Связанные понятия
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим замечательные свойства.
Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Упоминания в литературе
При изучении темы рассматриваются основные положения Г. Кантора о
множестве . Изучаются основные понятия теории множеств: множество, элемент множества, подмножество, пустое множество, характеристическое свойство или условие задания множества. Рассматриваются основные виды и операции над множествами и др. Затем необходимо остановиться на основном способе сравнения множеств – установлении взаимно однозначного соответствия, понятии эквивалентности. С позиции теоретико-множественного подхода необходимо дать определение натурального числа. Анализируется роль теории множеств для понимания того, как дети осваивают представление о числе и счете. Анализируется аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Для этого необходимо изучить систему аксиом для определения натурального числа Дж. Пеано.
Из математического анализа известно, что одновременная минимизация нескольких функций (или функционалов) имеет смысл лишь при выполнении некоторых специальных условий. Обозначим через ?1
множество экстремальных значений функционала w1. Тогда задача w2 => min будет иметь смысл, если мы будем, например, разыскивать минимальное значение функционала w2 на множестве ?1 и т. д. Таким образом, множество функционалов должно быть упорядоченным, а пересечение множеств ?i, минимальных значений функционалов wi – непустым. Тогда требование (+) определит некоторое множество допустимых состояний w. Это множество и является ареной развивающихся событий.
будет иметь смысл, если мы будем, например, разыскивать минимальные значения функционала W2(x) на
множестве ?1 и т. д. Таким образом, задача (1) имеет смысл тогда, когда множество функционалов упорядочено, ранжировано по порядку их значимости, а пересечение множеств ?i минимальных значений этих функционалов не пусто. При этих условиях требование (1) определит некоторое множество допустимых состояний. Оно и является ареной развивающихся событий.
Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с величайшими достижениями математической мысли прошлого века – открытием неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых геометрий») и возникновением теории бесконечных
множеств . Открытие неевклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые было обнаружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном случае – его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями, одинаково хорошо согласующимися с действительностью при определённых возможностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кантора продемонстрировала возможность строгого изучения бесконечности; она распространила на бесконечные совокупности понятие количества, замкнутое до того времени в рамки понятия натурального числа; оказалось, что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять из разного количества элементов.
Классы объектов мыслятся скорее как материальные
множества , а не как наборы абстрагированных признаков. Классы не имеют четких границ и состав их полностью не определен. Классы задаются теми или иными примерами, ключевыми образцами, которые могут в разных ситуациях быть различны, указывая на ту или иную сторону объектов класса. Классы упорядочены в периодические системы, выстроенные на основе каких-то значимых чисел. Одно и то же множество примеров может быть упорядочено различным образом, с помощью разных типов нумерологических классификаций.
Связанные понятия (продолжение)
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей - не является открытым.
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.
Подробнее: Метрическое пространство
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления...
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.
Подробнее: Измеримая функция
Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).
Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность элементов числового пространства.
Инвариа́нт — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.
Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Гру́ппа Галуа ́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом...
Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.
Топологическое векторное пространство , или топологическое линейное пространство, — векторное пространство, наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.
Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Упоминания в литературе (продолжение)
В теории систем исходным моментом является предположение, что системы существуют как целое, которое затем можно расчленить на компоненты. Первичность целого – основной постулат теории систем. Свойства системы не являются только суммой свойств ее составных частей. Система нечто «большее», а иногда и качественно отличное, чем сумма составляющих ее частей. Элементы могут существовать только в связанном виде. Там, где есть элементы, обязательно устанавливаются реальные связи. Если в электрической цепи не течет ток, значит, нет электрических связей, следовательно, нет и элементов. Элементы появляются только тогда, когда цепь подключена к источнику электрической энергии, в ней образуются реальные электрические связи и можно говорить о существовании элементов, которые они связывают. Система предполагает наличие связи между ее элементами. Это не значит, что в каждый данный момент времени должны проявиться все связи элементов. Не любая связь может быть актуальной, но принимается в качестве исходного положения без доказательств наличие предполагаемой или известной наблюдателю потенциальной связи. Под структурой системы понимается совокупность существенных связей между ее элементами, т.е. тип и форма внутренней организации системы. Структура представляет инвариантный аспект системы (инвариант фр. invariant букв, неизменяющийся – мат. выражение, остающееся неизменным при определенном преобразовании переменных, связанных с этим выражением, например, при переходе от одной системы координат к другой). Под отношениями или связями между элементами подразумевают отношения упорядочения (порядка). Элементы структуры можно представить в виде линейно упорядоченного
множества (рисунок 1). Однако такое упорядочение отнимает возможность изучать все взаимодействия элементов системы. Итак, система предполагает наличие связей между ее элементами.
Независимо от сознания человека в окружающем мире существуют различные предметы. Эти предметы характеризуются
множеством . Множество может быть конечным или бесконечным. Если количество предметов, входящих в множество, поддается исчислению, множество считается конечным. Если такие предметы не поддаются исчислению, множество называют бесконечным. Необходимо упомянуть об отношениях включения, принадлежности и тождества.
Сеть (network) – популярнейшее понятие системной биологии, повсеместно пронизывающее современную культуру, не только в рамках биологии или науки в целом[41]. В самом деле, трудно придумать более естественный способ представления связей между многочисленными объектами, чем сеть (в математике рассматриваемую как ориентированный или неориентированный граф). В биологическом контексте узлами (или иначе – вершинами) сети часто представляют гены или белки, а ребрами (связями между узлами) обозначают их взаимодействия, которые могут быть физическими, генетическими или регуляторными (Barabasi and Oltvai, 2004). К настоящему времени разработано
множество методов описания и сравнения структур (топологий) сетей (табл. 4–1). Наиболее часто для анализа используется понятие функции распределения степеней вершин, где под степенью вершины понимают число ребер, связывающих эту вершину с другими. Сравнение таких функций, выполненное для сетей различного типа, показало принципиальное отличие биологических сетей (а также многих небиологических, включая Интернет) от случайных графов: случайные графы имеют колоколообразное распределение Пуассона, а для биологических сетей распределения описываются степенной функцией (табл. 4–1). Сети, имеющие степенные функции распределения степеней вершин, называют масштабно-инвариантными сетями, так как графики их функций внешне не меняются при масштабировании (обратите внимание на прямую линию в двойных логарифмических координатах на табл. 4–1). Такие сети всегда содержат небольшое число вершин с высокими степенями, так называемых хабов (hubs), и большое число слабосвязанных вершин.
До этого мы говорили о метафизических предпосылках в физике, так сказать, макро- и мегауровней. Но возникающее в XVII веке новое естествознание вынуждено вводить еще и метафизику микроуровня. Это естествознание, как мы подчеркиваем, становится, в отличие от античной физики, математическим естествознанием. Основным его языком будут дифференциальное и интегральное исчисления и выходящие из них в дальнейшем конструкции: дифференциальные уравнения, теория комплексной переменной, вариационное исчисление и т. д. Дифференциальное и интегральное исчисления кладут в свое основание концепцию актуально бесконечно малой величины[28], то есть такой, которая меньше любой положительной величины, но одновременно и не есть нуль, – живой парадокс. Античная мысль была знакома с подобными понятиями, но именно в силу этой парадоксальности не желала использовать их в науке. Аристотель дает право на существование в науке только потенциальной бесконечности: процессу увеличения натуральных чисел 1,2, 3…., или процессу же бесконечно продолжающегося деления отрезка и его частей на все более мелкие части. Но «каково число всех чисел?» или «можно ли разделить отрезок до конца, до точек?» – на эти вопросы античная наука отказывается отвечать. Актуальная бесконечность нарушает фундаментальные аксиомы науки (например, часть меньше целого), и поэтому ее запрещается использовать в науке. Отрезок можно бесконечно делить, но нельзя сказать, что он состоит из точек: континуум – это качественно другая реальность, чем
множество точек. Отказ от этой установки ведет к апориям («парадоксы Зенона»).
Образный аналог может быть представлен словесным описанием, рисунком и другими образными средствами. Его свойства могут быть описаны численными величинами. Образный аналог может быть построен как для отдельного конкретного объекта, так и для
множества однотипных объектов. В последнем случае имеем обобщенный абстрактный образ. Важно то, что основой образного аналога является чувственный образ. При решении конкретных задач рассматриваются не все свойства объекта, а только те, которые имеют отношение к решаемой задаче. Например, при решении кинематических задач для твердого тела необходимы только его геометрические характеристики (размеры и геометрическая форма). При решении динамических задач необходима еще и динамическая характеристика (масса).
Оценивая простоту научной теории на основе математической простоты ее уравнений, научная практика показывает, что нам нужно использовать наиболее простые формулировки этой теории. Теория сообщает нам о сущностях, о свойствах, которыми они обладают, и о том, как они взаимодействуют, и всё это может быть выражено
множеством различных способов, то есть посредством множества разных, но логически эквивалентных уравнений. Уравнение «х =у» эквивалентно уравнению «х = у + dy3I dy — 3у2», и в более общем виде – его конъюнкции с более сложными математическими теоремами. Но именно через ее самую простую формулировку (например, первую в приведенном примере) мы судим о простоте теории. Она проявляет свои преимущества в применении.
Разрушение «реликтовой» первичной холономной связи на квантовом уровне проявляется в явлении декогеренции – потере системой чисто квантовых свойств и её переходе из суперпозиционного квантового состояния в смешанное. Причиной тому КМ называет взаимодействие со средой. К этому можно, однако, добавить, что глубинной основой такого взаимодействия выступает наличие интенционально-эмапатического импульса. Механизм декогеренции КМ представляет как запутывание первоначального квантового состояния с таким большим числом степеней свободы окружения (т. е. в наших представлениях – противоречивым разнообразием
множества воздействующих извне интенциональных импульсов), так что в усреднённой картине вклад интерференционных членов оказывается как бы случайным и близким к нулю. Математическое описание декогеренции в КМ аналогично суммированию огромного числа произвольно смещенных друг относительно друга синусоид и делением этой суммы на их полное число. Каждая из подобных синусоид отвечает вкладу в интерференцию одной степени свободы окружения, и чем степеней свободы больше, тем ближе к нулю итоговый результат. Сама же интерференция возникает как результат сложения колебаний с разными фазами, что математически похоже на суммирование смещенных друг относительно друга синусоид. Однако в эти аспекты квантово-механических репрезентаций нам нет необходимости погружаться. Важно лишь иметь в виду, что системы абсолютно изолированные (замкнутые) и никак не взаимодействующие с окружением могут существовать лишь теоретически или в только в импликативном мире. Хотя абсолютно изолированных систем не существует, для двух или более частей единой системы, не взаимодействовавших и не взаимодействующих друг с другом, можно указать промежуток времени, в течение которого допустимо их считать автономными.
Даже если бы определениям Рамсея удалось избежать этих трудностей, остался бы набор не менее важных. Ранее я указывал, что законы научной теории, в отличие от аксиом математической системы, являются всего лишь набросками законов, где их символьные формализации зависят от проблем, к которым ими применяются[30]. Это положение получило дальнейшее развитие у Джозефа Снида и Вольфганга Штегмюллера, которые рассмотрели предложения Рамсея и показали, что их стандартная пропозициональная формулировка изменяется при переходе от одного набора употреблений к другому[31]. Большая часть вхождений новых или проблематичных терминов в научном тексте встречается в рамках их применения, и соответствующие Рамсей-предложения просто-напросто не обладают достаточным арсеналом способов для предотвращения
множества тривиальных интерпретаций. Для достижения разумной интерпретации текста, содержащего Рамсей-определения, читатель должен сначала учесть все многообразие различных применений. И даже после этого ему придется делать то, что историк/интерпретатор пытается делать в подобных ситуациях. А именно: создавать и проверять гипотезы относительно смысла терминов, вводимых определениями Рамсея.
Очевидно, что только типологический подход позволит получить целостное описание вариаций индивидуально-психологических различий, поскольку такой подход дает возможность свести практически бесконечное
множество отдельных измерений к конечному, генетически заданному множеству устойчивых структур свойств индивидуальности человека. Б. М. Теплов предупреждал, что проблему типов следует решать только после того, как будут изучены «элементы» типологии (Теплов, 1961; Теплов, Небылицын, 1963). Можно считать, что такие «элементы» уже частично выделены и, следовательно, в недалеком будущем проблема типологии станет центральной проблемой дифференциальной психофизиологии.
Обычно при применении законов Ньютона задаются исходные параметры механической системы и затем на основании этих законов вычисляются траектории движения частиц, входящих в нее. При пользовании же выше названными принципами ход рассуждения иной: задается
множество виртуальных (возможных) траекторий частицы, и из этого множества выбирается та траектория, для которой величина действия будет наименьшей. Такое описание принято называть «интегральным», в отличие от причинного, или ньютоновского, описания.
Понимание категорий и в определенной мере сущности восприятия основывается на логике исчисления предикатов, восходящей к Аристотелю. Ключевым ограничением здесь является то, что система логического вывода подразумевает исключительно качественные отношения вида («все А есть В», «все А не есть В», «некоторые А есть В» и т. д.), но не количественные отношения, в том числе: «А больше В», «А меньше В» и т. д. Аристотель указывал, что «сущность» (ο?σία) не допускает большей и меньшей степени. Например, человек не может быть человеком в большей или меньшей степени ни сам по себе, ни по отношению к другому человеку. Также не допускает большей или меньшей степени конкретное обозначение количества, например, одна тройка не в большей и не в меньшей степени тройка, чем другая. В то же время «отношение», «качество», «действие» и «претерпевание» могут обладать большей или меньшей степенью. Формальные способы оперирования с такими характеристиками отсутствовали вплоть до появления методов нечеткой логики и нечетких
множеств (Zadeh, 1965). В подобных условиях единственным путем логического вывода оказывался переход от «качеств» к «сущностям». Например, вместо качества «богатый», присущего сущности «человек» в большей или меньшей степени, вводится новая сущность – «миллионер», произвольно определяемая, например, как человек, имеющий на банковском счету более миллиона долларов.
Главным признаком кибернетичности системы служит наличие у неё не менее одной структурной обратной связи, в контуре которой должен находиться хотя бы один динамический элемент (интегрирования или дифференцирования). У реальных экономических систем (но не искусственных математических моделей, применяемых в традиционных экономических описаниях) всегда наличествует
множество динамических элементов (накопителей-интеграторов ресурсов, и/или дифференцирующих элементов, отражающих скорости и ускорения изменений параметров), и большое количество различных (положительных и отрицательных) структурных обратных связей (О.С.). Необходимо заметить, что корректность прогнозирования экономической динамики существенно возрастает, когда количество О.С. того же порядка, что и число моделируемых переменных, которых иногда несколько сотен тысяч. Кроме того, помимо структурных О.С. в кибернетических системах часто присутствуют обратные связи из будущей динамики, т. е. О.С. по временно́му континууму из будущего (см. ниже 4.В).
Индуктивные определения. Индуктивным определением называется определение некоторого
множества посредством использования общего приема (алгоритма), позволяющего построить любой элемент этого множества из некоторых исходных элементов. Алгоритмом здесь называется точное предписание, выполнение которого ведет от начальных данных к искомому результату. Индуктивное определение и задает такой способ порождения элементов множества из некоторых исходных.
Обобщение – мысленное расширение, увеличение, перенесение (экстраполяция) известного на область неизвестного; метод выделения отличительных черт, свойств и признаков, принадлежащих группам известных предметов (явлений, процессов, мыслей о них), и распространение их на другие, еще не известные группы. Обобщение – не просто выделение общего, а выделение отличительно-специфического для области предметов, для класса, объема,
множества , для предмета мысли. Обобщение, кроме того, и подведение итога, суммирование, осмысление накопленного материала (знания), формирование на этой основе общего положения (например, определения или закона). Обобщенный взгляд на тот или иной предмет является в то же время и упрощением, поскольку общий взгляд, конечно же, опускает частности, детали; обобщение как бы сводит сложное к простому. Обобщение увеличивает объем мысли. Обобщение распространяет имеющееся знание на область неизвестного, как в случае перенесения на планету Марс признаков, присущих планете Земля. Обобщение, как и другие мыслительные, методы выполняет многообразные функции в интеллектуальной деятельности человека.
Вера Рассела в могущество логики и логического анализа вполне объяснима. Как и Фреге, он был математиком, обратившимся к философии в связи с проблемой оснований математики. Как и Фреге, он увлекся логицистской идеей сведения всей «чистой» математики к логике. Когда в 1900 г. Рассел на Международном философском конгрессе познакомился с результатами Дж. Пеано по аксиоматизации арифметики, его программа построения всей математики как единой дедуктивной системы, опирающейся на минимальное количество понятий и основоположений, которые могут быть соответственно определены в логических терминах и выведены из чисто логических принципов, приняла вполне осязаемые очертания. В ходе осуществления этой программы Рассел построил формальный логический язык[17], который в своих принципиальных чертах совпадал с языком, используемым в этих же целях Фреге, но были и некоторые важные различия. Во-первых, Рассел стал применять более простую и наглядную, чем у немецкого логика, систему записи выражений формального языка, которая сохраняется до настоящего времени. Во-вторых, хотя Рассел, подобно Фреге, для описания логической структуры суждения использовал понятие функции, он сохранил для нее традиционное название «предикат». В-третьих, его логическая система содержала такой важный компонент, как «теория типов», созданная им для преодоления парадокса[18], который он обнаружил в теории
множеств весной 1901 г. и который впоследствии был назван его именем. Однако наиболее важные изменения коснулись интерпретации формального языка и созданной в этих целях теории значения.
Мир пришел к понятию системы, как единству активного и пассивного начал, как
множества определенным образом связанных частей целого, выделенных в некотором отношении элементов, как тождества простого и сложного, определенного и неопределенного и т. п.
Примером алгебраического фрактала служит знаменитое
множество Мандельброта. Не являясь самоподобным в строгом геометрическом смысле, оно, тем не менее, при увеличении изображения демонстрирует внутри себя бесконечное число собственных крохотных копий.
Обращаю внимание на то, что рассматриваемые понятия применимы на онтологическом уровне лишь к объектам как представителям
множеств (классов) однородных объектов. Они имеют смысл лишь при определенных условиях. Событие может быть необходимым (или случайным) относительно одних условий и случайным (соответственно – необходимым) относительно других условий.
В научном знании диалектическое мышление, предполагающее строго детерминированный умственный процесс признается нормой понимания объекта. Его сущность состоит в развертывании совокупности форм порождаемого объекта, в систематизации этих форм на основе многих подходов к исследованию этого объекта. Систематика есть синтез всех представлений об объекте. Его системное определение приводит к расширению объема, к превращению объекта во все большее по объему
множество и систематике его элементов в качестве иерархической системы подмножеств [24, c. 253]. Объект как исследуемое множество его форм представляет собой первичное множество, а его элементы (подмножества) представляют вторичные множества, подмножества вторичных множеств – третичное и т. п. [24, c. 253-254].
Разработка торговых стратегий на основе рационального подхода начинается с определения общей структуры стратегии и ее основных параметров. Это делается как на базе научного подхода (используя знания и предположения, вытекающие из известных или установленных разработчиком закономерностей), так и на основе эмпирического подхода (методами подбора и оптимизации). Во многих случаях целесообразно вначале использовать научный подход для определения интервала допустимых значений того или иного параметра, а затем применять эмпирический подход для нахождения оптимального значения параметра в пределах заданного диапазона. Аналогично научный подход может быть использован для определения исходного
множества определенных элементов (например, базовых активов, типов опционных комбинаций, критериев и т. п.), а эмпирические методы могут быть задействованы для выбора оптимального набора элементов в пределах данного исходного множества.
Самоподобие есть свойство фрактальной организации, когда формы связи, адаптации, типы власти или коммуникации повторяют друг друга на разных иерархических уровнях организации системы. Самоподобие и масштабная инвариантность может быть и пространственной, и временной. В последнем случае самоподобие означает вложенность циклов развития системы, когда циклы накладываются на циклы. Это так называемая гнездовая эволюция (nested evolution). Сложность адаптивной системы определяется не просто
множеством элементов системы, но и тем, что ее элементы (и подсистемы) являются автономными агентами, которые способны к взаимодействию, адаптации и обучению.
Абстрактный объект как раз и есть обобщение
множества возможных моделей данного конкретного объекта (совокупности конкретных объектов, или, как часто говорят, «предметной области»), а именно инвариант этих моделей. (Не всех, а тех, которые отображают именно данные объективные свойства моделируемого объекта: ведь у него могут быть и другие, не менее существенные, но изучаемые другими науками под другими углами зрения.) Ведь все эти модели уже по определению обладают общими, инвариантными характеристиками, отражающими сущностные свойства объекта и остающимися без изменения при переходе от одной модели к другой. Вот эти-то инвариантные характеристики и могут быть объединены в понятии абстрактного объекта или, как мы уже говорили, в понятии предмета данной науки.
В своё время математикам понадобилось несколько столетий, для того чтобы сделать систему аксиом компактной и удобной для использования. Это было связано с тем, что многие аксиомы дублировали друг друга, создавая лишнее нагромождение и путаницу. Что касается основ тренировочной системы Вейдера, то здесь опять же аналогичная ситуация. Многие тренировочные принципы являются логическим следствием других, более общих, но есть и такие, которые вообще нельзя считать принципами, поскольку это обычные тренировочные приёмы, а их можно придумать великое
множество . Но самый главный порок системы Вейдера заключается в том, что одни тренировочные принципы находятся в противоречии с другими.
Есть два рода категорий: один получается, если изучают различимые состояния вещей с точки зрения многообразия, а другой, если их изучают с точки зрения единств, обусловленных самыми состояниями в случае объединения их. Если принимается в соображение только многообразие состояний как фактор, от которого зависят их определения, то это означает отвлечение от того факта, что характер единства обусловливает различия; мы рассматриваем тогда вещи как бы с точки зрения одного единственного единства. Их способность к сравнению может заключаться тогда только в их многообразии, поскольку это
множество не имеет еще различий, т. е. поскольку оно характеризуется только словами «больше» или «меньше», поскольку оно есть величина. Это определение называется количеством. Оно выражает именно то свойство вещей, которым они обнаруживают различие, не изменяя своего единства, именно, различие в величине.
Минимальному уровню связности мышления m соответствует доминирование объектов над их совокупностью как целым. В такой ситуации понятие о целостности
множества Бmi не возникает. Каждый объект воспринимается индивидуально. Общее количество воспринимаемых объектов в любой текущий момент времени ограничено предельной скоростью восприятия информации[70], а в долгосрочной перспективе – объемом памяти и других психических ресурсов человека, связанных с накоплением и обработкой информации. «Отсутствие структуры, внутренней организации эквивалентно слишком большому поступлению оригинальной информации»[71]. Информационное ограничение, имеющее место в этой ситуации, определяет размер Бm0, что можно трактовать как минимальный размер пространства, доступный сознанию человека. Можно предположить, что это минимальное пространство представляет собой ближнюю зону. В силу описанного ранее информационного ограничения, размер ближней зоны можно связать с мерой информации. В качестве обоснования такой меры сделаем предположение, что объем информации, который человек в состоянии обрабатывать (пропускная способность системы) на всех стадиях развития приблизительно постоянен, а реальное увеличение потока информации происходит за счет ее концентрации. Такая концентрация обеспечивается механизмами сжатия информации с утратой второстепенных деталей, что понимается как абстракция. Соответственно, на каждом следующем уровне абстракции целостность отражения множества Б будет возрастать. Соответственно будет возрастать связность и количество отраженных объектов.
Одна из детерминант – так называемый «психологический экран», который ставится модальной структурой личности между предложением и принятием. Этот экран сортирует предлагаемые нововведения на две группы: (1) совместимые с обычной для общества структурой мотивов и (2) несовместимые с ней. Мотивационная структура, которую затрагивает этот процесс, располагается на высоком уровне абстракции, который включает в себя широкие ценности, имплицитно заключенные в этосе, национальном характере или модальной структуре личности: например, соблазнительность материального богатства, относительную значимость обязательств, накладываемых родственными связями и отношениями в сообществе, определение мужественности, важность пунктуальности и т. п. (см.: Wallace, 1951; Linton, 1947). Каждая отдельная аффективно нагруженная категория этого типа может использоваться для классификации огромного
множества конкретных нововведений, которые, казалось бы, непосредственно релевантны для более ограниченных контекстов. Таким образом, эти ценности функционируют в культуре как постоянные параметры выбора, дающие коннотацию большинству феноменов, невзирая на несравнимость их индивидуальных определений. Можно заметить, что метод семантического тестирования («семантический дифференциал»), разработанный психологом Осгудом (Osgood, Suchi and Tannenbaum, 1957), в высшей степени подходит для оценки той функции, которую выполняют такие широкие ценности в наделении коннотативными значениями огромного множества существующих феноменов, в том числе инновационных предложений.
Конечно, биологи – не математики, однако правило полезное.
Множество рассматриваемых адаптационистами гипотез очень широки, их формулировки имеют крайне общий характер. Это вовсе не всегда достоинство – при работе с такими общими гипотезами обычно выясняется, что доказательства, в них используемые, крайне не герметичны – они с необходимостью включают неопределенно большое число добавочных положений самого разного качества. Это обесценивает доказательства, работающие с такой «обширной» гипотезой. Причина в том, что в биологии пока мало абстрактных понятий, большинство слов биологического языка – понятия с очень богатым содержанием, причем не слишком формально проработаны. Поэтому общие гипотезы оказываются вовсе не стройными конструктами определенного значения, а очень расплывчатыми, богатыми разнообразным содержанием построениями, каждое из которых включает на деле чуть все биологические факты. Смысл стремления к герметичности доказательства в том, чтобы можно было отдавать себе отчет, что именно включают привлекаемые положения и аргументы, а чего они точно не включают. Е.Н. Панов множество раз указывает на антропоморфизмы, проникающие в аргументацию тех или иных положений теории о форме отбора. Авторы наивно привносят в теоретизирование весь «здравый смысл» отношений полов в человеческом обществе, полагая, что наскоро сформулированные гипотезы обладают биологическим смыслом, а не являются мифами современной культуры.
3) формулируется система правил вывода, позволяющая преобразовывать исходные положения и переходить от одних положений к другим, вводить новые термины в теорию: осуществляется преобразование постулатов по правилам, дающим возможность из ограниченного числа аксиом получать
множество доказуемых положений. «Аксиоматический метод может быть хорошим методом классификации или преподавания, но он не является методом открытия»[19].
– в фундаментальных науках есть возможность не рассматривать всякий конкретный реальный объект, заменяя его познанием типа объекта, то есть абстрактного представителя
множества объектов, сгруппированных в мысли по некоторому принципу (чаще всего по отношению к определенному типу взаимодействия). Отсюда большая продуктивность фундаментальных исследований и, как следствие, концентрация на фундаментальных исследованиях значительных интеллектуальных усилий;
У нас не может возникнуть осязаемого, так сказать, мысленного образа «интеллектуального объекта» или «интеллектуальной функции» (точно так же, как у нас нет, например, образа отдельно «правого» или отдельно «левого», «любого
множества », «бесконечности», «хаоса», «целостности», «процесса» и т. д.). Соответствующими понятиями мы пользуемся для наведения порядка в собственных представлениях, но, сами по себе, они полноценными представлениями не являются.