Связанные понятия
Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Ра́диус (лат. radius — спица колеса, луч) — отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окружности (или сфере), а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.
Сфе́ра (др.-греч. σφαῖρα «мяч, шар») — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).
Диа́метр в изначальном значении термина — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам.
Дуга́ — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки A и B окружности разбивают её на две части; каждая из этих частей называется дугой.
Упоминания в литературе
Если мы зададим систему координат, в центр которой поместим наблюдателя, то оси координат будут асимптотами[1] для любых гипербол, заданных стандартным уравнением гиперболы (y=1/xn – обратная степенная функция); не будем забывать, что сами гиперболы были нами получены (имеются в виду схожие с гиперболой линии) из
эллипса .
Форма и размер
эллипса определяются двумя длинами: длиной большой оси, представляющей собой самый длинный отрезок прямой, соединяющий две точки на эллипсе, и длиной малой оси, которая перпендикулярна большой. Окружность – это разновидность эллипса, для которой две указанные длины равны; в этом случае они обе равны диаметру окружности. В астрономии радиус считается более удобной мерой. Так, радиус круговой орбиты равен расстоянию от планеты до Солнца и соответствующие величины для эллипса называют большим радиусом и малым радиусом. К этим же величинам относятся более громоздкие термины «большая полуось» и «малая полуось», поскольку они представляют собой половинки большой и малой оси. Менее интуитивно понятна, но очень важна еще одна характеристика эллипса: его эксцентриситет – это количественное отражение формы эллипса, того, насколько он длинный и тонкий. Эксцентриситет окружности равен нулю, а для фиксированной длины большой полуоси он стремится к единице, по мере того как длина малой полуоси стремится к нулю[9].
Сферическое пространство, или пространство постоянной положительной кривизны, замкнуто и конечно (от слова «конец»), также как замкнут и конечен шар. Таким же свойством обладает и другое пространство положительной кривизны – эллиптическое. (Как окружность есть частный и предельный случай
эллипса , так и шар есть частный и предельный случай эллипсоида. Поэтому эллиптическая поверхность, а равно и эллиптическое пространство, есть обобщение сферических поверхности и пространства.)
Прямая АА1 называется осью сжатия, отрезок АА1 = 2а – большой осью
эллипса , отрезок ВВ1 = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А1, В, В1 – вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.
Что такое
эллипс и где у него фокус? Как известно, окружность можно нарисовать циркулем, потому что все ее точки находятся на равном расстоянии от центра. Для эллипса способ рисования будет сложнее. Для всех точек эллипса сумма расстояний до двух фокусов одинакова. Если мы воткнем две канцелярские кнопки и привяжем к ним нитку так, чтобы ее длина была заметно больше расстояния между кнопками, оттянем нитку в сторону карандашом и будем водить им вдоль нитки так, чтобы она все время была натянута, мы нарисуем эллипс, а кнопки будут в его фокусах. Окружность характеризуется одной величиной – радиусом. У эллипса есть большая полуось (аналог радиуса) и эксцентриситет – отношение к большой полуоси. Если эксцентриситет близок к нулю, то фокусы эллипса находятся совсем рядом, и эллипс близок к окружности. Если эксцентриситет большой, то эллипс имеет сильно вытянутую форму. Орбиты планет имеют небольшой эксцентриситет (0,2 – для Меркурия и менее 0,1 – для остальных планет), а орбиты комет отличаются большим эксцентриситетом, близким к единице.
Связанные понятия (продолжение)
Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.
Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.
Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой...
Согласно Математической Энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые «обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от неё». Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет «спираль», то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.
Подробнее: Спираль
Говорят, что два и более объектов концентричны или коаксиальны, если они имеют один и тот же центр или ось. Окружности, правильные многоугольники, правильные многогранники и сферы могут быть концентричны друг другу (имея одну и ту же центральную точку), как могут быть концентричными и цилиндры (имея общую коаксиальную ось).
Подробнее: Концентричные объекты
Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.
Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).
Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её.
Гра́дус , мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.
У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).
В математике и физике барице́нтр, или геометри́ческий центр, двумерной области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры. Определение распространяется на любой объект в n-мерном пространстве — барицентр является средним положением всех точек фигуры по всем координатным направлениям. Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.
Подробнее: Барицентр
По часово́й стре́лке и про́тив часово́й стре́лки — обозначения наблюдаемого направления вращения путём сравнения с направлением вращения стрелок часов, которое, в свою очередь, совпадает с направлением движения тени горизонтальных солнечных часов (расположенных в северном полушарии Земли) и самого солнца по небу (в северном полушарии). В то же время существуют механические часы с обратным направлением хода стрелок. Подобные часы с древнееврейскими цифрами встречались в еврейской среде, например...
Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
Фокус — в геометрии точка, относительно которой (которых) проводится построение некоторых кривых. Например, один или два фокуса могут использоваться при построении конических сечений, в число которых входит окружность, эллипс, парабола и гипербола. Также два фокуса используются при построении овала Кассини и овала Декарта. Большее число фокусов рассматривается при определении n-эллипса.
Те́ло геометри́ческое — «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».
Сектор в геометрии — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегме́нт — плоская фигура, заключённая между дугой и её хордой. Как частный случай, круговой сегмент: часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей.
Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV.
Начало координат (начало отсчёта) в евклидовом пространстве — особая точка, обычно обозначаемая буквой О, которая используется как точка отсчёта для всех остальных точек. В евклидовой геометрии начало координат может быть выбрано произвольно в любой удобной точке.
Луч (в геометрии) или полупрямая — часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Любая точка на прямой разделяет прямую на два луча.
Норма́ль — прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и так далее).
Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
Пери́метр (др.-греч. περίμετρον — окружность, др.-греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина.
Фигура (от лат. figura) — термин, формально применимый к произвольному множеству точек; тем не менее обычно фигурой называют замкнутые множества на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.
Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Гео́ид (от др.-греч. γῆ — Земля и др.-греч. εἶδος — вид, буквально — «нечто подобное Земле») — выпуклая замкнутая поверхность, примерно совпадающая с поверхностью воды в морях и океанах в спокойном состоянии и перпендикулярная к направлению силы тяжести в любой её точке. Геометрическое тело, отклоняющееся от фигуры вращения (эллипсоид вращения) и отражающее свойства потенциала силы тяжести на Земле (вблизи земной поверхности), важное понятие в геодезии.
Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.
Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.
Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.
Центр масс , центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) - геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. В общем случае центр масс не совпадает с центром тяжести, совпадение происходит только у систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле.
Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.
Картографи́ческая прое́кция — математически определенный способ отображения поверхности Земли (либо другого небесного тела, или в общем смысле, любой искривлённой поверхности) на плоскость.
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Враще́ние — круговое движение объекта. В плоскости объект вращается вокруг центра (или точки) вращения. В трёхмерном пространстве объект вращается вокруг линии, называемой осью. Если ось вращения расположена внутри тела, то говорят, что тело вращается само по себе или обладает спином, который имеет относительную скорость и может иметь момент импульса. Круговое движение относительно внешней точки, например, вращение Земли вокруг Солнца, называется орбитальным движением или, более точно, орбитальным...
Упоминания в литературе (продолжение)
Познакомимся немного с геометрией
эллипса . В эллипсе (рис. 17) AB – его «большая ось», CD – «малая ось». В каждом эллипсе, кроме «центра» O, есть еще две замечательные точки – «фокусы», лежащие на большой оси симметрично по обеим сторонам центра. Разыскивают фокусы так (рис. 18): раздвигают ножки циркуля на расстояние большой полуоси OB и, установив острие в конце C малой оси, описывают дугу, пересекающую большую ось. Точки пересечения F и F1 – фокусы эллипса. Расстояния OF и OF1 (они равны) обозначаются обыкновенно буквой c, а оси, большая и малая, через 2a и 2b. Расстояние c, отнесенное к длине a большой полуоси, т. е. дробь c/a, служит мерой растянутости эллипса и называется «эксцентриситетом». Чем больше эллипс отличается от круга, тем эксцентриситет его больше.
Познакомимся немного с геометрией
эллипса . В эллипсе (рис. 17) AB – его «большая ось», CD – «малая ось». В каждом эллипсе, кроме «центра» O, есть еще две замечательные точки – «фокусы», лежащие на большой оси симметрично по обеим сторонам центра. Разыскивают фокусы так (рис. 18): раздвигают ножки циркуля на расстояние большой полуоси OB и, установив острие в конце C малой оси, описывают дугу, пересекающую большую ось. Точки пересечения F и F1 – фокусы эллипса. Расстояния OF и OF1 (они равны) обозначаются обыкновенно буквой c, а оси, большая и малая, через 2а и 2b. Расстояние с, отнесенное к длине а большой полуоси, т. е. дробь с/а, служит мерой растянутости эллипса и называется «эксцентриситетом». Чем больше эллипс отличается от круга, тем эксцентриситет его больше.
На рис. 4.3 проведены примеры
эллипсов . Это может быть и чуть сплюснутый круг, и фигура, уплощённая почти до прямой линии. Между этими двумя формами возможно огромное количество вариантов. Форма эллипса зависит, прежде всего, от формы прямоугольника, в который он вписан.
Эллипс – плоская замкнутая овальная кривая, для простоты будем говорить – овал. Ну а если мы сожмем шар (отметьте этот момент!), то получим объемное криволинейное замкнутое тело эллипсоид. Феноменально (т. е. явлено, как мы уже говорили) – ни овал, ни эллипсоид уже не круг и не шар соответственно. У овала и эллипсоида появляется осевое направление и два полюса, т. е. фигуры представляют биполярную фигуру. А вот центр – не выражен! Безусловно, он есть, но в отличие от круга вы запросто в него не ткнете. Придется поискать и прицелиться. Опять же, у овала в отличие от круга гораздо больше площадь соприкосновения со средой в положении «лежа» (ср. рис. 4.1 и 4.4). Но вот что объединяет их обоих, так это свойство округлости. Все же родственные фигуры.
4. Переменного профиля, сначала прямоугольного, а потом в виде
эллипса , с уменьшающейся площадью сечения в сторону острия.
Рис. 1.3.
Эллипс лежит на заднем плане по отношению к прямоугольнику
Ручное выделение областей интереса подразумевает указание на стимуле именованных плоских фигур требуемых размеров (прямоугольников, многогранников,
эллипсов и пр.). Итоговое расположение областей в данном случае, разумеется, зависит от стимульного материала и гипотез исследования, поскольку требует обоснованных предположений о том, какие именно области стимула действительно привлекают зрительное внимание исследуемых категорий испытуемых.
В мебельных изделиях наибольшее значение имеют вертикальные ocи, подчеркивающие устойчивость предмета. При нечетном количестве вертикальных осей (три, пять) композиция собирается к центру и становится более цельной; при четном (две, четыре) – связь элементов получается значительно меньшей, приходится вводить объединяющие детали (общее обрамление, карниз, цоколь и т. п.). Так, дом с фронтоном и тремя окнами по фасаду интереснее и выразительнее такого же дома, но с двумя фасадными проемами; в однопольной двери неуместно наличие двух осей. Сила осей повышается с введением полной зеркальной симметрии или таких форм, в которых ось мысленно может быть проведена (круг,
эллипс , арка).
Так он понял бы, что слова Кеплера о планетно-солнечных притяжениях не столь и ребяческие. Никакой солнечной силы, движущей планетами, конечно, нет, но притяжение есть и подчиняется вполне определенному закону. Более того, из этого закона следует и (третий) закон Кеплера, связывающий время, за которое планета проходит свою орбиту, с ее радиусом (T2 ~ R3). Значит, из закона свободного падения, установленного в земных физических опытах, следует астрономический закон, полученный Кеплером в результате многолетнего анализа множества астрономических наблюдений. Следует пока лишь для круговых орбит. Но если ускорение свободного падения известно в каждой точке пространства вокруг большого небесного тела, то можно и ставить задачу о том, как изменится круговая орбита спутника, если его толкнуть. Труднее, конечно, было заподозрить и тем более доказать, что при этом окружность превратится в
эллипс . Но зато теперь Галилей мог уже принять подсказку первого закона Кеплера – об эллиптичности планетных орбит, к великой радости автора и к успокоению историков, ломающих головы над молчанием Галилея по поводу законов Кеплера.
Не менее важна проблема измерения времени. Оно основано на вращении Земли вокруг Солнца и своей оси. Поскольку земная орбита – это
эллипс , то скорость движения Земли по ней неравномерна, вследствие чего и скорость видимого движения Солнца по эклиптике тоже отличается неравномерностью. Светила в течение суток в своем видимом движение два раза пересекают небесный меридиан. Момент, когда центр светила пересекает небесный меридиан, называется кульминацией (от лат. culmen – вершина») светила. Она бывает верхней и нижней. Момент первой называется истинным полднем, момент второй – истинной полночью. Промежуток же между ними – полусутками. И верхняя, и нижняя кульминации могут приниматься за начало или конец промежутка времени (суток), который астролог выбирает в качестве единицы.
В горизонтальном сечении форма подводных гор чаще всего представляет деформированный во многих местах
эллипс . Возможно, это объясняется соответствующей формой разлома, из которого истекает лава.