Связанные понятия
Те́ло геометри́ческое — «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Полиамонд (англ. polyiamond) или треуго́льный мо́нстр (англ. triangular animal) — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников, примыкающих друг к другу по рёбрам. Полиамонды можно рассматривать как конечные подмножества треугольного паркета со связной внутренностью.
Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.
Упоминания в литературе
Собственно термин «фрактал», предложенный Б. Мандельбротом в середине 1970-х гг. для обозначения нерегулярных геометрических форм, обладающих самоподобием во всех масштабах, образован, как объясняет сам ученый, от латинского причастия «fractus» и в соответствии с семантикой исходного глагола «frangere» имеет значение «фрагментированный», «изломанный» и «неправильный по форме»[24]. Удивительно, но точного непротиворечивого математического определения фракталов не выработано до сих пор. В самом общем виде, за рамками специальных математических дефиниций, фрактал был определен Б. Мандельбротом как «структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому»[25]. Степень сложности, «изломанности» фрактального объекта определяет его фрактальную размерность, которая чаще всего превышает его топологическую размерность, то есть линия благодаря многочисленным изгибам как бы стремится превратиться в плоскость, а «складчатая» плоскость – в объемную фигуру.
Вот как, например, реализуется идея Единого принципа в геометрии (подойдем к этому не как специалисты в этой области, а как любой человек, изучавший этот курс в школе). Итак, мы говорим: такой самостоятельной фигуры, как треугольник, не существует. Его вершины – это три точки, а нам известно, что через три точки (если они не на одной прямой) всегда можно провести окружность. Окружность, в свою очередь, выражает собой геометрический алгоритм свойств плоскости, формулу плоскости. Треугольники существуют разные: остро-, тупо- и прямоугольные. Однако все они могут быть сведены к прямоугольному треугольнику, так как любой треугольник превращается в два прямоугольных простым опусканием из любой вершины высоты на противоположную сторону – образующийся у основания высоты угол равен 90°. Поэтому мы будем рассматривать только их. Прямой угол всегда опирается на дугу в 180°, концы которой соединены диаметром. Другими словами, гипотенуза прямоугольного треугольника всегда равна диаметру круга, в который вписан прямоугольный треугольник. Таким образом, с одной стороны,
круг как алгоритм плоскости является контекстом, задающим свойства треугольников как плоскостных фигур. С другой стороны, число «пи» концентрирует в себе в цифровом эквиваленте свойства круга – длина окружности, деленная на диаметр – L: 2R. В этом рассуждении, по сути, описан Единый принцип, управляющий двумя измерениями.
Фигуры с центральной симметрией (круг, квадрат) и центрально-угловой (розетки) наиболее выразительны; фигуры, имеющие только осевую симметрию, следуют за ними, на последнем месте в этом
отношении находятся фигуры произвольной формы.
Эту кривую греки называли гиппопедой (?ππου π?δδη), потому что это было излюбленное упражнение в школе верховой езды – заставить галопирующую лошадь описывать такую фигуру, и Симпликий в своем изложении планетарной теории Евдокса прямо говорит, что планета описывает кривую, которую Евдокс именует гиппопедой. Это слово встречается несколько раз в комментарии Прокла к первой книге Евклида, где описываются плоские сечения твердого тела, полученные обращением круга вокруг прямой линии в его
плоскости, при условии, что линия не пересекает круга. Сечение, образованное плоскостью, параллельной этой линии и касающейся внутренней поверхности тора, Прокл называет гиппопедой, и, следовательно, мы имеем доказательство, что Евдокс и его последователи имели четкое представление о свойствах кривой, получающейся в результате движения третьей и четвертой сферы. О кривой и ее применении говорит Теон Смирнский (с. 328), описывая астрономическую теорию платоника Деркиллида: «Он полагает, что в спиральных линиях и тех, что похожи на конные упражнения, не надо видеть причину блужданий планет, так как эти линии получаются случайно[87], однако главная причина блужданий и спиралей заключается в наклонном движении по зодиакальному кругу». Далее Теон говорит о видимой спирали, которую описывает планета, в духе платоновского «Тимея»; но отвергаемое Деркиллидом мнение – это, вне всяких сомнений, именно то движение по лемнискате, которое изобрел Евдокс.
Рассмотрение так называемых «фигурных чисел», например квадратов или треугольников, выложенных из камешков (точек), и обнаружение арифметических соотношений между последовательностями этих чисел наводило на мысль, что вероятно и
геометрические фигуры также могут быть сведены к числам[2].
Связанные понятия (продолжение)
То́чка — абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
В геометрии
сферический многогранник или сферическая мозаика — это тa мозаика на сфере, в которой поверхность разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками. Большая часть теории симметричных многогранников использует сферические многогранники.
Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.
Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.
Трёхме́рное простра́нство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трёхмерным, так как оно имеет три однородных измерения — длину, ширину и высоту, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными векторами.
Отражение , зеркальное отражение или зеркальная симметрия — движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства — просто плоскостью).
В геометрии 4-мерный многогранник — это многогранник в четырёхмерном пространстве. Многогранник является связанной замкнутой фигурой, состоящей из многогранных элементов меньшей размерности — вершин, рёбер, граней (многоугольников) и ячеек (3-мерных многогранников). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам.
Паралле́льный перено́с (иногда трансляция) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
Выпуклым многоугольником называется
многоугольник , все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Дуга́ — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки A и B окружности разбивают её на две части; каждая из этих частей называется дугой.
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства.
Диагональ (греч. διαγώνιος; от δια- «через» + γώνια «угол») — в математике имеет геометрический смысл, а также используется при наглядном описании квадратных матриц.
Начало координат (начало отсчёта) в евклидовом пространстве — особая точка, обычно обозначаемая буквой О, которая используется как точка отсчёта для всех остальных точек. В евклидовой геометрии начало координат может быть выбрано произвольно в любой удобной точке.
Диэдр — вид многогранника, состоящего из двух многоугольных граней, имеющих общий набор рёбер. В трёхмерном евклидовом пространстве он является вырожденным, если его грани плоские, в то время как в трёхмерном сферическом пространстве диэдр с плоскими гранями может рассматриваться как линза, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L(p,q) .
Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их...
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Пифагорова мозаика (замощение двумя квадратами) — замощение евклидовой плоскости квадратами двух различных размеров, в которой каждый квадрат касается четырёх квадратов другого размера своими четырьмя сторонами. Исходя из этой мозаики, можно доказать (наглядно) теорему Пифагора, за что мозаика и получила название пифагоровой. Мозаика часто используется в качестве узора для кафельного пола. В этом контексте мозаика известна также как узор классов.
Параллельные прямые (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны.
Луч (в геометрии) или полупрямая — часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Любая точка на прямой разделяет прямую на два луча.
Группа
симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.
Ло́маная , ломаная линия — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами.
Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Подробнее: Компланарность
Говорят, что два и более объектов концентричны или коаксиальны, если они имеют один и тот же центр или ось. Окружности, правильные многоугольники, правильные многогранники и сферы могут быть концентричны друг другу (имея одну и ту же центральную точку), как могут быть концентричными и цилиндры (имея общую коаксиальную ось).
Подробнее: Концентричные объекты
Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.
Однородная мозаика может существовать как на евклидовой плоскости, так и на гиперболической плоскости. Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками, которые можно считать однородными замощениями сферы.
Теорема Жордана — классическая теорема геометрии известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.
Тессера́кт (от др.-греч. τέσσαρες ἀκτῖνες «четыре луча») — четырёхмерный гиперкуб — куб в четырёхмерном пространстве. Другие названия: 4-куб, тетраку́б (от др.-греч. τέτταρες «четыре»), восьмияче́йник, октахо́р (от др.-греч. οκτώ «восемь» + χώρος «место, пространство»), гиперкуб (если число измерений не оговаривается).
Прострáнством называется математическое множество, имеющее структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов (например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, событий в теории вероятностей и так далее).Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).
Подробнее: Пространство (математика)
Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три...
В геометрии подстановки плиток — это метод построения мозаик. Наиболее важно, что некоторые подстановки плиток образуют апериодические мозаики, то есть замощения, протоплитки которых не образуют какую-либо мозаику с параллельным переносом. Наиболее известные из них — мозаики Пенроуза. Подстановочные мозаики являются специальными случаями правил конечного подразделения, когда не требуется геометрическое равенство плиток.
Ребро в геометрии — отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше). В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней. Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю.
В геометрии
построение Витхоффа , или конструкция Витхоффа — это метод построения однородных многогранников или мозаик на плоскости. Метод назван по имени математика В. А. Витхоффа. Часто метод построения Витхоффа называют калейдоскопным построением.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.
Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.
В геометрии вершина — это вид точки, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников.
Многоугольник Петри для правильного многогранника в размерности n — это пространственный многоугольник, такой что любые (n-1) последовательных ребра (но не n) принадлежат одной (n-1)-мерной грани.
Упоминания в литературе (продолжение)
Общепринятой философией в большинстве современных графических систем при создании чертежей на
компьютере является использование наипростейших геометрических примитивов: точек, отрезков и дуг. С помощью различных комбинаций перечисленных примитивов, посредством присвоения их геометрическим свойствам определенных значений (имеются в виду координаты характерных точек, длины, радиусы и т. п.), а также с помощью заложенных в программу команд редактирования пользователь может создавать сколь угодно сложное изображение. Вы можете возразить, что практически в любой графической системе присутствует также еще множество команд для построения, скажем, кривых Безье или NURBS-кривых. Однако пускай это не вводит вас в заблуждение: на аппаратном уровне все эти кривые и сплайны все равно переводятся в последовательный набор отрезков, аппроксимирующих реальную кривую (то есть максимально приближенных к действительному положению кривой). Примерно таков же подход в трехмерном твердотельном моделировании: сложный объемный объект создается посредством последовательных комбинаций различных базовых трехмерных фигур (куба, сферы, конуса, тора и т. п.), а также с использованием базовых формообразующих операций (выдавливание, вращение, булева операция и пр.).
Но такой подход не был близок греческим математикам. Они-то рассматривали геометрию в наиболее соблазнительной, непрерывной форме, где сосуществуют в точности прямые углы и точное равенство сторон. (Этот подход также оказался самым плодотворным для физиков, как мы увидим на примере Ньютона.) Чтобы утвердить такую точку зрения, грекам пришлось установить приоритет геометрии над арифметикой, потому что – как мы уже видели – целые числа не могут адекватно описать даже очень
простую геометрическую фигуру. Таким образом, они отказались от буквы доктрины о том, что все вещи есть числа, но не от ее духа.
7. Восприятие и опознание изображений, образованных темными и светлыми точками (мозаика). При выполнении этого задания испытуемый мог произвести произвольное сканирование всей фигуры, а не только ее контура. Поскольку точки, образующие фигуру, были расположены близко друг от друга (0,3°), в узком поле зрения могли одновременно в каждый данный момент находиться несколько точек: три – в поле зрения 1°, семь-восемь – в поле зрения 3°. Это облегчало задачу перевода взгляда от точки к точке. Величина точки 0,5°.
Общее количество точек, образующих фигуру, 40–45.
2. Осевая симметрия присуща фигурам, которые совмещаются с самими собой без помощи зеркального отражения, а посредством поворота вокруг воображаемой оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Число таких совмещений, на протяжении полного кругового оборота фигуры, называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой порядок, выражаемый целым числом – от второго до бесконечности
(первый порядок означает совмещение фигуры с самой собой лишь в одном, первоначальном ее положении, такая фигура асимметрична). Фигуры, обладающие осевой симметрией всегда четко организованы, их равные друг другу части равномерно распределены вокруг единого центра – точки, через которую проходит ось симметрии. Осевая симметрия часто встречается в природе – это симметрия цветка. Она широко используется в орнаментах-розетках – орнаментального аналога цветка. Однако, если орнаментальная форма имеет только осевую симметрию, то она производит впечатление беспокойной подвижности, выражает интенсивное вращательное движение вправо или влево.
И все-таки одно общее свойство объединяет все эти и многие другие примеры копий[316], а именно – приблизительное отношение к точному подобию. Все, что имеет больше четырех сторон, говорит Краутхаймер, «для средневекового глаза» приближается к кругу. Крестообразный план может воспроизводить такую отличительную черту оригинала, как три апсиды. Поэтому «в подобном равнодушии к точности заданных архитектонических форм проявляется типичная черта средневековых “копий”»[317]. Более того, приблизительность касается не только архитектурных, но
и вообще геометрических форм. Описание геометрических фигур у того же Исидора Севильского свидетельствует о том, что не стояла сама задача дать точное описание. Все сводится к описанию не столько формы, сколько числа («геометрическая форма переводится в арифметическое число»[318]). Заметим уже сейчас, что дело, быть может, не столько в проблемах восприятии, сколько в традиции описания, в правилах жанра, требованиях языка (то же число легче воспроизвести, чем форму).
Элементы «перцептуального поля» находятся в постоянном динамическом взаимодействии. Сформулированный гештальтпсихологами закон прегнантности гласит, что психологическому полю свойственно образовывать максимально устойчивые, простые конфигурации, «хорошие» гештальты, которые далее уже невозможно упростить, то есть детализировать, разъять на части. Были выявлены следующие характерные черты психического поля: константность, то есть постоянство образа предмета при изменении условий его восприятия; примат целого над суммой элементов; стремление организовывать дискретные стимулы в единства; зависимость образа предмета (фигуры) от контекста (фона), взаимодействие фигуры и фона; правильность, симметричность, единство, выразительная лаконичность гештальтов. Примерами хороших гештальтов
могут служить правильные геометрические фигуры: треугольник, круг, квадрат, прямоугольник. В изобразительном искусстве живописные композиции часто строятся на основе этих геометрических фигур. Напротив, незавершенные или неправильные формы являются «плохими» гештальтами.
Классически правильным решением будет составление композиции сцены по принципу «золотого сечения». Прежде всего, камера устанавливается таким образом, чтобы основные элементы сцены образовывали геометрические фигуры (квадрат, прямоугольник, треугольник) (рис. 1.17, а). По правилу третей финальное изображение мысленно делится на 9 равных прямоугольников, а положение камеры и объектов выбирается таким образом, чтобы в точках пересечения воображаемых
линий находились наиболее важные элементы сцены (рис. 1.17, б ). В крайнем случае они могут располагаться на вертикальных или горизонтальных линиях, делящих изображение. Существует и другая схема деления финального изображения – в соответствии с принципом «золотого сечения». Необходимо провести воображаемую диагональ, а затем из угла, расположенного напротив этой диагонали, опустить перпендикуляр (рис. 1.17, в). В результате изображение будет разделено на три прямоугольных треугольника. Именно в них должны располагаться основные элементы сцены.
Геометрические фигуры – конкретное воплощение чисел. Числа принадлежат к миру принципов, и они становятся геометрическими фигурами, спускаясь в физический план.
Таким образом, сохранение симметрии при размещении реалистических изображений в качестве своеобразных клейм, располагающихся на оси или в
геометрическом центре, приводит к новым качествам в композиции. Работа фона, свобода в распределении и ориентации масс, появление векторов движения персонажей, поиск решения пространства за счет сопоставления фигур, активность цвета, сопоставление сказочного и реального дают представление об изменениях в декоративной системе. Решительное обращение с техниками росписи приводит к созданию нового пластического языка и строя изображений.
Заметьте еще одну особенность геометрического психовоздействия прямоугольника: он указывает только направление, но уж никак не вектор. Иными словами, прямоугольник не выполняет функции стрелки, поскольку обе его оконечности равно акцентуированы. Прямоугольник симметричен, и этим все сказано (см. рис. 2.2 а). Чтобы преобладала какая-то сторона фигуры, нужна дополнительная визуально-образная информация, но она должна быть специально привнесенной извне. Если же таковой нет, то мы обычно воспринимаем любую продольную
фигуру (не только прямоугольник, например, тот же овал) в направлении слева направо. Это обязательно нужно учитывать при дизайнерской разработке.
Достаточным содержанием для образования понятия «равнобедренный прямоугольный треугольник» будет указание на наличие в составе
геометрической фигуры двух углов, равных 45°. Объемом же такого понятия станет вся совокупность возможных равнобедренных треугольников.
И даже в произведениях так называемого «беспредметного искусства», подобно феноменам вербальных текстов, отдельные линии и цветовые пятна выполняют различные функции и, не имея самостоятельного значения, вместе с тем образуют значимые формы в соотношениях с другими различительными элементами картины. Полученные в результате узнаваемые
фигуры по своим функциям могут быть уподоблены единицам речи, средствам коммуникации. Наконец, изображения могут складываться в более или менее сложные композиции, что требует уже перехода от простого узнавания к пониманию мысли, выраженной в картине.
С этих же позиций гештальт-психологами объясняются оптические иллюзии у детей и взрослых, а также случаи, когда подобные феномены обнаруживаются у взрослых и не выявляются у детей. В том случае если стимульная фигура по своей структуре оказывается слишком сложной, оптической иллюзии может не наблюдаться, когда же оптическая иллюзия строится на основе целостных простых образов, у детей она оказывается ярко
выраженной. В качестве примера можно привести иллюзию Дельбефа: дошкольникам предлагается изображение двух неравных колец, расположенных рядом (рис. 4). Для большего кольца размер внутренней окружности равен размеру внешней окружности меньшего кольца. Оказалось, что в этом случае у детей возникает оптическая иллюзия: размер внутренней окружности большего кольца кажется большим, чем размер внешнего кольца меньшей окружности. Объяснение в данном случае основано на том, что ребенок недооценивает размер меньшего кольца в гораздо большей степени, чем взрослый. Такая недооценка основана на целостном переживании структуры этих колец в одном случае как кольца большого, а в другом – как кольца маленького. При этом сами окружности в первом случае включены в переживание большого, а во втором – в переживание маленького.
Если заглянуть «вглубь», то векторная графика состоит из отдельных объектов-форм, которые в целом образуют изображение.
Используя отдельные геометрические фигуры и линии, мы создаем цельное изображение. Отдельные объекты векторной графики, в свою очередь, состоят из отдельных точек, соединенных прямыми или изогнутыми линиями. Изгиб линий, соединяющих точки, задается векторами – отсюда и название «векторная графика».
Второй блок состоит из шестнадцати изображений, на которых по окружности распределены абстрактные символы, один из которых отличается от остальных. Одинаковые символы – диагональный крест (X), отличающийся символ-круг (0 или +). Ребенку в возрасте 5 месяцев проще выделить отличающийся стимул в виде круга, так как внимание младенцев привлекают фигуры концентрической формы. Отличающийся символ в виде
горизонтального креста считается более сложным для восприятия детей этого возраста.
Прежде всего мы видим, что значением P является, по крайней мере отчасти, логическая сеть, связывающая его со всеми остальными терминами теории, так что это значение одновременно определяется присутствием определенных О-терминов и Т-терминов в этой сети и конкретными связями между этими терминами (или, если кто-нибудь это предпочитает, структурой сети). Рассмотрим теперь случай, когда P и P' связаны с одними и теми же О-терминами и Т-терминами посредством различных связей, и случай, когда P и P' связаны посредством одной и той же логической сети с по крайней мере отчасти разными О-терминами и Т-терминами. Будет ясно, что в этих случаях значение P и P' не может быть одним и тем же. Такого рода ситуацию можно
схематически представить следующими четырьмя фигурами.
В основе изонити лежит заполнение нитками
внутреннего пространства геометрических фигур. Простейшие из них – угол и окружность. Это основа основ ниткографии, ее базовые элементы, без знания которых бессмысленно даже пытаться понять, как заполняются более сложные фигуры.
Другая метафора состояния «видеть». Вспомните картинки «Magic Eye». Можно взглянуть на листок обычным образом и увидеть лишь
фигуры на плоскости. А можно, расфокусировав особым образом взгляд и приспособив его, увидеть за двухмерной картинкой объемную фигуру из третьего измерения. Так происходит переход от двухмерного пространства к трехмерному. Но можно расфокусировать взгляд (точнее, расфокусировать восприятие) и взглянуть особым образом и на наш привычный трехмерный (в физическом смысле) мир. И «увидеть» за трехмерной плоскостью скрытые картинки из «иных» измерений… – раскаленные монеты на ладони, венцы безбрачия… Так происходит переход от трехмерного пространства к пространству больших измерений (или к пространству «нулевой» размерности – ведь бесконечномерное пространство это одновременно и пространство «нулевой» размерности). Эти уровни абстракции невозможно выразить адекватно. В таких измерениях все происходит одновременно, одномоментно, сразу, в одном и том же месте; пространство и время в них объединены и расположены в виде информации-энергии на одной бесконечной плоскости восприятия[12].
На рис. 4.3 проведены примеры эллипсов. Это может быть и чуть сплюснутый круг, и фигура, уплощённая почти до прямой линии. Между этими двумя формами возможно
огромное количество вариантов. Форма эллипса зависит, прежде всего, от формы прямоугольника, в который он вписан.
Объемно-пластическое творчество детей дошкольного возраста в других материалах, кроме глины,
в общем имеет сходный характер с только что описанными процессами и их вещественными результатами. Различия обусловлены только большей или меньшей степенью гибкости материала и способностью детей в этом возрасте преодолевать чисто технические затруднения. Так обстоит дело с изделиями из мягких материалов, например ткани и бумаги. Пластический образ проходит те же фазы расчленения от простого символа – цилиндрической формы – до ясно обозначенной в главных членах человеческой фигуры. Многокрасочность здесь – первичное явление. Ритмическое расчленение объемов – пластическое и цветовое – сразу и вполне очевидно принимает характер украшения: вышивок, наколок, бус, иногда и узорной раскраски кистью. Технические приемы детей при работе над материалом тканей сводятся главным образом к навертыванию одного слоя на другой до получения желаемой величины и четко выраженного объема. Сначала – поиски массы, позже – формы с постепенным ее расчленением; из общей массы выделяются голова, руки, ноги; на голове: отдельные части лица – не столько пластически, сколько живописными приемами.
Из современных классификаций наиболее перспективными представляются классификации фигур по соответствующим каждой из них процедурам преобразования плана выражения и плана
содержания. Здесь различают фигуры, основанные на сокращении, добавлении, сокращении с добавлением и перестановках (Ж. Дюбуа). В. Н. Топоров приводит следующую классификацию способов преобразования: повторение «ааа» (например, многосоюзие), чередование «abab» (параллельные синтаксические конструкции), прибавление «abc» при «ab» (эксплеция), сокращение «ab» при «abc» (эллипсис), симметрия «ab / ba» (хиазм), развертывание «a › a1a2a3», свертывание «a1a2a3 › a» и др.
Таким образом, морфогенез элементарных структур сознания, свидетельствует о том, что их дискретно увеличивающаяся сложность реализуется в виде последовательности элементарных пространственных
форм возрастающей размерности — точка, линия, плоскость и, наконец, трехмерная связность реализуется в виде объемной фигуры – пирамиды.
Необходимо рассмотреть
основные геометрические понятия в истории человечества, историю происхождения названий геометрических фигур. Вклад известных математиков в развитие геометрической науки.
Основу таких формул составляют традиционные сравнения и метафоры, которые поддерживают оппозиции и мифологемы. Оппозиция «свой-чужой» формируется поддержанием особого цветового словаря. Глубоким символизмом обладают
используемые в планах цветовые фигуры, на первый взгляд случайные и побочные (например, круглое противостоит угловатому, и во всех обнаруженных цветовых проектах преобладают обтекаемые границы). Распространены пространственные мифологемы острова (образа физической и психической изолированности), храма, дома, пирамиды, реки (воды). Композиционным стержнем цветовых образов является архетип пути-перемещения (дороги) между цветовыми образами.
Например, при выполнении фигуры «сальто» вращение
тела происходит относительно постоянно ориентированной в пространстве фронтальной оси тела ох (см. рис. 7).