Связанные понятия
Интуициони́зм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций «интуитивной убедительности». Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.
Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».
Логици́зм — одно из основных направлений обоснования математики и философии математики, ставящее целью сведе́ние исходных математических понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм.
Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей...
Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.
Упоминания в литературе
Это означает, что искусственное разделение общих методов можно, в сущности, удержать лишь с точки зрения старинной формальной логики, признававшей, что методы мышления могут быть полностью изучены самостоятельно, в связи с предметом их применения, как если бы они могли существовать независимыми. Такова крайность, к которой схоластическая переработка логики Аристотеля привела все классические учения об умозаключении, – направление, достигшее своего апогея и нашедшее себе самое радикальное
теоретическое оправдание в системе «формализма» Канта.
Насколько я понимаю, математиков прикладной направленности
мало интересовало противостояние формализм – интуиционизм, поскольку считалось, что эта тема должна интересовать скорее тех, кто озабочен основаниями математики, чем тех, кто занимается ее приложениями. Философские аспекты интуиционизма, развиваемые преимущественно Л. Брауэром [Brouwer, 1975], обычно оставались в тени [Панов, 1984].
Следуя своему научному кредо, Гурвич называл односторонность и доктринальную ограниченность основными врагами научного знания[480] и применительно к правоведению пытался примирить в своей теории такие на первый взгляд гетерогенные типы правопонимания, как юридический позитивизм и юснатурализм, такие разные правовые школы, как правовой реализм, возрожденное естественное право, аналитическая юриспруденция, психологическая школа права и т. п. С точки зрения каждой из этих школ и этих типов правопонимания,
теория Гурвича, конечно, будет представляться эклектичной, расходящейся с «освященными временем и именами» стандартами и принципами, но в такой критике не принимается во внимание система правовой мысли Гурвича в целом и не затрагивается сердцевина его проекта – интеграция правового знания[481]. Подобное же обвинение в эклектичности может быть сделано и относительно социологической концепции мыслителя, в рамках которой он предполагал примирить традиционно противопоставляемые принципы социального знания (эмпиризм, феноменологию, формализм и т. п.). Вместе с тем здесь кроется и причина непопулярности теории Гурвича, пытавшегося быть «вне лагеря» той или иной научной дисциплины. В этом смысле можно говорить о «трагической» судьбе социолого-правовой доктрины мыслителя: она «оказалась погребена в той пропасти, которая разделяет социологов и юристов» и через которую Гурвич хотел возвести переправу[482].
Новый этап в науке стал характеризоваться тем, что
буквально все фундаментальные, насыщенные формализмом современные естественнонаучные конструкции стали использовать идею инвариантности параметров относительно фиксированных групп преобразований. Стал утверждаться в научном познании принцип симметрии. В неклассической науке процесс познания явлений стал осуществляться нередко без эмпирических исследований, которые в современной физике элементарных частиц и ряде других областей науки не всегда возможны. Симметрия или инвариантность – разновидность абстракции – позволяет отвлечься от несходного и связать в одном законе объекты и понятия, кажущиеся разобщенными. Связывание несвязного представляло мощный эвристический прием, пополняющий синтетические ресурсы теоретического разума.
В статье 7 «Изменение теории как
изменение структуры: комментарий к формализму Снида» (1976) содержится в высшей степени доброжелательное рассмотрение теоретико-модельного формализма, предложенного Йозефом Снидом для уточнения семантики научных теорий и усовершенствованного Вольфгангом Штегмюллером. Хотя статья представляет особый интерес для тех, кто уже знаком с подходом Снида – Штегмюллера, замечания Куна не касаются технических деталей и имеют более широкое значение. Особый интерес у него вызывает способ, благодаря которому (согласно этому подходу) основные термины теории приобретают значительную часть своего содержания из множества образцовых применений. Важно, что существуют разные применения, взаимно ограничивающие друг друга (благодаря теории), что позволяет избежать порочного круга. Важно также, что эти применения являются образцовыми, то есть такими, на рассмотрении которых приобретается мастерство, применимое к новым случаям. По поводу этого подхода Кун высказывает лишь один упрек, хотя и серьезный: он не оставляет места для теоретической несоизмеримости.
Связанные понятия (продолжение)
Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Классическая логика — термин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.
Вероятностная логика — логика, в которой высказываниям приписываются не исключительно значения истины и лжи как в двузначной логике, а непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так, что ноль соответствует невозможному событию, единица — практически достоверному. Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения.
Метало́гика — изучение метатеории логики. В то время, как логика представляет собой исследование способов применения логических систем для рассуждения, доказательств и опровержений, металогика исследует свойства самих логических систем.
Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента.
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.
Математическая абстракция — абстракция в математике, мысленное отвлечение. Типы абстрагирования, применяемых в математике: "чистое" отвлечение, идеализация и их различные вариации.
Логика высказываний , или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости...
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных...
Многозна́чная ло́гика — тип формальной логики, в которой допускается более двух истинностных значений для высказываний. Первую систему многозначной логики предложил польский философ Ян Лукасевич в 1920 году. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов являются частичные логики и нечёткие логики.
Теория вычислимости , также известная как теория рекурсивных функций, — это раздел современной математики, лежащий на стыке математической логики, теории алгоритмов и информатики, возникшей в результате изучения понятий вычислимости и невычислимости. Изначально теория была посвящена вычислимым и невычислимым функциям и сравнению различных моделей вычислений. Сейчас поле исследования теории вычислимости расширилось — появляются новые определения понятия вычислимости и идёт слияние с математической...
Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью.
Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
Логика первого порядка , называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.
Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).
Конвенционали́зм (от лат. conventio — договор, соглашение) — философская концепция, согласно которой научные понятия и теоретические построения являются в основе своей продуктами соглашения между учёными. Они должны быть внутренне непротиворечивы и соответствовать данным наблюдения, но не имеет смысла требовать от них, чтобы они отражали истинное устройство мира. Следовательно, все непротиворечивые научные (а также философские) теории в равной степени приемлемы и ни одна из них не может быть признана...
Филосо́фия матема́тики — раздел философии науки, исследующий философские основания и проблемы математики: онтологические, гносеологические, методологические, логические и аксиологические предпосылки и принципы математики в целом, её различных направлений, дисциплин и теорий. В широком смысле философия математики занимается построением семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущности абстрактных объектов.
Цифровая физика в физике и космологии — совокупность теоретических взглядов, основанных на интерпретации, что Вселенная по сути является информацией и, следовательно, является вычислимой. Из данной идеи следует то, что Вселенная может пониматься как результат работы некоторой компьютерной программы или как некий вид цифрового вычислительного устройства (или, по крайней мере, устройства, математически изоморфного такому устройству).
Спор о струне , спор о колеблющейся струне, спор о звучащей струне — научная дискуссия, развернувшаяся в XVIII веке между крупнейшими учёными того времени вокруг изучения колебаний струны. В спор оказались вовлечены Д’Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. Дискуссия касалась определения понятия функции и оказала решающее влияние на множество разделов математики: теорию дифференциальных уравнений в частных производных, математический анализ и теорию функций вещественного переменного, теорию тригонометрических...
Теория типов — математически формализованная база для проектирования, анализа и изучения систем типов данных в теории языков программирования (раздел информатики). Многие программисты используют это понятие для обозначения любого аналитического труда, изучающего системы типов в языках программирования. В научных кругах под теорией типов чаще всего понимают более узкий раздел дискретной математики, в частности λ-исчисление с типами.
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом...
Посылка — это утверждение, предназначенное для обоснования или объяснения некоторого аргумента. В логике аргумент — это множество предложений (или «суждений») одни из которых являются посылками, а другие утвердительные предложения (или суждения) — логическими выводами.
Эври́стика (от др.-греч. εὑρίσκω — «отыскиваю», «открываю») — отрасль знания, научная область, изучающая специфику творческой деятельности.
Принцип непрерывности — принцип, используемый в современной математике и физике. Истоки этого принципа в философии могут быть найдены в отрывках Гераклита, который уподоблял движение времени реке с постоянно сменяющими друг друга водами. В новое время этот принцип разрабатывался Лейбницем.
Научная теория — это система обобщенного знания, объяснения разносторонности событий, ситуаций, происходящих в природе или обществе.
Доказательство «от противного » (лат. contradictio in contrarium) в математике — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Алгоритмическая разрешимость — свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.
Те́зис Чёрча — Тью́ринга — это гипотеза, постулирующая эквивалентность между интуитивным понятием алгоритмической вычислимости и строго формализованными понятиями частично рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга. В связи с интуитивностью исходного понятия алгоритмической вычислимости, данный тезис носит характер суждения об этом понятии и его невозможно строго доказать или опровергнуть. Перед точным определением вычислимой функции математики часто использовали неофициальный термин...
Теории скрытых параметров — в квантовой механике теории, предложенные для решения проблемы квантовомеханического измерения путём ввода гипотетических внутренних параметров, присущих измеряемым системам (например, частицам). Значения таких параметров не могут быть измерены экспериментально (в частности, они не влияют на собственные значения энергии системы), но определяют результат измерения других параметров системы, описываемых в квантовой механике волновыми функциями и/или векторами состояния...
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов...
Интерпрета́ции ква́нтовой меха́ники — различные философские воззрения на сущность квантовой механики как физической теории, описывающей материальный мир. Они решают такие философские проблемы, как вопрос о природе физической реальности и способе её познания, о характере детерминизма и причинности, о сущности и месте статистики в квантовой механике.
Вывод (лат. conclusio) в логике — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям — заключениям. Вывод может проводиться в несколько этапов—умозаключений.
В физике
принцип локальности /близкодействия утверждает, что на объект влияет только его непосредственное окружение. Квантовая механика предсказывает посредством неравенств Белла прямое нарушение этого принципа. Эксперименты Белла показали, что квантово запутанные частицы нарушают этот принцип. Было показано, что они влияют друг на друга, будучи физически удаленными друг от друга на значительные расстояния, тем самым подтверждая, что принцип локальности/близкодействия неверен.
Формализа́ция — представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.
Спектральная теория — общий термин в математике, под которым понимаются теории, расширяющие понятия собственной функции и собственного значения с квадратных матриц на более широкие классы линейных операторов в самых различных пространствах.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Байесовская вероятность — это интерпретация понятия вероятности, используемая в байесовской теории. Вероятность определяется как степень уверенности в истинности суждения. Для определения степени уверенности в истинности суждения при получении новой информации в байесовской теории используется теорема Байеса.
Упоминания в литературе (продолжение)
Для решения парадоксальной проблемы трансцендентальной свободы Гербарт опирается на несколько альтернативных философско-теоретических источников, к которым относится, во-первых, монадология Лейбница, во-вторых, концепт «вещи самой по себе» Канта, отброшенный немецким идеализмом, в-третьих, эстетическая концепция Шиллера, призванная преодолеть крайности кантовского формализма в этике, а также британский этический эмпиризм, настаивавший на самостоятельности моральной очевидности, не сводимой к теоретическому познанию и теоретическим суждениям (образцовым представителем этого направления является Френсис Хатченсон). Философия Фихте, несмотря на направленную на нее критику, сохраняет для Гербарта неизменное значение, поскольку, в частности, исходным пунктом его философской
психологии является понятие Я. Для преодоления парадоксов, связанных с понятием трансцендентальной свободы, Гербарту было необходимо решить целый комплекс задач. А именно, он обосновывает примат пассивности и рецептивности субъекта (в противоположность активной конструирующей роли субъективности, из которой в той или иной степени исходят как Кант, так и идеалисты), не только реабилитирует кантовскую «вещь саму по себе», но и обращается к прямым метафизическим выкладкам (в частности, говоря о реальном существовании пространства («интеллигибельного пространства»)), возвращается к трактовке предельной (метафизической) реальности как неизменной и даже вовсе неопределяемой (в противоположность разнообразным определениям «абсолюта», встречающимся в философии немецких классических идеалистов), отказывается от концепции свободы как порождения в пользу понятия свободы как способности выбора из имеющихся опций, отбрасывает идею неограниченного самоопределения субъекта в пользу контролируемой выработки добродетельного (нравственного) характера, элиминирует из философии сознания момент абсолютности, который немецкие идеалисты обнаруживали в акте самосознания. Рассмотрим более детально, каким образом решаются эти задачи.
Кроме того, с точки зрения обоснования преимуществ и перспективности миварного подхода важно следующее замечание Дж. Люгера: "Решение задачи искусственного интеллекта можно свести к выбору представления среди возможных альтернатив. Выбор подходящего представления весьма важен для разработчиков компьютерных программ, обеспечивающих решение задач искусственного интеллекта. Несмотря на большое разнообразие языков представления, используемых в искусственном интеллекте, все они должны удовлетворять общим требованиям выразительности, эффективности и правильности дедуктивных выводов. Выбор и оценка языков представлений – весьма важная задача как для исследователей, так и для программистов [264, стр. 65]. Как показано в наших работах, выразительность миварного подхода ни в чем не уступает ни исчислениям предикатов, ни семантическим сетям, ни другим известным
формализмам в области ИИ. Более того, изменяющееся многомерное миварное информационное пространство позволяет в едином формализме описать и совместить все указанные формализмы, включая исчисление предикатов и семантические сети с онтологиями. С точки зрения семантических сетей, миварное пространство позволяет отобразить такую сеть в многомерном пространстве, что только увеличивает выразительность и позволяет добавить новые связи за счет многомерности. С онтологиями происходит аналогично семантическим сетям. Даже наиболее общую модель данных "сущность-связь" можно легко представить в миварном пространстве, примеры которого подробно описаны в первой монографии Варламова О.О. [72]. Про то, что исчисление предикатов имеет равные выразительные способности с семантическими сетями, было сказано ранее, в том числе и у Дж. Люгера. Следовательно, по выразительности миварный подход превосходит возможности всех традиционных формализмов, включая семантические сети и модель данных "сущность-связь".
Отдав себе отчет в том, что всякая философская проблема решается не иначе, как в связи с мировым целым, нетрудно понять, что философия есть труднейшая из наук, что в ней существует много направлений, ожесточенно борющихся между собой, и многие проблемы могут считаться далекими от сколько-нибудь удовлетворительного решения. И эстетика, подобно этике, гносеологии, метафизике, содержит в себе много направлений, резко отличных друг от друга. Однако я решаюсь утверждать, что эстетика принадлежит к числу философских наук, сравнительно высоко разработанных. Правда, в ней есть много направлений весьма односторонних,
например физиологизм, формализм и т. п., но знакомясь с этими крайностями, нетрудно усмотреть, какой аспект истины они содержат в себе и как можно включить его не эклектически в полную систему учения о красоте. Изложение этих направлений и критику их я дам в конце книги. Мало того, даже и главное разногласие, учение об относительности красоты и учение об абсолютности красоты, т. е. эстетический релятивизм и эстетический абсолютизм, я столкну друг с другом для резюмирующего опровержения релятивизма лишь в конце книги. Все изложение учения о красоте я буду вести в духе эстетического абсолютизма так, что в нем уже попутно будут приведены опровержения различных доводов, приводимых в пользу релятивизма. Точно так же в самом процессе изложения будут приведены доводы против психологизма в эстетике, но резюмирующее изложение и опровержение этого направления будет дано лишь в конце книги.
Богословие также оказывается подвластно этому общему умонастроению. Впадая в понятийный формализм, оно отрывается от самого важного в жизни – драмы человеческого существования. Истины богословия, превращенные в
понятия, отвечающие критериям наукообразной «точности», сводятся к привычным формам мысли. Основой богословского языка становятся бесцветные понятия, выстраиваемые умом «принципы» и «аксиомы» объективированной идеологии и морали. Язык богословия утрачивает связь с человеческим опытом, с драмой греха и спасения, связь с отчуждением от бытия и с подлинным опытом бытия. Богословие превращается в идеологическую надстройку и психологическую компенсацию. Его содержанием остаются только моральные выводы, призванные улучшить человеческую жизнь.
К недостаткам системно-функционального подхода относится то, что без внимания остаются индивидуальные факторы в политике, личные конфликты, которыми полна политическая жизнь. Индивид рассматривается только как исполнитель функций, играющий определенную роль в рамках данной системы. Кроме того, сторонников данного подхода критикуют за чрезмерный схематизм и
формализм в изучении сложных политических явлений.
Ярким примером стремления к снижению структурной сложности рефлексивной активности субъектов управления является подход теории игр (и исследования операций). Именно отступление перед проблемой структурной сложности объекта управления, в качестве которого выступали активные субъекты, преследующие свои цели, заставило принять критерий гарантированного результата, поиска лучшего из худших результатов (maxmin). Имело место признание превосходства структурной сложности рефлексивной активности противоборствующей стороны. Ограниченность такого подхода породила значительные трудности при попытках
использовать формализм теории игр при моделировании военных операций, международных отношений и экономических коллизий.