Угол

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Для начального знакомства и понимания общих принципов работы в виртуальном пространстве достаточно знания геометрии на уровне школьного курса (вот когда пригодятся эти скучные теоремы и биссектрисы!). Для ориентации на плоскости и в пространстве в редакторах трехмерной графики применяется декартова система координат[1] (рис. 1.3). Она представляет собой три воображаемые плоскости, пересекающиеся в пространстве под углом 90°. Обычно оси X и Y определяют координаты плоских двумерных объектов и описывают размеры объекта по длине и ширине, а ось Z направлена вверх и определяет высоту объекта. Началом координат называется точка с координатами (0, 0, 0), от которой ведется отсчет положения объектов в пространстве. Каждая ось координатной системы условно делится на определенное количество одинаковых отрезков, которые представляют собой какие-либо единицы измерения. Причем по одну сторону от точки начала координат будет располагаться положительная область значений, а по другую – отрицательная. Данная система применяется практически во всех программах трехмерной графики, различаясь только ориентацией осей, и, как правило, изменить направление осей в любом 3D-редакторе не составляет труда.

Дмитрий Владиславович Рябцев, Дизайн помещений и интерьеров в 3ds Max 2009, 2010

Кроме того, Международная система единиц содержит две достаточно важные дополнительные единицы, необходимые для измерения плоского и телесного углов. Так, единица плоского угла – это радиан, или сокращенно рад, представляющий собой угол между двух радиусов окружности, длина дуги между которыми равняется радиусу окружности. Если речь идет о градусах, то радиан равен 57°17' 48''. А стерадиан, или ср, принимаемый за единицу телесного угла, представляет собой, соответственно, телесный угол, расположение вершины которого фиксируется в центре сферы, а площадь, вырезаемая данным углом на поверхности сферы, равна площади квадрата, сторона которого равна длине радиуса сферы. Другие дополнительные единицы СИ используются для формирования единиц угловой скорости, а также углового ускорения и т. д. Радиан и стерадиан используются для теоретических построений и расчетов, поскольку большая часть значимых для практики значений углов в радианах выражаются трансцендентными числами. К внесистемным единицам относятся следующие:

А. С. Якорева, Метрология, стандартизация и сертификация

Порядок выполнения задания 1. Выбрать в каждом углу снимка (зоне), не приближаясь к его краю менее 10 мм, по два базиса 1-2 и 3-4 длиной 20…30 мм (рисунок, а). Желательно, чтобы каждая пара базисов пересекалась примерно под прямым углом, а точка их пересечения была центром симметрии образовавшихся плеч. Концами базисов должны быть надежно идентифицирующиеся точки снимка и фотоплана. Эти точки одновременно аккуратно накалывают тонкой иглой (наколкой) на снимке и фотоплане. Угловые зоны обозначают римскими цифрами I…IV.

С. В. Богомазов, Фотограмметрия и дистанционное зондирование, 2011

С целью проверки высказанного предположения предъявлялись два стабилизированных относительно сетчатки стимула, одинаково удаленных от fovea и расположенных под некоторым углом по отношению друг к другу в плоскости, перпендикулярной зрительной оси (угол образован воображаемыми линиями, проведенными от центральной точки к каждому из двух стимулов). Испытуемому предлагалось наблюдать одновременно оба стимула. Если угол между равноудаленными от центра стимулами составляет 45°, то результирующий вектор должен проходить под углом 22,5° (по биссектрисе), а скорость результирующего движения должна быть в 1,84 раза больше, чем скорость любого из них в отдельности.

Борис Ломов, Психическая регуляция деятельности. Избранные труды, 2006

Линейные перемещения человека в рукопашном бою определяются изменением координат х1, у1, z1 его ЦМ (рис. 6) в неподвижной системе х1, у1, z1. Повороты тела относительно ЦМ измеряются тремя углами: ?х, ?y, ?z. Так, например, положение осей ОХ и OZ связанной системы координат ХYZ на приведенном рисунке определяется поворотом тела человека вокруг вертикальной оси ОY на угол ?y.

Алексей Алексеевич Кадочников, Один на один с врагом: русская школа рукопашного боя

Мы используем систему координат, привязанную к географии Земли, как показано на рисунке, с осью X, направленной на север. Чтобы достичь точки расположения цели, мы должны сделать возможным движение робота по курсу под углом ? относительно оси X. Элементарная тригонометрия сообщает нам, что угол, под которым мы должны двигаться, определяется из арктангенса изменений в положении «X» и «Y», то есть: ? = tan-1 (?Y/?X).

Барсуков А. П., Кто есть кто в робототехнике. Выпуск I. Компоненты и решения для создания роботов и робототехнических систем, -1

К счастью, существуют математические методы, которые позволяют обойти ряд сложностей. Пробит-анализ, к примеру, позволяет производить такие математические преобразования, в результате которых можно превратить сигмоидальную кривую в прямую линию. Как известно всем, кто изучал евклидову геометрию, кратчайшее расстояние между двумя точками – это прямая, и наоборот, любую прямую можно построить по двум точкам. Поэтому с помощью пробит-анализа можно точно оценить всю кривую зависимости реакции от дозы, имея данные всего лишь в двух точках, лежащих где-то между нулевой и 100 %-ной смертностью. Более того, если зависимость описывается линейным уравнением (y = угол наклона × x + свободный член), можно легко определить значение любой точки, подставив несколько цифр в это простое уравнение.

Колок Алан, Современные яды: Дозы, действие, последствия, 2016

Применение относительных декартовых координат особенно удобно при построении элементов чертежей, состоящих из линейных объектов, параллельных осям X и Y. Такие линии называются ортогональными. Что же касается относительных полярных координат, следует отметить, что они имеют значительно большее применение на практике, чем абсолютные, и являются удобными в тех случаях, когда известно расстояние и угол, образованный между базовым вектором и направляющей.

Бабенко М. И., AutoCAD 2010. Самоучитель, 2010

Значения координат независимо от способа ввода всегда связаны с некоторой системой координат. По умолчанию в AutoCAD используется так называемая мироваясистемакоординат, МСК – World Coordinate System (WCS). Она определена так, что ось OX направлена слева направо, ось OY – снизу вверх, ось OZ – перпендикулярно экрану, вовне. Как правило, для выполнения конкретного проекта удобнее определить пользовательскую систему координат, ПСК – User Coordinate System (UCS), которую можно сместить относительно мировой и/или повернуть под любым углом. Допускается существование нескольких пользовательских систем координат, и в любой момент возможен переход от одной к другой.

Соколова Т. Ю., AutoCAD 2009 для студента. Самоучитель, -1

Изобразить все четыре измерения на листе бумаги не представляется возможным. Поэтому если мы хотим наглядности, необходимо сделать некоторые упрощения. Каждую точку пространства в фиксированный момент времени можно определить по расстоянию от нее до начала координат, а также по двум углам, которые являются аналогами долготы и широты на глобусе и определяют направление радиус-вектора из начала координат в обсуждаемую точку. Это и есть три координаты, которые необходимы для определения пространственного положения события в пространстве-времени (рис. 2).

Ахмедов Э. Т., О рождении и смерти черных дыр, 2015

Значения координат независимо от способа ввода всегда связаны с некоторой системой координат. По умолчанию в AutoCAD используется так называемая мировая система координат, МСК – World Coordinate System (WCS). Она определена так, что ось ОХ направлена слева направо, ось OY снизу вверх, ось OZ – перпендикулярно экрану, вовне. Как правило, для выполнения конкретного проекта удобнее определить пользовательскую систему координат, ПСК – User Coordinate System (UCS), которую можно сместить относительно мировой и/или повернуть под любым углом. Допускается существование нескольких пользовательских систем координат, и в любой момент возможен переход от одной к другой.

Соколова Т. Ю., AutoCAD 2008 для студента: популярный самоучитель, 2008

При θ = 90° амплитуда A = 2,5 lg(a/b). Если θ = 0°, то колебания блеска отсутствуют. Задав определенные значения амплитуды A и угла θ, можно по формуле вычислить отношение полуосей фигуры астероида. Если световая кривая получена по наблюдениям в одной оппозиции, то угол аспекта не известен. Чтобы получать статистически правильные выводы, следует применять формулу при каком-то определенном значении угла аспекта. Если допустить, что оси вращения астероидов не имеют какого-либо преимущественного направления (направлений) в пространстве (изотропное распределение), то ожидаемое среднее значение угла аспекта, как не трудно видеть, равно 60°.

Коллектив авторов, Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра, 2010

Размеры наносят только в миллиметрах, поэтому отпадает необходимость указания единицы измерения. Размерное число проставляют всегда над горизонтальной размерной линией, а при вертикальной так, чтобы его можно было читать справа. Над линией, расположенной под углом, место для цифры определяется в зависимости от того, в какую сторону она наклонена. Перед размерным числом, обозначающим радиус дуги, пишут латинскую букву R, для обозначения диаметра используют знак кружок, перечеркнутый прямой линией.

Бондарное дело. Обработка древесного материала, 2012

Точки пересечения других кругов, сосредоточенные на четырех концах полученных таким же путем осей, позволяют определить четыре угла квадрата; следовательно, этот квадрат появляется как «квадратура» солнечного цикла, непосредственным выражением которого является окружность вокруг гномона (рис. 4)[24].

Буркхардт Титус, Сакральное искусство Востока и Запада. Принципы и методы, 1967

В психологию, очевидно, термин «баллистическая траектория саккады» попал по нескольким причинам. Во-первых, потому, что саккада неуправляема в процессе движения, во-вторых, из-за геометрической формы некоторых саккад, которые напоминают параболы. Вероятно, автор термина «баллистическая траектория саккады» применил эту метафору к движению мнимой точки взора, которая является пересечением оси взора и рассматриваемого предмета, опираясь на всем известные факты из школьного курса физики о движениях тел, брошенных под углом к горизонту. Там решением задач являются квадратичные параболы и соответствующие распределения скоростей. Для физического тела, движущегося в результате броска или выстрела, словом, получившего начальную скорость и описывающего баллистическую траекторию, скорость на пассивном участке траектории постепенно падает до нуля в верхней точке, находящейся в середине пути, а затем в идеале нарастает до скорости, с которой тело было брошено. В конце траектории физическое тело имеет максимум скорости. Таким образом, будучи производной от пути, скорость линейно падает до нуля и затем линейно растет до своего максимума.

Коллектив авторов, Айтрекинг в психологической науке и практике, 2015

Расчет радиуса кривизны внутренней поверхности основания пирамиды R3, производится по методике, изложенной применительно к граням. В качестве исходных данных при определении дуги окружности радиуса R3, выступают хорда, равная стороне основания ас = L = 2 ? К ? ?0,5, и касательные к выпуклой внутренней поверхности граней, проходящие под углом 51,8272923° – 45°= = 6,8272923° к горизонтали ас (рис. 5).

Трещалин М. Ю., Энергетическая концепция жизни. Часть IV. Особенности пирамидальных конструкций. Энергоинформационные кристаллы. Пирамиды и христианство, 2016

Легко понять, что чем центробежная сила больше, тем под бóльшим углом должна быть наклонена платформа, чтобы находящийся на ней человек не упал, – и наоборот. Центробежная же сила, как известно, возрастает с удалением от оси. Если вращающейся платформе придать такую кривизну, чтобы при определенной скорости угол наклона ее поверхности в каждой точке соответствовал направлению равнодействующей, то помещенный на ней человек будет чувствовать себя во всех ее точках, как на горизонтальной плоскости. Математическим вычислением найдено, что такая кривая поверхность есть внутренняя поверхность особого геометрического тела – параболоида. Эту поверхность можно получить, если быстро вращать вокруг своей оси стакан, до половины налитый водою: тогда вода у краев поднимется, а в центре опустится, и поверхность ее примет форму параболоида.

Перельман Я. И., Занимательная физика. Книга 2, 1916

Будем изображать звезды точками на диаграмме Герцшпрунга – Рассела, где по оси абсцисс отложены спектральные классы (или соответствующие им показатели цвета), а по оси ординат – абсолютные величины, являющиеся мерой светимости соответствующих звезд (рис. 1). Из рисунка видно, что звезды лежат на этой диаграмме не беспорядочно, а образуют явно выраженные последовательности. Большинство звезд находится в пределах сравнительно узкой полосы, идущей от левого верхнего угла диаграммы к правому нижнему. Это так называемая главная последовательность звезд. В верхнем правом углу группируются звезды в виде довольно беспорядочной кучи. Их спектральные классы – G, К и М, а абсолютные величины находятся в пределах (+2) + (—6). Они называются красными гигантами, хотя среди них есть и желтые звезды. Наконец, в нижней левой части диаграммы мы видим небольшое количество звезд. Их абсолютные величины слабее +10, а спектральные классы лежат в пределах от В до F. Следовательно, это очень горячие звезды с низкой светимостью. Но низкая светимость при высокой поверхностной температуре может быть, очевидно, только тогда, когда радиусы звезд достаточно малы. Таким образом, в этой части диаграммы «спектр – светимость» находятся очень маленькие горячие звезды. Такие звезды называются белыми карликами. Именно о них речь шла в начале этой главы.

Шкловский И. С., Вселенная, жизнь, разум, 2006

Таким образом, в плоскости Евклида всегда есть одна прямая, параллельная исходной, в плоскости Лобачевского – две, а в плоскости Римана их нет вообще. Интересна также ситуация с углами. Если у Лобачевского сумма углов треугольника меньше суммы двух прямых, у Евклида – равна сумме двух прямых, то у Римана – больше суммы двух прямых. По этим показателям геометрия Евклида оказалась промежуточной между геометрией Лобачевского и Римана.

Тихоплав В. Ю., Научно-эзотерические основы мироздания. Жить, чтобы знать. Книга 2, -1

Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно. При движении размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются. Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, равной первой производной от угла поворота радиус-вектора по времени:

Подколзина В. А., Медицинская физика, -1

2. Разделите каждый луч угла на равное количество отрезков. Количество точек и расстояние между ними зависят от толщины нити и замысла картины. Обратите внимание, что стороны угла могут быть одинаковыми или разными по длине. Однако в любом случае число отрезков одной стороны должно быть равным числу отрезков другой стороны.

Ивановская Т. В., Волшебная изонить, 2012

По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в её практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них – такие как, скажем, использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла – также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Кому, чьей сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство её стен, – этот вопрос мы оставляем читателю для размышления.) В Древнем Египте, чтобы получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Верёвку делили на 12 равных частей, точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы верёвки связывали. Затем за верёвку брались три человека, удерживая её в трёх точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее верёвку натягивали до предела – так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямоугольным, причём тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника.

Успенский В. А., Математическое и гуманитарное. Преодоление барьера, 2011

При создании регионов с помощью любой из указанных выше функций координаты точек задаются в системе координат того окна, в котором предполагается использовать регион. Так, если у вас есть кнопка размером 40 х 30 пикселов, левый верхний угол которой расположен на форме в точке (100; 100), то для того, чтобы создать для кнопки прямоугольный регион 20 х 15 пикселов с левой верхней точкой (0;0) относительно начала координат кнопки, следует вызвать функцию CreateRectRgn с параметрами (0, 0, 19, 14), а не (100, 100, 119, 114).

Чиртик А. А., Программирование в Delphi. Трюки и эффекты, 2010

Две координаты, описывающие в наши дни положение на поверхности Земли, называются «широта» и «долгота». Представить их можно так: поместим в наш умозрительный ящик с инструментами три точки, две линии и шар. Берем шар и представляем его плавающим в пространстве. Он, понятно, символизирует Землю. Затем разместим на нем три точки в следующем порядке: одну – на Северном полюсе, одну – в центре, а третью – в любом месте на поверхности. Первой линией из нашего набора соединим Северный полюс и центр Земли. Это ось вращения планеты. Второй линией соединим центральную точку и точку на поверхности. Она окажется под некоторым углом к оси Земли. Этот угол, независимо от способа обозначения, определяет вашу широту.

Млодинов Леонард, Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, 2001

Меридианы изображают на глобусах и картах. В каждой точке поверхности Земли меридиан направлен на север и на юг. Все меридианы имеют одинаковую длину и форму полуокружностей. Вид градусной сетки на карте определяется ее картографической проекцией (способом отображения земной поверхности на плоскости); линии параллелей и меридианов могут быть прямыми, дугами, окружностями и на разных участках пересекаться под разными углами. От вида картографической проекции зависит характер искажений длин, углов, форм, площадей.

Арутюнян Г. С., Контрольные работы по географии. 6 класс, 2009

2. Точки М и N являются точками пересечения вспомогательной окружности с заданной – искомые точки касания. Точку А соединяют прямыми с точками М или N (рисунок 20б). Прямая AM будет перпендикулярна прямой ОМ, так как угол АМО опирается на диаметр.

Васильева М. А., Инженерная графика, 2006

Чтобы рассчитать величину силы, нужно сложить все вектора всех сил, которые развиваются в этом направлении, и вычесть те, которые смотрят в противоположную сторону. Тот вектор, который останется в результате всех этих сложений-вычитаний и будет называться результирующим, в данном случае, результирующей силой. Если боец наносит прямой вперед, да еще вкладывает в удар всю свою массу, то результирующая сила будет примерно максимальной. Если же боец, нанося прямой вперед, делает при этом шаг назад, то векторы, по которым вычисляется результирующая, смотрят в противоположных направлениях, а значит, их надо вычитать. Складывая эти векторы, мы уменьшаем длину вектора, направленного вперед, на длину вектора, направленного назад, поэтому результирующая сила будет много меньше той, что была в первом примере. На языке схватки это значит, что удар выйдет совсем не таким мощным, как того хотелось бы. Когда два вектора или большее их количество направлены по-разному, то результирующая сила расщепляется по этим разным направлениям, поскольку образующие ее векторные составляющие не выстроены вдоль направления результирующей. Поэтому максимальной силы мы не получим. А вот если посылать тело вперед, но под углом к направлению удара, это придаст удару больше силы, и чем ближе эти направления, тем больше силы добавится к удару.

Махов С. Ю., Штурмовой бой ГРОМ. Метод сокрушительных ударов, 2014

Испытание показывает, однако, что прием этот крайне неточен, греша на десятки градусов. Чтобы понять, почему так происходит, надо разобраться в рекомендуемом способе. Основная причина неточности та, что циферблат располагается параллельно плоскости горизонта, суточный же путь Солнца лежит в горизонтальной плоскости только на полюсе, на всех же других широтах он составляет с горизонтом разные углы – вплоть до прямого (на экваторе). Поэтому при ориентировании по карманным часам неизбежна большая или меньшая погрешность.

Перельман Я. И., Занимательная астрономия, -1

Испытание показывает, однако, что прием этот крайне неточен, греша на десятки градусов. Чтобы понять, почему так происходит, надо разобраться в рекомендуемом способе. Основная причина неточности та, что циферблат располагается параллельно плоскости горизонта, суточный же путь Солнца лежит в горизонтальной плоскости только на полюсе, на всех же других широтах он составляет с горизонтом разные углы – вплоть до прямого (на экваторе). Поэтому при ориентировании по карманным часам неизбежна бо́льшая или меньшая погрешность.

Перельман Я. И., Занимательные науки, 2017

Следующая группа средств визуализации позволяет отобразить сразу два котиковых свойства. Например, размер и мохнатость. Как и в случае со столбиковыми диаграммами, первым шагом рисуются оси. Только теперь каждая из осей отображает отдельное свойство. А после этого каждый котик занимает на этом графике свое место в зависимости от степени выраженности этих свойств. Так, большие и мохнатые котики занимают место ближе к правому верхнему углу, а маленькие и лысые – в левом нижнем.

Савельев Владимир, Статистика и котики, 2017

Точно разметить углы фундамента под 90° поможет так называемый «египетский треугольник» с соотношением сторон 3:4:5, который строится с помощью натянутых веревок или сбивается из досок. А для определения одинаковых вертикальных отметок по углам здания при отсутствии геодезических инструментов можно использовать поливочный шланг, заполнив его подкрашенной водой и вставив на концах стеклянные трубки, – совпадение уровней жидкости в трубках и даст искомую горизонталь.

Мельников И. В., Строительство фундамента для дачи, 2012

Пространственное положение любой другой эллиптической орбиты вокруг Солнца можно охарактеризовать тремя дополнительными числами; все три – угловые величины. Одна из этих величин представляет собой наклон орбитальной плоскости к плоскости эклиптики. Вторая величина, по существу, дает направление большой оси орбиты в этой плоскости. Третья дает направление прямой, по которой пересекаются эти две плоскости. Наконец, нам нужно знать, где именно на орбите в данный момент располагается планета, для чего потребуется еще один угол. Таким образом, для того, чтобы определить орбиту планеты и ее положение на этой орбите, нам требуется два числа и четыре угла – шесть орбитальных элементов. Главной целью ранней астрономии было вычислить орбитальные элементы каждой планеты и каждого астероида, которые удалось обнаружить. Имея эти числа, можно предсказывать будущее положение объекта, по крайней мере до тех пор, пока совместное воздействие других тел не приведет к существенному возмущению орбиты.

Стюарт Иэн, Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную, 2016

● Угол правки должен быть противоположным углу, образованному в результате деформации. Чтобы соблюсти это условие, располагать цепи следует перпендикулярно к поврежденной зоне.

Мельников И. В., Ремонт автомобиля своими руками, 2012

2. Топографические карты, схемы, рисунки информируют о месте расположения точки по определенным линиям, меридианам, каналам. Так, на спине таких линий – 3, на грудной клетке спереди – 4, а пересечение вертикальных линий с поперечными на уровне позвонка, ребра или углов лопаток, их остей и по другим ориентирам дает возможность сравнительно легко локализовать искомую точку. Например, на уровне D2–3 по 1-й линии располагается симметричная точка фэн-мэнь, а по 2-й линии на данном уровне (D2–3) – фу-фэнь на спине или D4–5 / 2 – D4–5 / 1 цзюе-инь-шу – гао-хуан.

Васичкин В. И., Лечебные точки организма: нормализуем давление и облегчаем невралгию, 2015

2. Топографические карты, схемы, рисунки информируют о месте расположения точки по определенным линиям, меридианам, каналам. Так, на спине таких линий – 3, на грудной клетке спереди – 4, а пересечение вертикальных линий с поперечными на уровне позвонка, ребра или углов лопаток, их остей и по другим ориентирам дает возможность сравнительно легко локализовать искомую точку. Например, на уровне D2–3 по 1-й линии располагается симметричная точка фэн-мэнь, а по 2-й линии на данном уровне (D2–3) – фу-фэнь на спине или D4–5/ 2 – D4–5/1 цзюе-инь-шу – гао-хуан.

Васичкин В. И., Лечебные точки организма: снимаем боли в сердце и в области живота, 2015