Связанные понятия
Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим замечательные свойства.
Переме́нная — атрибут физической или абстрактной системы, который может изменять своё, как правило численное, значение. Понятие переменной широко используется в таких областях как математика, естественные науки, техника и программирование. Примерами переменных могут служить: температура воздуха, параметр функции и многое другое.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.
Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) — в математике, а также физике и прикладных науках, символическая запись высказывания (которое выражает логическое суждение), либо формы высказывания. Формула, наряду с термами, является разновидностью выражения формализованного языка.
Упоминания в литературе
Раздел математики, сейчас называемый «математический анализ», в старые годы был известен под названием «дифференциальное и интегральное исчисление». Отнюдь не всем обязательно знать точное определение таких основных понятий этого раздела, как производная и интеграл. Однако каждому образованному человеку желательно иметь представление о производном
числе как о мгновенной скорости (а также как об угловом коэффициенте касательной) и об определённом интеграле как о площади (а также как о величине пройденного пути). Поучительно знать и о знаменитых математических проблемах (разумеется, тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) – решённых (таких как проблема Ферма и проблема четырёх красок[2]), ждущих решения (таких, как проблема близнецов[3]) и тех, у которых решения заведомо отсутствуют (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритмов). Ясное понимание несуществования чего-то – чисел ли с заданными свойствами, или способов построения, или алгоритмов – создаёт особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного. И культура невозможного, и предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления.
Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с величайшими достижениями математической мысли прошлого века – открытием неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых геометрий») и возникновением теории бесконечных множеств. Открытие неевклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые было обнаружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном случае – его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями, одинаково хорошо согласующимися с действительностью при определённых возможностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кантора продемонстрировала возможность строгого изучения бесконечности; она распространила на бесконечные совокупности понятие количества, замкнутое до того времени в рамки понятия натурального
числа ; оказалось, что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять из разного количества элементов.
До этого мы говорили о метафизических предпосылках в физике, так сказать, макро- и мегауровней. Но возникающее в XVII веке новое естествознание вынуждено вводить еще и метафизику микроуровня. Это естествознание, как мы подчеркиваем, становится, в отличие от античной физики, математическим естествознанием. Основным его языком будут дифференциальное и интегральное исчисления и выходящие из них в дальнейшем конструкции: дифференциальные уравнения, теория комплексной переменной, вариационное исчисление и т. д. Дифференциальное и интегральное исчисления кладут в свое основание концепцию актуально бесконечно малой величины[28], то есть такой, которая меньше любой положительной величины, но одновременно и не есть нуль, – живой парадокс. Античная мысль была знакома с подобными понятиями, но именно в силу этой парадоксальности не желала использовать их в науке. Аристотель дает право на существование в науке только потенциальной бесконечности: процессу увеличения натуральных
чисел 1,2, 3…., или процессу же бесконечно продолжающегося деления отрезка и его частей на все более мелкие части. Но «каково число всех чисел?» или «можно ли разделить отрезок до конца, до точек?» – на эти вопросы античная наука отказывается отвечать. Актуальная бесконечность нарушает фундаментальные аксиомы науки (например, часть меньше целого), и поэтому ее запрещается использовать в науке. Отрезок можно бесконечно делить, но нельзя сказать, что он состоит из точек: континуум – это качественно другая реальность, чем множество точек. Отказ от этой установки ведет к апориям («парадоксы Зенона»).
При изучении темы рассматриваются основные положения Г. Кантора о множестве. Изучаются основные понятия теории множеств: множество, элемент множества, подмножество, пустое множество, характеристическое свойство или условие задания множества. Рассматриваются основные виды и операции над множествами и др. Затем необходимо остановиться на основном способе сравнения множеств – установлении взаимно однозначного соответствия, понятии эквивалентности. С позиции теоретико-множественного подхода необходимо дать определение натурального
числа . Анализируется роль теории множеств для понимания того, как дети осваивают представление о числе и счете. Анализируется аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Для этого необходимо изучить систему аксиом для определения натурального числа Дж. Пеано.
Примеров, показывающих неуниверсальность этого принципа, который в литературе получил название теоремы Пригожина – Глейнсдорфа, сейчас известно уже достаточно много. Поэтому я отношу принцип Онсагера – Пригожина – Глейнсдорфа, как и остальные классические вариационные принципы, к
числу важных утверждений физики и физикохимии, каждый из которых имеет свою вполне определенную область применимости. Что же касается принципа «минимума энтропии», который я ввел и использую в этой работе, то он не имеет прямого отношения к указанным выше принципам, не следует из них и представляет, с моей точки зрения, некоторое эвристическое утверждение, отвечающее тому, что мы наблюдаем в окружающем мире.
Связанные понятия (продолжение)
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Математические обозначения («язык математики») — сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем, применяемых человечеством. В данной статье описывается общепринятая международная система обозначений, хотя различные культуры прошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеют ограниченное применение до сих пор...
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).
Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность элементов числового пространства.
Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. Обозначается одним из следующих способов...
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Систе́ма счисле́ния (англ. numeral system или system of numeration) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом...
Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).
Знаки «плюс» и «минус» (+ и −) — математические символы, используемые для обозначения операций сложения и вычитания, а также положительных и отрицательных величин. Кроме того, они используются и для обозначения других понятий. Латинские термины plus и minus означают «более» и «менее» соответственно.
Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математике, логике и философии, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике соответственно.
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Регуля́рный язык (регуля́рное мно́жество) в теории формальных языков — множество слов, которое распознает некоторый конечный автомат. Класс регулярных множеств удобно изучать в целом, а полученные результаты оказываются применимы для достаточно широкого спектра формальных языков.
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.
Элемента́рная а́лгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый.
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций...
В математике,
несократимая дробь (также приведённая дробь) — дробь, которую невозможно сократить. Иначе говоря, значение несократимой дроби не допускает более простое представление в виде дроби. В случае обыкновенных дробей «более простое» означает: с меньшим (но натуральным) знаменателем.
В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.
Подробнее: Коммутативная диаграмма
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Единица в теории колец — двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей. Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
В логике логи́ческими опера́циями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, с использованием уже существующих. В более узком смысле, понятие логической операции используется в математической логике и программировании.
Подробнее: Логическая операция
Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Мультимножество в математике — обобщение понятия множества, допускающее включение одного и того же элемента по нескольку раз. Число элементов в мультимножестве, с учётом повторяющихся элементов, называется его размером или мощностью.
Величина ́ — математическое понятие, описывающее объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и смысл операции сложения, а также выполняется ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величина является одним из основных понятий математики.
Конъю́нкция (от лат. conjunctio — «союз, связь») — логическая операция, по смыслу максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние, иногда просто «И».
Трансценде́нтное число ́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.
Прострáнством называется математическое множество, имеющее структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов (например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, событий в теории вероятностей и так далее).Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).
Подробнее: Пространство (математика)
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Упоминания в литературе (продолжение)
В основе нумерологии лежит особенный вид обобщения – генерализация. Здесь не мыслятся точные классы и ясные границы, работа идет с совокупностями объектов, у которых есть ядро и периферия. Не происходит абстрагирования свойств класса, выделения диагностических признаков и т. п. Вместо этого работают «ключевые примеры», некоторые элементы сообщаются как представители класса и носители его типичных свойств. Часто элементами классов являются математические структуры, но понимаемые символически, а не как точные
числа . Классы нумерологии связаны за счет разнообразных символических значений входящих в них чисел, а сами числа довольно сложным образом соотносятся с природными объектами. Наиболее развитые системы были созданы в V–III вв. до н. э. школой моистов. Яснее всего можно представить эти системы, если знать, что у моистов вообще не было идеи формализации, все эти нумерологические и символические процедуры не были формализованы.
Начнем с того, что Фреге включает в свою онтологию такие типы объектов, как функции и предметы, которые могут выступать в роли аргументов и значений функций. При этом он значительно расширил понятие функции, освободив ее от связи с
числами и определив в качестве ее возможных аргументов и значений любые другие предметы, например физические вещи, людей и т. п. Помимо перечисленных он включил в число предметов два абстрактных объекта – «истину» и «ложь», которые являются аргументами и(или) значениями особой категории функций – так называемых логических функций. Частным случаем логических функций (с одним аргументом, определенным на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) у Фреге оказываются понятия, которые играют ключевую роль в его логической системе, ибо, относя к арифметике все то, что поддается счету, он полагал, что ее область совпадает с областью понятийного мышления[9]. Поскольку, по его мнению, понятие должно указывать, каким свойством нужно обладать предмету, чтобы подпадать под данное понятие, именно в понятиях он усматривал «основание существования классов». Отождествив понятие с общим свойством, которым должны обладать подпадающие под него предметы, а объем понятия – с классом этих предметов, Фреге ввел в свою онтологию такие важные сущности, как свойства и классы. Кроме того, он особо выделил еще два вида логических функций – отношения (функции с двумя аргументами, определенными на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) и пропозициональные функции, где и аргументами, и значениями выступают «истина» и «ложь», которые в дальнейшем стали называть истинностными значениями.
Функциональная структура понятий не составляет специфической особенности чистой математики (арифметики, алгебры). Она свойственна в одинаковой мере и ее остальным отраслям, а также области математически обоснованного естествознания. Не только понятие отвлеченного члена, но также и основные понятия геометрии, механики, физики, химии (как, например, понятия пространства, времени, атома, химического элемента) постепенно утрачивают в современной науке (или уже утратили вполне) свой субстанциальный характер и превращаются в функциональные понятия, в понятия отношений. В области геометрии первый шаг в этом направлении сделал Декарт, которому удалось при помощи открытой им аналитической геометрии свести основные отношения пространства на отношения
чисел . Впоследствии дифференциальная и проективная геометрии и новейшие учения о пространственных многообразиях высшего порядка завершили этот логический процесс, представив исчерпывающее доказательство тому, что все пространственные образования, равно как и само пространство, целиком сводятся для научной мысли к известным функциональным отношениям, точнее, к различным типам функциональных отношений, находящих свое адекватное выражение в закономерно развивающихся рядах численных значений.
Количество фиксируется в языке в величинах. Величины разделяются на абсолютные и относительные. Первые выражаются в
числах , вторые – в отношениях чисел (в процентах, степенях). С точки зрения научного подхода те или иные величины сами по себе не имеют смысла. Они имеют таковой лишь в связи с качественной характеристикой объектов и целями их исследования. В теоретическом исследовании, о котором идет речь в этой книге, измерение и вычисление величин играет роль подсобную. Причем интересы такой ориентации исследования настолько расходятся с интересами «конкретной» («эмпирической») социологии, что данные второй не имеют для первой почти никакого полезного значения, а зачастую просто вводят в заблуждение.
Особенно большое распространение в статистической науке получили такие направления математики, как теория вероятностей и математическая статистика. В статистике употребляются операции, которые прямым образом рассчитываются с помощью правил теории вероятностей. Это выборочный метод наблюдения. Основное из этих правил – ряд теорем, выражающих закон больших
чисел . Суть этого закона заключается в исчезновении в сводном показателе элемента случайности, с которой связаны индивидуальные характеристики, по мере объединения в нем все большего их числа.
Понимание категорий и в определенной мере сущности восприятия основывается на логике исчисления предикатов, восходящей к Аристотелю. Ключевым ограничением здесь является то, что система логического вывода подразумевает исключительно качественные отношения вида («все А есть В», «все А не есть В», «некоторые А есть В» и т. д.), но не количественные отношения, в том
числе : «А больше В», «А меньше В» и т. д. Аристотель указывал, что «сущность» (ο?σία) не допускает большей и меньшей степени. Например, человек не может быть человеком в большей или меньшей степени ни сам по себе, ни по отношению к другому человеку. Также не допускает большей или меньшей степени конкретное обозначение количества, например, одна тройка не в большей и не в меньшей степени тройка, чем другая. В то же время «отношение», «качество», «действие» и «претерпевание» могут обладать большей или меньшей степенью. Формальные способы оперирования с такими характеристиками отсутствовали вплоть до появления методов нечеткой логики и нечетких множеств (Zadeh, 1965). В подобных условиях единственным путем логического вывода оказывался переход от «качеств» к «сущностям». Например, вместо качества «богатый», присущего сущности «человек» в большей или меньшей степени, вводится новая сущность – «миллионер», произвольно определяемая, например, как человек, имеющий на банковском счету более миллиона долларов.
Тезис о «рекомбинации конфигураций» обладает тем достоинством, что отвечает на вопрос, откуда берутся элементы, и тем самым соединяет анализ процесса нововведения с изучением других естественных процессов, в которых «новое» состояние системы является функцией «старого». Однако хотя здесь и исключается проблема прерывности, одновременно обостряется дополнительная проблема преемственности. Каждое нововведение, а, стало быть, и всякое культурное изменение должны в этом случае рассматриваться как рекомбинация заранее существующих конфигураций. Это делает любую эволюционную последовательность в культуре сопоставимой с развитием логических следствий из некоторого набора аксиоматических суждений и предполагает, что «начало» должно существовать там, где можно найти некоторые простейшие конфигурации, из которых были произведены все последующие рекомбинации. Но ведь это в точности совпадает с понятием Elementargedanken10* Бастиана, которое оказалось неадекватной основой для исследований культурной эволюции, а также природы психического единства человечества (см.: Wallace, 1961). Еще одно следствие, вытекающее из тезиса о рекомбинации, состоит в том, что существует конечное, пусть даже очень большое
число возможных конфигураций, диапазон которых определяется размером изначального набора элементов и отношений. Это в свою очередь требует дедуктивного умозаключения о существовании ограниченного числа возможных культур.
Какое-то время люди соглашались с тем, что теоретические понятия, входящие в теории Т и Т0, различны по значению, даже когда обозначаются одними и теми же словами, поскольку предполагалось, что «наблюдательные» понятия – единственные нелогические компоненты Е – в любом случае имеют одинаковое значение в обеих теориях. Но сперва сомнения в возможности четко различить наблюдательные и теоретические понятия, а затем тезис, что все понятия (в том
числе так называемые наблюдательные или эмпирические) нагружены теорией, с неизбежностью подорвали прежнюю уверенность в возможности сравнивать теории. Сравнение теорий предполагает межтеоретическую устойчивость значений (которая, как предполагалось, обеспечивается наблюдательными средствами); коль скоро она исчезает, значения всех понятий становятся строго зависимыми от теории, в которую эти понятия входят, и сравнение понятий становится таким образом невозможным. Это основной аргумент в пользу предполагаемой «несоизмеримости» теорий – одного из излюбленных тезисов «новой» философии науки[151].
4. Началом всех вещей Пифагор считал
числа . Для пифагорейцев числа являлись не абстракциями, а более реальными, чем сами вещи. «Всё подобно числу», «число – это сущность всех вещей» – считал Пифагор. Числа понимались как начала вещей – «архэ». Весь окружающий мир численно определен: все вещи имеют не только качественное, но и количественное определение, т. е. каждому качеству соответствует количество. Математические объекты, прежде всего числа с 1 до 10, для Пифагора являлись универсальными объектами теоретического познания и первоосновами мира. Всё многообразие мира сводилось к этим числам.
Человека, столкнувшегося с этим огромным и быстро растущим списком теорий, созданных человеческой расой, можно простить за его сомнения в том, что один индивидуум способен за свою жизнь отведать каждое блюдо и самостоятельно, как это могло быть когда-то, оценить все известные рецепты. Однако объяснение – необычная пища: большую порцию не обязательно труднее проглотить. Теорию может вытеснить новая теория, более точная, с бо́льшим количеством объяснений, но и более простая для понимания. В этом случае старая теория становится лишней, и мы понимаем больше, а учим меньше. Именно это и произошло, когда теория Николая Коперника о том, что Земля движется вокруг Солнца, вытеснила сложную систему Птолемея, которая помещала Землю в центр вселенной. Иногда новая теория может упрощать существующую, как в случае, когда арабские (десятичные) цифры заменили римские. (В данном случае теория выражена неявно. Каждая система записи делает определенные операции, высказывания и мысли о
числах проще, чем другие системы, и, следовательно, воплощает некую теорию о том, какие отношения между числами являются полезными или интересными.) Новая теория может также объединять две старые теории, давая нам больше понимания, чем при их использовании по отдельности, как это произошло, когда Майкл Фарадей и Джеймс Клерк Максвелл объединили теории электричества и магнетизма в одну теорию электромагнетизма. Более удачные объяснения любого предмета обычно косвенным образом ведут к совершенствованию методологии, концепций и языка, с помощью которых мы пытаемся понять другие предметы, а следовательно, по мере возрастания нашего знания в целом его структура может становиться более доступной для понимания.
В этих примерах открывается уже не определенность мысли, выраженная через закон тождества, а другое фундаментальное свойство из
числа ранее названных – последовательность. Логический процесс предполагает получение содержательно новых выводов. Представить анализируемое содержание в точно определенном виде, как об этом говорилось до сих пор, – лишь одно из условий успешного осуществления логических операций. Наряду с этим надо быть также последовательным, то есть извлекать все следствия из используемых понятий и в дальнейшем столь же непоколебимо придерживаться их, в такой же мере неукоснительно признавать их, насколько обязательно в течение всего рассуждения сохранять неизменным содержание используемых понятий. Короче, назвав данную точку Северным полюсом, мы обязаны называть ее также и тем местом, где звезды не заходят за горизонт, и т. д.
Таким образом, после трагической гибели Владимира Дмитриевича мы оказались перед сложнейшей нерешенной проблемой. Оригинальный выход из этой ситуации был предложен польским исследователем Яном Стреляу (Стреляу, 1982). С его точки зрения, общие свойства следует рассматривать только с функциональной, а не с морфоструктурной точки зрения, поскольку любой морфоструктурный подход, в том
числе изучение общих свойств нервной системы в передних отделах мозга, неизбежно приведет к открытию все новых частных свойств. Для Я. Стреляу общие свойства – это не морфоструктурные, а функциональные характеристики результирующей деятельности всего мозга, всей нервной системы. Другими словами, подход Я. Стреляу есть фактически уточнение мысли Б. М. Теплова о том, что общие свойства должны быть проявлением деятельности всего мозга как целого.
Прежде всего совершенно очевидно, что необходимая ограниченность
числа слов серии не более, разумеется, «искусственна», чем искусственна и ограниченность любой вообще конкретной задачи. Смысл констатированного нами положения как раз и заключается в том, что при запоминании материала определенной степени трудности введение вспомогательного средства отражается на эффективности запоминания у испытуемых различных возрастных групп совершенно различным образом. С другой стороны, выбранное нами число слов ряда не является случайным и, как это видно из сравнения кривых распределения, представляет собой примерно такое количество, которое, вероятно, фактически соответствует моде по крайней мере у испытуемых старших школьных групп, безотносительно к тому, будет или не будет несколько продолжена кривая распределения в сторону больших величин. Наконец, что самое важное, при усложнении серии (четвертая серия), которое, несомненно, в известной мере эквивалентно ее удлинению, мы все же наблюдаем падение коэффициентов относительного повышения. Несмотря на то, что в четвертой серии мода уже ни в одном случае не совпадает с максимальной возможной величиной, констатированная нами закономерность по-прежнему сохраняется полностью, и мы, таким образом, можем отвести это возможное возражение, просто перенеся наш анализ с третьей серии на четвертую, хотя, повторяем, в этом нет никакой необходимости, так как даже и передвижение моды на последнюю величину ряда ничего не изменяет в сущности нашего утверждения.
Надо отметить, что субстанциональный подход, восприятие времени как реально существующей субстанции, отражен и в вышеприведенных определениях времени. Действительно, во всех определениях в качестве универсального свойства времени выделяется его «длительность» или, по В.И.Вернадскому, «дление» В ставшей уже классической работе «О свойствах времени» Ю.А.Урманцева и Ю.П.Трусова дление определяется как «сохранение объектом своих качеств относительно неизменными». В качестве второго важнейшего свойства времени эти авторы отмечают его бренность, т. е. изменчивость, присущие ему начало, конец и одно направление. Эти качества дают основание авторам рассматривать возможность выражения индивидуального времени любого явления в качестве вектора, состоящего из определенных элементов (этапов). Это вполне справедливое допущение позволяет говорить о составе любого времени, определяемом
числом и характером (модулем и направлением) его элементов, а также о его внутреннем строении, и, как следствие, о временной организации любого явления[15].
Автоматическое доказательство теорем – одна из старейших областей возможного применения ИИ, где было много достижений, исследований и программ, включая Универсальный решатель задач Ньюэлла и Саймона. Люгер подчеркивает, что именно "…эта ветвь принесла наиболее богатые плоды…" [264, стр. 44]. Благодаря исследованиям в этой области были формализованы алгоритмы поиска и разработаны языки формальных представлений, такие как исчисление предикатов и логический язык программирования Пролог. Приведем обоснование Дж. Люгера: "… привлекательность автоматического доказательства теорем основана на строгости и общности логики. В формальной системе логика располагает к автоматизации. Разнообразные проблемы можно попытаться решить, представив описание задачи и существенно относящуюся к ней информацию в виде логических аксиом и рассматривая различные случаи задачи как теоремы, которые нужно доказать. Этот принцип лежит в основе автоматического доказательства теорем и систем математических обоснований" [264, стр. 44]. Далее следует замечательный вывод и итог 20 века в этой наиболее богатой ветви: "К сожалению, в ранних пробах написать программу для автоматического доказательства, не удалось разработать систему, которая бы единообразно решала сложные задачи" [264, стр. 44]. Таким образом, Дж. Люгер подтверждает наш тезис о том, что в прошлом веке даже в самых передовых областях ИИ ученые не смогли решить сложные задачи, а значит, нужны принципиально новые подходы и исследования, к
числу которых относится и миварный подход.
К тому же внутренняя вероятность теории уменьшается по мере увеличения ее диапазона. Я имею в виду, что в той мере, в которой она применима ко всё большему и большему
числу объектов и претендует на то, чтобы всё больше и больше сообщить нам о них, – настолько же она становится менее вероятной. Очевидно, что чем больше вы декларируете, тем больше ошибок вы можете совершить. Сила этого критерия состоит в том, чтобы приписать меньшую вероятность скорее тем теориям, которые описывают все материальные тела, чем тем, например, которые описывают только все тела, находящиеся на земле, или скорее тем теориям, которые описывают все металлы, чем тем, которые описывают только медь. Однако, как правило, если теория утрачивает диапазон, то она также утрачивает и простоту, поскольку любое ограничение диапазона чаще всего произвольно и всё усложняет. Почему выбрано ограничение телами, находящимися на земле? Утверждение относительно поведения всех материальных объектов выглядит проще. Вот поэтому я и не думаю, что критерий узкого диапазона имеет большое значение для определения предварительной вероятности, и потому в дальнейшем я сосредоточу внимание главным образом на двух других критериях предварительной вероятности, обращаясь к данному критерию лишь в ключевых моментах. Теория обладает объяснительной силой в той мере, в какой она влечет за собой или делает вероятным возникновение многих различных феноменов, доступных наблюдению, возникновение которых невозможно каким-то иным способом.
Разрушение «реликтовой» первичной холономной связи на квантовом уровне проявляется в явлении декогеренции – потере системой чисто квантовых свойств и её переходе из суперпозиционного квантового состояния в смешанное. Причиной тому КМ называет взаимодействие со средой. К этому можно, однако, добавить, что глубинной основой такого взаимодействия выступает наличие интенционально-эмапатического импульса. Механизм декогеренции КМ представляет как запутывание первоначального квантового состояния с таким большим
числом степеней свободы окружения (т. е. в наших представлениях – противоречивым разнообразием множества воздействующих извне интенциональных импульсов), так что в усреднённой картине вклад интерференционных членов оказывается как бы случайным и близким к нулю. Математическое описание декогеренции в КМ аналогично суммированию огромного числа произвольно смещенных друг относительно друга синусоид и делением этой суммы на их полное число. Каждая из подобных синусоид отвечает вкладу в интерференцию одной степени свободы окружения, и чем степеней свободы больше, тем ближе к нулю итоговый результат. Сама же интерференция возникает как результат сложения колебаний с разными фазами, что математически похоже на суммирование смещенных друг относительно друга синусоид. Однако в эти аспекты квантово-механических репрезентаций нам нет необходимости погружаться. Важно лишь иметь в виду, что системы абсолютно изолированные (замкнутые) и никак не взаимодействующие с окружением могут существовать лишь теоретически или в только в импликативном мире. Хотя абсолютно изолированных систем не существует, для двух или более частей единой системы, не взаимодействовавших и не взаимодействующих друг с другом, можно указать промежуток времени, в течение которого допустимо их считать автономными.
Было бы наивным ожидать подтверждения верности науки о
числах буквальным образом. Пифагор изучал числовые «отношения» несколько в другом аспекте, но это вовсе не изменяет их базового смысла. Их суть остается неизменной: любую проблему можно определить через числа, как и составные элементы проблемы – через числовые отношения.
Какова же тогда природа более профессионального и эзотерического исследования, которое становится возможным после принятия группой ученых единой парадигмы? Если парадигма представляет собой работу, которая сделана однажды и для всех, то спрашивается, какие проблемы она оставляет для последующего решения данной группе? Эти вопросы будут представляться тем более безотлагательными, если мы укажем, в каком отношении использованные нами до сих пор термины могут привести к недоразумению. В своем установившемся употреблении понятие парадигмы означает принятую модель или образец; именно этот аспект значения слова «парадигма» за неимением лучшего позволяет мне использовать его здесь. Но, как вскоре будет выяснено, смысл слов «модель» и «образец», подразумевающих соответствие объекту, не полностью покрывает определение парадигмы. В грамматике, например, «amo, amas, amat»[20] есть парадигма, поскольку эту модель можно использовать как образец, по которому спрягается большое
число латинских глаголов: например, таким же образом можно образовать формы «laudo, laudas, laudat»[21] и т. д. В этом стандартном применении парадигма функционирует в качестве разрешения на копирование примеров, каждый из которых может в принципе ее заменить. В науке, с другой стороны, парадигма редко является объектом копирования. Вместо этого, подобно принятому судом решению в рамках общего закона, она представляет собой объект для дальнейшей разработки и конкретизации в новых или более трудных условиях.
Коротко напомню о происхождении термина «несоизмеримость». Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с его стороной или длина окружности – с ее радиусом в том смысле, что нет единицы длины, содержащейся без остатка целое
число раз в каждом члене пары. Таким образом, здесь не существует общего измерения. Но отсутствие общего измерения оставляет возможность сравнения. Напротив, несоизмеримые величины можно сравнивать с любой необходимой степенью приближения. Доказательство того, что это возможно и как это возможно, было одним из блестящих достижений греческой математики. Но это достижение стало возможным только потому прежде всего, что большая часть геометрических процедур без изменений применялась к обоим сравниваемым объектам.
Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного
числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. . Пусть даны два ряда an и bn. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (an + bn), при умножении получается ряд , произведением ряда an на число с будет ряд can (с – вещественное или комплексное число).
Следует подчеркнуть, что процессы интеграции и дифференциации, синтеза и анализа неразрывно связаны, и выделение того или иного типа процессов в качестве ведущего носит не абсолютный, а относительный характер. Более того, У. Р. Эшби строго доказал, что любая динамическая система может быть представлена таким образом, что она будет обнаруживать разнообразие произвольно выделенных частей просто за счет изменения точки зрения наблюдателя. «В заданном целом с данным произвольным поведением может быть найдено огромное
число произвольных частей» (Эшби, 1966, с. 319).
Числовых систем, придающих
числам те или иные свойства и качества, довольно много. В них одни и те же числа связываются с различными понятиями и категориями жизни. В личном числовом календаре, рассматриваемом в данной книге, применяется солярная динамическая система, в которой все девять натуральных чисел от 1 до 9 имеют особенные свойства и качества.
Конечно, биологи – не математики, однако правило полезное. Множество рассматриваемых адаптационистами гипотез очень широки, их формулировки имеют крайне общий характер. Это вовсе не всегда достоинство – при работе с такими общими гипотезами обычно выясняется, что доказательства, в них используемые, крайне не герметичны – они с необходимостью включают неопределенно большое
число добавочных положений самого разного качества. Это обесценивает доказательства, работающие с такой «обширной» гипотезой. Причина в том, что в биологии пока мало абстрактных понятий, большинство слов биологического языка – понятия с очень богатым содержанием, причем не слишком формально проработаны. Поэтому общие гипотезы оказываются вовсе не стройными конструктами определенного значения, а очень расплывчатыми, богатыми разнообразным содержанием построениями, каждое из которых включает на деле чуть все биологические факты. Смысл стремления к герметичности доказательства в том, чтобы можно было отдавать себе отчет, что именно включают привлекаемые положения и аргументы, а чего они точно не включают. Е.Н. Панов множество раз указывает на антропоморфизмы, проникающие в аргументацию тех или иных положений теории о форме отбора. Авторы наивно привносят в теоретизирование весь «здравый смысл» отношений полов в человеческом обществе, полагая, что наскоро сформулированные гипотезы обладают биологическим смыслом, а не являются мифами современной культуры.
В сравнительных исследованиях граница между понятиями «множество» и «несколько» определяется не
числом объектов как таковым, а возможностью применять к ним статистические техники. Казалось бы, императивом должен быть принцип «чем больше, тем лучше», но в случае макросоциологического исследования сама генеральная совокупность объектов – общее число культур, государств, обществ – с необходимостью ограничена[22]. Поэт ому в макросоциологии сложился иной, альтернативный подход к выбору объектов сравнения: анализ нескольких объектов, выделенных по определенным основаниям и изучаемых более подробно. Разница между первым и вторым подходами к анализу обычно артикулируется как противопоставление статистического и сравнительного методов.
Эта идея подтверждается результатами, полученными М. Г. Филипповой (2009). В ее экспериментах испытуемому демонстрировалось двойственное изображение, которое нужно было описать (в этот момент экспериментатором фиксировалось, какое значение двойственного изображения осознал испытуемый). Затем следовала серия задач на лексическое решение, праймом для которой служило ранее идентифицированное испытуемым двойственное изображение. В конце каждого блока испытуемый сообщал, удалось ли ему в процессе решения задач на лексическое решение обнаружить двойственность предъявленного вначале изображения. Результаты этого эксперимента также показали, что испытуемые совершали наибольшее
число ошибок при определении лексического статуса слов, связанных с неосознанными ими значениями многозначных изображений. Но оказалось, что в опытах, где им удалось осознать незамеченные ранее значения многозначного изображения, время определения лексического статуса всех слов (как связанных, так и несвязанных с задающим контекст изображением) оказалось значимо меньше, чем время определения лексического статуса слов в опытах, где осознания новых значений не происходило.
Идентификатором для таких
чисел является символ «!». Такой тип переменной дает возможность хранить дробные числа, точность которых до седьмой цифры. То есть если получается результат 12 345 678.97, то часть 8.97 не точна. Результат может иметь значение, к примеру, 12 345 670.01. Длина чисел может иметь 38 знаков. Произведения математических операций с данными переменными тоже будут приблизительными. Кроме того, арифметические действия производятся медленнее, чем с целочисленными переменными.
Идентификатором для таких
чисел является символ «!». Такой тип переменной дает возможность хранить дробные числа, точность которых до седьмой цифры. То есть если получается результат 12345678.97, то часть 8.97 не точна. Результат может иметь значение, к примеру, 12345670.01. Длина чисел может иметь 38 знаков. Произведения математических операций с данными переменными тоже будут приблизительными. Кроме того, арифметические действия производятся медленнее, чем с целочисленными переменными.
Человек отличается от животного, прежде всего, тем, что способен абстрактно мыслить. Абстрактное мышление основано на том, что объекты окружающей реальности описываются посредством языка понятиями, существующими только в сознании. Высшей формой абстрактного мышления является теоретическое мышление. Оно состоит в том, что реальный объект заменяется идеальной (т. е. воображаемой, существующей только в сознании) схемой, называемой далее теоретической схемой. Именно теоретическая схема, а не объект непосредственно, подвергается далее мысленному анализу, в том
числе математическому. Например, теоретической схемой солнечной системы является множество точек, взаимодействующих между собой посредством гравитации и обращающихся вокруг Солнца (тоже точки) по замкнутым орбитам. Чувственный образ, описание объекта абстрактными понятиями, теоретическая схема и результаты её изучения образуют идеальный (субъективный, воображаемый, существующий только в сознании) аналог объекта. Аналог объекта не всесторонний, неполный, потому что в общем случае невозможно учесть все черты, все особенности объекта. Невозможно точно описать все взаимодействия между всеми элементами объекта. Но идеальный аналог обязательно должен отражать все главные, отличительные черты объекта и все главные взаимодействия. Теперь мы подошли к определению знания: знание – это идеальный аналог объекта познания, который соответствует объекту в главных отличительных чертах. Идеальный аналог может содержать и второстепенные черты, соответствующие объекту познания. Таким образом, соответствие идеального аналога объекту познания является не всесторонним, неполным в качественных отношениях и приближенным в количественных отношениях.
Это был период, когда начали создаваться элементы «мира абстракций», в котором отражались основные свойства и закономерности объективного мира. Для возникновения собственно научного знания был необходим целый ряд условий, в том
числе : разделение труда; образование классов; достаточно высокий уровень абстрактного мышления; письменность и счет и многое другое.
Принципы построения Естественной системы по Бэру состоят в следующем. Эта система не может быть представлена как простой список или как простая схема, подчиняющаяся формальным правилам – например, требованию симметрии (одинаковой дробности подразделений системы). Система есть иерархия типов (по Кювье, см. 4.2.2) – последовательная дифференциация гомогенного в гетерогенное: отголосок этой общей идеи можно найти в трансформистской концепции Г. Спенсера конца XIX века (см. 4.3.1) и в современной таксономической концепции структурной кладистики (см. 5.7.1.5). На каждом иерархическом уровне систему уместнее всего понимать как сеть взаимосвязей сродства (взаимных отношений) между организмами, определяемого всей совокупностью общих для них признаков. В отличие от эссенциалистских воззрений, Бэр исходит из того, что разные представители естественных групп по-разному воплощают в себе природу последних – одни из них более типичные, другие менее. На этом основании вводятся понятия «ядра» (центра) и «периферии» (пограничные формы) естественных групп и отмечается, что наибольшее богатство форм приходится именно на ядро, тогда как по мере продвижения к периферии группы
число и разнообразие её форм снижается. Представлением таким образом понимаемой Естественной системы служит иерархия вложенных одна в другую сфер, каждая со своим центром и периферией. Для такого случая «типичные» признаки предложено называть архецентричными, «нетипичные» – апоцентричными (Mitchell, 1901).
Можно привести как минимум три довода в пользу этого подхода; первый и главный – это трактовка города как сложной структуры, которая включает в себя элементы, воспринимаемые как произведения искусства; второй довод касается состоятельности общей типологии фактов городской среды – иными словами, что я могу высказать техническое суждение в том
числе и по поводу тех аспектов города, которые по своей природе требуют более комплексного подхода, сведя их к их типологической константе; и, наконец, что эта типологическая константа играет «свою особую роль» в модели.