Связанные понятия
Доказательство «от противного » (лат. contradictio in contrarium) в математике — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных...
Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.
Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости...
Упоминания в литературе
С точки зрения математика, доказательство – это логически непротиворечивая демонстрация того, что утверждение следует из аксиом. Так, теорема Пифагора следует из аксиом евклидовой геометрии (например аксиомы, гласящей, что параллельные прямые не пересекаются). Сколько бы вы ни измерили прямоугольных треугольников, пытаясь опровергнуть теорему Пифагора, вы зря потратите время. Кто угодно может прочитать доказательство, найденное пифагорейцами, и убедиться в его истинности. Теорема справедлива, и все тут! Чтобы отличить теорему от
гипотезы, математики используют концепцию доказательства. Гипотеза представляет собой утверждение, которое кажется истинным, однако истинность его не доказана. В случае, если она будет доказана, гипотеза станет теоремой. Прекрасным примером гипотезы является проблема Гольдбаха, которая заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Поскольку математикам не удалось опровергнуть гипотезу, с позиций здравого смысла это уже не гипотеза, а факт Гольдбаха. Тем не менее никто и никогда не смог доказать истинность этой гипотезы (несмотря на приз, ожидающий того, кто сумеет это сделать), и математики совершенно справедливо отказывают этой гипотезе в членстве в клубе теорем. Если кто-либо найдет доказательство, утверждение будет переименовано в теорему Гольдбаха. Или, быть может, в теорему Х, где Х – способный математик, опубликовавший доказательство.
1. В области социальных наук сравнительно мало развитых
формальных теорий, из которых можно было бы строгим образом вывести проверяемые гипотезы, а для каждой из таких гипотез уже в момент ее выдвижения можно найти множество контрпримеров.
Что касается методов, характерных для теоретического исследования, выделим следующие. Формализация – это построение абстрактно – математических моделей, когда рассуждения о предмете переносятся в плоскость оперирования со знаками (формами), тогда производится вывод новых форм по правилам логики и математики. При аксиоматическом методе производится логический вывод на основе каких-либо заранее принятых без доказательства аксиом. Так была построена вся геометрия Евклида и даже «Этика» Спинозы. В развитой науке аксиомы предлагаются как некоторая предполагаемая к исследованию система отношений, отвлеченных от их носителя и исследуемых аппаратом математической логики. Возможности этих методов также не безграничны (как это казалось до середины 30-х годов, когда была открыта знаменитая теорема Геделя). В науках, так или иначе имеющих эмпирическую основу, более эффективным является гипотетико-дедуктивный метод. Сущность его – в создании системы связанных между собой гипотез, из которой дедуктивным образом выводятся эмпирически проверяемые (и тем самым свидетельствующие
об истинности общей теории) следствия. Этим путем шло развитие и подтверждение теории относительности, а анализ определенных следствий из нее задал целые направления современной науки.
Гипотеза – форма теоретического знания, содержащая предположение, сформулированное на основе ряда фактов, истинное значение которого неопределенно и нуждается в доказательстве. Гипотетическое знание носит вероятный, а не достоверный характер и требует проверки, обоснования. В ходе доказательства выдвинутых гипотез одни из них становятся истинной теорией, другие видоизменяются, уточняются и конкретизируются, третьи отбрасываются, превращаются в заблуждения, если проверка дает отрицательный результат. Выдвижение новой гипотезы, как правило, опирается на результаты проверки старой, даже в том случае, если эти результаты были отрицательными. Выдающиеся ученые хорошо понимали важную роль гипотезы для научного познания. Гипотеза может существовать лишь до тех пор, пока не противоречит достоверным фактам опыта, в противном случае она становится просто фикцией. Она проверяется (верифицируется) соответствующими опытными фактами (в особенности экспериментом),
получая характер истины. Гипотеза является плодотворной, если может привести к новым знаниям и новым методам познания, к объяснению широкого круга явлений.
Мои дальнейшие рассуждения будут следующими. Пусть h обозначает нашу гипотезу «Бог существует». Пусть e1, e2, e3 и т. д. обозначают различные суждения, которые люди высказывают как свидетельства в пользу или против существования Бога и конъюнкция которых составит e. Пусть e1 будет обозначать суждение «существует физическая вселенная». Тогда мы имеем доказательство от e1 к h – космологическое доказательство. Рассматривая это доказательство, я сделаю допущение, что у нас нет никаких иных релевантных данных, и таким образом, k будет простыми тавтологическими данными. Тогда P(h|e1&k) означает вероятность существования Бога, заданную существованием физической вселенной, а также простыми тавтологическими данными, которыми впоследствии можно будет пренебречь. Если P(h|e1&k) > 1/2, то доказательство от e1 к h является достаточным П-индуктивным доказательством. Если P(h|e1&k) > P(h|k), то это доказательство является достаточным З-индуктивным доказательством. Однако при рассмотрении второго доказательства, от e2 (которое предполагает наличие во вселенной темпоральной упорядоченности) я буду использовать k для обозначения посылки первого доказательства e1, и тогда P(h|e2&k) будет означать вероятность существования Бога, заданную существованием физической вселенной, а также ее темпоральной упорядоченностью. А при рассмотрении третьего доказательства, от e3, k будет обозначать посылку второго доказательства (e1&e2). И так далее. Таким образом, все релевантные данные будут с необходимостью подкреплять нашу оценку [вероятности]. Я рассмотрю одиннадцать
доказательств. Я буду утверждать, что для большинства тех en, где n = 1, … 11, P(h|en&k) > P(h|k), то есть это доказательство является достаточным З-индуктивным доказательством существования Бога, и что два из этих доказательств (одно за и одно против) не имеют силы (в этих случаях будет P(h|en&k) = P(h|k)), а также что одно доказательство против существования Бога имеет силу (P(h|en&k) < P(h|k)), когда en – это проявление зла. Ключевой вопрос, к которому мы со временем придем, это вопрос о том, справедливо ли, что P(h|e11&k) > 1/2.
Связанные понятия (продолжение)
Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Теория Рамсея — раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. Названа в честь Фрэнка Рамсея.
Трансценде́нтное число ́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.
Неконструктивное доказательство (неэффективное доказательство) — класс математических доказательств, доказывающих лишь существование в заданном (как правило, бесконечном) множестве элемента, удовлетворяющего заданным свойствам, но не дающее никакой информации о других свойствах элемента, то есть не позволяющие ни предъявить его, ни приблизительно описать. Доказательства, которые доказывают существование элемента, предъявляя способ получения этого элемента, называются конструктивными.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.
Аддитивная комбинаторика (от англ. addition — сложение) — междисциплинарная область математики, изучающая взаимозависимость различных количественных интерпретаций понятия структурированности подмножества группы (как правило, конечной), а также аналогичные свойства производных от множества структур, использующихся при этих интерпретациях. Кроме того, аддитивная комбинаторика изучает структурированность в различных смыслах некоторых специфических множеств или классов множеств (например, подмножеств...
Задачи тысячелетия — семь открытых математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только...
Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.
Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Вероятностный метод — неконструктивный метод доказательства существования математического объекта с заданными свойствами. В основном используется в комбинаторике, но также и в теории чисел, линейной алгебре и математическом анализе, а также в информатике (например, метод вероятностного округления) и теории информации.
Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой (это значит, что закон композиции задаётся регулярной функцией).
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Теорема о четырёх красках — теорема, которая утверждает, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета. При этом области могут быть как односвязными, так и многосвязными (в них могут присутствовать «дырки»), а под общим участком границы понимается часть линии, то есть стыки нескольких областей в одной точке не считаются общей границей для них. Задача раскраски...
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей...
Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.
Подробнее: Измеримая функция
Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием...
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.
Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Теорема Рамсея — теорема комбинаторики о разбиениях множеств, сформулированная и доказанная английским математиком Фрэнком Рамсеем в 1930 году. Встречается в литературе в разных формулировках. Эта теорема положила начало теории Рамсея.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Теорема де Брёйна — Эрдёша — классическая теорема теории графов доказанная Палом Эрдёшем и Николаасом де Брёйном.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения (или произведения) степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эммануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай...
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...
Интуициони́зм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций «интуитивной убедительности». Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.
Упоминания в литературе (продолжение)
Согласно онтопсихологии, наука может считаться точной, если доказала первопринципы, лежащие в ее основе. В действительности даже самые точные науки отталкиваются от
гипотез, принятых на основе взаимных допущений. На этих общепринятых, но никем не доказанных первопринципах выводятся последующие аподиктические утверждения в математике, физике и так далее. При окончательном анализе становится ясно, что даже наиболее точный, с научной точки зрения, исследователь «религиозен», то есть является тем, кто связан[21], и неспособен исходить из собственной очевидности.
При изучении правовой презумпции важно определить ее соотношение с правовой гипотезой. Такая необходимость вызвана, прежде всего, тем, что гипотеза, как и правовая презумпция, основывается на определенных предположениях. В связи с этим требуется четкое разграничение этих понятий с целью исключения их отождествления между собой. В переводе с греческого «гипотеза» означает – «основа, предположение». Под гипотезой понимается научное допущение или предположение, истинное значение которого неопределенно[41]. Важно отметить, что гипотеза понимается как структурный элемент научной теории и как метод развития научного знания, включающий выдвижение и последующую экспериментальную проверку предположений. В настоящей работе мы
рассматриваем гипотезу как метод развития правовой науки. В качестве научного положения, гипотеза должна удовлетворять условию принципиальной проверяемости, означающему, что она обладает свойствами фальсифицируемости (опровержения) и верифицируемости (подтверждения).[42]
Интуитивно ясно, что силлогизмы дают слишком бедный аппарат для описания мышления. Чтобы в этом убедиться, достаточно посмотреть внимательно на доказательство любой сложной математической теоремы. Не так уж часто можно сделать вывод простым переходом от общего (Все люди смертны) к частному (Сократ смертен). В эту схему, например, не укладываются индуктивные рассуждения (переход от частного к общему). Совершенно не понятно, как логику силлогизмов использовать
для доказательства простого утверждения «Ряд натуральных чисел бесконечен» или «?2 является иррациональным числом». Математика, по своей сути, не силлогистична. Еще менее полезна логика силлогизмов для естествоиспытателя, в чьей деятельности, например, есть такой внелогичный метод, как метод проб и ошибок, при использовании которого выдвигаются гипотезы, проверяемые экспериментом.
Гипотеза является важным элементом движения познания к новым открытиям. Она возникает на основе известных знаний, но выходит за их пределы. При этом формулирует новое утверждение, истинность которого до сих пор не была доказана. Гипотеза – это предположение, допущение, истинное значение которого неопределённо» [2, с. 173].
Чрезвычайно обычным является использование аргумента к незнанию (argumentum ad ignorantiam). Форма, в которой он сплошь и рядом встречается в работах адаптационистского направления, такова: мы не знаем, как нечто произошло; то немногое, что мы можем сказать, недостаточно и формально недоказуемо, но это всё, что мы знаем сейчас по этому поводу, следовательно, научная точка зрения на этот вопрос заключается именно в этой (недоказанной, недостаточно обоснованной) гипотезе. Затем на этом основании возводятся целые леса дополнительных гипотез и построений –
ведь исходное утверждение, как было заявлено, является точкой зрения современной науки на данный предмет.
Другой важнейшей идеей Поппера является принцип фаллибилизма (лат. fallibilis – подверженный ошибкам, ненадежный) – признание принципиальной гипотетичности любого научного знания. Если эмпирическая подтверждаемость теории не может быть основанием для установления ее окончательной истинности, то любая научная теория, согласно Попперу, должна рассматриваться как предположение, гипотеза. В таком случае рост научного знания состоит в смене одних гипотез другими и осуществлении их опровержений, в результате чего происходит своеобразное решение научных проблем. Т.е., наука, по мнению Поппера, никогда не может превратить гипотетические знания в достоверноистинные, гипотезы – в
доказанные теории. Подлинный метод науки – это метод проб и ошибок; а подлинное начало науки – это проблемы и гипотезы: процесс познания начинается не с наблюдений и констатаций фактов, как считали эмпирики-индуктивисты, а с выдвижения догадок, предположений, выдвигающих определенный вариант решения проблемы. Скептицизм в понимании истины (так как любая теория принципиально гипотетична, то вопрос о ее истинности недоказуем, и, значит, она потенциально ложна) обусловил разработку Поппером концепции правдоподобия научных теорий и степеней правдоподобия: из двух ложных теорий та предпочтительна, которая более правдоподобна, и та более правдоподобна, из которой вытекает больше правильных следствий.2 Однако некорректность предложенного Поппером определения правдоподобия теорий вызвала множество споров и возражений.
Одним из
фундаментальных принципов рационального мышления является «бритва Оккама» – по имени средневекового английского философа У. Оккама, который формулировал его так: «Не умножай сущностей сверх необходимого». Применительно к правилам научного исследования это означает следующее: выбирая одну из нескольких гипотез, объясняющих некое явление, надо начинать с самой простой из них, и только убедившись в том, что она «не работает», переходить к более сложной, повторяя эту процедуру до тех пор, пока не будет найдено простейшее удовлетворительное объяснение.
Иногда теория понимается как продукт верификации (проверки) модели. Это не так. Верифицированная модель (например, показавшая свою правильность в ходе эксперимента) еще не становится от этого теорией: просто сначала мы имели дело
с каким-то допущением, гипотезой, затем выяснили, что это допущение справедливо, что эта гипотеза верна. Но из того, что оно справедливо, еще не следует, что мы обладаем целостным и достоверным знанием об объекте – только знанием о каких-то отдельных сторонах, о некоторых свойствах объекта!
ГИПОТЕТИКО-ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД – метод рассуждения и получения нового знания, сущность к-рого в выведении (дедукции) заключений из гипотез и др. посылок. В процедуре использования Г.д. м. можно выделить несколько этапов: формулировка дедуктивно связанных между собой гипотез → их верификация или фальсификация → уточнение, конкретизация исходных посылок. Поскольку в дедуктивном рассуждении значение истинности переносится на заключение, а исходными посылками служат гипотезы, то и само заключение при использовании Г. – д. м. имеет лишь вероятностный характер. Принято различать два вида Г. – д. м.: 1) способ построения системы содержательных гипотез с последующим выражением их на языке математики; 2) способ создания формальной (математич.) системы с последующей её содержательной интерпретацией. Второй
вид называется «математическая гипотеза» (понятие ввёл С.И. Вавилов).
Второе следствие связано с тем, каким образом «чувство абсолютной уверенности» в правильности решения возникает еще до того, как решение сформулировано, осмыслено, проверено. Казалось бы, принцип решения – своего рода выдвинутая гипотеза. Архимед предполагает, что использование принципа вытеснения жидкости позволит ему оценить объем короны и далее, зная вес, вычислить плотность. Каким образом предположению сопутствует чувство полной уверенности в его справедливости еще до того, как проведена проверка? Пуанкаре приходят в
голову математические идеи, проверка соответствия которых истине требует большой и сложной работы, например: «Преобразования… аналогичны преобразованиям неэвклидовой геометрии». Чем же обеспечено молниеносное и достаточно точное предчувствие истинности идеи?
Каковы же действительные отношения, существующие между метафизикой и эстетикой? Это те же отношения, какие существует между метафизикой и любым из других возможных познаний. Всякое познание опирается на три рода данных, о которых мы говорили, на двоякого рода факты – из которых одни внушают известное предположение, другие служат для его проверки – и на гипотезы, лежащие между обоими рядами фактов. Если придерживаться этих трех элементов, неизбежных для всякого мышления, то
науку можно будет определить как своего рода склад проверенных гипотез; философия в широком смысле слова будет обнимать гипотезы, в принципе допускающие проверку, но еще не проверенные научно; наконец, метафизика будет заключать в себе не поддающиеся проверке гипотезы.
Предположения. Первичные рамки теории создаются предположениями, которые формируются в виде общих выводов из
аксиом, результатов других теорий, правил и положений, обычаев или законов или определяются условиями окружающей среды. Несомненно, выбор правильных предположений – один из главных элементов создания экономической гипотезы или теории.
Что касается релятивизаторов науки, то я ограничусь лишь их последней волной, построившей себе на неудачах предшествующей ей волны абсолютизаторов (Пеано, Фреге, Рассел, Карнап, Гильберт), и на противоречиях, изменчивости, наблюдаемых в процессе развития самой науки. Представители ее разделяются на две категории, именуемые социальными (Куайн, Кун, Файерабенд и т. д.) и когнитивными (Поппер, Лакатос, Лаудан и т. д.) постпозитивистами. Социальные постпозитивисты занимают наиболее ортодоксально релятивистскую в отношении науки позицию. Так, например, Файерабенд заявил, что выводы науки не более обоснованы, чем предсказания гадалки на кофейной гуще [4]. Когнитивные постпозитивисты не столь ортодоксальны в этом отношении и некоторые из них, в частности Поппер, декларируют себя защитниками особого эпистемологического статуса науки. Но дело не в декларациях и самоопределениях, а в аргументации, она же объективно ставит Поппера и его ученика Лакатоса в число релятивизаторов. Так, Поппер полагает, что наука все же отличается от не науки (псевдонауки) тем, что ее гипотезы обязаны быть «фальсифицируемы» [5]. Это,
безусловно, верно и гипотезы типа: «море волнуется, потому что Нептун сердится», не проверяемые в принципе, не научны. Однако это нисколько не спасает особый эпистемологический статус науки, поскольку всегда и по любому поводу можно насочинять бесконечное количество гипотез, даже не претендующих на приближение к истине, но вполне «фальсифицируемых». Процедура выдвижения подобных гипотез с последующей их «фальсификацией» не ведет к истине и не может служить методом обоснования и, таким образом, критерий Поппера не отделяет науку от не науки.
Так называемое условие соответствия, требующее от новых гипотез согласованности с принятыми ранее, неразумно и непродуктивно. Оно отклоняет гипотезу не из-за несогласия с фактами, а из-за конфликта с господствующей теорией. В результате это условие защищает и сохраняет ту теорию, которая древнее, а не ту, которая лучше. Гипотезы, противоречащие хорошо обоснованным теориям, дают нам факты, которые нельзя получить никаким другим путем.
Факты и теории связаны более тесно, чем это признает традиционная наука, и до некоторых фактов не добраться иначе, как при помощи альтернатив установившимся теориям.
Так, несложные гипотезы, версии, построенные на
уже известных фактах и доказательствах, могут обосновываться или опровергаться в ходе обнаружения недостающего знания о новых фактах или установлением их соответствия этим фактам, а также известными логическими приемами.
Содержание наших знаний составляют факты и наблюдения, затем понятия, так или иначе обобщающие эти факты, и, наконец, еще более
общие гипотезы и теории. При этом важно заметить, что даже самая простая регистрация самого простого факта возможна только с помощью каких-то более общих понятий, а научный смысл и значение отдельные факты приобретают только в контекстах определенных теорий или, по крайней мере, каких-то более широких сопоставлений. Следовательно, за продвижение нашего познания можно принимать появление новых сопоставлений, обобщений, гипотез, теорий. Как же они возникают?
Волна, частица, электронная оболочка атома, капельное и оболочковое строение атомного ядра – это макро образы. Кроме того, теоретическое знание выражается не только логически организованными высказываниями, но и принимаемыми без доказательства логически не обоснованными посылками (аксиомами), которые тоже являются высказываниями, выражающими предположения, гипотезы, догадки. Достоверность, истинность теоретического знания обеспечивается, в первую очередь, соответствием исходных посылок объекту познания и, во вторую очередь, рассуждениями с использованием формальной логики. Следовательно, научное знание не может быть выражено одними логически организованными высказываниями, и что формальная логика не может быть единственным признаком
и единственным критерием истинности научного знания.
В гуманитарных теориях связи между положениями не имеют четкой логики, поэтому важное место занимает гипотеза. В социальной психологии
гипотеза является теоретической формой знания. Неграмотное построение гипотез – это важная причина слабости исследований.
Для проверки эмпирических
гипотез и, как следствие, теоретических предположений проводится исследование, направленное на изучение самоутверждения личности как закономерного процесса обретения человеком ценности собственного Я (Глава 6 «Самоутверждение личности в процессе взросления: верификация теории»); последовательно и тщательно проверяются все сформулированные автором гипотезы. В настоящем издании дано развернутое обоснование каждого из использованных методов, проведено подробное описание выборки. Основные результаты и их интерпретация оставлены в неизменном виде. В конце главы делаются выводы о подтверждении искомой и отвержении альтернативной теории.
2) оценка серьезности предположений и отбор из множества догадок
наиболее вероятной, где гипотеза проверяется на логическую непротиворечивость и совместимость с фундаментальными теоретическими принципами данной науки;
Скажу сразу, что я не физик и не собираюсь вникать в суть общей теории относительности или квантовой механики. Зато я, в отличие от многих, знаю суть геометрии Евклида. При чем здесь Евклид? А вот при чем. Суть спора между академиками изложена В.Л. Гинзбургом в следующем: «Одним из крупнейших достижений математики прошлого века стало создание и развитие Лобачевским, Бойяи, Гаусом, Риманом и их последователями неевклидовой геометрии. Тогда же возник вопрос: какова на самом деле геометрия физического пространства-времени, в котором мы живем? Как сказано,
согласно общей теории относительности, эта геометрия неевклидова, риманова, а не псевдоевклидова геометрия Минковского… Гипотеза о том, что физическое пространство-время обязательно в точности пространство Минковского, которую принимает А.А. Логунов в качестве основополагающей, является очень далеко идущей…»
Эта книга затрагивает фундаментальные вопросы. Как следует рассуждать и делать
правильные выводы? Что считать объяснением (в самых разных ситуациях – от раздражающего вас поведения друга до провала новой продукции на рынке)? Как отличить события, имеющие между собой причинно-следственную связь, от тех, что просто пересекаются друг с другом во времени и пространстве? Какую информацию считать достоверной, а какую гипотезой? Каковы признаки основательной теории – в науке и в обычной жизни? Как отличить теорию, которую можно опровергнуть, от той, которую опровергнуть нельзя? Если бы у нас была теория о том, какие виды бизнеса или профессиональной деятельности эффективны, как можно было бы наиболее убедительно доказать ее обоснованность?
Научными концепциями называются наиболее общие и важные фундаментальные положения теорий. Главным отличием научных теорий и концепций от гипотез является их доказанность и достоверность. В
задачи научных теорий входит объяснение уже зафиксированных научных фактов и предсказание новых, еще не открытых фактов и закономерностей.
Гипотезы второго типа суть допущения относительно исследуемых объектов. Такие допущения либо вообще невозможно проверить, либо сами по себе противоречат эмпирическим фактам. Принятие их оправдывается тем, что благодаря им становится возможной дедукция в данной области науки и получаются нужные следствия. Эти допущения в своей основе суть абстракция, т. е. решения не принимать во внимание какие-то признаки исследуемых объектов или принимать во внимание только такие-то признаки объектов. Например, все объекты данного класса могут приниматься как различающиеся только по положению в пространстве, как абсолютно независимые друг от друга и т. п. Очевидно, намерения исследователя не имеют значений истинности. Их нельзя подтвердить или опровергнуть. Их можно только оправдать или нет в зависимости от их последствий. И хотя они сами по себе могут быть заведомо ложными, неопределенными и даже непроверяемыми, получаемые с их помощью следствия могут считаться истинными.
И последнее. Любое проводимое исследование должно быть относительно истинным и верным. «Обсуждения дискуссионных вопросов в практических делах, как и научные рассуждения, приводят к истинным результатам, если они проводятся с соблюдением рациональных приемов и правил аргументации».[46] Этих правил доказывания и опровержения, выработки выводов и
гипотез формальная логика знает довольно много. По ходу дальнейшего анализа уголовно-правовых явлений мы их будем применять и отдельно на них указывать. Здесь же нам представляется особенно важным пока отметить главное правило: любое исследование должно быть полным и объективным, именно поэтому формальная логика выдвигает принцип объективности исследования. Казалось бы, зачем упоминать об очевидных вещах. Увы, к сожалению, приходится говорить и о них.
Как показывает Интеллектуальная история психологии, оба эти тезиса неоднократно появлялись в разных вариантах, более или менее радикальных; оба отрицают значимость всех предыдущих философских альтернатив и апеллируют к авторитету науки. Каким видится статус подобных утверждений? Признание их истинности (так же, как и
истинности утверждений типа «наука – единственная дорога к позитивному знанию», «человек рожден свободным» и т. д.) основывается не на экспериментальной проверке, а на тех же рассуждениях, которые ведут к вере в этические, моральные, религиозные утверждения. Соответственно, выбор, который здесь производится, – в большей степени этический и управляется некоторой, неявно выраженной, метафизикой. (Здесь можно заметить, что существует позиция, согласно которой все варианты решения психофизической проблемы рассматриваются как эмпирические гипотезы, подлежащие, соответственно, эмпирической проверке[11].)
Итак, опытные данные показывают, что существует определенный класс явлений в неживой природе, для которых принцип минимума диссипации энергии оказывается одним из важнейших принципов, позволяющих выделить реальные состояния из множества виртуальных. На этом основании в предлагаемой книге и был сформулирован этот принцип как некоторое эмпирическое
обобщение, если угодно, как некоторая гипотеза.
Можно сказать, что все это очень тривиально, на том основании, что в наши дни каждый философ должен принимать обоснованность кантианского критицизма в качестве отправной точки. Но даже если отвлечься от того, что требование к каждому философу принимать обоснованность кантовской критики не является самоочевидным суждением, метафизик не может избежать необходимости использовать метафизическую аргументацию, даже если он пытается замолчать это. Для него нет смысла представлять метафизические
теории просто как гипотезы или говорить, что он не претендует на то, чтобы их «доказать». Если метафизическая теория использует какой-то факт или какую-то черту эмпирической реальности, она с успехом может быть подвергнута действию бритвы Оккама. К метафизику, даже если он утверждает вероятностный характер своих выводов, может быть предъявлено требование продемонстрировать уместность таких выводов. Это означает, что ему придется дать «метафизическое обоснование» вне зависимости от того, утверждается ли его вывод как возможный или как необходимый. Если такое обоснование возможно, что ж, прекрасно, если нет, то к метафизическим теориям должен быть применен принцип экономии. Моей задачей не является обсуждение вопроса, возможно или нет такое доказательство, моей задачей является показать, что проблема обоснованности метафизического обоснования остается фундаментальной проблемой метафизики.
Таким образом, определяя свою позицию как «научную философию, основанную на математической логике», Рассел отнюдь не считал, что строение мира и его онтологический «состав» должны быть полностью отданы в ведение науки. Да, эмпирические вопросы нужно оставить науке, а вот вопросы о фундаментальных структурных особенностях вселенной (например, есть ли факты и что они собой представляют) принадлежат к компетенции философии. В статье «Логический атомизм» (1924) Рассел пишет: «Философия должна быть всесторонней и смелой, чтобы предлагать гипотезы о Вселенной, которые наука все еще не в состоянии ни подтвердить, ни опровергнуть. Но они должны
быть представлены именно как гипотезы, а не, что часто делается, как бесспорные истины, подобно догмам религии» [Рассел, 1998, с. 35]. Однако для решения этих задач, как было сказано, философия должна вооружиться новой логикой.
Необходимым моментом научного криминологического знания является выдвижение гипотез. Само понятие гипотеза означает, что еще не доказанное теоретическое положение основано на предположении. Выдвижение, обоснование и
доказательство гипотезы являются необходимыми элементами всякого научного знания, в том числе и криминологического.
Научное исследование с необходимостью основано на теории. Как определяется явление, которое предстоит исследовать? На что именно в нем обращается внимание? Что предполагается обнаружить? Ответы на эти вопросы определяются тем, какая теория положена в основание исследования. Теория – это «очки», сквозь которые ученый смотрит на явление. Социология – не исключение: социальные науки редко служат только для сбора
фактов вне обобщений, построения научных гипотез и теорий. Но откуда брать теорию?
Таким образом, многие философы Древней Греции работали над вопросами логики, однако ее основателем по праву считается Аристотель Стагирский (Аристотель родился в городе Стагир – именно отсюда пошло его прозвище). Он посвятил себя изучению многих наук, таких как философия, логика, физика, астрономия, психология, риторика и др. Этим предметам посвящены многие его сочинения. Именно Аристотель оформил знания о логике в четкую систему и обнаружил, что знания, откуда бы они ни были получены, всегда имеют языковое выражение. Отсюда он делал вывод, что научные знания есть последовательность высказываний, объединенных логическими связями и выводимых одно из другого. Логику Аристотеля называют формальной или традиционной. Она включает такие разделы, как понятие, суждение, законы правильного мышления, умозаключения,
аргументация и гипотеза. Важным достижением Аристотеля является то, что он впервые сформулировал законы правильного мышления: закон тождества, закон непротиворечия и закон исключенного третьего, а также стал изучать человеческое мышление с целью вывести его логические формы. Эти законы были сформулированы в важнейшем сочинении Аристотеля «Метафизика».