Логицизм

Логици́зм — одно из основных направлений обоснования математики и философии математики, ставящее целью сведе́ние исходных математических понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм.

Мысль о сведе́нии математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в.

Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, и в «Principia mathematica» за авторством Уайтхеда и Рассела.

Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании.

Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины.

К концу XIX века в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними.

Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге.

В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами некоторых понятий.

Однако система Фреге не свободна от противоречий.

Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (см. парадокс Рассела), пытаясь свести её к логике.

Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, которую он сформулировал в виде теории разветвленных типов.

Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, которые неестественно считать чисто логическими.

К ним относятся, например, аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, то есть объектов наинизшего типа.

Ряд авторов полагает, что с определёнными изменениями логического аппарата Рассела логицизм приемлем, другие же считают что попытка сведе́ния математики к логике не удалась, и идея логицизма оказалась утопичной.

В 1931 году Гёдель доказывал что никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Фреге очень необычный мыслитель, поскольку его творческий поиск осуществлялся на стыке философии и математики. Свою главную задачу он видел в том, чтобы подвести под арифметику надежное логическое основание, продемонстрировав возможность определения ее основных понятий и аксиом в терминах чистой логики. Таким образом, Фреге первым выдвинул программу обоснования арифметики путем сведения ее к логике, которая получила название «логицизм». Для выполнения этой программы он создал совершенно новую логику, осуществив первое аксиоматическое построение пропозиционального исчисления и построив теорию квантификации и исчисление предикатов, которые образуют ядро современной математической логики. Эта новая логическая система была сформулирована Фреге на специально разработанном им формально-логическом языке. Задавая интерпретацию этого искусственного языка, Фреге заложил основы логической семантики, однако если в дальнейшем при создании логических языков стали четко отделять их синтаксис (задание словаря исходных символов, формулировка правил образования и преобразования выражений языка и т. п.) от семантики (сопоставление категориям языковых выражений различных типов внеязыковых сущностей), то Фреге выстраивает синтаксис и семантику своей системы одновременно по мере введения новых знаков и выражений. Более того, семантика языка формулируется им с учетом уже имеющейся онтологии внеязыкового мира, для представления которой и создается язык. Однако следует отметить, что Фреге не просто взял стандартную онтологию для арифметики, которая включает теорию чисел и математический анализ, но внес в нее существенные дополнения и изменения, по-новому осмыслив многие математические понятия, прежде всего понятия функции, класса и числа.

Л. Б. Макеева, Язык, онтология и реализм, 2011

Проблема основания заостряется при обосновании изменений, реформ, перестроек, поскольку требует замену одних оснований другими. История общества, философии и науки чревата кризисами оснований. Например, математика, считающаяся образцом научности, и её история служат весьма интересным примером возникновения и разрешения подобных кризисов (в ХХ веке решениями кризиса оснований математики стали интуитивизм, логицизм и конструктивизм).

Сергей Лобанов, О природе философии

В биологии простые формы оказываются во многих случаях более адаптивными, чем сложные, да и в культуре сложность организации как отдельных образований, так и целых социально-исторических систем вовсе не даёт гарантий их выживания и успешного ответа на разного рода вызовы., Трансцендентность вектора усложнения обусловлена, думаю, тем, что сложность структуры пропорциональна скоростям протекающих в ней процессов. Ведь чем выше уровень сложности, тем больше скорости внутренних взаимодействий[59]. А ускорение процессов – показатель сжатия времени, на глобальном уровне стремящегося к своему снятию. В этом смысле, каждая локальная система живёт в своём темпомире, внутренне ускоряющемся по ходу эволюционных итераций. Так, вектор усложнения устремляется к возврату (на новом, разумеется, уровне) в состояние не-длительности. Даже если сжатие времени и не достигает (никогда не достигнет?) метафизической точки снятия, а просто стремится к бесконечности, то и этого достаточно, чтобы служить глобальным трендом эволюционного усложнения форм и систем. Стремление доводить всё до логического конца – в данном случае до финализма квазигегелевского толка – въевшаяся в подсознание привычка, выработанная рационалистическим логицизмом. Однако сама действительность никаких «логических концов», как правило, не приемлет. Так, результатом «критического» уплотнения времени может стать растворение каузальности в когерентности, преодоление необратимости времени и т. п.

Андрей Пелипенко, Избранные работы по теории культуры, 2014