Связанные понятия
Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
Подробнее: Универсальное свойство
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во...
Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.
Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющие дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например, категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют...
Упоминания в литературе
Три – это не только число и цифра, в истории науки оно приобрело значение символа идеи синтеза, единства, фундаментального принципа организации природы как целого. Творцы самых древних мифов полагали, что космос в своей основе тройствен, и поэтому тройственным должно быть все, что имеет священное, космическое значение. Символизм троичности нередко усиливался путем сложения и умножения тройки: каждая из трех сфер мироздания в некоторых космологических концепциях делилась на три, число богов в языческих религиях зачастую было кратно трем. Еще древние мыслители (Пифагор, Лаo Цзы) говорили о его качественной мере, они отмечали, что единица (монада) – это еще значение нерасчлененного, непроявленного мира, это сплошность, не имеющая многообразия, но мир не может существовать без множества и существует в
различии внешних форм. Суть числа «два», диады, несет в себе значение дифференциации, расщепления, двойственности, наконец, разрушения и гибели. Сила объединения и созидания заключается в третьем – единстве, примирении, согласии, – поэтому в качестве структурной единицы для методологии целостного подхода древними мыслителями была избрана триада. Бинарное мышление на первый план выдвигает разделение и оппозицию, и диады явно недостаточно, чтобы быть основой и субстанциональным элементом мира.
Такая постановка вопроса позволяет Зиммелю говорить о различных в восприятии вещах, как об «экземплярах» и «видах» (Ausgestaltungen) одной и той же вещи, его занимает не онтология, а логика вещей. Именно проблематизация «социальной логики вещей» позволяет ему утверждать, что «характер вещи зависит в конечном счете от того, является она целым или частью»: например, рама картины «…повторяет общее жизненное затруднение, которое заключается в том, что элементы общностей тем не менее претендуют на то, чтобы быть автономным целым для себя сами. Из этого видно, – продолжает Зиммель, – какое бесконечно тонкое равновесие выступлений и отступлений, должна удерживать рама, чтобы с наглядностью разрешать задачу разделяющего и объединяющего посредничества между произведением искусства и его окружением –
задача, аналогией которой является историческое взаимодействие индивидуума и общества»[6]. Иными словами, материальный предмет – рама картины – служит проекцией двойственности социального отношения – отношения индивида и общества. Пограничное положение рамы, не являющейся ни частью самой картины, ни частью ее фона, служит для Зиммеля иллюстрацией занимающей его социологической проблемы «пограничности» как таковой[7].
Наконец я обращаюсь к проблеме, которая неявно присутствовала в тексте с самого начала данной главы: что должен сохранять перевод? Не только референцию, так как сохраняющие референцию переводы могут быть непоследовательными, непригодными для понимания вследствие того, что использованные в них термины употребляются в их
обычном смысле. Описание данной трудности подсказывает очевидное решение: переводы должны сохранять не только референцию, но также смысл или интенсионал. К этой позиции под названием «Инвариантность значения» я пришел в прошлом и ее я faille de mieux отстаивал во введении к данной статье. Она ни в коем случае не ложная, но в то же время и не вполне верна, что обусловлено двойственностью самого понятия значения.
Различая горизонтальное и вертикальное направления эволюции, тем самым мы указываем на контрапункт модусов ГЭВ, имеющих единую субстанцию (не уверен, что эта терминология здесь вполне уместна, но более точной не существует). Модусы эти отражают двойственность когерентно-каузального мира в перманентном противоборстве этих сил. Так, нарастание субъектности и автономности работает также и на временную устойчивость и фиксированность форм, т. е. подпитывает не только динамический, но и стабилизирующий потенциал системы. Без относительной стабилизации «самость» любой формы или структуры теряет онтологические основания, а на уровне рефлексии – идентичность. То же справедливо и в отношении других функций ГЭВ. Обращаясь к модной синергетической лексике, можно сказать, что эволюция горизонтальная, подгоняя формы и структуры под среду и, таким образом, стабилизируя систему, укрепляет её равновесие со средой, тогда как вертикальная из этого равновесия её выводит. Таким образом, любые изменения системы, связанные с
действием ГЭВ, всегда имеют двойственные, противоречивые последствия.
«От водя место в себе элементу, который негативным образом коннотирует его закрытость, представление будет демонстрировать размах адаптивных возможностей системы и в то же
время двойственность своих формальных возможностей. Словом, хотя /облако/ указывает рубежи, замыкающие систему, оно действует наперекор формальному принципу, которому повинуются знаки, играет на отсутствии строгих линейных границ»[103].
Связанные понятия (продолжение)
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.
Подробнее: Коммутативная диаграмма
Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов...
Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.
В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.
Подробнее: Естественное преобразование
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия...
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле...
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...
Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру (подгруппа, подкольцо, в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы), показывающая степень некоммутативности групповой операции.
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих...
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают.
Локальные кольца — кольца, которые относительно просты и позволяют описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.
Подробнее: Локальное кольцо
Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу, и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Расшире́ние Галуа ́ — алгебраическое расширение поля E/K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения ).
Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Тополо́гия Зари́сского , или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...
Локально компактное пространство — топологическое пространство, у каждой точки которого существует открытая окрестность, замыкание которой компактно. Иногда используется более слабое определение: достаточно чтобы каждая точка имела компактную окрестность (открытость окрестности здесь не предполагается). В случае хаусдорфова пространства эти определения эквивалентны.
Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием...
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом, то есть непустой системой S элементов e1,…ei…, которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rn колец R, рассматриваемых как модули...
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.
Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
Подробнее: Кручение (алгебра)
В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
Упоминания в литературе (продолжение)
Следующий шаг в познании живого в немецкой класической философии сделал Ф. В. Й. Шеллинг. Впервые к проблемам философии природы он обращается в труде «Идеи к философии природы как введение в изучение этой науки» (1797 г.). Обобщая научные концепции механики, физики, химии, Шеллинг приходит к выводу, что в основе понятия материи лежит противоположность, двойственность. Этот принцип полярности он включает как структурный
элемент в кантовское различение видов причинности, т. к. «в данный момент мы не знаем никакой иной реальной взаимосвязи различных вещей, кроме причины и действия»44. Для неживой природы получается цепочка последовательных действий, рассматриваемых полярно, которая составляет нисходящий или восходящий ряд линейного причинения. Напротив, в области живой природы «любой органический продукт имеет основание своего существования в себе самом, ибо он есть причина и действие самого себя. Ни одна отдельная часть не могла возникнуть иначе, как в этом целом, и само это целое заключается во взаимодействии частей»45. Хотя полярный принцип механицизма (физикализма, химизма) не описывает органические явления, он лежит в основе всех природных явлений, поэтому «неорганическая и органическая природа связаны одним и тем же началом»46.
Уже ближайшие преемники Канта заметили, что допущение подобной двойственности в составе знания в корне подрывает его внутреннее единство. Между совершенно разнородными и независимыми друг от друга элементами необходимой систематической связи быть не может; ибо всякий логический синтез требует для своего осуществления полной коррелятивности, т. е. взаимной обусловленности и зависимости объединяемых им элементов. Это значит: он требует, чтобы единство было единством многообразия и многообразие – многообразием единства, словом, чтобы один и тот же логический акт порождал оба члена логического соотношения. Следовательно, с строго логической точки зрения, чувственное
многообразие должно быть рассматриваемо как данное мышлению в таком же смысле, в каком и категориальное единство – в смысле задания или проблемы. Только тогда, когда мышление безусловно автономно, когда оно не принимает никакой другой данности, кроме данности самого задания, самой проблемы, им самим же ставимой и разрешаемой, только тогда оно носит исто-систематический характер и способно построить и обосновать самодовлеющую систему наук. Предположение какой бы то ни было другой данности сразу нарушает его самостоятельность и сводит на нет систематическое единство порождаемого им знания.
«Комплексный подход в психологии, выражавшийся в ранних трансперсональных моделях психики, предложенных Майерсом, Джеймсом и Юнгом, в 1950-60-х годах получил неожиданное клинико-экспериментальное подтверждение в инновационных психоделических исследованиях Станислава Грофа, одного из [творческих] основателей трансперсонального движения. Эмпирические данные о воздействии ЛСД, собранные Грофом и его коллегами в Праге и впоследствии подтверждённые в ходе тысяч безнаркотических сеансов холотропного дыхания, полностью опровергли предположения Грофа, обусловленные его материалистическим, атеистическим и классическим фрейдистским образованием. Глубокое экспериментальное изучение психики, подтвердившее относительную справедливость подхода Фрейда к изучению сознания, основанного на воспоминаниях из собственной жизни, также привело к открытию более глубинных и тонких структур, включая бессознательное Ранка[65], архетипы Юнга и другое. Как пишет Гроф, человеческие существа демонстрируют особую двойственность, в некотором смысле напоминающую дихотомию “частица-волна” света и субатомной материи. Если в одних ситуациях они могут быть успешно описаны как отдельные материальные объекты или биологические механизмы, то в других они показывают характеристики огромных полей сознания, выходящих за пределы пространства, времени и обусловленности. Похоже, что между этими двумя аспектами человеческой природы существует собственное динамическое напряжение, отражающее
двойственность части и целого, существующего во всех уголках Вселенной и на разных уровнях реальности»[66].
Проблема ценности в психологии рассматривается как одна из самых мало разработанных. В статье «Ценность как междисциплинарное понятие: опыт многомерной реконструкции» Д. А. Леонтьев (1996) пишет, что разнообразие определений понятия «ценность» объясняется его двойственностью. Ценность понимается и как атрибут, и как сам предмет («объекты имеют ценность или
объекты являются ценностью»), как связанную с потребностью или достаточно независимую от нее смысловую единицу, как индивидуальное или надындивидуальное явление и т. д. Следует различать такие формы существования ценностей, как общественные идеалы, предметно воплощенные ценности и личностные ценности.
Хотя это кажется абсурдным и
невозможным с точки зрения классической логики, человеческая природа демонстрирует интересную двойственность. Иногда она приземляет себя до механистических интерпретаций, приравнивая человека к его телу и функциям организма. В других случаях она выявляет совершенно иной образ, предполагая, что человек может функционировать как безграничное поле сознания, трансцендирующее материю, пространство, время и линейную причинность. Для того чтобы описать человека всесторонним и исчерпывающим способом, мы должны принять парадоксальный факт, что он есть одновременно и материальный объект, т е. биологическая машина, и обширное поле сознания.
Примечание 1. Впервые данный феномен осмыслен в физической науке – в виде корпускулярно-волновой природы электромагнитных волн. Однако
двойственность природы процессов является универсальной для всех типов процессов во всех материальных и идеальных средах[133].
Таким образом, Ваступуруша-мандала постигается с двух
различных и очевидно противоположных точек зрения. Индуистский дух никогда не упускает из виду изначальной двойственности всех вещей, поскольку вещи произошли одновременно и от беспредельной Красоты, и от экзистенциального Мрака, который покрывает эту Красоту; в свою очередь, сам Мрак является таинственной деятельностью Бога, ибо представляет собой не что иное, как универсальную пластическую силу, Пракрити или Шакти[29], облекающую сущее в ограниченные формы. Индуистское искусство – не более чем подражание работе Шакти. Шакти непосредственно представлена в архитектуре и скульптуре: космическая сила, щедрая, как земля, и таинственная, словно змея, по-видимому, просачивается сквозь самые ничтожные формы, она наполняет их пластическим напряжением, хотя сама покорна нетленной геометрии Духа. Шакти танцует на неподвижном теле Шивы, который представляет Божество в его аспекте преобразователя Космоса.
Также важно отметить, что согласно космогоническим представлениям традиции дзогчен изначально мир существует в самосовершенном состоянии. В нем грубых элементов бытия, воспринимаемых пребывающими в самсаре живыми существами, не имеется. Возникновение последних происходит вследствие впадения существ в состояние
двойственности. Т. е. по мере огрубления сознания здесь происходит как бы конденсация, коагуляция света в грубую материю. Таково происхождение того чувственного, которое воспринимают обычные существа.
Основные функции числовой энергии – Душа, полярность, двойственность, женское воспринимающее начало.