Философия математики

Филосо́фия матема́тики — раздел философии науки, исследующий философские основания и проблемы математики: онтологические, гносеологические, методологические, логические и аксиологические предпосылки и принципы математики в целом, её различных направлений, дисциплин и теорий. В широком смысле философия математики занимается построением семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущности абстрактных объектов.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики — «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов».

Логици́зм — одно из основных направлений обоснования математики и философии математики, ставящее целью сведе́ние исходных математических понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм.

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов...

Философия науки — раздел философии, изучающий понятие, границы и методологию науки. Также существуют более специальные разделы философии науки, например философия математики, философия физики, философия химии, философия биологии, философия медицины, философия психологии.

Интуициони́зм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций «интуитивной убедительности». Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.

Упоминания в литературе

Это ведет к отождествлению философии и логики, прежде всего логики науки. Например, с этой точки зрения, философия математики – это логика математики, её оснований, языка и методологии. Здесь философское знание и истина имеет аналитический характер.

Сергей Лобанов, О природе философии

Связанные понятия (продолжение)

Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента.

Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».

Формализм — один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в XX веке одним из направлений фундаментализма в философии математики.

Методоло́гия нау́ки, в традиционном понимании, — это учение о методах и процедурах научной деятельности, а также раздел общей теории познания (гносеологии), в особенности теории научного познания (эпистемологии) и философии науки.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Филосо́фия языка́ — исследовательская область философии, выявляющая основополагающую роль языка и речи в познании и структурах сознания и знания.

Теория вычислимости, также известная как теория рекурсивных функций, — это раздел современной математики, лежащий на стыке математической логики, теории алгоритмов и информатики, возникшей в результате изучения понятий вычислимости и невычислимости. Изначально теория была посвящена вычислимым и невычислимым функциям и сравнению различных моделей вычислений. Сейчас поле исследования теории вычислимости расширилось — появляются новые определения понятия вычислимости и идёт слияние с математической...

Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей...

Логи́ческий позитиви́зм (англ. Logical positivism; также логический эмпиризм и неопозитивизм) — является школой философии, которая включает в себя эмпиризм, идею о том, что для познания мира необходимы наблюдаемые доказательства, опирающиеся на рационализм, основанный на математических и логико-лингвистических конструкциях в эпистемологии. Логический позитивизм утверждает, что мир познаваем, надо только избавиться от ненаблюдаемого.

Форма́льная ло́гика — наука о правилах преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий, а также конструирование этих правил. Будучи основателем формальной логики как науки, Аристотель называл её «аналитика», термин же «логика» прочно вошёл в обиход уже после его смерти в III веке до нашей эры.

Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.

Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).

Данная статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в истории математики с древнейших времён до наших дней.

Подробнее: История математики

Кризис оснований математики — термин, обозначающий поиск фундаментальных основ математики на рубеже XIX и XX веков.

Постпозитиви́зм (англ. Postpositivism) — общее название для нескольких школ философии науки, объединённых критическим отношением к эпистемологическим учениям, которые были развиты в рамках неопозитивизма и обосновывали получение объективного знания из опыта. Основные представители: Карл Поппер, Томас Кун, Имре Лакатос, Пол Фейерабенд, Майкл Полани, Стивен Тулмин. К постпозитивизму близки работы школы неорационализма, в особенности Г. Башляра и М. Фуко.

Эпистемоло́гия (от др.-греч. ἐπιστήμη «научное знание, наука», «достоверное знание» + λόγος «слово», «речь») — философско-методологическая дисциплина, исследующая знание как таковое, его строение, структуру, функционирование и развитие. Нередко (особенно в английском языке) слово выступает как синоним гносеологии.

Дискре́тная матема́тика — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы и утверждения в логике.

Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.

«Ве́нский кружо́к» (нем. Wiener Kreis) — сообщество учёных, регулярно собиравшихся в Вене с конца 20-х и до середины 30-х годов XX века. Руководителем кружка был профессор кафедры индуктивных наук Мориц Шлик. С деятельностью «Венского кружка» связывают зарождение философского логического позитивизма.

Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами.

Аналити́ческая филосо́фия (англ. Analytic philosophy) — англо-американская традиция философии, получившая широкое распространение в середине XX века. Аналитическая философия не представляет собой единой школы, поскольку хотя и сформировалась на основе британского неореализма Мура и Рассела, однако также впитала в себя австрийский неопозитивизм (через Айера и Куайна) и американский прагматизм (Пирс, Моррис). От позитивизма она заимствует антиметафизическую направленность (критика философских «псевдопроблем...

Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Инду́кция (лат. inductio — наведение, от лат. inducere — влечь за собой, установить) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.

Подробнее: Индуктивное умозаключение

Синерге́тика (от др.-греч. συν- — приставка со значением совместности и ἔργον «деятельность») — междисциплинарное направление науки, объясняющее образование и самоорганизацию моделей и структур в открытых системах, далеких от термодинамического равновесия.

Конвенционали́зм (от лат. conventio — договор, соглашение) — философская концепция, согласно которой научные понятия и теоретические построения являются в основе своей продуктами соглашения между учёными. Они должны быть внутренне непротиворечивы и соответствовать данным наблюдения, но не имеет смысла требовать от них, чтобы они отражали истинное устройство мира. Следовательно, все непротиворечивые научные (а также философские) теории в равной степени приемлемы и ни одна из них не может быть признана...

Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Ло́гика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «способность к рассуждению» от др.-греч. λόγος — «логос», «рассуждение», «мысль», «разум», «смысл») — раздел философии, нормативная наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых на логическом языке. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах мышления. Так как мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются...

Филосо́фия созна́ния — философская дисциплина, предметом изучения которой является природа сознания, а также соотношение сознания и физической реальности (тела).

А́лгебра (от араб. الْجَبْر‎, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Структура научных революций (англ. The Structure of Scientific Revolutions) (1962) — книга Томаса Куна, представляющая собой анализ истории науки. Её публикация стала значительным событием в социологии знаний, ввела в обиход термины парадигма и смена парадигм.

Механици́зм (механизм) — метод познания и миропонимание, рассматривающие мир как механизм. В более широком смысле механицизм есть метод сведе́ния сложных явлений к механике, физическим причинам; противопоставлялся витализму.

Теория функций вещественной переменной (или теория функций действительного переменного) — раздел анализа, нацеленный на углублённое изучение двух понятий «классического» математического анализа: производной и интеграла.

Деду́кция (лат. deductio — выведение, также дедуктивное умозаключение, силлогизм) — метод мышления, следствием которого является логический вывод, в котором частное заключение выводится из общего. Цепь умозаключений (рассуждений), где звенья (высказывания) связаны между собой логическими выводами.

Подробнее: Дедуктивное умозаключение

Логика высказываний, или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Теоретическая информатика — это научная область, предметом изучения которой являются информация и информационные процессы, в которой осуществляется изобретение и создание новых средств работы с информацией. Это подразделение общей информатики и математики, которое сосредотачивается на более абстрактных или математических аспектах вычислительной техники и включает в себя теорию алгоритмов.

Гармони́ческий ана́лиз (или фурье́-ана́лиз) — раздел математического анализа, в котором изучаются свойства функций с помощью представления их в виде рядов или интегралов Фурье. Также метод решения задач с помощью представления функций в виде рядов или интегралов Фурье.

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны...

Теория чисел, или высшая арифметика, — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

Функциональный анализ — раздел анализа, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства и их отображения.

Социология знания (англ. Sociology of knowledge) — теоретическая область социологии, изучающая с различных теоретико-методологических позиций проблематику социальной природы знания. В сферу интересов социологии знания входит анализ социальной природы знания (социология знания в узком смысле); мышления, его исторического развития (социология мышления), когнитивных систем и познавательной деятельности общества (социология познания) и основания социологии (социология социологии).

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Теория информации — раздел прикладной математики, радиотехники (теория обработки сигналов) и информатики, относящийся к измерению количества информации, её свойств и устанавливающий предельные соотношения для систем передачи данных. Как и любая математическая теория, теория оперирует математическими моделями, а не реальными физическими объектами (источниками и каналами связи). Использует, главным образом, математический аппарат теории вероятностей и математической статистики.

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я