Связанные понятия
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).
Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый.
Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Упоминания в литературе
Действительно, с одной стороны, П. Бурдье представил социальное пространство, как до него П. Сорокин[22], в виде, многомерного куба, в котором вместо положений рассматриваются капиталы, выступающие как центры силы. Поля в этом случае, фактически, являются сечениями или срезами такого многомерного куба по различным переменным, в качестве которых выступают, прежде всего, различные категории (включая культуру), которые Бурдье рассматривал как экономические понятия, подчиняющиеся правилам рынка. Но, с другой стороны, в концепции Бурдье, социальное пространство не является некоей «теоретически оформленной пустотой», в которой обозначены координаты агентов. Агенты, как тела и биологические индивиды, «занимают место». Это место, topos, может быть определено двояко: либо абсолютно, т. е. как локализация, в которой находится агент или предмет, где он
существует, «имеет место»; либо – относительно, релятивно, как положение, ранг в порядке. Занимаемое место в таком случае, согласно Бурдье, может быть определено как площадь, поверхность и объем, который занимает агент или предмет: агенты «занимают» определенное пространство, а дистанция между их позициями – это тоже не только социальное, но и физическое пространство. В результате, социальное пространство представляет собой воплотившиеся физически социальные иерархии и классификации.
Понятие как простейший элемент в логике состоит из двух элементов: объема и содержания. Поскольку понятие состоит только из двух элементов, а суждение составляют как минимум два понятия, то
понятие – простейшая форма мысли, лежащая в основе других. Обратным отношением объема и содержания понятие определяет диалектичность и более сложные формы мысли.
Обобщение – мысленное расширение, увеличение, перенесение (экстраполяция) известного на область неизвестного; метод выделения отличительных черт, свойств и признаков, принадлежащих группам известных предметов (явлений, процессов, мыслей о них), и распространение их на другие, еще не известные группы. Обобщение – не просто выделение общего, а выделение отличительно-специфического для области предметов, для класса, объема,
множества, для предмета мысли. Обобщение, кроме того, и подведение итога, суммирование, осмысление накопленного материала (знания), формирование на этой основе общего положения (например, определения или закона). Обобщенный взгляд на тот или иной предмет является в то же время и упрощением, поскольку общий взгляд, конечно же, опускает частности, детали; обобщение как бы сводит сложное к простому. Обобщение увеличивает объем мысли. Обобщение распространяет имеющееся знание на область неизвестного, как в случае перенесения на планету Марс признаков, присущих планете Земля. Обобщение, как и другие мыслительные, методы выполняет многообразные функции в интеллектуальной деятельности человека.
Вот как описывает проблему визуализации известный квантовый теоретик Ли Смолин. Вообразите область пространства, по форме напоминающую куб. На диаграмме мы изображаем ее как точку, представляющую объем, с шестью выходящими из нее линиями, каждая из которых изображает одну из граней
куба. Число рядом с точкой указывает величину объема, а числа рядом с линиями – величину площади соответствующих граней.
Необходимо сказать о так называемой величине содержания понятий. Она неразрывно связана с их объемом. В данном случае подразумевается способность одних понятий быть шире, чем другие, и тем самым как бы «перекрывать» их. Например, понятие «наука» по содержанию значительно больше, чем понятие «логика» и перекрывает последнее.
При характеристике первого понятия можно использовать, а можно и не использовать второе, а заменить его другим или вообще обойтись иными средствами. Однако, давая характеристику понятию «логика», нам неизбежно придется использовать понятие «наука». Понятие «наука» в данном случае является подчиняющим, а «логика» – подчиненным. Возьмем для примера два других понятия – «вертолет» и «самолет». Эти понятия по отношению друг к другу не являются подчиненным и подчиняющим. Дать определение одного из них, используя другое, практически невозможно. Единственным признаком, связывающим эти два понятия, является то, что их предметы есть приспособления для совершения полетов. Подчиняющим понятием как для первого, так и для второго будет «летательный аппарат».
Связанные понятия (продолжение)
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
Прострáнством называется математическое множество, имеющее структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов (например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, событий в теории вероятностей и так далее).Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).
Подробнее: Пространство (математика)
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Теорема Жордана — классическая теорема геометрии известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.
Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.
Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Величина ́ — математическое понятие, описывающее объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и смысл операции сложения, а также выполняется ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величина является одним из основных понятий математики.
Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.
Те́ло геометри́ческое — «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то...
Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.
Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.
Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Начало координат (начало отсчёта) в евклидовом пространстве — особая точка, обычно обозначаемая буквой О, которая используется как точка отсчёта для всех остальных точек. В евклидовой геометрии начало координат может быть выбрано произвольно в любой удобной точке.
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Бордизм , также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных...
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.
Подробнее: Вычет (комплексный анализ)
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
Асимпто́та или аси́мптота (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающий, не касающийся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
Многомерный
анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Упоминания в литературе (продолжение)
Обобщение – логическая операция, в результате которой путем сокращения содержания происходит переход от понятий с меньшим объемом, но большим содержанием, к понятию с большим объемом, но меньшим содержанием. Обобщение понятия не может быть беспредельным; наиболее
общими являются понятия с предельно широким объемом – категории философии («материя», «сознание»).
Не так давно было открыто и изучено явление, получившее название «странный аттрактор». Оказалось, что траектории многих детерминированных систем могут полностью заполнять некоторый фазовый объем: в любой окрестности любой точки этого объема всегда будут находиться точки, принадлежащие траектории одной и той же системы. Движение таких систем характеризуется высшей степенью неустойчивости: две любые сколь угодно близкие точки будут порождать совершенно различные траектории. Такие особенности движения были названы в математике некорректностями. Французский математик Ж. Адамар считал, что в «правильных физических теориях» всегда должна
иметь место «корректность»: малым причинам должны отвечать малые следствия. Если задача оказывалась некорректной, то она, согласно Адамару, была неправильно поставлена. Этот принцип, который долгое время играл важную роль в математической физике, теперь приходится пересматривать. Процессов, которым свойственна «некорректность», в природе гораздо больше, чем это было принято думать еще несколько десятилетий тому назад. Траектории подобных систем, в частности систем, обладающих «странным аттрактором», несмотря на то что они порождаются вполне детерминированными уравнениями, подобны траекториям, порождаемым случайным процессом. Они не только хаотичны, но из-за сильной неустойчивости их невозможно прогнозировать – любая сколь угодно малая неточность в вычислениях, а они неизбежны при работе электронных вычислительных машин, ведет к совершенно неправильным результатам. В связи с этими свойствами «странного аттрактора» и из-за аналогичных «неустойчивостей» невольно возникает целый ряд вопросов. Вот, может быть, главные из них.
Революционное изменение частично определяется его отличием от нормального изменения, а нормальное изменение, как уже упомянуто, добавляет нечто к тому, что
уже известно. Например, обычным результатом этого нормального процесса являются научные законы: иллюстрацией может служить закон Бойля. Его первооткрыватели предварительно имели понятие о давлении газа и его объеме, а также обладали инструментами для определения величины давления и объема. Открытие того факта, что для конкретного газа при постоянной температуре произведение давления на объем является константой, просто добавило что-то к нашему знанию о том, как ведут себя эти уже ранее известные переменные[4]. Громадное большинство научных достижений относится к этому нормальному виду развития. Но я не буду без нужды умножать примеры.
Как уже говорилось, переход от чувственного к абстрактному образу состоит в обобщении и упрощении чувственного образа. Переход к теоретической схеме совершается схематизацией абстрактного образа. Эти переходы делают неполным и приближенным соответствие теоретической схемы объекту. С
точки зрения формальной логики отличие теоретической схемы от объекта может доходить до абсурда. Например, при изучении плоского изгиба упомянутого выше призматического бруса, вместо бруса рассматривается его геометрическая ось, которой приписана изгибная жесткость (константа) бруса и к которой приложена схематизированная нагрузка. Перенести реальную нагрузку на геометрическую ось сплошного бруса невозможно. Этот перенос осуществляется только мысленно. В случае пустотелого бруса (трубы) геометрическая ось бруса проходит в пустоте. Следовательно, нагрузка в этом случае прикладывается к пустоте. Абсурдность этой схематизации очевидна. Но в результате такой схематизации легко составляется и легко решается дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса. Близость теоретических результатов к опытным данным хорошо подтверждается экспериментом. Для упрощения вычисления напряжений и деформаций материал бруса представляется изотропным, абсолютно сплошным и абсолютно однородным (упругие характеристики материала считаются константами по всему объему бруса). При этом пренебрегается атомарным и кристаллическим строением материала, но обеспечивается применение дифференциального и интегрального исчисления.
Существует два приема построения моделей, где первый – это постепенный переход от нахождения простейших зависимостей, описывающих отдельные стороны изучаемой системы, к зависимостям, определяющим ее в достаточном объеме. Сначала на основе эмпирических исследований находят
простейшие зависимости, потом на основе синтеза получают более правдоподобную и цельную картину. Суть второго приема заключается в планомерном переходе от обобщенной модели, учитывающей только основные характеристики, к модели, показывающей изучаемый объект в более полном виде.
В понятии, как это принято в логике и философии, может быть представлено два составляющих компонента. Один из них – это объем понятия или его
значение, определяемое как класс предметов, который подходит под данное значение, другой – содержание, или смысл, представляющий совокупность общих и существенных признаков понятия, соответствующих этому классу. По меткому определению отечественного культуролога Ю.С. Степанова, содержание понятия – «это как бы сгусток культуры в сознании человека; то, в виде чего культура входит в ментальный мир человека… – это то, посредством чего человек – рядовой, обычный человек, не “творец культурных ценностей” – сам входит в культуру…» (Ю.С. Степанов, 2001. – С. 43).
Подчеркну еще раз, что чем больший у теории диапазон, тем меньше объем фонового знания, с которым она должна согласовываться. Всё больше и больше наблюдаемых данных подпадают под категорию фактов, которые теория должна объяснить: их больше, чем данных, которые она принимает на веру, объясняя другие вещи. Ньютон сформулировал общую теорию механики в то время, когда еще было накоплено мало существенных данных о немеханических явлениях. С тех пор было накоплено много научных данных, возникли теории, описывающие электричество, магнетизм, радиацию и т. д., и ученые пытаются развивать более фундаментальную теорию со всё большим и большим диапазоном для того, чтобы объяснить все эти теории более низких уровней. При этом когда мы оцениваем ту или иную теорию с точки зрения того, подходит ли она на роль фундаментальной теории, критерий согласованности с фоновым знанием становится всё менее и менее важным. «Теория всего» не будет иметь контингентных фоновых данных,
согласно которым можно будет определить предварительную вероятность: ее придется определять исключительно a priori.
Основная форма классификаций, разрабатываемых систематиками-эмпириками в конце XVIII – начале XIX столетий, – иерархическая, хотя способы её представления весьма различны – от ступенчатых списков таксонов и классификационных деревьев до таксономических карт (см. 3.6.3). Увеличение
числа известных форм с необходимостью привело к усложнению линнеевской иерархии за счёт включения в неё дополнительных рангов. Так, в диссертации Г. Сторра по млекопитающим (G.C.C. Storr, Prodromus methodi mammalium…, 1780 г.) полная иерархия включает следующую последовательность ступеней: Classis, Phalanx, Cohors, Ordo, Missus, Sectio, Coetus, Genus (см. Павлинов, 2003в); из них по крайней мере когорта в последующем стала одной из популярных категорий (Simpson, 1945). В ботанической сводке Дж. Линдли появилась дробная иерархия над отрядных рангов: Класс, Подкласс, Альянс, Естественный порядок, Порядок (Lindley, 1836), которые этот автор трактует вполне номиналистически (Stevens, 1997а). Английский ботаник, умеренный номиналист Джордж* Бентам (George Bentham; 1800–1884), подобно Чезальпино начавший свою учёную карьеру как логик (его раннему перу принадлежит «Очерк новой системы логики») и затем классифицировавший растения преимущественно как логик (Stevens, 2002; McOuat, 2003), считает желательным использовать непоименованные интерполированные категории между основными линнеевскими рангами для сохранения оптимальных объёмов таксонов, выделенных Линнеем и Жюсьё (Bentham, 1875). Примечательно, что Бентам не верит в эквивалентность таксонов одного ранга, поэтому выступает против унификации названий по окончаниям; указанную эквивалентность в начале XIX века отвергал и английский ботаник Роберт Браун (Stevens, 1997а). Этот номиналистический взгляд на природу таксономических категорий если не по сути, то по форме замечательным образом совпадает с предложениями новейшей ультракладистики (см. 5.7.4.5).
Используя этот критерий выделения типов проектов, мы можем
говорить об отдельных, единичных программах различного вида и объема, а также о сложных, многосоставных проектах, компонентами которых являются уже вышеназванные единичные программы.
В эволюционном процессе бывает, что несколько таких снятий (отрицаний) следуют во времени друг за другом в одном социальном объеме. В этой связи я ввожу понятие эволюционного расстояния: это – число снятий между двумя состояниями объектов во времени. Вполне логично принять такое утверждение как аксиому: чем больше (меньше) эволюционное расстояние между двумя объектами, тем меньше (больше) влияние законов предшествующего на последующий. Действие этого закона в случае
больших эволюционных расстояний очевидно. Например, при рассмотрении социальных явлений мало кто считается с законами биологических клеток, молекул, атомов, электронов. Но при этом многие пытаются свести социальные явления к явлениям высокоразвитых живых организмов (социальная биология).
Не так давно было открыто и изучено явление, получившее название «странный аттрактор». Оказалось, что траектории многих детерминированных динамических систем могут полностью заполнять некоторый фазовый объем: в любой окрестности любой точки этого объема всегда
будут находиться точки, принадлежащие траектории одной и той же системы, порожденные одним и тем же начальным состоянием. Более того, этот объем будет притягивать и остальные траектории системы.
Итак, основополагающим методом истории, как и естественных наук, является типологический метод, начинающийся со сравнения объектов. Благодаря сравнению событий выстраиваются представления о группах сходных явлений, обозначаемых одним именем; выявляются границы, объемы этих групп, а также их содержание, устройство. В результате у исследователя появляется картина мира, которая позволяет выдвигать осмысленные гипотезы о новых свойствах явлений и проверять эти гипотезы, уточняя состав и строение групп сходства. Все эти познавательные операции начинаются со сравнения (гомологизации) явлений по их
частям (аспектам, признакам), организации рядов сравниваемых явлений. Значит, для того, чтобы ознакомиться, хотя бы поверхностным образом, с результатами работы сравнительного метода, нам придется сначала выстроить некоторое количество рядов сходных явлений в разных исторических целостностях. Только после этого можно будет представить, к чему подводит нас изучение истории сравнительным (типологическим) методом.
Как видим, предмет как объект действия и, соответственно, как объект восприятия понимается этими авторами по-разному. Для А. Н. Леонтьева – это объект в данности его свойств, которые затем могут и/или должны быть преобразованы в соответствии с целью действия. Для Д. А. Ошанина объект действия изначально преобразуем: «Для предметного действия – объект принципиально преобразуем. Как и любая преобразующая система, он функционально характеризуется некоторым количеством возможных состояний, которые могут быть либо статическими, либо динамическими» (Ошанин, 1999, с. 107). И в этом смысле объект для Ошанина до начала действия с ним характеризуется неопределенностью,
возможностью находиться в разных состояниях, но не сам по себе, а в контексте осуществляемого по отношению к нему перцептивного акта, другими словами – в контексте бытия перцептивного акта. Эта неопределенность снимается оперативностью отражения, когда субъект предметного действия отражает объект восприятия (предмет действия) не в полном объеме его возможных (гносеологически известных) свойств и состояний, а лаконично, функционально избирательно и, более того, функционально деформируя (искажая) объективные его свойства в релевантные, функционально необходимые для выполняемого действия.
Например, для решения некоторой задачи нужно выполнить точное микроперемещение небольшого объекта. Как быть? Фонд физических эффектов подскажет, что это можно сделать с помощью пьезоэффекта, магнитострикции, теплового расширения, эффекта
памяти формы, эффекта изменения объёма вещества при фазовых переходах и пр. Что из этого набора выбрать, инженер решает исходя из условий задачи.
Многие космологи и астрофизики утверждают, что всего этого уже достаточно, чтобы решить задачу о том, что происходит с Вселенной при приближении к сингулярности. Решения полученных ими уравнений показали, что при экстремальном сжатии Вселенной пространство рассыпается, квантовая геометрия не позволяет уменьшить его объем до нуля, неизбежно происходит остановка и вновь начинается расширение. Эту
последовательность состояний можно отследить как вперед, так и назад во времени, а значит, до Большого взрыва должен быть еще и Большой хлопок – коллапс «предыдущей» Вселенной. При этом свойства предыдущей Вселенной не теряются в процессе ее гибели, а передаются в нашу.
2) единичные, если объем понятия составляет
лишь один предмет. Примерами единичных понятий являются «Солнце», «картина “Мона Лиза”» и др.;