Связанные понятия
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (нейтральным элементом относительно умножения) и без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Упоминания в литературе
Существуют также единицы, вообще не входящие в СИ. Это в первую очередь такие единицы, как градус и минута. Все остальные единицы считаются производными, которые согласно Международной системе единиц образуются с помощью самых простейших уравнений с использованием величин, числовые коэффициенты которых приравнены к единице. Если в уравнении
числовой коэффициент равен единице, производная единица называется когерентной.
Опираясь на разграничение, проведенное П. С. Кузнецовым, М. В. Панов теоретически обосновывает само понятие «суперсегментная единица». Предложенная им процедура проверки звуковой единицы на суперсегментность вытекает, во-первых, из системного представления о звуковой стороне языка, во-вторых, из необходимости определить структуру самой суперсегментной единицы. М. В. Панов пишет: «Если А и Б (два элемента, два признака, две сущности) образуют сочетания АБ и БА, но нет в языке сочетаний АА ББ, то сочетания АБ и БА образуют (каждое) единую, целостную, неделимую единицу» [1979: 69]. При этом признаки А и Б являются противоположными, в силу чего, зная один признак, мы всегда правильно определим другой. Таким образом, суперсегментная единица, «разлитая» поверх звукового ряда, то есть соотнесенная с определенным отрезком речевой цепи, существует в то же время в виде некоторых признаков, соотносимых с
элементами данного отрезка. Так, признаки «ударность» и «безударность» реализуют ударение как суперсегментную единицу, соотносимую со словом в целом [Панов 1979].
Существуют «стандартные» смысловые единицы: понятия и темы, применяемые
для нахождения признаков, черт, свойств документа.
Множественное число употреблено здесь преднамеренно, поскольку оно указывает (как и аналогичное употребление таких выражений как горизонт, концептуальное пространство, тематическое поле и область дискурса), что, несмотря на некоторый привкус парадоксальности, целые всегда частичны. Благодаря этой частичности они могут дополнять друг друга, быть совместимыми и даже, так сказать, быть взаимно вложимыми.
Например, физика в целом, например, может мыслиться как состоящая из объединения отдельных подобластей или целых, которые вне этого отделены друг от друга, таких как механика в целом, электродинамика в целом, атомная физика в целом и т. д. Заметим, что, поскольку целое есть комплекс конститутивных условий, а не коллекция единиц (of entities), одна и та же единица, или «вещь», может принадлежать разным целым в соответствии с возможностью описания ее предикатами, определяющими структуру того или другого конкретного целого.
Что же касается ДС, то она перестает существовать в дротткветте как целостная метрическая единица со своим собственным акцентным рисунком. Это ясно видно из самой скальдической терминологии. Единица, соответствующая КС, обозначается в древнеисландских поэтиках просто как строка (vísuorð), в
то время как единица, соответствующая ДС, вычленяется только по отношению к висе как ее композиционный элемент – «четверть» (или «фьордунг», дисл. fjórðungr).
Связанные понятия (продолжение)
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле...
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...
Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Формальное дифференцирование — операция над элементами кольца многочленов или кольцом формальных степенных рядов, повторяющая форму производных из математического анализа. Алгебраическое преимущество формального дифференцирования состоит в том, что оно не опирается на понятие предела, которое в общем случае невозможно определить для кольца. Многие свойства производной верны для формального дифференцирования, но некоторые, особенно касающиеся утверждений, содержащих числа, не верны. В основном формальное...
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.
В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом, то есть непустой системой S элементов e1,…ei…, которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rn колец R, рассматриваемых как модули...
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Локальные кольца — кольца, которые относительно просты и позволяют описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.
Подробнее: Локальное кольцо
Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
Подробнее: Кручение (алгебра)
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).
Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу, и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Тополо́гия Зари́сского , или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих...
Факториа́льное кольцо ́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.
Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих...
Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.
Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам.
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Магма (группоид) в общей алгебре — алгебра, состоящая из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.
В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим замечательные свойства.
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Упоминания в литературе (продолжение)
Элемент класса – это предмет, входящий в данный класс. Так, элементами множества факультетов будут факультет естественных наук, гуманитарный факультет, механико-математический факультет и другие факультеты. Различают универсальный класс, единичный класс и нулевой, или пустой, класс. Класс, состоящий из всех элементов исследуемой области, называется универсальным классом (класс планет Солнечной системы, класс русских фонем). Если класс состоит из одного-единственного
элемента, то это будет единичный класс (планета Юпитер, консонант). Наконец, класс, который не содержит ни одного элемента, называется нулевым (пустым) классом. Пустым классом является класс русских артиклей. Число элементов пустого класса равно нулю. Установление границ естественного класса предметов, т. е. решение вопроса о его тождестве, возможно в результате эмпирических или теоретических исследований. Это сложная задача, т. к. элементы внеязыковой действительности тесно связаны между собой, и при их классифицировании у исследователя могут возникать трудности. Не менее трудная задача – определение тождества языковой единицы: практически все классификационные проблемы в описательной лингвистике связаны с возможной неоднозначностью решения вопроса о границах языкового класса.
Наиболее сходные, практически одинаковые формы получаются путем разделения, распадения однородных комплексов; конечно и эта однородность только относительная. Кристалл, капля дестиллированной воды, кусок химически-чистого металла могут служить примерами таких комплексов. Пусть мы разделяем подобную
единицу на две, возможно равные части; никакая техника не позволяет достигнуть полного равенства, нулевой разности величин. Следовательно, и в строении, в силу первичной неоднородности, как бы ни была она незначительна, и в размерах между комплексами-близнецами окажется некоторая начальная разность.
1. Построение атрибутивных рядов распределения. Атрибутивные ряды распределения обычно представляются в форме таблицы, причем в подлежащем такой таблицы перечисляются варианты атрибутивного признака, по которому строится ряд распределения. Как правило, число таких вариантов конечно. Если вариантов слишком много, то можно объединить некоторые из них (сущностно подобные) в классы, которые и будут новыми вариантами атрибутивного признака. В сказуемом таблицы отражаются частоты или частости каждого варианта, либо накопленные частоты или накопленные частости. Ряды распределения могут строиться по накопленным частотам, которые показывают, какое количество
единиц имеет величину варианта не больше данной. Если вместо абсолютных частот взять частости, то аналогично получают и накопленные частости.
В настоящее время существуют две противоположные точки зрения. Одни исследователи по-прежнему отождествляют сверхфразовое единство, сложное синтаксическое целое и абзац или же, отказываясь совершенно от понятия сверхфразового единства, объявляют абзац сложным синтаксическим целым, т. е. синтаксической единицей высшего уровня. Так, крайнюю точку зрения высказывает Л. Г. Фридман, считающий, что сложное синтаксической целое не имеет четких границ и набора релевантных признаков: «Не обладая ни одним из релевантных показателей, определяющих статус
синтаксической единицы, ССЦ именно поэтому не может, на наш взгляд, рассматриваться как таковая… Мы полагаем, что сверхфразовой синтаксической единицей, обладающей набором релевантных признаков, качественно отличающих ее от единиц более низкого уровня – предложений, является абзац».
Если атомарной единицей данных при
их описании служит элемент «разбиения» территории не прямоугольной (квадратной), а другой правильной геометрической формы – речь идет о другой, отличной от растровой, хотя и формально с нею схожей, регулярно-ячеистой модели данных. Известны примеры регулярных сетей (решеток) с ячейками правильной треугольной, гексагональной или трапециевидной формы.
11. Первое характерное свойство энергии заключается в том, что она сохраняется при всех своих изменениях. Когда какое-нибудь образование проходит через ряд состояний, то бывает всегда в наличности одна величина Е, обладающая тем свойством, что какой бы ни был ряд изменяющихся состояний, она принимает снова прежнюю величину, когда образование возвращается в первоначальное состояние. Эта величина и есть энергия образования. Энергия, следовательно, неразрывно связана со всяким состоянием образования. И она связана с ним не только со стороны количества, но и со стороны качества. В одном каком-нибудь определенном состоянии образования отдельные его части обладают в общем различными свойствами и притом каждая часть обладает рядом свойств (каковы: объем, давление, теплота, электрическое напряжение, химическое сродство и т. д.). Каждое из этих свойств означает, как величина (см. §8), тенденцию к изменению. Если для каждой из этих величин ввести специфическую единицу, то с каждым из этих свойств может быть связана определенная величина энергии, так что общая энергия тела представляет собою сумму нескольких родов энергии; эти роды энергии называются в энергетике «формами энергии». Каждое изменение состояния образования характеризуется тем, что здесь происходит изменение некоторых форм энергии, но так, однако, что исчезновение определенной величины энергии одной формы всегда соответствует такой же величине приращения энергии другой формы. При соответственном выборе единиц такие количества энергии,
называемые обычно эквивалентными, могут быть выражены через одни и те же числа. Здесь установлены следующие положения.
Применение этого подхода приводит к выводу, согласно которому все синтаксические единицы являются конструкциями,
то есть любая синтаксическая единица накладывает определенные ограничения на переменные, и принципиальной разницы между идиоматизированными и свободными конструкциями не существует.
3. Аксиома ненасыщения. Эта
аксиома описывает соотношение двух наборов товаров: А и В. В соответствии с этой аксиомой, если набор А содержит какого-либо товара на единицу больше, чем набор В, то А > В.
Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней
признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений; исчисленная таким образом величина – средняя арифметическая взвешенная.
Согласно теории петлевой квантовой гравитации,
пространство подобно атомам: числа, получаемые при измерении объема, образуют дискретный набор, т. е. объем изменяется порциями. Другая величина, которую можно измерить, – площадь границы, которая тоже оказывается дискретной. Иными словами, пространство не непрерывно и состоит из определенных квантовых единиц площади и объема.
На рис. 8.1 на одной оси отложено число единиц одежды, на другой – число единиц продуктов питания. Соединив точки А, В, С, получим кривую U1; каждая точка которой
показывает возможные комбинации единиц одежды и продуктов питания, дающие одинаковое удовлетворение. Кривая U1 называется кривой безразличия, которая указывает, что потребитель безразличен к этим трем наборам продуктов, т. е. потребитель не чувствует себя ни лучше, ни хуже, отказавшись от 10 единиц продуктов питания и получив 20 единиц одежды при перемещении от набора А к набору В. Точно так же потребитель одинаково ранжирует А и С, т. е. может отказаться от 10 единиц одежды, чтобы получить 20 единиц продуктов питания.
Таким образом, цель КА состоит в выделении минимальных составляющих (сем) значений исследуемых лексических единиц с последующим описанием изучаемого
подмножества слов посредством минимального числа сем. Материалом для КА является смысловое значение слова – информация, которую слово несет в себе.
Витгенштейн признает только две категории значащих языковых выражений: предложения и имена. Предложение – это сложный «пропозициональный» знак, который можно разложить на более простые составляющие, а имя – простой знак, который далее не разложим и выявляется при «полном» анализе элементарных предложений. Витгенштейн принимает предложенное Фреге различение значения и смысла, однако у него они оказываются присущими разным категориям языковых выражений. Так, имя обладает значением, но не имеет смысла, а у предложения есть смысл, но нет значения. Значением имени является обозначаемый им объект, который трактуется как нечто метафизически простое, представляющее собой предел анализа, т. е. подлинный логический атом. Имя не сообщает об объекте никакой информации, а лишь указывает на него. Согласно «Трактату», каждое имя именует точно один объект. Семантическая роль имени состоит в том, чтобы замещать именуемый объект в предложении. Таким образом, в трактовке значения имен Витгенштейн, как и Рассел, придерживается денотативной теории. Однако основными
единицами языка он считает элементарные предложения, поскольку только они позволяют что-то сказать, имена же лишь «показывают» обозначаемый ими объект. Поэтому по его определению язык есть совокупность предложений. Элементарные предложения изображают возможные (иначе говоря, мыслимые[36]) факты или положения дел, которые и считаются их смыслом. Факты могут быть описаны, но не поименованы. Предложение не может считаться именем факта хотя бы по той причине, что каждому факту соответствуют по крайней мере два предложения – истинное и ложное.
В двоичной системе счисления дополнительный код получается путем инверсии разрядов, т. е.,
заменой единиц нулями и наоборот, и прибавлением единицы к младшему разряду.
Присутствие вариации у единиц совокупности обозначает, что их признаки могут получать всевоз–можные значения или видоизменения у некоторых единиц совокупности.
Из последнего равенства очевидно, что касательные напряжения по величине больше других касательных напряжений по любым другим площадкам, проходящим через точку О, так как при α ? 0, α ? 90° cos2α по
модулю меньше единицы. Таким образом, касательные напряжения τ (см. рисунок) являются экстремальными, а сами грани являются площадками чистого сдвига.