Связанные понятия
Логика высказываний , или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Выска́зывание в математической логике — предложение, выражающее суждение. Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то и о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Истинность и ложность называются логическими, или истинностными, значениями высказываний.Высказывание должно быть повествовательным предложением, и противопоставляются повелительным, вопросительным...
Логика первого порядка , называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
Посылка — это утверждение, предназначенное для обоснования или объяснения некоторого аргумента. В логике аргумент — это множество предложений (или «суждений») одни из которых являются посылками, а другие утвердительные предложения (или суждения) — логическими выводами.
Упоминания в литературе
В основе теории логического следования Льюиса лежало понятие строгой импликации, определявшееся в терминах логической невозможности. Существует семейство теорий, описывающих логическое следование и условные связи корректнее, чем
классическая логика . Наибольшую известность получила релевантная логика, развитая американскими логиками А. Р. Андерсоном и Н. Д. Белнапом.
Классическая логика подвергалась критике за то, что не дает корректного описания логического следования. Основная задача логики – систематизация правил, позволяющих из принятых утверждений выводить новые. Логическое следование – это отношение, существующее между утверждениями и обоснованно выводимыми из них заключениями. Задача логики – уточнить интуитивное представление о следовании и сформулировать на этой основе однозначно определенное понятие следования. Логическое следование должно вести от истинных положений только к истинным. Классическая логика удовлетворяет данным требованиям, однако многие ее положения плохо согласуются с нашими привычными представлениями. В частности, классическая логика говорит, что из противоречивого суждения «Студент Иванов – отличник», и «Студент Иванов не является отличником» следуют такие утверждения: «Студенты не хотят учиться». Но между исходным утверждением и этими якобы вытекающими из него утверждениями нет никакой содержательной связи. Здесь прослеживается отход от обычного представления о следовании. Следствие, которое выводится, должно быть как-то связано с тем, из чего оно выводится. Классическая логика пренебрегает этим очевидным обстоятельством.
Первые современные многозначные логики создали независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 г. и американский логик Э. Пост в 1921 г. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами
классической логики , однако обратное утверждение смысла не имело. Ряд классических законов в трехзначной логике отсутствовал. Среди них оказались закон противоречия, закон исключенного третьего, закон косвенного доказательства и ряд других.
Еще в 1912 г. американский логик и философ К. И. Льюис обратил внимание на т. н. парадоксы импликации, характерные для формального аналога условного высказывания в
классической логике – материальной импликации. Льюис разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие строгой импликации. Наибольшую известность из них получила релевантная логика, развитая американскими логиками А. Р. Андерсоном и Н. Д. Белнапом.
Все подходы к изучению логики можно условно разделить на две ветви: классическую и неклассическую. Первая характеризуется наличием двух значений истинности, т. е. суждения могут быть либо истинны, либо ложны. Вторая же подразумевает бесконечное множество значений истинности, конструктивность методов доказательства и модальность суждений. Иногда могут исключаться отрицания, содержащиеся в
классической логике .
Такова структура аргументации. В ее классической теории вы сможете найти формулировку «структура доказательства». Доказательство и аргументация – понятия схожие, иногда даже синонимичные, однако первое по сравнению со вторым представляет собой более строгую и жесткую процедуру, регулирование которой осуществляется в соответствии с рациональными законами логики. Аргументация всегда более индивидуализирована, диалогична и ориентирована на реципиента. Выбор тех или иных ее средств и приемов будет зависеть от определенной ситуации, конкретного реципиента, его коммуникативного поля опыта, того или иного контекста, субъективных и объективных барьеров коммуникации и т. д. (обо всем этом рассказывается в первой главе моей книги «Гни свою линию»). Тем не менее в любой аргументации будут представлены точно такие же структурные элементы, как и в классическом доказательстве: тезис, аргумент, демонстрация. Таким образом, все проанализированные выше элементы аргументации в полной мере относятся и к доказательству, рассматриваемому
классической логикой .
Хотя это кажется абсурдным и невозможным с точки зрения
классической логики , человеческая природа демонстрирует интересную двойственность. Иногда она приземляет себя до механистических интерпретаций, приравнивая человека к его телу и функциям организма. В других случаях она выявляет совершенно иной образ, предполагая, что человек может функционировать как безграничное поле сознания, трансцендирующее материю, пространство, время и линейную причинность. Для того чтобы описать человека всесторонним и исчерпывающим способом, мы должны принять парадоксальный факт, что он есть одновременно и материальный объект, т е. биологическая машина, и обширное поле сознания.
С одной стороны, начиная с эпохи Нового времени становление психологии как самостоятельной науки происходило и продолжает происходить под мощным влиянием физики как классического образца научного исследования: от научной логики исследовательского мышления до критериев достоверности экспериментальных результатов. В качестве иллюстрации приведу только два примера. Первый – это парадигмальный переход от классической психологии восприятия, построенной в контексте «атомарно»-ассоциативной
логики классической (механистической) физики (Вундт, 1912; Сеченов, 1947; Титченер, 1914 и др.), к гештальтпсихологии восприятия, которая построена в контексте «полевых» динамических взаимодействий, привнесенных в психологию из теории относительности и квантовой механики (Wertheimer, 1925; Koffka, 1935 и др.). Второй пример мы наблюдаем сейчас, когда физика, точнее сказать – философия физики, на современном этапе ее развития переживает парадигмальное осмысление своих методологических позиций в направлении «классическая физика – неклассическая физика – постнеклассическая физика». И вслед за этим, как отражение рефлексивного анализа парадигмального развития классической и современной физики, появляется целый ряд методологических работ по психологии, анализирующих развитие психологии в том же направлении: классическая, неклассическая и постнеклассическая парадигмы в психологических исследованиях.
Связанные понятия (продолжение)
Интуициони́зм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций «интуитивной убедительности». Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.
Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом...
Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.
Метало́гика — изучение метатеории логики. В то время, как логика представляет собой исследование способов применения логических систем для рассуждения, доказательств и опровержений, металогика исследует свойства самих логических систем.
Многозна́чная ло́гика — тип формальной логики, в которой допускается более двух истинностных значений для высказываний. Первую систему многозначной логики предложил польский философ Ян Лукасевич в 1920 году. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов являются частичные логики и нечёткие логики.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.
Формализм — один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в XX веке одним из направлений фундаментализма в философии математики.
Вывод (лат. conclusio) в логике — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям — заключениям. Вывод может проводиться в несколько этапов—умозаключений.
Доказательство «от противного » (лат. contradictio in contrarium) в математике — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей...
Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью.
Саморефере́нция (самоотносимость) — явление, которое возникает в системах высказываний в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя. Иначе говоря, если какое-либо выражение является одновременно самой функцией и аргументом этой функции.
Вероятностная логика — логика, в которой высказываниям приписываются не исключительно значения истины и лжи как в двузначной логике, а непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так, что ноль соответствует невозможному событию, единица — практически достоверному. Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения.
Логици́зм — одно из основных направлений обоснования математики и философии математики, ставящее целью сведе́ние исходных математических понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм.
Деду́кция (лат. deductio — выведение, также дедуктивное умозаключение, силлогизм) — метод мышления, следствием которого является логический вывод, в котором частное заключение выводится из общего. Цепь умозаключений (рассуждений), где звенья (высказывания) связаны между собой логическими выводами.
Подробнее: Дедуктивное умозаключение
Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости...
Форма́льная ло́гика — наука о правилах преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий, а также конструирование этих правил. Будучи основателем формальной логики как науки, Аристотель называл её «аналитика», термин же «логика» прочно вошёл в обиход уже после его смерти в III веке до нашей эры.
Доведение до абсурда (лат. reductio ad absurdum), или апагогия («сведе́ние», др.-греч. Εις άτοπον απαγωγή), — логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в вытекающих из него следствиях обнаруживается противоречие.
Зако́н доста́точного основа́ния — принцип, согласно которому каждое осмысленное выражение (понятие, суждение) может считаться достоверным только в том случае, если оно было доказано, то есть были приведены достаточные основания, в силу которых его можно считать истинным.
Алгоритмическая разрешимость — свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.
Теория типов — математически формализованная база для проектирования, анализа и изучения систем типов данных в теории языков программирования (раздел информатики). Многие программисты используют это понятие для обозначения любого аналитического труда, изучающего системы типов в языках программирования. В научных кругах под теорией типов чаще всего понимают более узкий раздел дискретной математики, в частности λ-исчисление с типами.
В логике логи́ческими опера́циями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, с использованием уже существующих. В более узком смысле, понятие логической операции используется в математической логике и программировании.
Подробнее: Логическая операция
Доказательство — это процесс (метод) установления истины, логическая операция обоснования истинности утверждения с помощью фактов и связанных с ними суждений. С помощью совокупности логических приёмов истинность какого-либо суждения обосновывается исходя из других истинных суждений.
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.
Простой
категорический силлоги́зм (др.-греч. συλ-λογισμός «подытоживание, подсчёт, умозаключение» от συλ- (συν-) «вместе» + λογισμός «счёт, подсчёт; рассуждение, размышление») — дедуктивное умозаключение, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на бо́льшую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения). По положению среднего термина силлогизмы делятся на фигуры, а последние по логической...
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Сужде́ние — мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие каких-либо положений дел.
Обобще́ние поня́тий — логическая операция, посредством которой в результате исключения видового признака получается другое понятие более широкого объема, но менее конкретного содержания; форма приращения знания путём мысленного перехода от частного к общему в некоторой модели мира, что обычно соответствует и переходу на более высокую ступень абстракции. Результатом логической операции обобщения является гипероним.
Предика́т (лат. praedicatum «заявленное, упомянутое, сказанное») — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.
На эту страницу установлено перенаправление со страницы «A posteriori», см. также статью о музыкальном альбоме «A Posteriori».Апостерио́ри, а постерио́ри (лат. a posteriori букв. «из последующего») — знание, полученное из опыта. Противопоставляется априори — доопытному знанию. Значение термина исторически менялось: нынешнее значение установилось благодаря И. Канту и его работе "Критика чистого разума" (впервые опубликована в 1781 году, второе издание в 1787 г.) Однако, в латинской форме, выражения...
Подробнее: Апостериори
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Детерминированность (от лат. determinans — определяющий) — определяемость. Детерминированность может подразумевать определяемость на общегносеологическом уровне или для конкретного алгоритма. Под жёсткой детерминированностью процессов в мире понимается однозначная предопределённость, то есть у каждого следствия есть строго определённая причина. В таком смысле является антонимом стохастичности. Но детерминированность не всегда тождественна предопределённости. Например, может быть детерминированность...
В теории множеств и смежных с ней областях математики под универсумом фон Неймана (обозначается V), или иерархией множеств по фон Нейману, понимается класс, образованный наследственными фундированными множествами. Такая совокупность, формализуемая теорией множеств Цермело-Френкеля (ZFC) часто используется в качестве интерпретации или обоснования ZFC-аксиом.
Подробнее: Универсум фон Неймана
Те́зис Чёрча — Тью́ринга — это гипотеза, постулирующая эквивалентность между интуитивным понятием алгоритмической вычислимости и строго формализованными понятиями частично рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга. В связи с интуитивностью исходного понятия алгоритмической вычислимости, данный тезис носит характер суждения об этом понятии и его невозможно строго доказать или опровергнуть. Перед точным определением вычислимой функции математики часто использовали неофициальный термин...
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Темпоральная логика (англ. temporal (от лат. tempus) logic) — это логика, в высказываниях которой учитывается временной аспект. Используется для описания последовательностей явлений и их взаимосвязи по временной шкале.
Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
Комбина́торная ло́гика — направление математической логики, занимающееся фундаментальными (то есть не нуждающимися в объяснении и не анализируемыми) понятиями и методами формальных логических систем или исчислений. В дискретной математике комбинаторная логика тесно связана с лямбда-исчислением, так как описывает вычислительные процессы.