Математическая модель

Математи́ческая моде́ль — математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки эмпирических законов, гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект или процесс, построенный на этапе содержательного моделирования. Математическая модель позволяет предсказать поведение реального объекта.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Главным признаком кибернетичности системы служит наличие у неё не менее одной структурной обратной связи, в контуре которой должен находиться хотя бы один динамический элемент (интегрирования или дифференцирования). У реальных экономических систем (но не искусственных математических моделей, применяемых в традиционных экономических описаниях) всегда наличествует множество динамических элементов (накопителей-интеграторов ресурсов, и/или дифференцирующих элементов, отражающих скорости и ускорения изменений параметров), и большое количество различных (положительных и отрицательных) структурных обратных связей (О.С.). Необходимо заметить, что корректность прогнозирования экономической динамики существенно возрастает, когда количество О.С. того же порядка, что и число моделируемых переменных, которых иногда несколько сотен тысяч. Кроме того, помимо структурных О.С. в кибернетических системах часто присутствуют обратные связи из будущей динамики, т. е. О.С. по временно́му континууму из будущего (см. ниже 4.В).

А. А. Кугаенко, Прогнозы экономических кризисов и возможности их ослабления, 2013

Для предприятий характерно внутреннее структурирование. Такое структурирование трудно не учитывать при построении модели. В этом случае приходится иметь дело не с «черным ящиком», а с системой, содержащей несколько взаимодействующих между собой блоков. Если входы и выходы всех блоков известны и могут быть измерены, то применительно к каждому блоку может быть поставлена задача поиска функциональной модели. Модель системы представляется системой уравнений, описывающих функциональные преобразования координат в блоках. И здесь при решении вопроса поиска структур и параметров математических моделей блоков может быть поставлена в математической корректной форме. Совсем другое положение создается, когда система распадается на структурные подсистемы, а с другой входы и выходы всех подсистем (блоков) не поддаются контролю и не могут быть измерены. Здесь важно, чтобы математическая модель давала возможность изучить не поддающиеся контролю структурные блоки системы. Тогда для описания работы каждого блока можно применить минимальное математическое описание. Такой путь позволяет получить систему уравнений, описывающих работу блоков моделируемой системы.

Л. Х. Мухсинова, Исследование систем управления, 2013

Что же касается физики и техники, то механизмы, обеспечивающие самонастройку системы, уже в течение многих лет являются объектом исследований специалистов по проблемам управления. Сегодня наука обладает достаточно развитой математической теорией систем, способных к адаптации. Поэтому, если мы в состоянии построить математическую модель системы и механизма ее самонастройки и располагаем достаточно полной информацией о свойствах окружающей среды, то, используя указанную теорию, мы сможем не только предсказать тенденции, как это делают селекционеры, но и дать с определенной точностью количественную характеристику развивающихся событий. Простейшие модели подобных механизмов широко используются в технике, биотехнологиях, при изучении динамики популяций и т. д. Зная достаточно хорошо внешние?условия и их прогноз, а также те объективные законы, которые управляют развитием системы, мы можем быть уверены, что с помощью механизмов адаптационного типа развивающаяся система не обретет никаких новых, неожиданных свойств. Механизмы подобного рода позволяют параметрам системы изменяться лишь в достаточно ограниченных пределах. И эти пределы во многих случаях можно определить заранее.

Н. Н. Моисеев, Алгоритмы развития, 1987

Примерами количественных моделей могут служить: математические модели, которые могут быть описаны системами уравнений. Решение уравнений может быть в простейшем случае найдено в аналитической форме, в более сложных случаях применяются различные численные методы. Достаточно часто применяются электронные таблицы, с помощью которых могут быть проведены исследования типа «что – если». В зависимости от используемых средств эти модели могут быть исполняемыми или чисто описательными.

Е. И. Всяких, Практика и проблематика моделирования бизнес-процессов

В частности, для математической постановки задачи анализа риска исходная информация может быть представлена в виде нагруженной причинно-следственной сети (ПСС), отражающей результаты качественного анализа ситуации с учетом компонентов риска. Под причинно-следственной сетью понимается ориентированный граф, каждый узел которого обозначает событие или совокупность событий (факторов риска), приводящих к нежелательным последствиям, а дуги соединяют причины с каждым из возможных непосредственных нежелательных последствий. Таким образом, ПСС формализует качественные результаты анализа риска данного объекта, фиксируя перечни факторов риска и вариантов нежелательного развития событий в случае реализации одного или нескольких факторов риска. Неопределенность и неоднозначность развития событий отображаются в ПСС тем, что из каждого узла ПСС выходит в общем случае не одна дуга. Возможны ситуации, для которых известна информация о степени возможности реализации того или иного исхода. Это соответствует наличию информации для каждой дуги, исходящей из данного узла, о степени возможности перехода по ней. В таком случае можно перейти к нагруженным ПСС. Способ нагружения ПСС это способ описания неопределенности перехода, который фактически и определяет класс математической модели анализа риска (Аркин, Смоляк, 1984).

Роман Качалов, Управление экономическим риском. Теоретические основы и приложения, 2012

Иногда понятие модели излишне сужается, например, считаются единственно научными только аксиоматические модели или только математические модели. Это неправомерно. Всякое достаточно правильное, то есть отвечающее определенным требованиям адекватности моделируемому объекту (изоморфности этому объекту) и при этом эвристически значимое (дающее нам новую информацию об этом объекте) описание объекта есть его логическая модель и подчиняется общим закономерностям моделирования.

Леонтьев А. А., Основы психолингвистики, 1997

Очень часто статистическое исследование опирается на разработанную математическую модель явления. Такая модель теоретически отображает количественные соотношения изучаемого явления. При ее наличии задача статистики состоит в численном определении параметров, входящих в модели.

Коник Н. В., Общая теория статистики: конспект лекции, -1

Что касается методов, характерных для теоретического исследования, выделим следующие. Формализация – это построение абстрактно – математических моделей, когда рассуждения о предмете переносятся в плоскость оперирования со знаками (формами), тогда производится вывод новых форм по правилам логики и математики. При аксиоматическом методе производится логический вывод на основе каких-либо заранее принятых без доказательства аксиом. Так была построена вся геометрия Евклида и даже «Этика» Спинозы. В развитой науке аксиомы предлагаются как некоторая предполагаемая к исследованию система отношений, отвлеченных от их носителя и исследуемых аппаратом математической логики. Возможности этих методов также не безграничны (как это казалось до середины 30-х годов, когда была открыта знаменитая теорема Геделя). В науках, так или иначе имеющих эмпирическую основу, более эффективным является гипотетико-дедуктивный метод. Сущность его – в создании системы связанных между собой гипотез, из которой дедуктивным образом выводятся эмпирически проверяемые (и тем самым свидетельствующие об истинности общей теории) следствия. Этим путем шло развитие и подтверждение теории относительности, а анализ определенных следствий из нее задал целые направления современной науки.

Торосян В. Г., Концепции современного естествознания, -1

В последние годы все большее внимание в теории самоорганизации сложных систем привлекают проблемы самовоспроизведения без изменения организации системы. Такое явление получило название аутопоэза. И, по-видимому, только М. Эйгену удалось построить удовлетворительную математическую модель аутопоэтической системы, отражающую реальный процесс биологических макромолекул (см.: Эй ген М. Эволюция макромолекул. М, 1974).

Моисеев Н. Н., Человек и ноосфера, 1990

Возникновение универсальной степенной закономерности распределения численности паралогичных семейств может быть описано с высокой точностью простой математической моделью эволюционного процесса (рис. 4–8). Эта модель основана на математической теории так называемых процессов рождения и смерти (один из видов марковских процессов) и для случая эволюции путем генной дупликации чаще называется моделью рождения, смерти и инновации (Karev et al., 2002). В рамках этой модели рождение – это такая генная дупликация, при которой появляется новый член паралогичного семейства, смерть – утрата гена, а инновация – это рождение нового семейства либо путем такой дупликации, которая вызывает быструю эволюции и тем самым как бы стирает «память» старого семейства, либо путем горизонтального переноса генов[40]. Наиболее интересный результат этого моделирования состоит в том, что эта модель эволюции путем генной дупликации воспроизводит рассмотренные нами распределения численности семейств паралогичных генов только при соблюдении вполне определенных условий: частоты рождения и смерти гена должны быть примерно равными и зависеть от численности семейства таким образом, чтобы большие семейства оказывались более динамичными, чем маленькие.

Кунин Е. В., Логика случая. О природе и происхождении биологической эволюции, 2012

Математическая модель – система выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и связи между ними. Процесс моделирования состоит в построении моделей, которые помогают изучить свойства логистических процессов и объектов.

Загородников С. В., Логистика. Шпаргалка, -1

Как показало исследование, первоначально проблема устойчивости стала предметом исследования экономистов накануне кризиса 1929 г. Существенный вклад в разработку этой проблемы был сделан нашим соотечественником, последовательным «рыночником», экономистом-математиком В.В. Новожиловым, изучавшим в те годы противоречие между принципом стабильности цен и изменением темпов экономического роста [158]. По сути, им были заложены основы теории устойчивого развития экономики, сочетавшей рыночные механизмы с элементами централизованного планирования и управления. При этом В.В. Новожилов, как и В.В. Леонтьев, рассматривал экономику как эмпирическую науку, а ее математизацию как естественный путь обобщения и анализа закономерностей в пределах адекватности математических моделей.

Ускова Т. В., Управление устойчивым развитием региона, 2009

Применяемые в региональных исследованиях математические модели можно разделить на типы:

Зорин А. С., Регионоведение. Шпаргалка, 2009

Наука располагает доказательной базой в виде законов классической и квантовой теории при объяснении и описании разных явлений и процессов. Это и понятно, ведь она изучает материальный мир, доступный нашим ощущениям и нашим инструментальным возможностям. А наши ощущения (органы чувств человека) весьма ограничены. А все каноны религии опираются на духовный феномен – веру в Бога. Его нельзя объяснить, описать и заключить в рамки физической и математической модели, нельзя создать теорию. Невозможно для этой цели использовать те методы и средства, которые использует наука для изучения материального мира. Доказательная база религии о существовании Бога и его участии в управлении всеми процессами в материальном мире совершенно иная. Она заключается в регистрации так называемых чудесных явлений, связанных с природными процессами и людьми. И подобно результатам научных исследований, человечество использует эти чудесные явления, которые происходят по воле Бога в ответ на обращение к Нему (молитвы) людей.

Белов Г. В., Изменит ли Россию альтернативная наука, 2016

2. Разработаны соответствующие математические модели (распознавание образа, теория размытых множеств, таксономия, латентно-структурный анализ и др.) для решения проблемы типологии индивидуальных различий.

Русалов В. М., Темперамент в структуре индивидуальности человека. Дифференциально-психофизиологические и психологические исследования, 2012

Математическое – установление соответствия некоторому реальному объекту математического объекта, т. е. математической модели. Делится на аналитический, который позволяет получать точные результаты, и осуществляется по этапам:

Анисимов В. П., Логистика. Ответы на экзаменационные билеты, 2009

Математическим моделированием называется процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. В логистике широко применяются два вида математического моделирования – аналитическое и имитационное.

Марусева И. В., Логистика. Краткий курс, 2008

В рамках школы академика А.А. Самарского и члена-корреспондента РАН С.П. Курдюмова разработана теория самоорганизации на базе математических моделей и вычислительного эксперимента (включая теорию развития в режиме с обострением).

Иванов В. Н., История и философия науки. Материалы к курсу лекций, 2016

2. Математические – линейное програм–мирование, сетевые графики, математические модели, корреляционно-регрессионный анализ.

Загородников С. В., Финансовый менеджмент. Шпаргалка, -1