Связанные понятия
Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
В математике
абстрактный многогранник , неформально говоря, это структура, которая учитывает только комбинаторные свойства традиционных многогранников и игнорирует много других их свойств, таких как углы, длины рёбер и т. д. При этом не требуется наличие какого-либо содержащего многогранник пространства, такого как евклидово пространство. Абстрактная формулировка реализует комбинаторные свойства как частично упорядоченное множество («посет»).
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Упоминания в литературе
Начнем с того, что Фреге включает в свою онтологию такие типы объектов, как функции и предметы, которые могут выступать в роли аргументов и значений функций. При этом он значительно расширил понятие функции, освободив ее от связи с числами и определив в качестве ее возможных аргументов и значений любые другие предметы, например физические вещи, людей и т. п. Помимо перечисленных он включил в число предметов два абстрактных объекта – «истину» и «ложь», которые являются аргументами и(или) значениями особой категории функций – так
называемых логических функций. Частным случаем логических функций (с одним аргументом, определенным на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) у Фреге оказываются понятия, которые играют ключевую роль в его логической системе, ибо, относя к арифметике все то, что поддается счету, он полагал, что ее область совпадает с областью понятийного мышления[9]. Поскольку, по его мнению, понятие должно указывать, каким свойством нужно обладать предмету, чтобы подпадать под данное понятие, именно в понятиях он усматривал «основание существования классов». Отождествив понятие с общим свойством, которым должны обладать подпадающие под него предметы, а объем понятия – с классом этих предметов, Фреге ввел в свою онтологию такие важные сущности, как свойства и классы. Кроме того, он особо выделил еще два вида логических функций – отношения (функции с двумя аргументами, определенными на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) и пропозициональные функции, где и аргументами, и значениями выступают «истина» и «ложь», которые в дальнейшем стали называть истинностными значениями.
Итак, мы видим, что проблема образования общих понятий сводится в конечном итоге к одному основному вопросу: как должно быть мыслимо отношение общего к единичному? Абстракционная теория решает его в дуалистическом смысле: она противопоставляет общее единичному, как неоднородное и потому обособленное от него начало. Функционализм выдвигает другую точку зрения: он понимает
отношение общего и единичного как внутреннее логическое единство, т. е. как неразрывную коррелятивность и взаимную обусловленность. Но эта точка зрения (как показывают вышеприведенные примеры) может быть последовательно проведена только в том случае, если предположить безусловное логическое первенство понятия как сложного целого, как синтетического единства, как непрерывной в себе совокупности элементов перед отдельными элементами объединяемого и определяемого им многообразия. Эта основная предпосылка функционализма, в которой заключается его raison d’être, как видно, – прямой вывод из высшего философского принципа систематического единства. А потому и научная его плодотворность – непосредственное следствие его философски-систематической обоснованности. Отсюда явствует вместе с тем, что функциональные понятия не составляют отличительной особенности математики и математической физики, а являются достоянием всякого исто-научного знания. Каждое понятие, притязающее на научное значение, должно быть по своей логической структуре функциональным понятием, т. е. должно представлять собою подобие, частный случай, конкретное применение идеи системы к той или другой ограниченной области знания, к той или другой научной проблеме.
В механике со времен Мопертюи и Лагранжа принято говорить о «виртуальных движениях» или множествах «возможных продолжений», понимая под этим любые «возможные движения», согласные со связями, но необязательно удовлетворяющие законам физики. (Для того чтобы подчеркнуть трудности точного определения и условность языка, обратим внимание на то, что согласие со связями – это тоже закон природы.) Эти «виртуальные движения» могут порождаться любыми
произвольными, в том числе «случайными», причинами. Значит, уже в XVIII веке было понятно, что изменчивость (и, в частном случае, стохастичиость) предоставляет природе целое «поле возможностей», из которых отбирается, реализуется лишь некоторая исключительная совокупность, удовлетворяющая некоторым специальным условиям (принципам отбора).
По исходному замыслу гётевский архетип – это некий выявленный исследователем подвижный порядок, идеальный закон, постигаемый путём мыслительной операции взаимопревращения разных форм (Bather 1927; Naef, 1931; Беклемишев, 1994; Любарский, 1996а; Свасьян, 2001; Захаров Б.П., 2005). Поэтому Гёте подчёркивает, что архетип, в отличие от стационарного плана строения, не может быть представлен в качестве какой-то отдельной конкретной
формы: «единичное не может быть образцом всеобщего… классы, роды, виды и особи являются как частные случаи по отношению к закону; они содержаться в нём, но они не содержат и не дают его» (Гёте, 1957, с. 193). Такой архетип, в отличие от абстрактных схем типологов-структуралистов, не обедняет многообразие форм, явленных в конкретных организмах, а обобщает или даже обогащает их (Кузин, 1987; Любарский, 1996а; Захаров Б.П., 2005).
Суммой, разностью, произведением и
частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно следующие последовательности: {xn + yn}, {xn – yn}, {xn × yn}, {xn / yn}, в случае частного yn ? 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.
Связанные понятия (продолжение)
Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру (подробней см. ниже). Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.
А́лгебра (от араб. الْجَبْر, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Ба́зис Грёбнера — множество, которое порождает идеал заданного кольца многочленов, обладающее специальными свойствами.
Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием.
Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор эрмитова симметрического пространства по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Модулярные поверхности Гильберта и модулярные многообразия Зигеля находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры...
В теории множеств и смежных с ней областях математики под универсумом фон Неймана (обозначается V), или иерархией множеств по фон Нейману, понимается класс, образованный наследственными фундированными множествами. Такая совокупность, формализуемая теорией множеств Цермело-Френкеля (ZFC) часто используется в качестве интерпретации или обоснования ZFC-аксиом.
Подробнее: Универсум фон Неймана
При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.
Подробнее: Конструктивные способы определения вещественного числа
Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности, главное свойство которой — отсутствие треугольников (однако структура содержит много четырёхугольников). Обобщённый четырёхугольник является по определению полярным пространством ранга два. Обобщённые четырёхугольники являются обобщёнными многоугольниками с n = 4 и почти 2n-угольниками с n = 2. Они являются также в точности частичными геометриями pg(s,t,α) с α = 1.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
Подробнее: Универсальное свойство
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.
Элемента́рная а́лгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.
Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во...
Орбиобра́зие — неформально говоря, это многообразие с особенностями, которые выглядят как фактор евклидова пространства по конечной группе.
Икосианы — это некоммутативная алгебраическая система, обнаруженная ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году. В современной терминологии он нашёл задание группы вращений икосаэдра с помощью генераторов и связей.
Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
Гомологическая зеркальная симметрия — математическая гипотеза, высказанная Максимом Концевичем. Она возникла как попытка выявить математическую природу явления, впервые замеченного физиками в теории струн.
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.
Анализ формальных понятий (АФП) (англ. Formal Concept Analysis, FCA) — ветвь прикладной алгебраической теории решёток. Традиционно АФП относят к области концептуальных структур в искусственном интеллекте.
Операда даёт общий подход к описанию таких свойств, как коммутативность или антикоммутативность, а также различные вариации ассоциативности.
В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.
Подробнее: Монодромия
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Метод неделимых — возникшее в конце XVI века наименование совокупности приёмов, предназначенных для вычисления площадей геометрических фигур или объёмов геометрических тел.
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов...
В общей алгебре супердействительные числа представляют собой расширение класса вещественных чисел, введенное Г. Делзом и У. Вудиным как обобщение гиперреальных чисел, преимущественно для задач нестандартного анализа, теории моделей, а также изучения банаховых алгебр. Множество супердействительных чисел является подмножеством множества сюрреальных чисел.
Подробнее: Супердействительное число
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Аддитивная комбинаторика (от англ. addition — сложение) — междисциплинарная область математики, изучающая взаимозависимость различных количественных интерпретаций понятия структурированности подмножества группы (как правило, конечной), а также аналогичные свойства производных от множества структур, использующихся при этих интерпретациях. Кроме того, аддитивная комбинаторика изучает структурированность в различных смыслах некоторых специфических множеств или классов множеств (например, подмножеств...
Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики (раздела математики), рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение...
Подробнее: Комбинаторная схема
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства.
Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими алгебраическими конструкциями, как группы, кольца, модули, решётки, вводя присущие им всем понятия и общие для всех них утверждения и результаты. Является разделом, занимающим промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
Теневое исчисление (от англ. Umbral calculus, далее от лат. umbra — «тень») — математический метод получения некоторых алгебраических тождеств. До 1970-х термин относился к схожести некоторых внешне несвязанных алгебраических тождеств, а также к техникам, использованных для доказательства этих тождеств. Эти техники предложил Джон Блиссард и они иногда называются символическим методом Блиссарда. Их часто приписывают Эдуарду Люка (или Джеймсу Джозефу Сильвестру), которые их интенсивно использовали...
Логика первого порядка , называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
Число ́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
В геометрии
теорема Декарта утверждает, что для любых трёх взаимно касающихся окружностей радиусы окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Решив это уравнение, можно построить четвёртую окружность, касающуюся остальных трёх заданных окружностей. Теорема названа в честь Рене Декарта, который сформулировал её в 1643 году.
Парадокс Скулема — противоречивое рассуждение, описанное впервые норвежским математиком Туральфом Скулемом, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Скулема для аксиоматической теории множеств.
Комбинато́рика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).
Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική (árithmitikí) — от ἀριθμός (árithmós) «число») — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая...
Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом...
Симплициальная (или комбинаторная) d-сфера — это симплициальный комплекс, гомеоморфный d-мерной сфере. Некоторые симплициальные сферы появляются как границы выпуклого многогранника, однако в более высоких размерностях большинство симплициальных сфер не может быть получено таким образом.
Кодекартов квадрат (также — универсальный квадрат) — теоретико-категорное понятие, двойственное понятию декартова квадрата. Кодекартов квадрат является частным случаем копредела.
Упоминания в литературе (продолжение)
(в физике) материальная точка, обладающая массой, но лишенная остальных качеств, бесконечная прямая (в математике) и т. п. Индукция – процесс мышления, заключающийся в выведения общего положения из наблюдения
ряда частных единичных фактов. Индукция может быть полной и неполной. Полная индукция предусматривает наблюдение всей совокупности объектов, из которого следуют общие выводы, но в экспериментах используется неполная индукция, делающая вывод о совокупности объектов, исходя из изучения части объектов. Неполная индукция предполагает, что вынесенные за скобки эксперимента аналогичные объекты обладают теми же свойствами, что и изученные, и это позволяет использовать экспериментальные данные для теоретического обоснования. Неполную индукцию принято называть научной. Дедукция – процесс мышления, заключающийся в проведении аналитического рассуждения от общего к частному. Дедукция базируется на обобщении, но проводимом от неких исходных общих положений, считающихся неоспоримыми, к частному случаю для получения истинно верного вывода. Наибольшее распространение дедуктивный метод получил в математике.
Описание процесса изменения состояний – это и есть, с точки зрения математика или физика, описание процесса эволюции или развития изучаемого объекта. И в таком контексте понятие организации кажется, вообще говоря, ненужным – без него вроде бы можно и обойтись. Однако в процессе исследования того или иного объекта мы, как правило, обнаруживаем, что характерные времена изменения некоторых переменных его состояния значительно больше соответствующих времен других переменных. Вот эти первые переменные состояния мы и условимся относить к элементам организации. Другими словами, организация изучаемого объекта (системы) – это совокупность консервативных, медленно изменяющихся (в частном случае – постоянных, неизменных) характеристик объекта. У кристаллов это их геометрия – взаимное расположение вершин, ребер, граней. В турбулентном потоке – это средние характеристики давления, пульсации скоростей и т. д. С этих же позиций можно изучать и организацию живого мира, и общественные структуры, определяя каждый раз те характеристики эволюционного процесса, которые мы будем относить к организации. Например, в теории динамических систем
под организацией естественно понимать топологию ее фазовых траекторий, структуру аттракторов и т. д. В процессе исследования мы следим за изменением организации системы, изучаем условия ее коренной перестройки. С помощью такого языка часто оказывается возможным описать более наглядно те или иные свойства механизмов бифуркационного типа, поскольку именно в точках катастрофы и происходит резкое изменение организации.
Дискретную информацию обычно отождествляют с цифровой
информацией, которая является частным случаем символьной информации алфавитного представления. Алфавит – конечный набор символов любой природы. Очень часто в информатике возникает ситуация, когда символы одного алфавита надо представить символами другого, т. е. провести операцию кодирования.
Частным случаем выделения объекта в «чистом» виде является выбор в реальности для исследования такого экземпляра из объектов данного рода,
который наиболее близок к абстрактному («чистому») образцу. Такие экземпляры считаются классическими. Например, для изучения капитализма Маркс выбрал в качестве такого образца его состояние в Англии тех лет, а Токвиль рассматривал США как образец демократии. Добавлю к этому то, что советский социальный строй мог служить классическим образцом реального коммунизма. В Советском Союзе коммунистическую социальную организацию можно было наблюдать почти как в лабораторных условиях.
Теорема Байеса названа в честь Томаса Байеса (Thomas Bayes; 1702–1761), автора «Опыта к решению проблемы в учении о случайностях» (опубл. 1763), где он впервые решил один из ее частных
случаев. Одна из основных теорем теории вероятностей, позволяющая определить степень вероятности того, что произошло какое-либо событие, на основе вероятностей других, связанных с ним, событий. – Пер.
В экспертной системе, основанной на правилах, знание представляется в форме правил "если… то…". База знаний содержит как общие знания, так и информацию о частных случаях. "Механизм вывода применяет знания при решении реальных задач. По существу, он является интерпретатором базы знаний. В продукционной системе механизм вывода совершает цикл распознавание-действие. Процедуры, которые выполняют этот управляющий цикл, отделены от самих продукционных правил" [264, стр. 275]. Далее у Дж. Люгера
есть интерпретация понятия "истинность" для продукций: "В системе, основанной на правилах, пары "условие-действие" представляются правилами "если… то…", в которых посылка (часть "если") соответствует условию, а заключение (часть "то") – действию. Если условие удовлетворяется, экспертная система осуществляет действие, предусмотренное при истинности заключения. Данные частных случаев можно хранить в рабочей памяти. Механизм вывода осуществляет цикл продукционной системы распознавание-действие. При этом управление может осуществляться либо на основе данных, либо на основе цели" [264, стр. 282]. Таким образом, говоря о продукционных системах и миварных сетях, можно употреблять термин "логический вывод", но в контексте цикла распознавание-действие.
Отсюда ясно, что в законе интенсивности находит полное выражение вторая категория отношения, причинность. Качества и количества совершенно достаточно, чтобы сделать мыслимыми множество и изменение явления, но не для того, чтобы полагать изменения как необходимое явление в природе. Простое различие и смена А и В вовсе не делают для нас обязательным определение В как следствие А, а можно рассматривать также А как следствие В. Что В есть следствие А и определена именно смена А – В, должно быть обусловлено особым законом отношения, и именно такого рода законом, чтобы обратный процесс, переход от В к А, был невозможен. Таков закон причинности, который в энергетике принимает форму закона интенсивности. Как категория субстанции в сохранении энергии полагает явления как устойчивое, как физическую действительность и самостоятельную вещность, так причинность в разности интенсивности полагает явления как физический процесс, как неизменный и самостоятельный временной порядок. То, что вода не течет вверх в гору, есть лишь
частный случай общего закона причинности, выраженного в переходе интенсивности с более высокого на более низкий уровень. Причина определяет действие, а не наоборот. Это определение направления, данное сущностью разности интенсивности, есть условие поступательного движения процесса, характер причинности, общий у нее с временем или – вернее – которым содержание времени определяется как смена с односторонним направлением, как поток времени.
Посмотрим теперь на последнюю, третью черту, общую для моих трех примеров. Мне очень трудно было ее осознать, но теперь она кажется наиболее очевидной и, вероятно, наиболее важной. Поэтому она больше других заслуживает дальнейшего исследования. Все мои примеры
содержали главное изменение – модели, метафоры или аналогии, то есть изменение в понимании того, что сходно, а что различно. Иногда, как в примере с Аристотелем, сходство включено в сам предмет рассмотрения. Для последователей Аристотеля движение было частным случаем изменения: падение камня было похоже на рост желудя или на переход от болезни к здоровью. Именно такое понимание сходства объединяет все эти явления в естественное семейство и помещает их в одну и ту же таксономическую категорию. От этого понимания отказались в процессе разработки ньютоновской физики.
Динамический подход к ритму находим в работе М. Г. Харлап. Рассматривая сущность поэтического ритма, автор утверждает, что она заключается «не в устойчивой повторяемости (то есть в конечном счете статике) и не в рациональных соотношениях, а в захватывающей силе устремления вперед, в трудно объяснимом «чувстве жизни»; «вопреки распространенным представлениям именно неповторимость (“нельзя дважды вступить в один и тот же поток”) есть существенный признак ритма» [Харлап: 14–15]. Разводя пространственный и временной аспекты ритма, автор указанной работы склонен связывать ритм только с временными структурами. Однако представляется, что гармония статического явления, в данном случае пространственной структуры – не выдумка и не фикция. Если статика есть момент динамики, то совершенно очевидно, что в явлении, схваченном статически, отразился процесс его создания, а значит, можно говорить и о «ритме
статики» как частном случае динамического ритма. Мы будем здесь иметь дело все с тем же первым констатирующим этапом собственно динамического исследования – структурным аспектом.
2. Идиоматизация
является частным случаем общего процесса грамматикализации, в результате которого единица «теряет свою автономность, становясь объектом ограничений языковой системы» [Lehmann 2005: 154]. Языковые правила суть не что иное, как результат процесса, начавшегося с маловариативной идиомы, но расширяющегося на большее количество единиц. Разница между фраземой и правилом состоит лишь в большем или меньшем списке единиц, подпадающих под сферу их действия. Идиоматизацию в этом контексте можно считать частью общего когнитивного механизма генерализации, приводящего к возникновению и продуктивной модели, и непродуктивной, связанной, фраземы.
После сдвига парадигмы старую теорию можно понимать в
некотором смысле как частный случай новой, но для этого ее нужно сформулировать иначе и преобразовать. Ревизию следует предпринять хотя бы для того, чтобы ученый мог использовать преимущества ретроспективного взгляда; ревизия также подразумевает изменение смысла фундаментальных концепций.
В имяславии, культивирующем объективирующие потенции языка, такой императивной преграды, соответственно, не существует, и глагол,
понимаемый здесь как частный случай именования, может безболезненно для референции семантически «вворачиваться» в объективирующую именную группу (у Булгакова признается возможным, как мы помним, следующий трансформационный ряд: «человек сидит» – «человек есть сидящий» – «сидящий человек»). На фоне этих допустимых в имяславии, но отрицаемых Ивановым трансформаций можно расширить наше предположение и говорить, что ивановское требование глагольности предиката выражает запрет на объективацию референта не только в изолированном символе, но и распространяет этот запрет дальше, на все языковые процессы в целом. Во всяком случае здесь видно, что вектор запрета способен перемещаться с лексико-семантической или сигнификативной области на синтаксис. Запрет на объективацию «читается» в этом случае как запрет на объективацию (то есть свертывание в именную группу) самого предикативного акта – самого так называемого «ядерного» синтаксического процесса. А это уже нечто лингвистически более значительное, чем просто запрет на объективацию изолированно понятого предиката; здесь проявляется идея несомого предикативным актом особого символического равновесия субъекта и предиката, их комплементарной взаимодополнительности, необходимой для рождения символической фигуры речи (подчеркнем: это не традиционное функциональное противопоставление субъекта и предиката, но, наоборот, их равновесное соположение на едином референцирующем стержне).
Если рассматривать
психолингвистическую теорию как частный случай или приложение к конкретному материалу общепсихологической теории деятельности, т.е. рассматривать речевые процессы как речевую деятельность или речевые действия в строгом смысле этих терминов, то она в принципе не может не быть эвристической – эвристичность заложена уже в саму идею целенаправленной деятельности (см. Главу 5). С другой стороны, и усвоение языка (как родного, так и неродного) бесспорно предполагает выбор и дифференцированное использование различных стратегий овладения речью и в этом смысле подчиняется тому же эвристическому принципу (см. Главу 9).
Мысль об осуществлении операций с числами[3] доходила гораздо медленнее, поскольку занятия арифметикой подразумевают некоторую степень абстракции. Антропологи сообщают: если два охотника выпустили две стрелы, завалили двух газелей и заработали две грыжи, волоча добычу к стоянке, во многих племенах все эти «два» и «две» могли быть разными понятиями в каждом случае[4]. В таких цивилизациях нельзя было складывать яблоки с апельсинами. Похоже, на понимание того, что все это частные случаи одного и
того же понятия – абстрактного числа 2, – потребовались тысячи лет.
Для мышления характерны обобщенность (способность выявить основное в воспринятом, изученном; выражать результаты в неком общем положении, отражающем это основное, существенное, придать этому существенному, зафиксированному
в частных случаях общее значение) и опосредованность (возможность понять что-либо существенное об объекте или предмете вне непосредственного контакта с ним, способность выразить одно через другое) знания.
ПРАЖСКАЯ ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ШКОЛА – одно из основных направлений структурной лингвистики. Центром Пражской лингвистической школы был Пражский лингвистический кружок (создан в 1926, организационно распался в начале 50-х гг.). Творческий расцвет относится к 30-м гг. Кроме чехословацких филологов, таких как В. Матезиус (организатор и глава кружка), Б. Трика, Б. Гавранек, Й. Вахек, Я. Мукаржовский, в кружок входили питомцы Московского университета Н. С. Трубецкой, Р. О. Якобсон. Творчески связанными с Пражской лингвистической школой были П. Г. Богатырев, Б. В. Томашевский, Ю. Н. Тынянов. Идейным предшественником является Ф. де Соссюр, с именем которого связано представление о языке
как частном случае семиотических систем. Пражская лингвистическая школа испытала также влияние Московской фортунатовской школы, Л. В. Щербы и особенно И. А. Бодуэна де Куртене. С наибольшей полнотой и последовательностью структурно-функциональная концепция Пражской лингвистической школы воплощена в исследованиях звуковой стороны языка; пражцы обосновали новый раздел науки о языке – фонологию. Пражская лингвистическая школа выдвинула как одну из основных проблем изучения вопросы, связанные с отношением между языком и действительностью, а также между языком и окружающими его структурами.