Математическая логика

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Фреге очень необычный мыслитель, поскольку его творческий поиск осуществлялся на стыке философии и математики. Свою главную задачу он видел в том, чтобы подвести под арифметику надежное логическое основание, продемонстрировав возможность определения ее основных понятий и аксиом в терминах чистой логики. Таким образом, Фреге первым выдвинул программу обоснования арифметики путем сведения ее к логике, которая получила название «логицизм». Для выполнения этой программы он создал совершенно новую логику, осуществив первое аксиоматическое построение пропозиционального исчисления и построив теорию квантификации и исчисление предикатов, которые образуют ядро современной математической логики. Эта новая логическая система была сформулирована Фреге на специально разработанном им формально-логическом языке. Задавая интерпретацию этого искусственного языка, Фреге заложил основы логической семантики, однако если в дальнейшем при создании логических языков стали четко отделять их синтаксис (задание словаря исходных символов, формулировка правил образования и преобразования выражений языка и т. п.) от семантики (сопоставление категориям языковых выражений различных типов внеязыковых сущностей), то Фреге выстраивает синтаксис и семантику своей системы одновременно по мере введения новых знаков и выражений. Более того, семантика языка формулируется им с учетом уже имеющейся онтологии внеязыкового мира, для представления которой и создается язык. Однако следует отметить, что Фреге не просто взял стандартную онтологию для арифметики, которая включает теорию чисел и математический анализ, но внес в нее существенные дополнения и изменения, по-новому осмыслив многие математические понятия, прежде всего понятия функции, класса и числа.

Л. Б. Макеева, Язык, онтология и реализм, 2011

Что касается методов, характерных для теоретического исследования, выделим следующие. Формализация – это построение абстрактно – математических моделей, когда рассуждения о предмете переносятся в плоскость оперирования со знаками (формами), тогда производится вывод новых форм по правилам логики и математики. При аксиоматическом методе производится логический вывод на основе каких-либо заранее принятых без доказательства аксиом. Так была построена вся геометрия Евклида и даже «Этика» Спинозы. В развитой науке аксиомы предлагаются как некоторая предполагаемая к исследованию система отношений, отвлеченных от их носителя и исследуемых аппаратом математической логики. Возможности этих методов также не безграничны (как это казалось до середины 30-х годов, когда была открыта знаменитая теорема Геделя). В науках, так или иначе имеющих эмпирическую основу, более эффективным является гипотетико-дедуктивный метод. Сущность его – в создании системы связанных между собой гипотез, из которой дедуктивным образом выводятся эмпирически проверяемые (и тем самым свидетельствующие об истинности общей теории) следствия. Этим путем шло развитие и подтверждение теории относительности, а анализ определенных следствий из нее задал целые направления современной науки.

В. Г. Торосян, Концепции современного естествознания

Описанному смыслу понятия анализа родственно более специальное понятие формально-логического (логического) анализ. Логический анализ – это уточнение логической формы (строения, структуры) рассуждения, осуществляемое средствами современной формальной логики. Такое уточнение может касаться как рассуждений (логических выводов, доказательств, умозаключений и т. п.) и их составных частей (понятий, терминов, предложений), так и отдельных областей знания. Наиболее развитой формой логического анализа содержательных областей знания, содержательных понятий и способов рассуждения является построение формальных систем, интерпретируемых на этих областях или с помощью данных понятий, – формализованных языков. Логический анализ – один из основных познавательных приёмов науки, значение которого особенно возросло благодаря развитию математической логики, кибернетики, семиотики и разработке информационно-логических систем.

С. Ю. Махов, Аналитика безопасности, 2013

В области методологии и философии науки семантика чаще всего понимается как выполняющая задачу приписывания «интерпретации» «бессмысленным» выражениям некоторого данного языка. Эта интерпретация в свою очередь рассматривается как приписывание некоторых подходящих референтов, или объектов (индивидов, множеств индивидов и т. д.), разного рода символам, которые, как предполагается, таким образом получают значение (meaning) и становятся осмысленными (meaningful). Этот подход стал стандартным для семантики формальных систем и составляет основную точку зрения, на которой в математической логике основывается теория моделей; на этом подходе основываются также практически все современные работы по семантике эмпирических теорий[164].

Эвандро Агацци, Научная объективность и ее контексты, 2014

Другая разновидность искателей абсолютного начала познания пыталась всю науку вывести из некой базовой теории, истинность которой (ее базовых положений) самоочевидна. Пеано пытался всю математику вывести из аксиоматически перестроенной арифметики. Рассел и Гильберт – то же самое, но из неких абсолютно тривиальных, очевидных и ниоткуда более не выводимых аксиом. Фреге, Рассел и прочие аналитики (они же логические позитивисты) пытались всю математику вывести из логики. Они же (включая Карнапа), отправляясь от того, что правила логики выражаются словами обычного языка, а последние неоднозначны, развили семантику и математическую логику в стремлении добиться однозначности слов языка. До выведения всей прочей науки из математики, точно так же, как в предыдущем случае, никто из них не дошел. Более того, один из самых рьяных и последовательных рыцарей абсолютизации науки на пути искания ее абсолютного начала в виде тривиальной системы аксиом, Рассел, вынужден был признать ошибочность этого пути [3].

А. М. Воин, Наука и лженаука, 2015

Следующий этап конвенционализма связан с развитием математической логики в 30-х гг. ХХ в. и особенно ярко выражен в ранних работах Р.Карнапа и К.Айдукевича. Карнап сформулировал так называемый принцип терпимости, утверждающий, что в основу каждой естественнонаучной теории можно положить любую систему аксиом и правил синтаксиса. Айдукевич разработал концепцию «радикального конвенционализма», согласно которому описание мира в науке зависит от выбора понятийного аппарата, причем, ученые свободны в этом выборе. Элементы конвенционализма имеются в неопозитивизме, прагматизме и операционализме.

Я. С. Полякова, Общие проблемы философии науки, 2011

Необходимо упомянуть, что современная, математическая логика содержит элементы как классической, так и неклассической логики.

Д. А. Шадрин, Логика: конспект лекций, -1

С идеологией дискретности связана и современная информационная техника. Первая механическая вычислительная машина была построена еще в XVII столетии Б. Паскалем. После с изобретением электронных ламп в 40-х годах XX века начинается постройка первых ЭВМ. Они, естественно, используют двоичную систему счисления (0,1), значение которой в деле алгоритмизации осознал еще Лейбниц («Адамов язык»). После Второй мировой войны в связи с прогрессом электроники начинается и ускоренное развитие электронных информационных устройств. Существенно, что вся эта техника – коммуникативная, вычислительная, аудио, видео – является цифровой, то есть использующей в качестве базисного бинарный алфавит (0,1). Все непрерывные функции в этой технике сводятся к ступенчатым, дискретным. Возможность подобного моделирования непрерывных процессов изучается целым отдельным направлением в математике, а возможность машинного моделирования – специальным отделом математической логики. С точки зрения этой технологии все процессы, все знание о мире в принципе может быть разложено в последовательность нулей и единиц, выражено одним линейным файлом, представлено в виде информации. Информация в этом смысле выступает как знание, доступное машинной обработке. Несмотря на головокружительные успехи цивилизации в этом направлении – решение задач распознавания образов, повышение скорости обработки информации, построение многофункциональных роботов, – идея превращения всего знания в информацию находит себе границу не только в естественном «гуманитарном инстинкте» человека, но и в конкретных научных разработках: наблюдениях над особенностями взаимодействия человека и машины (физиологическая и психологическая характеристики воздействия компьютера на человека), в осознании ограниченности эстетических возможностей электронных синтезаторов («грубость» цифровой музыки, изображения), в принципиальных вопросах алгоритмизации процесса познания (теорема Гёделя о неполноте, теоремы неразрешимости и т. д.). Однако, тем не менее, идеология дискретности остается на сегодня в высшей степени популярной.

В. Н. Катасонов, О границах науки, 2017

1. Верещагин Н. К., Шенъ А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Ч. 1. Начало теории множеств. – 4-е изд., доп. – М.: МЦНМО, 2012. – 112 с.

Л. И. Павлова, Теория и методика развития математических представлений у дошкольников, 2017

Л. О. Резников и А. А. Брудный[11] высказывают мысль о том, что отношение знака к объективно-реальным предметам опосредовано сознанием. Основным для знака является его отношение к значению, т. е. к тому, что существует в сознании. Единство значения и знака, по их мнению, составляет необходимое условие общения, ибо знаки могут служить процессу обмена мыслями только при наличии значений, известных, понятных тем, кто общается. А. А. Зиновьев[12] отмечает, что знаки имеют ряд свойств, кроме того, что они находятся в соответствии с обозначаемым. Так, на роль знака отбираются удобные предметы, а не любые. Знаки должны непосредственно восприниматься теми, для кого они предназначены. В концепции знака и значения, разработанной И. С. Нарским, отношение знака к вещам и процессам вовсе не обязательно должно быть опосредовано сознанием, ибо как знаковые отношения, в математической логике, например, интерпретируются генетические, гормональные и феромональные структуры и процессы. Как материал знак, так и его значение могут быть либо материальными, либо идеальными. Знаки образуют особого рода знаковую систему – язык. Знак представляет единство определенного мыслительного содержания означаемого и означающего. Две стороны знака, будучи поставлены в отношение постоянной опосредованной сознанием связи, составляют устойчивое единство, которое посредством чувственно воспринимаемой формы знака, т. е. его материального носителя, репрезентируют социально приданное ему значение.

С. Т. Махлина, Лекции по семиотике культуры и лингвистике, 2010