Связанные понятия
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.
Упоминания в литературе
Элемент класса – это предмет, входящий в
данный класс. Так, элементами множества факультетов будут факультет естественных наук, гуманитарный факультет, механико-математический факультет и другие факультеты. Различают универсальный класс, единичный класс и нулевой, или пустой, класс. Класс, состоящий из всех элементов исследуемой области, называется универсальным классом (класс планет Солнечной системы, класс русских фонем). Если класс состоит из одного-единственного элемента, то это будет единичный класс (планета Юпитер, консонант). Наконец, класс, который не содержит ни одного элемента, называется нулевым (пустым) классом. Пустым классом является класс русских артиклей. Число элементов пустого класса равно нулю. Установление границ естественного класса предметов, т. е. решение вопроса о его тождестве, возможно в результате эмпирических или теоретических исследований. Это сложная задача, т. к. элементы внеязыковой действительности тесно связаны между собой, и при их классифицировании у исследователя могут возникать трудности. Не менее трудная задача – определение тождества языковой единицы: практически все классификационные проблемы в описательной лингвистике связаны с возможной неоднозначностью решения вопроса о границах языкового класса.
Классы объектов мыслятся скорее как материальные множества, а не как наборы абстрагированных признаков. Классы не имеют четких границ и состав их полностью не определен. Классы задаются теми или иными примерами, ключевыми образцами, которые могут в разных ситуациях быть различны, указывая на ту или иную сторону объектов класса. Классы упорядочены в периодические системы, выстроенные на основе каких-то значимых чисел. Одно и то
же множество примеров может быть упорядочено различным образом, с помощью разных типов нумерологических классификаций.
Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А
является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А є В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класса принадлежит классу А и записывается как а є А. Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А є В.
Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А
является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А с В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класс а принадлежит классу А и записывается как а с А. Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А = В.
Начнем с того, что Фреге включает в свою онтологию такие типы объектов, как функции и предметы, которые могут выступать в роли аргументов и значений функций. При этом он значительно расширил понятие функции, освободив ее от связи с числами и определив в качестве ее возможных аргументов и значений любые другие предметы, например физические вещи, людей и т. п. Помимо перечисленных он включил в число предметов два абстрактных объекта – «истину» и «ложь», которые являются аргументами и(или) значениями особой категории функций – так называемых логических функций. Частным случаем логических функций (с одним аргументом, определенным на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) у Фреге оказываются понятия, которые играют ключевую роль в его логической системе, ибо, относя к арифметике все то, что поддается счету, он полагал, что ее область совпадает с областью понятийного мышления[9]. Поскольку, по его мнению, понятие должно указывать, каким свойством нужно обладать предмету, чтобы подпадать под данное понятие, именно в понятиях он усматривал «основание существования классов». Отождествив понятие с общим свойством, которым должны обладать подпадающие под него предметы, а объем понятия – с классом этих предметов, Фреге ввел в свою онтологию такие важные сущности, как свойства и классы. Кроме того, он особо выделил еще
два вида логических функций – отношения (функции с двумя аргументами, определенными на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) и пропозициональные функции, где и аргументами, и значениями выступают «истина» и «ложь», которые в дальнейшем стали называть истинностными значениями.
Связанные понятия (продолжение)
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим замечательные свойства.
Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.
Логика первого порядка , называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющие дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например, категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют...
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Логика высказываний , или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
Подробнее: Универсальное свойство
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...
В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.
Подробнее: Коммутативная диаграмма
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Тополо́гия Зари́сского , или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью.
Классическая логика — термин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.
Подробнее: Аксиомы отделимости
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов...
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных...
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.
Подробнее: Измеримая функция
Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Алгоритмическая разрешимость — свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.
Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во...
Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.
Упоминания в литературе (продолжение)
Другим способом выразить ту же идею могло бы быть отрицание возможности сравнения теорий, основанное на предположении, что не существует фактов и данных, которые давали бы нам критерий сравнения, поскольку факты и данные всегда таковы только «относительно данной теории»[152]. Интересный факт состоит в том, что мы тоже стоим за «относительность» фактов и данных, в том смысле, что факты и данные зависят от конкретных операционных критериев данной дисциплины, а вследствие этого и от любой теории, предлагаемой в данной дисциплине, но мы не делали следующего шага, состоящего в утверждении, что данные и факты относительны к каждой отдельной теории; напротив, они остаются постоянными для всех теорий, относящихся к данной дисциплине. Это вполне совместимо с признанием того, что значение некоторого понятия или высказывания «в общем» релятивизируется к теориям, поскольку это не мешает
двум (или более) теориям иметь одни и те же средства релятивизации по отношению к данному понятию или высказыванию. Согласно нашей точке зрения, это действительно может быть так по отношению к ограниченному классу понятий и высказываний, т. е. для операциональных понятий и для высказываний, содержащих только эти понятия. Это случай, когда две теории основаны на одних и тех же базовых предикатах, связанных с базовыми интенсионалами одними и теми же операциями, и отличаются только в силу различия используемых ими логических сетей (а значит, и в силу различия используемых ими теоретических понятий).
Наиболее часто используемое определение категории сформулировано следующим образом: «Под категорией мы понимаем некоторое правило, в соответствии с которым мы относим объекты к одному классу как эквивалентные друг другу. Правило требует учитывать следующие черты объектов, составляющих категорию.
3.315. Если мы превратим элемент суждения в переменную, то получим класс суждений, все из которых будут значениями итогового переменного суждения. В целом этот класс окажется зависимым от значения, которым наши произвольные договоренности наделили части исходного суждения. И если все его знаки, имеющие условно закрепленные значения, обратятся в переменные, мы
все равно получим подобный класс. Этот класс, впрочем, будет зависеть не от условностей, а только от природы суждения. Он соответствует логической форме – логическому прототипу.
Третий класс охватывает общие «звенья» более сложных программ поведения, в том числе и социально-групповых программ, порождая особый
класс формальных свойств, так называемых формально-программных свойств индивидуальности. Сюда относятся различные виды предпочтений:
Основная форма классификаций, разрабатываемых систематиками-эмпириками в конце XVIII – начале XIX столетий, – иерархическая, хотя способы её представления весьма различны – от ступенчатых списков таксонов и классификационных деревьев до таксономических карт (см. 3.6.3). Увеличение
числа известных форм с необходимостью привело к усложнению линнеевской иерархии за счёт включения в неё дополнительных рангов. Так, в диссертации Г. Сторра по млекопитающим (G.C.C. Storr, Prodromus methodi mammalium…, 1780 г.) полная иерархия включает следующую последовательность ступеней: Classis, Phalanx, Cohors, Ordo, Missus, Sectio, Coetus, Genus (см. Павлинов, 2003в); из них по крайней мере когорта в последующем стала одной из популярных категорий (Simpson, 1945). В ботанической сводке Дж. Линдли появилась дробная иерархия над отрядных рангов: Класс, Подкласс, Альянс, Естественный порядок, Порядок (Lindley, 1836), которые этот автор трактует вполне номиналистически (Stevens, 1997а). Английский ботаник, умеренный номиналист Джордж* Бентам (George Bentham; 1800–1884), подобно Чезальпино начавший свою учёную карьеру как логик (его раннему перу принадлежит «Очерк новой системы логики») и затем классифицировавший растения преимущественно как логик (Stevens, 2002; McOuat, 2003), считает желательным использовать непоименованные интерполированные категории между основными линнеевскими рангами для сохранения оптимальных объёмов таксонов, выделенных Линнеем и Жюсьё (Bentham, 1875). Примечательно, что Бентам не верит в эквивалентность таксонов одного ранга, поэтому выступает против унификации названий по окончаниям; указанную эквивалентность в начале XIX века отвергал и английский ботаник Роберт Браун (Stevens, 1997а). Этот номиналистический взгляд на природу таксономических категорий если не по сути, то по форме замечательным образом совпадает с предложениями новейшей ультракладистики (см. 5.7.4.5).
Способность к классификации Пиаже также обнаруживал в транзитивности и в
способности к «сложению классов». Первая из названных задач на дооперационной стадии представляет значительную сложность, тогда как на стадии конкретных операций ребенок обычно дает правильный ответ. Здесь решающей для Пиаже представляется способность установить связь между крайними элементами при посредстве промежуточного звена. Во втором случае успешное освоение классификации означает не только осознание существования тех или иных подклассов, но и понимание того, что подклассы, сложенные вместе, составляют третий класс и этот класс может быть снова разбит на два подкласса. Другими словами, здесь речь идет о конкретно-операционной системе или группировке, что аналогично операциям, составляющим основу сохранения.
Определяемое понятие выражено названием (именем) объекта (единичного или любого из данного
класса объектов). Определяющее можно представить, как наиболее точное и лаконичное описание (через указание на существенные и отличительные признаки) сущности определяемого предмета или пределов использования термина, а также (другие возможные варианты) – функций, способа возникновения определяемого объекта, элементов контекста, позволяющих более точно его представить и т. д.; связка зачастую обозначена обычным тире.
Для исчерпывающего представления о деятельности по накоплению фактов в нормальной науке следует указать, как я думаю, еще на третий класс экспериментов и наблюдений. Он представляет эмпирическую работу, которая предпринимается для разработки парадигмальной теории в целях разрешения некоторых оставшихся неясностей и улучшения решения проблем, которые ранее были затронуты лишь поверхностно.
Этот класс является наиболее важным из всех других, и описание его требует аналитического подхода. В более математизированных науках некоторые эксперименты, целью которых является разработка парадигмы, направлены на определение физических констант. Например, труд Ньютона указывал, что сила притяжения между двумя единичными массами при расстоянии между ними, равном единице, должна быть одинаковой для всех видов материи в любом месте пространства. Но собственные проблемы, поставленные в книге Ньютона, могли быть разрешены даже без подсчета величины этого притяжения, то есть универсальной гравитационной постоянной, и никто в течение целого столетия после выхода в свет «Начал» не изобрел прибора, с помощью которого можно было бы определить эту величину.
Стоит назвать еще один признак современности описанного подхода. Как мы уже отмечали, установив понятие класса, Милициа выделяет каждое здание-тип в рамках общей идеи и характеризует его на основании функции. Эта функция рассматривается независимо от общих соображений по поводу формы; причем ее следует понимать не как собственно функцию, а скорее как цель здания. Так, в один и тот же класс включаются и строения с практическим использованием, и строения, эмпирически воспринимаемые как объекты, но созданные ради выполнения не столь
явно наблюдаемых функций. Например, здания, построенные для обеспечения здравоохранения или безопасности, включаются в тот же класс, что и здания, построенные как демонстрация роскоши и величия.
Логичными являются рассуждения (умозаключения), совершаемые по
особым логическим правилам. Относительно природы этих правил в логике до сих пор нет ясности. Возьмем для примера умозаключение по одному из правил силлогизма, которое является наиболее широко известным. В общей форме оно имеет такой вид: «Если все предметы, называемые словом А (относящиеся к классу А), имеют признак В и предмет С называется словом А (относится к классу А, есть А), то предмет С имеет признак В». Обычно это правило иллюстрируют таким примером: «Все люди смертны, Сократ человек, значит, Сократ смертен». Почему это правило имеет силу? На этот счет философы насочиняли тома всякой чепухи. Согласно моей логической теории, это правило есть часть определения языковых знаков «Все», «имеет признак» и «относится к классу» (или «есть»).
Виттгенштейн (Wittgenstein, 1953) обратил внимание на то, что многие классы, в особенности
классы достаточно сложных по структуре объектов, не могут быть выделены (определены) на основании каких-то отдельно взятых общих свойств. Таких свойств, присущих всем без исключения членам класса, часто попросту нет. Есть лишь то, что Виттгенштейн называет «семейным сходством» – «сложная сеть сходств, накладывающаяся друг на друга и пересекающаяся». Объясняя свой термин, Виттгенштейн приводит следующий пример. Члены одной семьи могут быть охарактеризованы и выделены среди других семей не на основании сходства в каких-то общих признаках, но принимая во внимание всю совокупность свойств, присущих человеку Таковы, в частности, черты лица, цвет глаз, волос, сложение тела, походка, темперамент и т.п. Каждое из этих свойств не имеет необходимой диагностической ценности, поскольку может характеризовать членов разных семей. Однако в совокупности они образуют целостную (типовую) характеристику, достаточную для того, чтобы отличить одну семью от другой (Богомолов, 1973; Грязнов, 1985).
Обобщение – мысленное расширение, увеличение, перенесение (экстраполяция) известного на область неизвестного; метод выделения отличительных черт, свойств и признаков, принадлежащих группам известных предметов (явлений, процессов, мыслей о них), и распространение их на другие, еще не известные группы. Обобщение – не просто выделение общего, а выделение отличительно-специфического для области предметов, для
класса, объема, множества, для предмета мысли. Обобщение, кроме того, и подведение итога, суммирование, осмысление накопленного материала (знания), формирование на этой основе общего положения (например, определения или закона). Обобщенный взгляд на тот или иной предмет является в то же время и упрощением, поскольку общий взгляд, конечно же, опускает частности, детали; обобщение как бы сводит сложное к простому. Обобщение увеличивает объем мысли. Обобщение распространяет имеющееся знание на область неизвестного, как в случае перенесения на планету Марс признаков, присущих планете Земля. Обобщение, как и другие мыслительные, методы выполняет многообразные функции в интеллектуальной деятельности человека.
Рациональные аргументы в защиту микрокосмической позиции, между тем, высказывались весьма энергично. Большинство ее сторонников легко допускают, что даже в самом униформистском обществе каждый индивид несколько отличается от любого другого вследствие комбинирования разных генетических факторов и случайностей опыта. Однако это разнообразие, каким его описывают, напоминает нам «разнообразие» домов новой планировки: они выкрашены в разные цвета, очертания крыш чередуются от дома к дому по дуге в девяносто градусов, но поэтажные планы одинаковы. Иначе говоря, динамически важные черты принимаются как общие. Таким образом, несмотря на лицемерное уважение к индивидуальной изменчивости, здесь все еще упорно сохраняется понятие «статистического» распределения. Маргарет Мид, к примеру, настаивала на том, что описания индивидуальных характеристик и культурной среды должны быть настолько точными, чтобы можно было установить между ними идеальную ковариацию. «Любой член культуры при условии, что его позиция в этой группе надлежащим образом уточнена, служит идеальным примером того группового образца (pattern), на основе которого он действует в качестве информанта… Любое утверждение о культуре должно делаться так, чтобы добавление другого класса информантов, ранее не представленного в выборке, не изменяло природу этого утверждения таким образом, который не был бы уже предусмотрен в изначальном утверждении» (Mead, 1953). Однако утверждение, будто какой-то
один компонент служит «идеальным примером» образца при условии уточнения его взаимосвязей с другими компонентами, несет в себе смысла не более, чем утверждение о том, что одна бусинка является идеальным примером вампума3*, если вы уже держите вампум в своей руке. О распределении же говорили голословно, выбирая (sampling) других информантов для уточнения «позиции» «образцового» («sample») информанта.
В словаре русского языка
слово «тип» в наиболее подходящем к предмету нашего исследования значении толкуется как «образец, модель или разновидность, форма, которым соответствует известная группа предметов, явлений».[117] Применительно к областям научных знаний понятие типа конкретизируется, но существенно не отличается. Так, например, известный советский ученый-логик Н. И. Кондаков определяет тип как «образец, который выражает общие, существенные черты определенной группы предметов, явлений; форма, вид, модель, которой соответствует определенный класс объектов».[118]
Алгори́тм – набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Независимые инструкции могут выполняться в произвольном порядке, параллельно, если это позволяют используемые исполнители. Алгоритм – это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую
конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач.
Важно помнить также о fallacia accidens, ошибке поспешного обобщения. Ошибка называется «обобщением от случайного», ее суть – обнаружив некоторого признак в нескольких случаях, производят обобщение на весь обширный класс событий. Индуктивная логика устроена довольно сложно, и простой здравый смысл подсказывает, что надо хотя бы проверить крайние случаи, сделать несколько разных проверок в разных областях предметного поля. Вместо этого часто оказывается, что очень крупные теории обоснованы, по сути, двумя-тремя т. н. «парадными примерами». В результате очень популярная и хорошо
известная теория может оказаться по сути опровергнутой после того, как будет получено иное объяснение всего для пары примеров (кажется, сейчас это происходит с гипотезой «кольцевого ареала»).
После выявления основных черт той группы объектов, в которую входит изучаемый объект, на основе знания сходных объектов можно выдвинуть гипотезы о его свойствах, поведении, функционировании. Это очень мощное средство познания – построение гипотез о еще неизвестных свойствах данного объекта на основании того, что мы знаем, что данный объект принадлежит к данному классу объектов, и другие члены
этого класса имеют такие-то свойства. Основанием для таких гипотез является целостность объектов исследования. Если мы выбрали в качестве объекта исследования не случайную совокупность свойств, а действительно целостную систему, то ее признаки скоррелированы друг с другом. Это значит, что если мы находим некоторую группу сходств между объектами, то возрастает наша уверенность в том, что эти объекты сходны и по многим другим свойствам. Без такого выделения типичных свойств объектов научные законы не могли бы быть сформулированы. Ученые ведь не исследуют все капли воды в океане, чтобы убедиться, что их свойства похожи; изучив некоторое количество воды и сделав заключение, что весь океан состоит из такого вещества, мы заранее полагаем, что свойства всех его частиц примерно одинаковы.
Примечание. Принципы Онсагера и Пригожина – это вариационные принципы, справедливые для определенных и достаточно узких классов неравновесных процессов, которые Онсагер назвал линейными из-за аддитивности химических потенциалов. Из этих принципов можно вывести уравнения движения, траектории которых являются экстремалями, и обратно – они сами являются следствием этих уравнений. В отличие от них (и других вариационных принципов физики) сформулированный выше принцип минимума диссипации энергии не является строго обоснованным и вряд ли может быть строго обоснован в традиционном смысле этого слова. Вот почему я его и отнес к категории «эмпирических
обобщений», тем более что примеров, ему противоречащих, я не знаю.
В качестве примера мы взяли пары «золото» и «иметь атомный номер 79», «золото» и «быть Н2О». Последний член пары обозначает свойство, а парное ему имя, разумеется, нет. Но пока каждому естественному
роду соответствует только единичное главное свойство, это различие не имеет значения. Когда указывается два неравнообъемных имени, как «Н2О» и «жидкое состояние» в случае с водой, тогда каждому имени, если оно употребляется отдельно, будет соответствовать больший по объему класс, чем паре объединенных имен, и тот факт, что они обозначают свойства, становится центральным.
Эпиграфом к специальной статье, посвященной частицам и их «грамматике», Г. Дункель [Дункель 1992] поставил удачные слова К. Бругмана: «Праиндоевропейские частицы с точки зрения их этимологии, формальных признаков и исходного значения в массе своей остаются в большей или меньшей степени неясными». Далее Г. Дункель пишет о назревшей необходимости реинтерпретировать многие частицы – «не только морфологически, но и семантически». Однако и он включает класс частиц в уже существующий набор индоевропейских классов морфем: корни (К), суффиксы (С) и окончания (О). К частицам он относит также превербы и предлоги. На ряде важных положений Г. Дункеля, в частности о позиционном распределении частиц и о правилах их комбинирования, я остановлюсь в дальнейшем. Важно сейчас отметить, что он находит «совершенно не поддающиеся анализу формы (*r, *gho, *no/ne)» [Дункель 1992: 17] и что «именно здесь мы доходим до наиболее раннего пласта» [Там же]. Понимая, что частицы представляют собой некий, по сути, неясный для таксономии класс (см. об этом ниже), Г. Дункель все же придерживается
наиболее удобной теории – частицы есть нечто «застывшее», и осторожно называет «преувеличением» более крайние точки зрения на них – например, Г. Швицера: «Для развития древнейших частиц более поздние частицы, которые явно представляют собой окаменевшие падежные и глагольные формы, не могут служить аналогией», – а также считает преувеличением гипотезу об изначальной односложной структуре частиц (гипотеза излагается у Г. Дункеля без ссылки. – Т. Н.), которая привела бы «к необходимости признать, что все двусложные частицы являются фактически производными (т. е. представляют собой цепочку частиц)» [Дункель 1992: 23].
«Проникновение» особенностей употребления в значение описано для имен существительных под названием «обогащение признаками денотата» [Арутюнова 1976: 337; Шатуновский 1983]. Так, офицер – это 'тот, кто служит в армии или на флоте и относится к командному составу' – ничего более для приложения этого слова к объекту не нужно. Однако какие-то типичные, хотя и не обязательные, признаки денотативного класса офицеров – смелость, военная выправка, приверженность специфическому кодексу чести и т. п. – начинают (в большей или меньшей степени) ассоциироваться с этим словом, входя тем самым в какой-то степени в его значение и определяя его языковое поведение: Ах, какой был мужчина! Настоящий полковник! (из песни А. Пугачевой). Однако не в меньшей степени подобное «проникновение» характерно для глаголов.
Во многих случаях типичные признаки денотативных ситуаций – признаки объектов, участвующих в данных ситуациях, прагматические характеристики самих этих ситуаций, их предпосылки и / или последствия и т. д., и т. п. – втягиваются в значение, конвенционализуются, начинают в большей или меньшей степени ассоциироваться с глаголами и их аспектуально значимыми группами. Непрерывное взаимодействие, смешение языка и жизни в пункте употребления видовых форм ставит задачу разграничения того, что идет от жизни, и того, что идет от языка, при ясном понимании того, что окончательно и однозначно разделить язык и жизнь невозможно.
В понятии, как это принято в логике и философии, может быть представлено два составляющих компонента. Один из них – это объем понятия или его
значение, определяемое как класс предметов, который подходит под данное значение, другой – содержание, или смысл, представляющий совокупность общих и существенных признаков понятия, соответствующих этому классу. По меткому определению отечественного культуролога Ю.С. Степанова, содержание понятия – «это как бы сгусток культуры в сознании человека; то, в виде чего культура входит в ментальный мир человека… – это то, посредством чего человек – рядовой, обычный человек, не “творец культурных ценностей” – сам входит в культуру…» (Ю.С. Степанов, 2001. – С. 43).
Далее на той же странице следуют рассуждения о построении идеальных объектов. «Наряду с интеллектуальной интуицией основной логической операцией теоретического мышления является идеализация, целью и результатом которой является создание (конструирование) особого типа предметов – так называемых «идеальных объектов». Мир (множество) такого рода объектов и образуют собственную онтологическую основу (базис) теоретического научного знания в отличие от эмпирического знания. Научная теория – это логически организованное
множество высказываний о некотором классе идеальных объектов, их свойствах и отношениях». Здесь идеализацией названа рассмотренная нами выше схематизация элементов абстрактного образа и его свойств.
Хотя в этом последнем названии прямо не
указаны представленные компоненты, они легко определяются из явного указания темы школьного курса, которая изучается в 7–9 классах на уроках планиметрии. Из понятия «систематический курс» непосредственно следует, что данное исследование относится к основным урокам геометрии.
Когнитивная гибкость – это гибкость мышления и в первую очередь связана с дивиргентностью мышления. На сегодняшний день разработан большой класс диагностических методик для выявления дивергентного мышления, они разработаны на основе кубической модели структуры интеллекта Дж. Гилфорда и в них задействованы прежде всего следующие размерности: содержание (образное, символическое, семантическое) и результаты
(элементы, классы, отношения, системы, преобразования, выводы). Наибольшей популярностью пользуются следующие тесты:[47]
Итак, опытные данные показывают, что существует определенный класс явлений в неживом веществе, для которых принцип минимума диссипации энергии оказывается одним из важных принципов, позволяющих выделить реальные состояния из множества виртуальных. На этом основании в предлагаемой книге и был сформулирован и использовался этот принцип – как некоторое эмпирическое обобщение, как некоторая гипотеза. Именно в такой форме он и был внесен в иерархию принципов отбора. Он играл роль «замыкающего принципа отбора: когда другие принципы не выделяют единственного устойчивого состояния, а
определяют некоторое целое их множество, то принцип минимума диссипации энергии служит дополнительным принципом отбора. Заметим, что среди неустойчивых движений могут быть и такие, которым отвечает меньшее производство энтропии. Однако из-за их неустойчивости мы их не наблюдаем.
Системы по различным признакам делятся на группы, классы, виды, разновидности. Все классификационные
признаки дают возможность отнести системы к трем группам, отличающимся по характеру свойств, видам отношений, связей и разнообразию элементов, составляющих множество.
Обнаруженное значение случайной величины
называют статистической переменной (или вариантой). Наблюдаемые явления выделяют в разные разряды или классы, то есть группы. Количество таких групп называется частотой. Частоту выражают, как правило, в процентах от общего числа явлений. Частота в таком конкретизированном виде называется частостью.
Индукция – метод исследования, заключающийся в следующем: для того чтобы получить общее знание о каком—либо классе предметов, необходимо исследовать отдельные предметы этого класса, найти в них общие существенные признаки, которые и послужат основой для знания об
общем, присущем данному классу предметов. Индуктивный метод исследования заключается также и в следующем: исследователь переходит от знания менее общих положений к знанию более общих положений, т. е. метод, опирающийся на умозаключения от частного к общему.
Вернемся к представлению знаний. Как справедливо отмечает Дж. Люгер, задача любой схемы представления заключается в том, чтобы зафиксировать специфику области определения задачи и сделать эту информацию доступной для механизма решения проблемы. Язык представления должен позволять программисту выражать знания, необходимые для решения задачи. Абстрагирование, т.е. представление только той информации, которая необходима для достижения заданной цели, является необходимым средством управления сложными процессами. Конечные программы должны быть рациональными в вычислительном отношении. Выразительность и эффективность являются взаимосвязанными характеристиками оценки языков представления знаний. Многие достаточно выразительные средства представления в одних классах задачах совсем неэффективны в других. Разумный компромисс между эффективностью и выразительностью – сложная задача для разработчиков интеллектуальных систем. По существу, способ представления знания должен обеспечить естественную структуру выражения знания, позволяющую решить проблему. Способ представления должен сделать это знание доступным компьютеру и помочь программисту описать его структуру [264, стр. 58-59]. Учитывая наши выводы о неадекватности исчисления
предикатов для решения многих задач ИИ, мы считаем, что разработка новых представлений в виде миварного информационного подхода является закономерным развитием теории ИИ в 21 веке.
Примечание 5. Все существующие разновидности процессов развития могут быть разбиты также на классы – по уровням организации материи и идеи, по отдельным характерным признакам развития (в том
числе по характеру неопределенности) – как применительно к индивидуальному, так и к историческому типам процессов развития.
Как всякое определение в формальной логике мы должны произвести две логические операции. Первая: найти ближайший род, класс предметов, к которым относится экономика как наука. Этим родом является общественные науки.
В первой и во второй серии СРО различается количеством примеров, интерпретаций, оценок. Это можно объяснить тем, что в первой серии испытуемый, решая первую коммуникативную задачу, бессознательно подготавливает себя для решения второй; опыт беседы с одним из товарищей позволяет ему учитывать вопросы и сомнения, которые могут возникнуть у сидящих в классе, посредством: а) разъяснения функций, которые имеют социально-психологические термины,
б) сравнений, в) собственных примеров, г) использования риторических вопросов, д) выводов, повторных разъяснений терминов.