платона, Владимиров – больше на Аристотеля, для первого важна непрерывность, а второй может обойтись и без нее, – исходная точка их рассуждений общая: некоторая теоретико-множественная конструкция[46].

В. Н. Катасонов, О границах науки, 2017

Вокруг вариационных принципов развернулись споры. Физиков, математиков и философов (особенно последних) смущало то, что эти принципы можно трактовать в качестве проявления некоторой высшей целесообразности. Даже в 30-е годы XX века еще шли дискуссии по поводу вариационных принципов, причем порой они носили весьма жаркий характер. Однако постепенно эти споры сами собой прекратились. Причиной тому послужило более глубокое изучение прлроды дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы и их связи с вариационными принципами. Оказалось, что практически для любого из уравнений, которые являются выражением того или иного закона сохранения, может быть составлен такой функционал (зависящий от фазовых координат системы), что для него эти уравнения являются уравнениями Эйлера. Другими словами, их решения являются экстремалями. На этих траекториях соответствующий функционал достигает своих экстремальных (или стационарных) значений. Это результат чисто математический, но он имеет глубокий философский смысл. В самом деле, живи мы в другой Вселенной с другими физическими законами, все равно там были бы свои вариационные принципы и своя «высшая целесообразность».

Н. Н. Моисеев, Человек и ноосфера, 1990

Исследование таких идеальных объектов во многом определило современный вид логики (и истории) познания и знания, его методологии, посредством фундаментальных наук побеждает логический рационализм, ставший традицией. Логика познания определяется главной его целью – поиском инвариантного параметра взаимодействия (масса, заряд, т. п.). Причем, в качестве примера можно взять любую другую область физики или химии, которые преимущественно обслуживает математика как формализованная логика. Очевидно, что здесь мы останавливаемся на полпути познания, не переходим к конкретным объектам и даже на уровне освоения физической реальности переход к конкретным объектам выводит за пределы этой методологии и логики фундаментальных исследований в специфическую область прикладных наук.

Александр Селиванов, Развитие объектов. Наука управления будущим, 2016

Автором термина «синергетика» является Герман Хакен (р. 1927), немецкий физик-теоретик, хотя задолго до него Ч. Шеррингтон называл синергетическим, или интегративным, согласованное воздействие нервной системы (спинного мозга) при управлении мышечными движениями. Убедившись на практике исследований сложных систем в ограниченности по отдельности как аналитического, так и численного подхода к решению нелинейных задач, И. Забуский в 1967 году пришел к выводу о необходимости единого «синергетического» подхода, понимая под этим «…совместное использование обычного анализа и численной машинной математики для получения решений разумно поставленных вопросов математического и физического содержания системы уравнений». Определение термина «синергетика», близкое к современному пониманию, ввел Г. Хакен в 1977 году в своей книге «Синергетика».

В. Н. Иванов, История и философия науки. Материалы к курсу лекций, 2016

Математическое образование детей с нарушениями речи по мнению В. И. Бельтюкова – это процесс, строящейся на основе «генетической программы, связанной с саморазвитием», при которой «Природа начинает свою общеобразовательную деятельность с самого общего и кончает наиболее частным», как писал Я. А. Коменской. Поэтому процесс формирования элементарных математических представлений следует рассматривать в фило– и онтогенезе. Это позволит студентам, педагогам и родителям широко взглянуть на проблему математического развития детей, как составную часть культурного развития человека. За частной проблемой обучения основам математики просматривается глобальная философская проблема – проблема общности людей, имеющих общие «истоки» во всем, в том числе и в математическом развитии. В этом смысле математика может быть образно названа «международным» языком общения, так как даже на элементарном уровне коммуникации наиболее доступными знаками, символами для общения оказывается «пальцевый счет», показ цифр, времени на часах, ориентировка на различные геометрические фигуры и т. п.

С. Ю. Кондратьева, Дискалькулия у детей: профилактика и коррекция нарушений в овладении счетной деятельностью, 2013

Достигнутое соответствие, разумеется, представлялось более чем удовлетворительным для тех, кто его достиг. За исключением некоторых проблем движения Земли, ни одна другая теория не могла достигнуть подобного согласия с экспериментами. Ни один из тех, кто сомневался в обоснованности труда Ньютона, не делал этого в силу того, что этот труд был недостаточно согласован с экспериментом и наблюдением. Тем не менее ограниченность данного соответствия оставляла множество заманчивых теоретических проблем для последователей Ньютона. Например, требовались особые теоретические методы для истолкования движения более чем двух одновременно притягивающихся тел и исследования стабильности орбит при возмущениях. Проблемами, подобными этим, были заняты многие лучшие европейские мыслители на протяжении XVIII и начала XIX веков. Эйлер, Лагранж, Лаплас и Гаусс посвятили свои самые блестящие работы совершенствованию соответствия между парадигмой и наблюдением небесных явлений. Многие из этих мыслителей в то же время работали над прикладными проблемами применения математики в областях, о которых не могли думать ни сам Ньютон, ни его современники из континентальной школы механиков. Они написали множество работ и развили весьма мощный математический аппарат для гидродинамики и для решения проблемы колебания струны. В процессе решения этих прикладных проблем была осуществлена, вероятнее всего, наиболее блестящая и трудоемкая из научных работ XVIII столетия. Другие примеры можно почерпнуть из обзора постпарадигмального периода в развитии термодинамики, волновой теории света, электромагнитной теории или других отраслей науки, в которых фундаментальные законы получили законченное количественное выражение. По крайней мере в наиболее математизированных науках основная часть теоретической работы состояла именно в этом.

Томас Кун, Структура научных революций, -1

Знание, применяемое в практических целях обществом, становится общественным знанием. Общественное знание – это средство дальнейшего развития и самосохранения общества. Поэтому общество не может произвольно применять или не применять знание. Оно побуждается к применению знания объективной необходимостью. Практически применимы только знания, а не заблуждения. Современное общество не может существовать без практического применения математики, кибернетики, классической и квантовой механики, химии, биохимии, всех, без исключения разделов физики и т. д. Поэтому общественное применение знания – это решительный, окончательный критерий относительной объективной истинности или, проще говоря, состоятельности, верности знания. В этом смысле общественное применение знания превосходит научный эксперимент, который является только проверкой верности знания. Общественное применение, в отличие от эксперимента, утверждает знание как средство дальнейшего развития и самосохранения общества. В этом же смысле общественное применение знания превосходит формальную логику. Например, можно что угодно говорить о логической противоречивости или непротиворечивости аксиом евклидовой геометрии, но этот раздел геометрии более двух тысяч лет верно служит человечеству. Общественное применение отвергает любые заблуждения, любые пустые выдумки, как, например, были отвергнуты теория флогистона и различные версии вечного двигателя. Более сложные и менее состоятельные теории отвергаются и заменяются более простыми и более состоятельными. Так, например, была отвергнута птолемеева теория движения планет и заменена современной теорией солнечной системы. Простота современной теории обеспечена лишь тем, что начало отсчета перенесено с Земли на Солнце. А если начало отсчета было бы помещено на Луне, то у нас, возможно, и до сих пор не было бы теории солнечной системы.

Л. С. Якунин, Философские вопросы науковедения, 2017

Что же обеспечивает естественным наукам высокую надежность, общий язык (он же способность договариваться и принимать всем сообществом некую теорию, как истинную) и однозначность понятий и выводов? Расхожим мнением на этот счет, мнением, которого придерживаются и многие участники этой конференции (судя по названиям докладов), является представление о том, что все это достигается за счет применения математики в естественных науках. И, следовательно, единственный путь синтеза – это математизация гуманитарных наук. Но, во-первых, возможность математизации ограничена принципиальным отсутствием количественной меры для подавляющего большинства понятий гуманитарных наук. Не существует килограммов, метров и т. п. любви, справедливости и т. д. Во-вторых, идущее от Канта представление о том, что «В каждой науке столько науки, сколько в ней математики», попросту неверно. Использование методов естественных наук для прикрытия «научной имитации» выражается, прежде всего и более всего, в использовании для этой цели математики. Можно взять любую самую бредовую идею и украсить ее сколь угодно высокой математикой. Математикой украшают себя астрологи, нумерологии и прочие шарлатаны. Применение математики само по себе не имеет никого отношения к соответствию теории описываемой ею действительности, опыту.

А. М. Воин, Наука и лженаука, 2015

Особенно большое распространение в статистической науке получили такие направления математики, как теория вероятностей и математическая статистика. В статистике употребляются операции, которые прямым образом рассчитываются с помощью правил теории вероятностей. Это выборочный метод наблюдения. Основное из этих правил – ряд теорем, выражающих закон больших чисел. Суть этого закона заключается в исчезновении в сводном показателе элемента случайности, с которой связаны индивидуальные характеристики, по мере объединения в нем все большего их числа.

Н. В. Коник, Общая теория статистики: конспект лекции, -1

«Однако, какая теория, будучи сама по себе интеллигибельной, обладала бы вечной ценностью. Если бы она была истинной не по ее наблюдаемым следствиям, а только „с точки зрения ее внутренней сущности“, то дальнейший опыт не мог бы внести никаких изменений в нашу веру в ее истинность» (Франк, 1960, с. 99). Это суждение высказано известным специалистом по физике и математике, который, так же как С. Л. Рубинштейн, хотя и с иных позиций, сомневался в конструктивности внутренней сущности самой по себе теории. Фактически приведенное определение системы науки относится скорее к объектам ее изучения, когда действительно ученым удается в результате многочисленных исследований установить целостность некоторого объекта – человеческого организма и т. д. Но тогда эта целостность должна доказываться совокупностью разных исследовательских процедур – и теоретических, и разнообразных эмпирических, – которые не укладываются в целостную и тем более константную систему. У структуры науки нет аналогии с самой действительностью, ее объектами, хотя она их объявляет фактами. Для осмысления этой проблемы С. Л. Рубинштейн обратился к анализу теорий Г. Когена, Н. Н. Ланге и Э. Шпрангера. Рубинштейн обращается к понятию системы, которое в качестве центрального много позже и в совершенно иной интерпретации было разработано Б. Ф. Ломовым в созданном им системном подходе (Ломов, 1984). Понятие системы исторически возникло до Рубинштейна и до ломовского системного подхода, важно, что именно его привлечение наметило пути решения и самой гносеологической проблемы, и проблемы методологии наук в целом[16].

А. Н. Славская, Основы психологии С. Л. Рубинштейна. Философское обоснование развития, 2015

Научные исследования В. П. Ермакова были посвящены теории рядов, обыкновенным дифференциальным уравнениям, уравнениям с частными производными, вариационному исчислению, теории специальных функций и алгебре. Впервые российские математики узнали о нем на III съезде русских естествоиспытателей и врачей в 1871 г. Сообщение 26-летнего Ермакова, посвященное открытому им общему признаку сходимости числовых рядов с положительными членами, было тепло встречено известными математиками П. Л. Чебышевым, В. Г. Имшенецким, Е. И. Золотаревым. Его работу «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» опубликовал журнал «Университетские Известия Университета св. Владимира» (1872). Данный признак сходимости рядов имеет фундаментальное значение для развития теории рядов. Ныне он носит имя В. П. Ермакова и включен в курсы по математическому анализу в высших учебных заведениях.

О. А. Гапоненко, Ученые, прославившие Беларусь, 2017

Дж. С. Милль (1806–1873) в своей работе «Система логики» и некоторых других сформировал методы научной индукции на основании установления причинных связей. В этот период логикой серьезно заинтересовались многие математики. Д. Буль (1815–1864), написавший «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей», истолковал умозаключение как результат решения логических равенств. Г. Фреге (1848–1925) применил логику для исследования оснований математики, изложив свои взгляды в целом ряде работ, например, «Смысл и денотат», «Понятие и вещь», «Мысль: Логическое исследование», «Исчезновение понятий».

С. С. Антюшин, Логика, 2013

Один из парадоксов развития всякой научной дисциплины состоит в том, что её теоретические основания на каждом этапе её развития в силу неких логических ограничений оказываются разработанными в меньшей степени, чем те частные концепции, которые над этими основаниями надстроены. Получается, что возводят стены здания науки, не укрепив должным образом его фундамент. Прекрасный пример этому даёт математика, где вся строгость доказательств, нередко выдаваемая за идеал научности, базируется на весьма шатком фундаменте тех или иных базовых аксиом, формируемых на основе интуитивного личностного знания (Френкель, Бар-Хиллел, 1966; Перминов, 2001). То же – в систематике: разного рода технические решения методических вопросов обычно выдаются за прогресс таксономических исследований, тогда как собственно начала систематики, анализ того, что должна отражать таксономическая система и на каких общих принципах она должна строиться, остается на заднем плане.

И. Я. Павлинов, Биологическая систематика: Эволюция идей, 2011

ЛСД-пациенты, искушенные в математике и физике, неоднократно сообщали, что во время психоделических сеансов они достигали вдохновенных прозрений в суть различных концепций и построений, которые невозможно представить или визуализировать в обычном состоянии сознания. Имеется в виду, например, римановская геометрия шмерного пространства, пространство-время Минковского, неэвклидова геометрия, коллапс законов природы в черной дыре, специальная и общая теории относительности. Искривление пространства и времени, бесконечная, но самозам-кнутая Вселенная, взаимозаменяемость массы и энергии, различные порядки бесконечностей и нулей – все эти сложные понятия математики и физики были субъективно пережиты и качественно по-новому осмыслены некоторыми из пациентов. Оказалось даже возможным обнаружить прямые эмпирические корреляты для знаменитых уравнений Эйнштейна, основанных на преобразованиях Лоренца. Эти наблюдения настолько поразительны, что наводят на мысль о возможном будущем проекте, в котором выдающиеся физики будут иметь возможность испытать психоделические состояния для теоретического вдохновения и творческого решения проблем.

Станислав Гроф, За пределами мозга. Рождение, смерть и трансценденция в психотерапии, 1985

Более благоприятные условия для развития символической логики сложились во второй половине XIX в. К этому времени математизация наук достигла значительного прогресса, а в самой математике возникли проблемы ее обоснования. Наиболее важная отличительная особенность данного этапа в развитии логики состоит в разработке новых методов решения традиционных логических проблем. Это разработка и применение так называемого формализованного языка – языка символов, т. е. буквенных или каких-нибудь других знаков.

Н. А. Лучков, Логика в вопросах и ответах, 2009

Ф[лоренский] видит в математике необходимую и первую предпосылку мировоззрения, но в самодовлеемости математики находит причину ее культурного бесплодия: направляющие импульсы математике необходимо получать, с одной стороны, – от общего миропонимания, а с другой – от опытного изучения мира и от техники. Собственные занятия Ф[лоренского] направлены в обе эти стороны, причем предметом техники служит электротехника, преимущественно электрические поля и их материальные среды. Учение о полях, расширительно, связывается с задачами геометрии, натурфилософии и эстетики, а материаловедение – с гистологией материалов, как областью применения учений о множествах и теории функций.

П. А. Флоренский, Автореферат. Троице-Сергиева Лавра и Россия. Иконостас. Имена. Метафизика имен в историческом освещении. Имя и личность. Предполагаемое государственное устройство в будущем, -1

В 1920-е гг. начали складываться также многозначная логика (предполагающая, что утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинностные значения), деонтическая логика (изучающая логические связи нормативных понятий), логика абсолютных оценок (исследующая логическую структуру и логические связи оценочных высказываний), вероятностная логика (использующая теорию вероятностей для анализа проблематичных рассуждений) и др. Все эти новые разделы логики не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.

К. А. Азимов, Логика. Шпаргалка, 2009

Особое место в системе наук занимают математика, кибернетика и другие подобные им науки, которые в силу своего общего характера применяются в любых исследованиях. Их объектно-предметные области, с одной стороны, предельно абстрактны, а с другой – имеют самое конкретное применение едва ли не во всех областях знания и социальной активности.

С. С. Антюшин, История и философия науки. Учебное пособие для аспирантов юридических специальностей, 2013

В настоящее время выделился ряд научных направлений, решающих основные задачи теории систем: кибернетика, базирующаяся на принципе обратной связи и вскрывающая механизмы целенаправленного и самоконтролируемого поведения; теория информации, вводящая понятие информации как некоторого количества и развивающая принципы передачи информации; теория игр, анализирующая в рамках особого математического аппарата рациональную конкуренцию двух или более противодействующих сил с целью достижения максимального выигрыша и минимального проигрыша; теория решений, анализирующая рациональные выборы внутри организаций на основе рассмотрения данной ситуации и ее возможных исходов; топология, или реляционная математика; факторный анализ, т. е. процедуры изоляции посредством использования математического анализа факторов в многопеременных явлениях в различных областях знания.

С. В. Загородников, Теория организации. Ответы на экзаменационные билеты, 2009

Понятия «множество», «число», «счет» являются центральными при обучении дошкольников математике. Эти знания составят теоретическую основу для осмысления содержания и методики развития исходного математического понятия у детей.

Л. И. Павлова, Теория и методика развития математических представлений у дошкольников, 2017

(в физике) материальная точка, обладающая массой, но лишенная остальных качеств, бесконечная прямая (в математике) и т. п. Индукция – процесс мышления, заключающийся в выведения общего положения из наблюдения ряда частных единичных фактов. Индукция может быть полной и неполной. Полная индукция предусматривает наблюдение всей совокупности объектов, из которого следуют общие выводы, но в экспериментах используется неполная индукция, делающая вывод о совокупности объектов, исходя из изучения части объектов. Неполная индукция предполагает, что вынесенные за скобки эксперимента аналогичные объекты обладают теми же свойствами, что и изученные, и это позволяет использовать экспериментальные данные для теоретического обоснования. Неполную индукцию принято называть научной. Дедукция – процесс мышления, заключающийся в проведении аналитического рассуждения от общего к частному. Дедукция базируется на обобщении, но проводимом от неких исходных общих положений, считающихся неоспоримыми, к частному случаю для получения истинно верного вывода. Наибольшее распространение дедуктивный метод получил в математике.

И. Ю. Богданова, Концепции современного естествознания. Шпаргалки, 2010

Вместе с тем каждая наука использует собственные, специфические методы исследования, обладает своими терминами и принципами. Например, в химии используется понятие «молекула», в физике – «квант», в математике – «интеграл», «радикал» и т. д. Макроэкономика использует собственные понятия, основные из которых называются категориями. Вместе с развитием макроэкономики одни категории отмирают, другие модифицируются. Иными словами, категории носят исторический характер.

Г. С. Вечканов, Макроэкономика, -1

ГИПОТЕТИКО-ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД – метод рассуждения и получения нового знания, сущность к-рого в выведении (дедукции) заключений из гипотез и др. посылок. В процедуре использования Г.д. м. можно выделить несколько этапов: формулировка дедуктивно связанных между собой гипотез → их верификация или фальсификация → уточнение, конкретизация исходных посылок. Поскольку в дедуктивном рассуждении значение истинности переносится на заключение, а исходными посылками служат гипотезы, то и само заключение при использовании Г. – д. м. имеет лишь вероятностный характер. Принято различать два вида Г. – д. м.: 1) способ построения системы содержательных гипотез с последующим выражением их на языке математики; 2) способ создания формальной (математич.) системы с последующей её содержательной интерпретацией. Второй вид называется «математическая гипотеза» (понятие ввёл С.И. Вавилов).

В. Д. Губин, История и философия науки: основные имена и понятия, 2013

Даже отдельно взятый человек имеет социальную структуру – управляющий орган (мозг) и управляемое им тело. Количественно он характеризуется величиной «один». Способности его могут быть измерены (например, интеллектуальный уровень). Средства измерения изобретаются людьми. И работа эта есть явление сравнительно новое. Даже понятие «один» получило точное определение лишь в конце прошлого и начале нашего века (в основаниях математики, в формальной арифметике).

А. А. Зиновьев, На пути к сверхобществу, 2008

Редукционистское мировоззрение естественным образом ведет к созданию иерархии предметов и теорий в соответствии с тем, насколько они близки к самым «низкоуровневым» из известных нам предсказательных теорий. В этой иерархии логика и математика образуют незыблемую основу, на которой строится система научных взглядов. Фундаментом должна стать редукционистская «теория всего» – универсальная теория частиц, взаимодействий, пространства и времени вместе с некоторой теорией о том, каково было начальное состояние Вселенной. Остальная физика образует первые несколько этажей. Астрофизика и химия займут более высокий уровень, геология – еще более высокий и т. д. Затем здание разделится на множество башен – предметов еще более высокого уровня, таких как биохимия, биология и генетика. На колеблющихся вершинах, уходящих в стратосферу, примостятся такие предметы, как теория эволюции, экономика, психология и информатика, которые в этой картине являются производными в почти немыслимой степени.

Дэвид Дойч, Структура реальности. Наука параллельных вселенных, 1997

Традиционно считалось, что философская методология образует первый, более высокий уровень методологического анализа. Второй уровень включает в себя изучение общенаучных принципов, подходов и форм исследования, к которым относят системный подход, методы формализации, алгоритмизации, моделирования, вероятностный, статистический и т. д. Быстрое развитие информатики и математики связано со становлением теорий высокой степени абстрактности, применяемых к анализу объектов самых различных классов.

А. Я. Минин, Информатизация криминологической деятельности. Теория и методология, 2015

Теоретическая основа статистики также близко связана с математикой, так как для измерения, сравнения и анализа количественных характеристик необходимо использовать математические показате–ли, законы и методы.

Л. В. Щербина, Общая теория статистики, 2008

Вторая особенность состоит в том, что вся классическая наука со времен Просвещения создавалась в рамках механистической парадигмы для нужд промышленности, быстро набиравшей могущество индустрии, для удовлетворения потребностей общества в теории и эксплуатации машин и механизмов. В наибольшей мере этому отвечало развитие математики и механики с их методами исследования движения, преобразования линейно-поступательного движения в циклическое, круговое, и обратно. В центре внимания оказались методы исследования кинематики и динамики движущихся систем, уравнения, описывающие траектории движения материальной точки.

Коллектив авторов, Инновационная сложность, 2015

Таким образом, в формулировке названия работы должна быть отражена конкретная область исследования на относительно небольшом по объёму учебном материале, на котором автор сможет глубоко, обстоятельно продемонстрировать умение проводить комплексное методическое исследование, раскрыть и представить своё решение поставленной проблемы. В то же время нельзя впадать и в другую крайность. Тема не может быть очень «узкой», беспроблемной. В качестве примера рассмотрим такую тему: «Методика преподавания темы «Линейная функция» в курсе алгебры 7 класса». Если судить по названию, то в чём же проблема данного исследования? Ведь по преподаванию этой темы накоплен значительный опыт, изложенный в соответствующих учебниках по методике обучения математике, методических пособиях по определённым действующим учебникам, в многочисленных статьях журналов «Математика в школе», «Квант», «Математика».

М. С. Мирзоев, Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и педагогическом вузе, 2017

Понятие «структура» является в настоящее время одним из центральных в языкознании. Основными признаками структуры являются целостность и связность. Понятие связности как основного признака структуры заимствовано из математики. Этот признак является неотъемлемым показателем структуры, однако ее описание через один этот признак не является исчерпывающим. Понятие структуры применительно к тексту предполагает, наряду со связностью, еще один параметр – целостность объекта1. Это понятие заимствовано из естественных наук: свойство всего объекта не выводимо только из свойств отдельных элементов, из системы отношений между ними и не равняется простой арифметической сумме их свойств.

О. И. Филимонов, Скрепа-фраза в языке, 2013