Геометрия

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Что же это за новая геометрическая метафизика? Речь идет о введении неких новых постулатов в геометрию, необходимых для конструкций дифференциального исчисления. Так, в одном из первых учебников дифференциального исчисления маркиза Г. Ф. Лопиталя, ученика и соратника Лейбница, в деле развития этого нового учения мы читаем: вводится «…требование или допущение: требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий, или же (что то же самое) как многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон…»[32]. То, что многоугольник, вписанный, например, в окружность, при бесконечном увеличении (удвоении) его сторон будет стремиться к окружности, это, конечно, античные математики знали и даже использовали в своих вычислениях. Однако никто не считал на основании этого, что окружность есть бесконечный многоугольник с бесконечно малыми сторонами!.. Более того, острое чувство качественного отличия окружности от любого многоугольника, кривой от прямой, за которым стоял глубоко осознанный опыт онтологических рангов реальности, приводил к тому, что это соотношение вписанного многоугольника и описанной окружности нередко понимали как символ соотношения рассудочного знания и реальности: кажущаяся близость, но принципиальное внутреннее отличие…

В. Н. Катасонов, О границах науки, 2017

Таким образом, общим для всех фракталов является наличие рекурсивной процедуры их генерации и (бес)конечной цепочки автопоэзиса (самопостроения)[29]. В строгом математическом понимании фрактал бесконечен, поэтому фрактальная структура n-ного порядка называется предфракталом. При этом с помощью относительно несложных математических формул «можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии»[30]. Математические фракталы бесконечны, как и культурные фракталы, относящиеся к культурогенезу и культурной трансмиссии, однако фрактальные артефакты культуры (например, здания, матрешки или образы на рекламных объявлениях) имеют ограниченную «глубину» фрактальности, иногда не более двух итерационных уровней.

Е. В. Николаева, Фракталы городской культуры, 2014

Возможность подобной образно-географической интерпретации теории фракталов в приложении к явлениям живой и неживой природы основана на так называемом условном космографическом принципе, в котором утверждается, что перемещение начала координат какого-либо процесса ведет к его возобновлению на независимых началах, «все промежуточные остановки обладают абсолютно равными правами на звание Центра Мироздания»[158]. Именно соблюдение условного космографического принципа позволяет ввести при изучении фрактальной геометрии природы понятие броуновского (т. е. вероятностного) рельефа, и успешно моделировать настоящий земной рельеф, картографические очертания древних и современных островов и континентов, а также создавать модели идеальных ландшафтов[159]. Суть дела в том, что увеличение размерности в таком фрактальном моделировании приводит не только к увеличению сложности рисунка, но и к появлению необратимых изменений в общей, фиксируемой научными измерениями и наблюдениями конфигурации моделируемого физико-географического объекта. Следовательно, можно вполне весомо говорить о том, что классическая физическая география и картография имеют мощные социокультурные корни, ими, однако, не вполне осознаваемые. Образы географического пространства, разрабатывавшиеся в этих науках в течение тысячелетий, основаны на специфических правилах измерений и особой размерности. Переход к неэвклидовым геометриям и сферическим поверхностям в рамках теории фракталов показал относительность этих традиционных образов. В то же время стало ясно, что эти традиционные образы географического пространства занимают свое определенное место в фактически бесконечном пространстве представлений географического пространства – в рамках уже провозглашенного условного космографического принципа.

Дмитрий Замятин, Культура и пространство. Моделирование географических образов, 2006

При этом, как следует из совокупности экспериментальных данных, такое расстояние в пространстве – времени следует вычислять по формуле ?s2=c2?t2 −?r2. Отличие в знаке существенным образом сказывается на аналитических вычислениях и свойствах геометрии пространства – времени. Учитывая это, последующее геометрическое моделирование вполне адекватно описывает физику черных дыр. ?

Эмиль Ахмедов, О рождении и смерти черных дыр, 2015

Утверждение освобождения от эмпирического происхождения неверно. Неевклидовы геометрии используют те же геометрические образы (точки, линии, поверхности и пр.), что и евклидова геометрия. Но все абстрактные образы евклидовой геометрии имеют чувственные прообразы. Прообразами точек являются реальные предметы, размеры которых пренебрежимо малы сравнительно с расстоянием между наблюдаемыми предметами (например, видимые невооруженным глазом объекты звездного неба). Прообразом прямой линии может быть натянутая нить.

Л. С. Якунин, Философские вопросы науковедения, 2017

Мы занимаем эту позицию по двум причинам. Первая – та, что, поскольку в случае классической и квантовой механики их теоретические контексты разные, это порождает различия интенсионалов их соответствующих теоретических и операциональных понятий. С этой точки зрения положение не слишком отличается от случая евклидовой и неевклидовой геометрии, где мы все время должны иметь в виду, что это не об одном и том же пространстве мы говорим, что в нем только одна, или более одной, или ни одна параллельная линия не может пройти через данную точку, поскольку аксиоматические контексты, определяющие пространство, в этих трех случаях разные. Именно поэтому, между прочим, в данном случае нет никакого нарушения ни принципа непротиворечия, ни исключенного третьего (т. е. нет конфликта теорий), поскольку оба эти принципа предполагают постоянство значений. В дополнение к этому мы можем сказать, что в случае сравнения классической и квантовой механики нам не помогут и операциональные понятия, поскольку операции измерения в квантовой механике не те же самые, что в классической механике. Поэтому можно сказать, что эти две дисциплины ссылаются на разные «объекты» и потому несравнимы с точки зрения их взаимного превосходства, поскольку у них разные области применения. Тот факт, что у них есть некоторые общие термины, является следствием того, что некоторые интенсиональные компоненты остаются более или менее неизменными в понятиях, выражаемых этими терминами; но эти компоненты относятся друг к другу по-разному и к тому же связаны в этих двух теориях с разными компонентами[153]. Поэтому мы должны говорить, что квантовую механику следует принять не «над» классической механикой, но рядом с ней.

Агацци Эвандро, Научная объективность и ее контексты, 2014

Условием существования такой идеальной плоскости является пятый постулат. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Условия никогда не доказываются!!! Лобачевский и другие изменили условие, взяли вместо идеальной плоскости другую поверхность и создали другую геометрию. Слава им! Но при чем здесь геометрия пространства, в котором мы живем? Насколько я знаю, все траектории для космических аппаратов рассчитываются в представлении, что пространство трехмерно и никакое иное.

Каравдин П. А., В дебрях науки, или Почему в России нет инноваций, 2013

Основоположником конвенционализма является французский математик А.Пуанкаре (1854-1912), разработавший его теоретические принципы и развивший его применительно к математике и физике. Аксиоматизация ряда математических дисциплин, развитие неевклидовых геометрий, показавших, что одному и тому же пространству могут соответствовать различные, но эквивалентные друг другу геометрии, привели его к выводу, будто геометрия не имеет опытного происхождения и ничего не говорит о реальном мире.

Полякова Яна С., Общие проблемы философии науки, 2011

…В этот момент нарушается математически корректное описание геометрии пространства – времени. Такое свойство характерно для большинства физически приемлемых решений уравнения Эйнштейна. Существование таких сингулярностей наводит на мысль о некоторой неадекватности общей теории относительности. Очень может быть, что некая будущая теория окажется свободной от такого «греха».

Фейгин О. О., Взрыв мироздания, 2016

Хотя в этом последнем названии прямо не указаны представленные компоненты, они легко определяются из явного указания темы школьного курса, которая изучается в 7–9 классах на уроках планиметрии. Из понятия «систематический курс» непосредственно следует, что данное исследование относится к основным урокам геометрии.

Смирнова И. М., Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и педагогическом вузе, 2017

Описание процесса изменения состояний – это и есть, с точки зрения математика или физика, описание процесса эволюции или развития изучаемого объекта. И в таком контексте понятие организации кажется, вообще говоря, ненужным – без него вроде бы можно и обойтись. Однако в процессе исследования того или иного объекта мы, как правило, обнаруживаем, что характерные времена изменения некоторых переменных его состояния значительно больше соответствующих времен других переменных. Вот эти первые переменные состояния мы и условимся относить к элементам организации. Другими словами, организация изучаемого объекта (системы) – это совокупность консервативных, медленно изменяющихся (в частном случае – постоянных, неизменных) характеристик объекта. У кристаллов это их геометрия – взаимное расположение вершин, ребер, граней. В турбулентном потоке – это средние характеристики давления, пульсации скоростей и т. д. С этих же позиций можно изучать и организацию живого мира, и общественные структуры, определяя каждый раз те характеристики эволюционного процесса, которые мы будем относить к организации. Например, в теории динамических систем под организацией естественно понимать топологию ее фазовых траекторий, структуру аттракторов и т. д. В процессе исследования мы следим за изменением организации системы, изучаем условия ее коренной перестройки. С помощью такого языка часто оказывается возможным описать более наглядно те или иные свойства механизмов бифуркационного типа, поскольку именно в точках катастрофы и происходит резкое изменение организации.

Моисеев Н. Н., Алгоритмы развития, 1987

Каждый из нас хорошо помнит, что такое аксиомы геометрии. Это не требующие доказательств очевидные истины, взятые из жизненного опыта. На основе аксиом доказываются теоремы, а с помощью теорем решаются различные практические задачи геометрии.

Нагаев Вадим, Неизвестные аспекты бодибилдинга, 2015

Начинания Г. Галилея в той или иной мере (применительно к требованиям и социальным традициям соответствующего времени) продолжили и развили Блез Паскаль (1623–1662; вывел основной закон гидростатики, стоял у истоков математического анализа, теории вероятностей), Исаак Ньютон (1642–1727; автор закона всемирного тяготения, трех законов механики, работал в области интегрального и дифференциального исчисления); М. В. Ломоносов (1711–1765; известен своей молекулярно-кинетической теорией, одним из начал термодинамики); Карл Линней (1707–1778; автор системы классификации растительного и животного мира); Леонард Эйлер (1707–1783; автор многих работ по дифференциальной геометрии, математическому анализу, оптике, баллистике) и многие другие.

Михалкин Н. В., История и философия науки. Учебное пособие для аспирантов юридических специальностей, 2013

Физикально-абсолютная парадигма мышления, когда пространство и время мыслятся как самостоятельные и даже обособленные друг от друга реальности окружающего мира. Эти реальности представляются (осмысливаются) человеком как своеобразные абсолютные вместилища, в которых (а) находятся тела (живые и неживые объекты разного масштаба) и, соответственно, происходят те или иные события и (б) свойства которых не зависят от свойств объектов (событий), их заполняющих, а также и от свойств субъекта-наблюдателя. В качестве эмпирического основания для выделения пространства и времени в качестве объекта познания выступают непосредственно-чувственные данные, подтверждаемые непосредственно практической (предметной) деятельностью человека и абстрагированные от реального процесса их восприятия и тем самым от самого наблюдателя. Например, согласно непосредственным данным зрительного восприятия, Земля относительно Солнца неподвижна и имеет плоскую поверхность, но Солнце, звезды и Луна движутся относительно поверхности Земли (и, естественно, наблюдателя, находящегося на ней). Субъект-наблюдатель неподвижен. Пространство и время прямолинейны[11]. В предельной форме этот способ мышления (парадигма мышления, если хотите) нашел свое выражение: в античной философии – в апориях Зенона, в математике – в геометрии Евклида, в античной астрономии – в геоцентрической системе мироздания (Птолемей), в физике – в классической (механистической) физике (Ньютон, Галилей), в астрономии Нового времени – в гелиоцентрической системе мироздания, в философии Нового времени и позже – от «правил для ума» Декарта до постулирования Кантом пространства и времени в качестве априорных категорий нашего мышления, наконец, в психологии – в классических теориях восприятия пространства, времени и движения (Вундт, 1912; Сеченов, 1947; Helmholtz, 1896; Hering, 1879 и др.) и их современных вариациях (Грегори, 1963; Рок и др.), а также в психофизике. Бытие времени здесь абстрагировано от бытия пространства и от реального бытия субъекта-наблюдателя и не зависит от последнего.

Панов В. И., Экопсихология. Парадигмальный поиск, 2014

Пифагор считал геометрию священной наукой, наукой, близкой к Богу. Все пропорции и соотношения в ней – матрица для мироздания и всех процессов жизни. Сущность красоты, таинства прекрасного, базирующегося на определенных геометрических параметрах, в Древней Греции сформировалось в отдельную научную ветвь – эстетику, тесно связанную с понятием космологии. Древние греки воспринимали окружающий мир как совокупность множества гармоничных элементов и оценивали Вселенную по законам геометрии.

Прокопенко Иоланта, Сакральная геометрия. Энергетические коды гармонии, 2013

Ф[лоренский] видит в математике необходимую и первую предпосылку мировоззрения, но в самодовлеемости математики находит причину ее культурного бесплодия: направляющие импульсы математике необходимо получать, с одной стороны, – от общего миропонимания, а с другой – от опытного изучения мира и от техники. Собственные занятия Ф[лоренского] направлены в обе эти стороны, причем предметом техники служит электротехника, преимущественно электрические поля и их материальные среды. Учение о полях, расширительно, связывается с задачами геометрии, натурфилософии и эстетики, а материаловедение – с гистологией материалов, как областью применения учений о множествах и теории функций.

Флоренский П. А., Автореферат. Троице-Сергиева Лавра и Россия. Иконостас. Имена. Метафизика имен в историческом освещении. Имя и личность. Предполагаемое государственное устройство в будущем, 2010

Для простоты мы часто рисуем графы в двух измерениях, но лучше представлять их заполняющими трехмерное пространство, потому что именно его они иллюстрируют. Но здесь есть концептуальная ловушка: линии и узлы графа не занимают конкретные положения в пространстве. Каждый граф определяется только тем, как его части соединяются между собой и как они соотносятся с четко заданными границами (например, с границей области B). Однако нет никакого непрерывного трехмерного пространства, в котором, как может показаться, размещаются графы. Линии и узлы – это и есть пространство, геометрия которого определяется тем, как они соединяются.

Фейгин О. О., Механика машины времени, 2016

Другими словами, организация изучаемого объекта (системы) – это совокупность консервативных, медленно изменяющихся (в частном случае – постоянных, неизменных) характеристик объекта. У кристаллов это их геометрия – взаимное расположение вершин, ребер, граней. В турбулентном потоке это средние характеристики давления, пульсации скоростей и т. д. В теории динамических систем под организацией естественно понимать топологию ее фазовых траекторий, структуру аттракторов и т. п.

Моисеев Н. Н., Человек и ноосфера, 1990

Это утверждение вполне соотносится с двумя высказываниями Д. Бома: «…Вселенную нельзя, строго говоря, расчленять на резко разграниченные части. Наоборот, её следует рассматривать как неделимую единицу, а представление об её отдельных частях может быть хорошим приближением только в классическим пределе» [32, с. 196] и F. Hoyle: «Современные достижения космологии всё более настойчиво подталкивают нас к выводу, что условия нашей повседневной жизни не могли бы существовать в отрыве от далёких частей Вселенной, и если бы эти части каким-то образом были изъяты, то все наши представления о пространстве и геометрии моментально утратили бы свой смысл. Наш повседневный опыт, до самых мельчайших деталей, настолько тесно связан с крупномасштабными параметрами Вселенной, что невозможно даже представить себе, как одно могло бы быть отделено от другого» [364, p. 304][48].

Пелипенко А. А., Избранные работы по теории культуры, 2014

Данная логика анализа – «визитная карточка» формальной социологии Г. Зиммеля. По Зиммелю, формальная социология – это социальная геометрия «форм обобществления» (Formen der Vergesellschaftung). Геометрия изучает пространственные формы абстрактно, в отрыве от их манифестаций в мире. Она интересуется только одним аспектом материального объекта – его пространственностью – оставляя другим наукам анализ прочих аспектов. Так же и Зиммеля занимают проблемы включения одного «социального круга» в другой «социальный круг», «точек интерференции», «отношений-„между“», «органической замкнутости» и «эксклавов». В сходных категориях «логического устройства» (безразличного к конкретным манифестациям в мире) могут анализироваться и события человеческой жизни, и целостность литературного произведения, и устроение публичного пространства, и порядок материальных предметов.

Коллектив авторов, Социология вещей (сборник статей), -1

В 1898 г. В. П. Ермакова в числе первых педагогов пригласили в Киевский политехнический институт, где он с 1899 г., имея опыт тридцатилетней работы в университете, с энтузиазмом взялся за организацию математического образования, возглавив кафедру высшей математики этого вуза. Наряду с традиционными курсами, такими, как аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, В. П. Ермаков вводил и новые – дифференциальная геометрия, теория обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Ученые, прославившие Беларусь, 2017

Особенно отчетливо несовместимость разных стратегий (методов) построения картины мира у Спинозы проявляется в тех случаях, которые демонстрируют неприложимость натуралистического инструментария к метафизической стратификации всего сущего. Другими словами, усвоенные онтологией Спинозы реликты платонизма, то есть разделения реальности на две качественно различающиеся сферы – истинно сущего бытия и профанической реальности – разрушают тождество бытия, необходимое для актуализации названных выше Спинозой универсальных и единых «правил и законов Природы». Они лишают натуралистическую идею ее базисных принципов – аналогии бытия, тождества или однородности оперативного пространства. То есть в этом случае платонизм Спинозы вступает в противоречие с пропагандируемым им геометрическим методом (банальное напоминание о том, что и сам Платон весьма почитал геометрию и соответствующим образом анонсировал эту свою приверженность, мало что здесь объясняет).

Гаджикурбанов А. Г., Этика Спинозы как метафизика морали, 2014

В восьмой главе описываются средства редактирования объектов, т. е. выполнение таких действий, которые приводят к изменению геометрии или местоположения объекта. Рассматриваются методы и команды выделения объектов; команды общего редактирования. Отдельно описываются команды для редактирования полилиний, мультилиний, сплайнов и размерных блоков. Кроме того, изучается метод редактирования при помощи ручек – наиболее простой способ редактирования любого объекта.

Бабенко М. И., AutoCAD 2010. Самоучитель, 2010