Связанные понятия
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Упоминания в литературе
На квантовом уровне феномен когерентности описывается понятием когерентной суперпозиции. Образующие ее состояния, в
классическом пределе не могут быть зафиксированными одновременно. Когерентная суперпозиция существует лишь при отсутствии взаимодействия рассматриваемой системы с окружением. Состояния же её описываются они посредством волновой функции (вектором состояния)[36]. Это описание формализуется заданием вектора в так называемом гильбертовом пространстве, определяющем полный набор состояний, в которых способна находиться замкнутая система. Примечательно, что квантовая суперпозиция лишена наглядности, ибо складываются не вероятности как своего рода умственно представимый «минимум бытия», а волновые функции. Не случайно В. Гейзенберг отмечает: «Сама попытка вообразить картину элементарных частиц и думать о них визуально – значит иметь абсолютно неверное представление о них».
Наиболее общим и поэтому наиболее адекватным (хотя и наиболее туманным – впрочем, этим оно также и хорошо) является определение СВ как содержащего указание на ограничение действия пределом (и НСВ – как не содержащего такого указания) [Виноградов 1947: 497–498]. Это определение, в силу своей обобщенности, поднимается над различием «начала» и «конца». Это определение также соответствует
приведенному выше описанию инварианта СВ и НД значения НСВ. Как границей, «пределом» реки является берег, так границей одного состояния может быть только другое состояние, предшествующее ему (и образующее тем самым его начальную границу) или следующее за ним (и задающее тем самым его конечный «предел»):
Коренное отличие современной математики от античной, отличие, которому она обязана своим быстрым развитием и методологическим превосходством, основано всецело на признании ею одного принципа, который античности остался навсегда чуждым: принципа бесконечного. К открытию и установлению его привела не одна, а целый ряд проблем, относящихся к различным отраслям математической науки. В арифметике это была проблема ряда (иррационального числа), в геометрии – проблема касательной, в механике – проблема движения. Все эти проблемы ведут свое начало из древности. Но античная математика не могла дать на них удовлетворительного ответа; она стояла еще целиком на почве Архимедова принципа, по которому объектом математики может быть только то, что доступно точному измерению. Это определение, a limine исключающее из ведения математики бесконечное, раз навсегда отрезало научной мысли античности путь к
разрешению целого ряда основных проблем, неразрывно связанных с понятием бесконечности; прежде всего к решению проблемы непрерывного. Раз подчинившись принципу Архимеда, она никогда более не могла выйти за пределы прерывного и дискретного бытия.
Мы достигли нынешнего уровня знаний не потому, что собрали много теорий, подобных тем, что были известны древнему мастеру. Наше знание, явное и неявное, не просто намного больше – оно отличается по своей структуре. Как я уже сказал, современных теорий меньше, но они более общие и более глубокие. В каждой ситуации, с которой сталкивался древний мастер, выполняя какую-то работу (к примеру, выбирая толщину несущей стены), он пользовался довольно специфической интуицией или эмпирической зависимостью, которые применительно к нестандартным случаям могли дать безнадежно неправильные ответы. В наше время проектировщик принимает такие решения, используя настолько
общую теорию, что ее можно применить к стенам, сделанным из любых материалов, в любой среде: на Луне, под водой и где угодно еще. Причина ее общности в том, что теория основана на достаточно глубоких объяснениях принципов поведения материалов и конструкций. Чтобы найти правильную толщину стены из незнакомого материала, используют ту же теорию, для обычной стены, но приступая к расчетам, берут другой набор фактов – другие числовые значения различных параметров. Конечно, приходится искать в справочнике такие факты, как предел прочности на разрыв и упругость материала, но в дополнительном понимании нет необходимости.
Итак, действительное значение математической строгости не следует преувеличивать и доводить до абсурда; здравый смысл в математике не менее уместен, чем во всякой другой науке. Более того, во все времена крупные математические идеи опережали господствующие стандарты строгости. Так было с великим открытием XVII в. – созданием основ анализа бесконечно малых (т. е. основ дифференциального и интегрального исчисления) Ньютоном и Лейбницем. Введённое ими в обиход понятие бесконечно малой определялось весьма туманно и казалось загадочным современникам (в том числе, по-видимому, и самим его авторам). Тем не менее оно с успехом использовалось в математике. Разработанный Ньютоном и Лейбницем символический язык не имел точной семантики (которая в удовлетворяющей нас сейчас форме была найдена лишь через полтораста лет), но даже и в таком виде позволял описывать и исследовать важнейшие явления действительности. Так было и с такими фундаментальными
понятиями математики, как предел, вероятность, алгоритм, которыми пользовались, не дожидаясь их уточнения. Так обстоит дело и с «самым главным» понятием математики – понятием доказательства. «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"» – этими словами открывается знаменитый трактат Николя Бурбаки «Начала математики»[5]. Однако читатель заметит, что знакомое ему ещё со школы понятие доказательства носит скорее психологический, чем математический характер. Доказательство (в общепринятом употреблении этого слова) – это всего лишь рассуждение, которое должно убедить нас настолько, что мы сами готовы убеждать с его помощью других. Несомненно, что уточнение этого понятия (во всей полноте его объёма) – одна из важнейших задач математики.
Связанные понятия (продолжение)
Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.
Подробнее: Измеримая функция
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций...
Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.
Подробнее: Конечные разности
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а...
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Топологическое векторное пространство , или топологическое линейное пространство, — векторное пространство, наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.
Подробнее: Вычет (комплексный анализ)
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...
Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность элементов числового пространства.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.
Инвариа́нт — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.
Многомерный
анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Непрерывная функция — функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Трансценде́нтное число ́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.
Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Упоминания в литературе (продолжение)
Специфика движений, описанная Пиаже для подстадии 2, позволяет определить качественный характер произошедших изменений. Объединение двух ранее независимых движений или телесных схем в одну первичную циркулярную реакцию возможно только на основе первых одиночных – линейных – связностей ЭСС. С другой стороны, то, что малыши на этой подстадии еще не имеют представления об объектах, существующих вокруг них, однозначно указывает на отсутствие чувства границы – границы тела. Т. е. целостность мышления минимальна и мир малыша
ограничивается пределами собственного тела. Отсутствие понимания движения объекта также указывает на недостаточность связности ЭСС. Таким образом, можно констатировать, что подстадия 2 указывает на начало второго этапа парадигмального цикла, описываемого 1-D ППМ.
4.041. Это математическое многообразие, конечно, само не
может быть объектом описания. При описании невозможно выйти за его пределы.
В соответствии с теорией Франка, каждая научная система базируется на небольшом числе основных утверждений о реальности или аксиом, которые считаются самоочевидными. Истинность аксиом определяется не рассуждением, а непосредственной интуицией; они произведены имагинативными способностями ума, а не логикой2. Применяя строгие логические процедуры, можно извлечь из аксиом систему других утверждений или теорем. Возникнет чисто логическая по природе теоретическая система – она подтверждает саму себя, и ее истинность по существу не зависит от физических случайностей, происходящих в мире. Чтобы оценить степень практической применимости и соответствия такой системы, следует проверить ее отношение к эмпирическим наблюдениям. Для этого элементы теории должны быть описаны с помощью «операциональных определений» в бриджменовском смысле3. Только
тогда можно определить пределы применимости теоретической системы к материальной реальности.
Если процесс нахождения инсайтного решения (стадию инкубации) можно корректно описать в терминах Я. А. Пономарева как переход в режим работы интуитивных, неосознаваемых, древних процессов поиска решения, то относительно причины такого перехода и его механизмов остаются вопросы, которые также требуют ответа. Для того чтобы попытаться предложить удачное объяснение данного перехода, вернемся к работам авторов направления, которое ввело феномен инсайта в оборот психологической науки. К исследованиям, выполненным представителями гештальт-подхода и конкретно К. Дункером. Дункер говорил о наличии класса задач, провоцирующих особый тип решения, при котором нахождение требуемого происходит скачкообразно, неожиданно для решателя, что собственно и проявляется как феномен инсайта (Дункер, 1965). Что именно в таких задачах провоцирует инсайтное решение? Дункер считал, что это особая организация репрезентации условий задачи, которая, с одной стороны, являясь устойчивой, с другой, содержит в себе непреодолимые противоречия. Хорошим
примером такого типа задач является задача Н. Майера «9 точек» (см.: Maier, 1931). Эта задача провоцирует возникновение устойчивой репрезентации условий (точки образуют собой квадрат, в терминологии гештальтистов «хорошую», замкнутую фигуру). В то же время условия задачи требуют соединить их четырьмя отрезками, не отрывая руки. Выполнить это требование невозможно, не выходя за пределы квадрата. Это правило не выдвигается, его диктует именно структура «хорошей» репрезентации. А решением будет как раз отказ от нее, преодоление навязываемого противоречия. К. Дункер для объяснения протекающих при таком решении процессов (как возникновения состояния тупика, так и нахождения выхода из него, принципиального решения) использовал метафору зрительного поля, предполагал, что в таких задачах мы имеем дело с процессами низкоуровневыми, родственными перцептивным.
Во всем этом сущность выражения оказывается в игре. Ибо отношение выражения выходит за пределы отношения каузальности: оно применяется к независимым вещам или автономным сериям, которые имеют не меньше – одна с другой – детерминированного, постоянного и регулярного соответствия. Если философия Спинозы и философия Лейбница обнаруживают почву для естественного сближения, то именно в идее выражения, в том, как они соответственно употребляют эту идею. И мы увидим что «выразительная» модель Лейбница – это всегда модель асимптоты или проекции. Совсем другая – это выразительная модель, выявляемая теорией Спинозы: «параллелистская»
модель, она подразумевает равенство двух вещей, которые выражают одну и ту же третью вещь и тождество этой третьей вещи, как она выражена в двух других. Идея выражения у Спинозы сразу собирает и обосновывает три аспекта параллелизма.
Итак, «творческий дух» народа
можно определить как некоторый набор в высокой степени обобщенных простейших понятий и аксиом, служащих схемой соотнесения для всего общества (или, по крайней мере, для значительной части его населения). Сами по себе эти аксиомы могут не сознаваться их обладателями; и, как правило, они могут быть извлечены из культурных или психологических данных. Они заключают в себе программу возможной культурной эволюции и, стало быть, устанавливают пределы возможного культурного развития того населения, которое их использует.
В качестве оправдания неудач и пояснения сложности проблемы понимания естественного языка можно сказать следующее. Если взять для примера животный мир, то достаточно многие его представители явно обладают интеллектом и умеют решать различные задачи: поиск пищи, распознавание образов, взаимодействие, нахождение пути домой и т.п. В
классическом определении интеллекта вообще указано, что это высшая стадия для животных, включая собак, кошек, дельфинов и т.п. Многие хозяева считают своих питомцев интеллектуальными. Однако человеческий язык во всей своей сложности используется только людьми, и это одно из наиболее важных отличий нас от животных. Мы являемся сторонниками такой точки зрения: понимание естественного языка – это задача одинаковая по сложности с самим созданием ИИ в его самом сложном смысле, как создание автоматической системы равной или превышающей человеческий индивидуальный интеллект. Поэтому упрощенные "игрушечные" методы никогда не приведут к его решению. У Дж. Люгера выше именно это явно и звучит: понимание человеческой речи лежит за пределами сегодняшних методологий научных исследований. Надо разрабатывать новые подходы и методы.
Приведу еще один прием, который также я ввел в логическую социологию и неоднократно использовал (он пригодится и в дальнейшем). При теоретическом исследовании объектов некоторого данного типа мы вправе выбрать для наблюдения их наиболее развитые и четко выраженные экземпляры. Рассматривая их, мы стремимся найти самое абстрактное их определение – идем от конкретного к абстрактному. При этом мы руководствуемся таким принципом. Самые абстрактные признаки объектов, включаемые в
их исходное определение, суть признаки, определяющие их качество. Они сохраняются, пока существуют объекты. Они образуют «нижнюю» эволюционную границу объектов. Найдя такое исходное определение, мы восходим от него к высшему уровню развития объектов – идем от абстрактного к конкретному. При этом мы прослеживаем реальное развитие потенций объектов, изначально заложенных в их определенном выше качестве. В процессе развития абстрактные признаки в конце концов достигают уровня, на котором они воплощаются в особые структурные компоненты объектов, – реализуются в виде, близком к абстрактному «чистому» виду. Это и позволяет в конкретных наблюдаемых объектах найти их абстрактные основы и проследить процесс их развития от их исторического и логического начала до качественного «потолка», предела.
Данные теории имеют общие черты: они сходны в том, что необходимо решать проблемы, присущие многим наукам. Эти теории вводят новые понятия и модели; они имеют дело преимущественно со многими переменными. Вводимые этими теориями модели являются междисциплинарными по своему характеру и выходят далеко за пределы сложившихся областей научного знания; вводятся такие понятия, как целостность, организация, направленность движения или функционирования.
Определяемое понятие выражено названием (именем) объекта (единичного или любого из данного класса объектов). Определяющее можно представить, как наиболее точное и лаконичное описание (через указание на существенные и отличительные признаки) сущности определяемого предмета или пределов использования термина, а также
(другие возможные варианты) – функций, способа возникновения определяемого объекта, элементов контекста, позволяющих более точно его представить и т. д.; связка зачастую обозначена обычным тире.
Как известно, одной из центральных тем в творчестве Карнапа был поиск точного и строгого выражения основной идеи эмпиризма, трактуемой им как сведение всех предложений науки к некоторому классу элементарных («протокольных») предложений, образующих
предел их логического анализа и фиксирующих «чистый» опыт. Система знания воспринималась им как закрытая система, в которой протокольные предложения обеспечивали неопровержимый и абсолютно достоверный базис знания, а сводимость к ним всех других предложений науки трактовалась как критерий их истинности и осмысленности. В осуществлении эмпирической редукции Карнап отводил принципиальную роль построению формально-логических языков и строгому определению процедур сведения. Первую попытку соединения эмпиризма и логики Карнап предпринял в книге «Логическое построение мира» («Der logische Aufbau der Welt», 1928), где им была разработана «конструкционная» методология сведения всего массива знания к феноменалистическому базису, составленному из элементов индивидуального чувственного опыта[52]. Эта методология предполагала построение многоуровневой системы понятий, связанных между собой цепями определений, цель которых – обеспечить строгую сводимость понятий более «высоких» уровней к понятиям низшего уровня[53]. Возможность использования ресурсов символической логики для подобной реконструкции знания, а главное, для описания «сырого материала» опыта обосновывалась Карнапом тем, что наука имеет дело с описанием не содержания опыта, а лишь его структурных свойств, допускающих формальное представление в логических символах. С помощью разработанной им «конструкционной» методологии Карнап надеялся продемонстрировать адекватность предложенного логическими позитивистами верификационистского критерия значения, согласно которому предложение имеет значение, если оно может быть верифицировано, т. е. сведено к протокольным предложениям.
Таким образом, мы получили решение нашей проблемы: операциональные понятия безусловно контекстно-зависимы и нагружены теорией в той мере, в какой речь идет об их полных контекстах, включающих изменяемую часть. Но они контекстно-независимы и потому не нагружены теорией, если речь идет об их базовом контексте, поскольку он ограничен только теми операциями, которые непосредственно входят в состав данного понятия. (Между прочим, наша точка зрения избавляет нас от необходимости признавать такие гибридные признаки, как «правила соответствия (correspondence rules)» или другие подобные средства, природа которых темна, поскольку они должны быть языковыми средствами, т. е. практически высказываниями (propositions), наделенными волшебной способностью позволять нам выскакивать за пределы языка. Похоже, что наши операциональные понятия, интенсионал которых отчасти соотносится с референтами явно эмпирической природы, отчасти с остальной
собственно теоретической структурой, гораздо лучше справляются с этой задачей). Отсюда, конечно, не следует, что наш общий взгляд на теории сводится к этому представлению их «языкового аспекта». Но это прояснится в свое время.
Тем не менее квантовая физика, которая исследует мир
вне пределов нашего непосредственного восприятия, утверждает, что пространственно удаленные друг от друга объекты иногда образовывают единое целое. Более того, в таких системах, как бы далеко ни были разнесены их компоненты, при воздействии на один из них реагировать будут оба! Как можно в такое поверить? Как можно проверить это утверждение? Как это понимать? И можно ли использовать это странное проявление квантовой физики, эти удаленные объекты, образующие единое целое, для передачи информации на расстоянии? Вот основные вопросы, на которые мы постараемся ответить в этой книге.
Понимание главного содержания процесса самоорганизации материи как изменения ее организации позволяет
описать процессы развития систем последовательностью переходов от одних квазистабильных состояний, характеризуемых определенными параметрами организации, к другим. Предлагаемый подход отвечает тому представлению о роли временных масштабов при изучении процессов, протекающих в окружающем мире, которые мы находим в многочисленных публикациях В. И. Вернадского. Заметим, что такое представление лежит, по существу, в основе инструментария современного системного анализа. В самом деле, в каждом конкретном исследовании всегда каким-либо образом определяется временной интервал, в пределах которого изучается тот или иной объект, – например, глубина прогноза погоды или количество жизненных циклов популяции. Определение подобного интервала является важнейшей характеристикой исследования, определяющей цель исследователя.
6. Итак, через гласные человеку открывается проход в
бесконечность возможных точек и систем отсчета, кодом гласных букв определяются границы новой греческой и впоследствии европейской ментальности, повлекшей развитие цивилизации (метапрограмма «процесс», «изменения»). Человек стремится к пределам бесконечного во времени. Каждое движение в этом процессе создает новую позицию (точку отсчета), относительно которой меняется картина мира. Эти движения, как поворот оси калейдоскопа, не имеют преимущества одно перед другим, они равноценны. Однако число гласных определено. Это означает, что новая ментальная модель предлагает алгоритм изменений. В этом смысле бесконечность – не количественная, а качественная характеристика.
Применение родовидовой схемы порождает включающую (гнездовую, матрёшечную) иерархию понятий как логических универсалий. К низшему уровню иерархии относятся логические виды, они включают единичные объекты и логически не делятся, но сами являются результатом деления логических родов. Поскольку схема логическая, это означает, что в ней нет фиксированных рангов: одна и та же универсалия может быть промежуточным родом в одной схеме, низшим родом в другой и видом в третьей – в зависимости от того, с чего начинается и на чём заканчивается деление соответствующей иерархии понятий и определяемых ими классов разных уровней общности (Wilkins, 2010). С другой стороны, у этой схемы нет нижнего
предела: деление может быть сколь угодно дробным, если это обусловлено потребностью классифицирования и допускает наличное разнообразие вещей. В частности, согласно одному из крупнейших логиков XIX века Дж. Миллю, ничто не мешает называть видами расы человека, коль скоро они чётко различаются (Милль, 1900): данный тезис во второй половине XIX века способствовал развитию кризиса концепции вида (см. 4.1.3).
Новый конструкт был описан в соответствии с принципом структурно-функциональной аналогии. Исходя из этого, архитектоника когнитивной сферы включает структуры, которые обеспечивают возможность представления многомерных образов, моделей в мысленном пространстве, однако знание о структурах не объясняет механизмы их формирования. Анализ динамических аспектов когнитивной деятельности дает некоторое представление о том, каким образом осуществляется многомерное отображение задачи в мысленном плане, но не объясняет связи между структурами (элементами системы). Однако, согласно Дружинину, именно динамическая модель интеллекта обеспечила выход на модель когнитивного ресурса. Данные исследований (Eysenck, 1986; Neubauer, Bauer, Höller, 1992; Neubauer et al., 1997), в которых изучалось соотношение скорости психических процессов, ВР выбора и психометрического интеллекта, явились основанием для рассмотрения этих характеристик в качестве операциональных дескрипторов когнитивного ресурса. На этапе формирования представлений о новом конструкте было предложено следующее определение, согласно которому когнитивный ресурс можно рассматривать как мощность
множества[3] связанных когнитивных элементов, которое субъект активно использует в процессе решения задачи для реконструкции ее модели в мысленном плане. Когнитивный элемент рассматривается как минимальная единица когнитивной структуры. Предполагается, что совокупность «активных» и «свободных» когнитивных элементов характеризует мощность когнитивного ресурса и проявляется в интеллектуальной продуктивности, в частности, в предельных показателях внимания, памяти, решения разного типа задач и т. д. На этом этапе исследования общепсихологический статус когнитивного ресурса как теоретического конструкта только постулировался. Рассматривая общий интеллект как «ресурс», характеризующий когнитивные возможности индивида, Дружинин предположил, что диапазон интеллектуальной продуктивности ограничен «верхним пределом» достижений, иными словами, отдельные когнитивные способности имеют предельные значения.
Что же такое антропологическая матрица? В докладе на конференции, приведенном в данной книге, мы представили свое понимание антропологических матриц П.А. Флоренского и Л.С. Выготского. Во введении же мы хотели бы остановиться на общем понимании проблемы антропологической матрицы. На наш взгляд, антропологическая матрица является некоторой общей «разверткой» представленности человека в его разных ипостасях. Антропологическая матрица позволяет выделять набор отдельных проекций целостного существования человека, в которых выявляются пределы его самовозрастания и развития. Антропологическая матрица является одновременно и структурным и процессуальным образованием: это процессоструктура или структуропроцесс. Сам набор проекций задает определенную структурную организацию, но продвижение
человека относительно граничных определений в каждой из плоскостей является процессуальной характеристикой. Возможен и такой случай, когда продвинутость в одной из плоскостей, как единство процессуального и структурного описаний, меняет набор самих плоскостей и их организацию.
Под идеальным ГО понимается пространственная система, формируемая или формирующаяся из элементов географических пространств; причем эти элементы представляют собой готовые знаки и/или символы, аккумулирующие в пределе все интересные с образной точки зрения черты и характеристики рассматриваемых географических пространств. Идеальный ГО – это теоретический конструкт, подобный, например, понятию идеального газа в физике, или же понятию идеального государства у И. фон Тюнена. Данный теоретический конструкт можно рассматривать
также и как элемент (понятие) виртуальной географии[277]. Главное, что отличает идеальный ГО от бесконечного множества конкретных ГО – отсутствие трансакционного механизма, сопротивления социокультурной среды (или образного «трения» в терминах физики), значительной когнитивной дистанции (в пределе она стремится к нулю) между пространствами и образом, их отражающим или выражающим. Понятие идеального ГО необходимо для более полного понимания общих структур функционирования моделей ГО.
Время любого конкретного развивающегося объекта включает все параметры. Однако при определенных ракурсах позиционирования объекта в реальном мире или предмета исследования в науке, рассмотрения вообще, время может «утрачивать» (можно абстрагироваться) от одного, двух, трех, четырех
параметрических характеристик. Так, время имеет одно измерение в стационарных объектах изотемпного типа – направление. Это объекты, «работающие» на физико-химических взаимодействиях (астрономическое время). Поскольку все процессы (длительность) здесь равномерны, повторяемость жесткая (в пределах флуктуаций), время имеет постоянную скорость, не обладает выбором в пределах небольших интервалов времени (десятки миллионов лет), границы не существуют (фактическая вечность). Время имеет два измерения в стационарных объектах анизотемпного типа – направление и темп (ритм). Три параметра, например, в масштабах времени, соизмеримых с временем бытия объекта, когда появляются границы времени. И так далее. Точно так же, как происходит «выпрямление» искривленного пространства Н. И. Лобачевского, Б. Римана, А. Эйнштейна до плоскости Евклида и изотропного, однородного, стационарного пространства Галилея-Коперника-Ньютона, происходит «выпрямление» времени из многомерного в одномерное и двумерное при определенных параметрах объекта (процесса или ситуации).
Конечность результата циклических процессов осмысливается Шеллингом в понятиях целого и формы. «Если мы, в конце концов, объединяем природу в одно целое, то механизм, т. е. нисходящий ряд причин и действий, и целесообразность, т. е. независимость от механизма, одновременность причин и действий противостоят друг другу. Благодаря тому, что мы объединяем еще и эти два предела, в нас возникает идея целесообразности целого, природа становится кругом, который возвращается в самого себя, является в себе самом замкнутой системой».47 Циклическая бесконечность органических процессов обретает конечность в нашем восприятии целого посредством качественного восприятия устойчивой
формы: «Мы называем это конечным или формой»48. При этом, по Шеллингу, разъединение и соединение не сводится к обмену веществ с внешней средой, как это часто принимается в литературе, «ибо восприятие этих веществ уже предполагает саму жизнь. (…) уже само есть функция жизни»49.
Из представленного анализа следуют несколько выводов. Во-первых, можно допустить, что феномен ранней помощи, несмотря на некоторую историю своего существования, еще не обрел постоянных характеристик, устойчивых параметров, определенной содержательной структуры и «не дошел до своего предела, когда наука… уже оставила это понятие и, отталкиваясь от него, ушла вперед» (Ю.С. Степанов, 2003. – С. 34), а значит, требует детального изучения, обоснования и
определения в соответствии с задачами нашего исследования. Во-вторых, можно предположить, что все перечисленные аспекты отражают те или иные стороны содержания понятия «ранняя помощь», осмыслить и оценить которые возможно при условии рассмотрения этого феномена в качестве социальной системы. Последнее предположение позволило нам сформулировать гипотезу о том, что ранняя помощь – это не что иное, как социальная система, а все перечисляемые аспекты этого понятия отражают составляющие ее части, или компоненты, образующие интегративные качества, не свойственные ее компонентам.
Физикально-относительная парадигма (способ мышления), когда пространство и время представляются как реальности, которые физически (в данном случае – объективно) не существуют раздельно друг от друга, а, напротив, образуют своеобразную взаимосвязанную «непрерывность» (континуум). Причем пространственно-временные свойства этого континуума существенным образом зависят от пространственно-временных, гравитационных, динамических и тому подобных свойств заполняющих их объектов и (!) от скорости движения субъекта-наблюдателя. Бытие времени рассматривается как четвертая координата единого пространства-времени (Минковский, 1935). В микро – и мегамасштабах пространство-время бытия характеризуется криволинейностью, в пределе доходящей до спиралевидности. В дополнение к линейным взаимодействиям (предмет и исходная предпосылка классической физики) приходит представление о полевых взаимодействиях. Этот способ мышления нашел свое яркое выражение в теории относительности Эйнштейна и других вариантах неклассической физики. Принципиально, что именно здесь открылась ограниченность человеческого восприятия и мышления для познания пространственно-временных свойств бытия. Появляется осознание зависимости познания пространственно-временных свойств бытия от масштаба пространственно-временных характеристик бытия самого субъекта-наблюдателя и вышеуказанной дискурсивной ограниченности человеческого мышления. Противоречие между указанной ограниченностью парадигмального мышления и бесконечной континуальностью свойств физической
реальности как объекта исследования привело, как известно, к появлению разного рода физических парадоксов и таких принципов, как принципы неопределенности, дополнительности и эффекта наблюдения (Гейзенберг, 2004; Бор, 1961 и др.).
В многообразном постмодернистском дискурсе выделяется проблема изолированного объекта, объекта как исчерпывающего и даже тавтологического знака, предела означивания, маркера границы. У. Эко считает открытость для бесконечного переинтерпретирования одной из характерных черт искусства XX века. Согласно его подходу, любая точка, любой элемент произведения обладает
бесконечным числом значений. Меняется структура произведения: линейному разворачиванию сюжетной линии автор предпочитает круговые – повторяющиеся или вращающиеся вокруг некоего воображаемого, виртуального центра-элемента формы. С одной стороны, появляется привилегированный элемент, а с другой, исчезает иерархия, последовательность.
Сознательно ограниченные нами, лимиты данной главы монографии, не позволяют дать исчерпывающих сведений по поднятой проблеме интеграции системы индивидуальности. Так, за пределами главы, остались вопросы более глубокого освещения особенностей интегрального
метода, тождества двух основных типов детерминации и связи, и, в частности, важнейшая проблема новой «локализации» много-многозначной, а также однозначной «разноуровневой» сопряженности. Не представляется возможным раскрыть такой существенный пласт интегрального исследования, как разноуровневые каузальные и стохастические типы в плане развития системы; вообще – проблемы динамики конституционального типа: функционирования, развития и главное, генетической изменчивости его, что, собственно и является кардинальной задачей изучения индивидуальности.
В традиционной философской терминологии, которой целесообразно по-возможности ограничиваться (чтобы не вводить неологизмы без крайней необходимости), слово «мир» используется в качестве более или менее устойчивого обозначения, поскольку мир так или иначе, явно или неявно концептуализируется тем или иным способом (в качестве мира – неизбежная и по своему продуктивная тавтология), хотя и по-разному понимается и трактуется, а «всё» не специфицировано в качестве устойчивого термина. В противовес гипостазированному (античному) единому – самому по себе – единство (начиная с Нового времени) выступает как характеристика, требующая дополнения/уточнения, то есть указания, к чему это единство относится (единство чего? – единство вещи, единство бытия и т. д.), так что в пределе (пределе всех пределов) весь набор единств ограничивается миром[5] и включается в мир, ибо мир по определению всеохватывающ. Мир – это не просто всё в некотором комплекте и в (потенциально бесконечном) количестве; мир – это то, в чем всё это «всё» находится и чем всё это «всё» охватывается, хотя им предположительно не исчерпывается, ведь всё меняется, а мир – при всей своей внутренней изменчивости – сохраняется: в том смысле, что мир всё равно остается миром, поскольку как бы мир не изменялся, он не может перестать быть миром, ибо не в состоянии превратиться в некий «не-мир», так как ничего другого предположительно просто нет и не может быть. Будучи обычным словом обыденного языка, «мир» обозначает настолько очевидную, настолько простую вещь, что она понятна без
объяснения[6], выступая фундаментальным условием возможности[7] говорения обо всём в мире; но, как это обычно и бывает с изначальными началами, при любой попытке прояснить и уточнить мир проявляются сложнейшие проблемы[8].
Число А называется
пределом последовательности {an}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |an– A| < ε. Обозначение предела последовательности: .
6. Аномалии в восприятии текстов. Не все изначально заданные смыслы открыты всем в равной степени. Когда рождается ребенок, его сознание выглядит как почти гладкая прямоугольная функция распределения р0 (μ). Селективности еще нет, но ребенок готов к ее созданию, воспринимая поступающие к нему фильтры р (у/μ). Но возможны аномалии. В гладкой по своей природе исходной функции р0 (μ) могут оказаться «черные дыры» (участки с ординатами, равными нулю). Так, возможно, появляются умственно отсталые дети, не способные воспринимать нашу культуру. Среди наших коллег также есть люди, в мировоззренческом плане абсолютно не
способные выйти за пределы, например, позитивизма (или примитивного материализма), а в социальном плане – видеть мир свободным, не погруженным в тоталитаризм. Что-то похожее происходит и в цветовом восприятии физического мира – там есть дальтоники, не различающие цвета на отведенной нам электромагнитной шкале. И в то же время никто из нас не может выходить за пределы, установленные этой шкалой, хотя это доступно, скажем, пчелам.
Вопрос о приоритете ритма не есть вопрос чисто теоретический. В плане решения задач дериватологии он оказывается принципиальным вопросом, от решения которого зависит возможность или невозможность деривационного подхода к ритму. Поскольку «процессы образования языковых единиц рассматриваются
в пределах дериватологии как процессы речемыслительные, психологические по природе» [Мурзин 1984: 14], особую ценность приобретает утверждение Н. Д. Климова о том, что ритм – это всегда только та структура, которая воспринимается как таковая человеком [Климов 125]. Как, при каких условиях непрерывное движение речевого потока предстает в восприятии человека как расчлененное? Поставить такой вопрос и означает обратиться к ритмообразованию, а не только к структуре ритмической организации. Понятно, что интонация при таком подходе оказывается лишь одним, хотя и важным, условием такой организации движения, которое воспринимается как ритмическое.
В соответствии с другим подходом строится график с нанесением на него соответствующих величин и проводят линию по средине между точками с продолжением ее за пределы базового участка (графический метод). В случае с прямолинейным расположением
точек может быть использован метод натянутой нити. Здесь нить располагают, так чтобы она ближе всего проходила мимо исходных точек.
По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в её практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них – такие как, скажем, использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла – также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Кому, чьей сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство её стен, – этот вопрос мы оставляем читателю для размышления.) В Древнем Египте, чтобы
получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Верёвку делили на 12 равных частей, точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы верёвки связывали. Затем за верёвку брались три человека, удерживая её в трёх точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее верёвку натягивали до предела – так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямоугольным, причём тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника.
Кибернетической системой называют упорядоченную совокупность объектов (элементов системы), взаимодействующих и взаимосвязанных между собой, которые способны воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею. Примерами кибернетических систем являются коллективы людей, мозг, вычислительные машины, автоматы. Соответственно этому элементами кибернетической системы могут быть объекты разной физической природы: человек, клетки мозга, блоки вычислительной машины и т. д. Состояние элементов системы описывается некоторым множеством параметров, которые подразделяются на непрерывные, принимающие любые вещественные значения в определенном интервале, и дискретные, принимающие
конечные множества значений. Так, например, температура тела человека – непрерывный параметр, а его пол – дискретный параметр. Функционирование кибернетической системы описывается тремя свойствами: функциями, которые учитывают изменение состояний элементов системы, функциями, вызывающими изменения в структуре системы (в том числе и вследствие внешнего воздействия), и функциями, определяющими сигналы, передаваемые системой за ее пределы. Кроме того, учитывается начальное состояние системы.
1. Эволюционные преобразования цивилизации, в пределах Млечного пути согласно Qpt = 4 займет не менее, 15000 лет и не более 16000 лет. Создание целостного социального монолита позволит идентифицировать новые характеристики материи. На основании этих характеристик
и определений перемещение в пределах галактики будет практически мгновенным.
Пользуясь терминологией, получившей ныне широкое распространение, мы можем сказать, что все наблюдаемое нами, все, в чем мы сегодня участвуем, – это лишь фрагменты единого синергетического мирового процесса. Его течение обусловлено законами, характерные времена которых лежат за
пределами доступных нам сегодня знаний и измерений. Это позволяет считать их постоянными.
Предложенное определение знания стирает различие между знанием и относительной объективной истиной. Неполное, приближенное знание и относительная объективная истина – это одно и тоже, названное разными словами. Возможна ли абсолютная истина и что это такое? Мы можем допустить существование абсолютной истины как абсолютно полного идеального аналога с абсолютно точными количественными отношениями. Допустить мысленно можно всё, что угодно. Но имеет ли научное и, тем
более, практическое значение такое понятие абсолютной истины? В диалектическом материализме абсолютная истина вводится как идеальный практически недостижимый предел процесса познания. Посредством этого понятия диалектический материализм утверждает принципиальную неограниченную познаваемость объективной реальности, и только. Современный процесс развития науки происходит путём как возникновения новых отраслей знания, новых научных дисциплин, так и проникновением их друг в друга. С одной стороны, возникают новые фрагменты знания, а с другой стороны некоторые фрагменты имеют тенденцию слиться в единый фрагмент. В целом же мы пока видим тенденцию к фрагментации знания, к возникновению множества идеальных аналогов, а не к слиянию их во всеобщий, единый идеальный аналог. Эта тенденция, по меньшей мере, ставит под сомнение научную и практическую необходимость понятия «абсолютная истина».
Таким образом, проблема соотношения направленности взора и расположения (зрительного направления) предмета восприятия трансформируется в проблему соотношения функционального поля зрения и оперативной зоны фиксации, закономерности которого требуют более внимательного исследования. На сегодняшний день описаны два крайних способа восприятия объекта: симультанный («амбьентный», «глобальный») и сукцессивный («фокальный», «локальный»). Первый обеспечивает общую ориентировку в объекте, когда взор направлен в область его
геометрического центра, второй – получение более детальной информации о фрагментах (элементах) объекта, когда направленность взора локализуется в пределах сравнительно узкого участка поля зрения. Нетрудно предположить существование промежуточных, или переходных, способов восприятия, которые расширяют и конкретизируют картину перцептивно-окуломоторных отношений. Добавим, что выполнение человеком не зрительной, а интеллектуальной задачи (решение «в уме») сопровождается длительным дрейфом глаз, не связанным с содержанием и структурой окружающей среды.