Связанные понятия
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Логика первого порядка , называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Алгоритмическая разрешимость — свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».
Алгебра Клини — в теоретической информатике, специальная алгебраическая структура, введённая американским математиком Стивеном Клини, являющаяся обобщением алгебры регулярных выражений.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.
Незави́симость систе́мы аксио́м ― свойство системы аксиом данной аксиоматической теории, состоящее в том, что каждая аксиома является независимой, то есть не является логическим следствием из множества остальных аксиом этой теории. Система аксиом, обладающая этим свойством, называется независимой.
Аксиома Вольфрама является результатом исследований, осуществлённых Стивеном Вольфрамом при поиске кратчайшей аксиомы из одного уравнения, эквивалентной аксиомам булевой алгебры (или логике высказываний). Результатом его поиска стала аксиома с шестью логическими операциями «НЕ-И» (так же известными как штрих Шеффера) и двумя переменными, которая эквивалентна булевой алгебре...
Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
Основания геометрии — область математики, изучающая аксиоматические системы евклидовой геометрии, а также различных неевклидовых геометрий.
Элемента́рная а́лгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.
Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей...
Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу, и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.
А́лгебра (от араб. الْجَبْر, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Теория чисел , или высшая арифметика, — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости...
Ба́зис Грёбнера — множество, которое порождает идеал заданного кольца многочленов, обладающее специальными свойствами.
Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.
Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) — в математике, а также физике и прикладных науках, символическая запись высказывания (которое выражает логическое суждение), либо формы высказывания. Формула, наряду с термами, является разновидностью выражения формализованного языка.
Комбинато́рика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).
Трои́чная ло́гика (трёхзначная логика или тернарная логика) — один из видов многозначной логики, предложенный Яном Лукасевичем в 1920 году. Трёхзначная логика — исторически первая многозначная логика. Она является простейшим расширением двузначной логики.
Алгоритм Риша — алгоритм для аналитического вычисления неопределённых интегралов, использующий методы дифференциальной алгебры. Он базируется на типе интегрируемой функции и на методах интегрирования рациональных функций, корней, логарифмов, и экспоненциальных функций.
Тео́рия поле́й — раздел математики, занимающийся изучением свойств полей, то есть структур, обобщающих свойства сложения, вычитания, умножения и деления чисел.
Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.
Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική (árithmitikí) — от ἀριθμός (árithmós) «число») — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая...
Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.
Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики — «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов».
Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Теория представлений — раздел математики, изучающий абстрактные алгебраические структуры с помощью представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств. В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами, а операции сложения и умножения этих объектов — сложением и умножением матриц. Среди объектов, поддающихся такому описанию, находятся группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной (и, исторически...
Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Задача выполнимости формул в теориях (англ. satisfiability modulo theories, SMT) — это задача разрешимости для логических формул с учётом лежащих в их основе теорий. Примерами таких теорий для SMT-формул являются: теории целых и вещественных чисел, теории списков, массивов, битовых векторов и т. п.
Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году.
Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу...
В математике
инвариант Казимира , или оператор Казимира, — примечательный элемент центра универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли. Назван по имени голландского физика Хендрика Казимира. Примером является квадрат оператора момента импульса, который является инвариантом Казимира трёхмерной группы вращений. Операторы Казимира группы Пуанкаре имеют глубокий физический смысл, так как с их помощью определяются понятия массы и спина элементарных частиц.
Теория вычислимости , также известная как теория рекурсивных функций, — это раздел современной математики, лежащий на стыке математической логики, теории алгоритмов и информатики, возникшей в результате изучения понятий вычислимости и невычислимости. Изначально теория была посвящена вычислимым и невычислимым функциям и сравнению различных моделей вычислений. Сейчас поле исследования теории вычислимости расширилось — появляются новые определения понятия вычислимости и идёт слияние с математической...
Программа Гильберта в математике была сформулирована немецким математиком Давидом Гильбертом в начале 20-го века. Гильберт предположил, что согласованность более сложных систем, таких как реальный анализ, может быть доказана в терминах более простых систем. В конечном счете, непротиворечивость всей математики может быть сведена к простой арифметике.
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций...
Логика высказываний , или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими алгебраическими конструкциями, как группы, кольца, модули, решётки, вводя присущие им всем понятия и общие для всех них утверждения и результаты. Является разделом, занимающим промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных...