Граница (топология)

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Источник: Википедия

Связанные понятия

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Подробнее: Ограниченное множество

Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.

Упоминания в литературе

Для простоты мы часто рисуем графы в двух измерениях, но лучше представлять их заполняющими трехмерное пространство, потому что именно его они иллюстрируют. Но здесь есть концептуальная ловушка: линии и узлы графа не занимают конкретные положения в пространстве. Каждый граф определяется только тем, как его части соединяются между собой и как они соотносятся с четко заданными границами (например, с границей области B). Однако нет никакого непрерывного трехмерного пространства, в котором, как может показаться, размещаются графы. Линии и узлы – это и есть пространство, геометрия которого определяется тем, как они соединяются.

Олег Фейгин, Механика машины времени, 2016

Линейный объект или граница полигонального объекта могут быть представлены в виде последовательности образующих их точек (промежуточных точек), т. е. набором линейных отрезков прямых (сегментов), образующих полилинию. При этом каждый именованный полигон (со своим идентификатором) представляется записью пар координат, образующих его границу в избранной последовательности (например, по часовой стрелке). При описании множества полигонов каждый отрезок границы, заключенный между двумя узловыми точками (за исключением внешней границы полигонов), будет описан дважды (по часовой стрелке и против).

Александр Грачев, Информационные технологии в экологии и природопользовании, 2013

По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в её практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них – такие как, скажем, использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла – также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Кому, чьей сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство её стен, – этот вопрос мы оставляем читателю для размышления.) В Древнем Египте, чтобы получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Верёвку делили на 12 равных частей, точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы верёвки связывали. Затем за верёвку брались три человека, удерживая её в трёх точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее верёвку натягивали до предела – так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямоугольным, причём тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника.

В. А. Успенский, Математическое и гуманитарное. Преодоление барьера, 2011

В многообразном постмодернистском дискурсе выделяется проблема изолированного объекта, объекта как исчерпывающего и даже тавтологического знака, предела означивания, маркера границы. У. Эко считает открытость для бесконечного переинтерпретирования одной из характерных черт искусства XX века. Согласно его подходу, любая точка, любой элемент произведения обладает бесконечным числом значений. Меняется структура произведения: линейному разворачиванию сюжетной линии автор предпочитает круговые – повторяющиеся или вращающиеся вокруг некоего воображаемого, виртуального центра-элемента формы. С одной стороны, появляется привилегированный элемент, а с другой, исчезает иерархия, последовательность.

Е. А. Кондратьев, Художественная деталь и целое: структурные и исторические вариации, 2010

Наиболее общим и поэтому наиболее адекватным (хотя и наиболее туманным – впрочем, этим оно также и хорошо) является определение СВ как содержащего указание на ограничение действия пределом (и НСВ – как не содержащего такого указания) [Виноградов 1947: 497–498]. Это определение, в силу своей обобщенности, поднимается над различием «начала» и «конца». Это определение также соответствует приведенному выше описанию инварианта СВ и НД значения НСВ. Как границей, «пределом» реки является берег, так границей одного состояния может быть только другое состояние, предшествующее ему (и образующее тем самым его начальную границу) или следующее за ним (и задающее тем самым его конечный «предел»):

Илья Борисович Шатуновский, Проблемы русского вида, 2009

Связанные понятия (продолжение)

Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением.

Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.

Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Теорема Жордана — классическая теорема геометрии известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Прострáнством называется математическое множество, имеющее структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов (например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, событий в теории вероятностей и так далее).Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).

Подробнее: Пространство (математика)

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

В математике индекс точки или порядок точки относительно замкнутой кривой на плоскости — это целое число, представляющее число полных оборотов, которое делает кривая вокруг заданной точки против часовой стрелки. Иногда говорят о порядке кривой относительно точки. Индекс зависит от ориентации кривой и принимает отрицательное значение, если обход кривой происходит по часовой стрелке.

Особая точка кривой — точка, в окрестности которой не существует гладкой параметризации. Точное определение зависит от типа изучаемой кривой.

Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.

Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.

Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Изометрия — биекция между метрическими пространствами, сохраняющая расстояния между точками.

Проективное преобразование проективной плоскости — это преобразование, переводящее прямые в прямые.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то...

Аффи́нное преобразование, иногда Афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния.

Выпуклая функция (выпуклая вниз функция) — функция, для которой любой отрезок между двумя любыми точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика. Эквивалентно, выпуклой является функция, надграфик которой является выпуклым множеством.

Симплициальный компле́кс, или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — одна из основных структур на римановом многообразии.

Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...

Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Упоминания в литературе (продолжение)

Элемент класса – это предмет, входящий в данный класс. Так, элементами множества факультетов будут факультет естественных наук, гуманитарный факультет, механико-математический факультет и другие факультеты. Различают универсальный класс, единичный класс и нулевой, или пустой, класс. Класс, состоящий из всех элементов исследуемой области, называется универсальным классом (класс планет Солнечной системы, класс русских фонем). Если класс состоит из одного-единственного элемента, то это будет единичный класс (планета Юпитер, консонант). Наконец, класс, который не содержит ни одного элемента, называется нулевым (пустым) классом. Пустым классом является класс русских артиклей. Число элементов пустого класса равно нулю. Установление границ естественного класса предметов, т. е. решение вопроса о его тождестве, возможно в результате эмпирических или теоретических исследований. Это сложная задача, т. к. элементы внеязыковой действительности тесно связаны между собой, и при их классифицировании у исследователя могут возникать трудности. Не менее трудная задача – определение тождества языковой единицы: практически все классификационные проблемы в описательной лингвистике связаны с возможной неоднозначностью решения вопроса о границах языкового класса.

К. А. Азимов, Логика. Шпаргалка, 2009

Логика рассуждений в рамках материалистической версии реляционной концепции пространства такова. Материальный (и идеальный) мир состоит из разделенных объектов. Особенностью структурной организации мира является то, что части и элементы, из которых построены материальные и идеальные объекты, имеют протяженность и рядоположенность (определенным образом расположенность друг относительно друга), задавая тем самым границы частей объекта и объекта по отношению к окружающей среде, а частей объекта – по отношению к нему самому. Каждый объект занимает какое-то место среди других объектов и граничит с ними. Эти предельно общие свойства объектов быть протяженными, занимать место среди других, граничить с другими объектами выступают как первые, наиболее общие характеристики пространства. При этом каждый объект имеет (порождает собственным бытием) собственное конкретное пространство, конфигурацию пространства, собственные характеристики (параметры) пространства, которые определяются пространство-образующими связи, взаимодействиями и отношениями. Если указанные свойства конкретных объектов абстрагировать из действительности, отделить от самих материальных (и идеальных) объектов, получается представление о пространстве как таковом, «пространстве вообще». Абстракция «пространство вообще» есть отвлечение от бесчисленного множества различных типов рядоположенностей объектов.

Александр Селиванов, Развитие объектов. Наука управления будущим, 2016

Если анализировать любую совершенную композицию вещи или предмета, картины, скульптуры, всегда можно найти в ней ряд линий геометрической формы, взаимно увязанных между собой в определенную систему (треугольник, прямоугольник, круг). По этим линиям и фигурам располагаются различные детали композиции, именно они часто определяют форму композиции, ее границы. Некоторые геометрические фигуры обладают большей выразительностью по сравнению с другими. Основано это на их природном качестве, связанном с симметрией.

В. А. Барановский, Проекты мебели для вашего дома, -1

Таким образом, в представлении Витгенштейна язык является почти «зеркальным» образом мира: каждое имя обозначает один-единственный простой объект, а совокупность истинных предложений в точности воспроизводит все существующие в мире положения вещей. Отсюда следует, что «границы моего языка означают границы моего мира» (5.6). Но поскольку предложения языка служат образами не только действительных, но и возможных фактов (т. е. могут быть не только истинными, но и ложными), язык – это «модель» и действительного, и «возможного» миров. Область же возможных положений вещей (как существующих, так и несуществующих) определяется логическим пространством. Но что имеет в виду Витгенштейн, говоря о «логическом пространстве», «логической форме» и т. п., что вообще он понимает под логикой? Настало время рассмотреть этот вопрос.

Л. Б. Макеева, Язык, онтология и реализм, 2011

Первую категорию можно далее разделить на две подгруппы; принцип деления здесь – природа конвенциальных барьеров, подлежащих трансценденции. Для переживаний первой подгруппы это прежде всего пространственное разделение и состояние отделенности, для второй – ограничения линейного времени. Опыт такого рода представляет неодолимое препятствие для картезианско-ньютоновской науки, которая видит материю твердой, границы и раздельность – абсолютными свойствами Вселенной, а время – линейным и необратимым. Это совсем не так с точки зрения современной науки, которая рисует Вселенную бесконечной и единой сетью взаимосвязей и считает все границы условными и легко меняемыми. Произошла трансценденция острого различия между объектом и пустым пространством, а значит, появилась возможность прямых субатомных связей, которые минуют каналы, принятые (или приемлемые) в механистической науке. Возможность существования сознания вне мозга человека и высших позвоночных также серьезно рассматривается в контексте современной физики. Некоторые физики верят, что следует включить сознание в будущую теорию материи и в размышления о физической Вселенной как наиважнейший фактор и связующий принцип космической сети. Если Вселенная представляет собой интегральную и единую сеть, и некоторые из ее составляющих, очевидно, сознательны, это в некотором смысле должно быть верно и для всей системы. Конечно, вполне допустимо, что различные части сознательны в разной степени и им свойственны разные формы осознавания.

Станислав Гроф, За пределами мозга. Рождение, смерть и трансценденция в психотерапии, 1985

Цепь является линейной, если линейны составляющие ее элементы. Элемент, подчиняющийся закону Ома, называют линейным. Жестких границ в природе нет. Один и тот же элемент в одних условиях проявляет себя как линейный, в других – как нелинейный.

Аурика Луковкина, Радиотехника. Шпаргалка, 2009

Специфика движений, описанная Пиаже для подстадии 2, позволяет определить качественный характер произошедших изменений. Объединение двух ранее независимых движений или телесных схем в одну первичную циркулярную реакцию возможно только на основе первых одиночных – линейных – связностей ЭСС. С другой стороны, то, что малыши на этой подстадии еще не имеют представления об объектах, существующих вокруг них, однозначно указывает на отсутствие чувства границы – границы тела. Т. е. целостность мышления минимальна и мир малыша ограничивается пределами собственного тела. Отсутствие понимания движения объекта также указывает на недостаточность связности ЭСС. Таким образом, можно констатировать, что подстадия 2 указывает на начало второго этапа парадигмального цикла, описываемого 1-D ППМ.

Д. В. Михалевский, Пространство и Бытие. Сборник статей, 2017

Границы воспринимаемого нами физического мира определяются рядом констант, одна из основных – скорость света. Свет, как известно, имеет двойную природу – волновую и корпускулярную – и сочетает в себе два типа информации – аналоговую и цифровую, которую мы будем называть знаковой[16]. Однако науке известно о существовании взаимодействия, которое многие физики считают базовым по отношению к остальным, – это гравитационное взаимодействие. Поскольку приборы работают в границах того, что наукой называется физическим миром, где предельная скорость «с» скорость света, т. е. потока частиц, не имеющих массы покоя, и учитывая, что частицы – переносчики гравитации так и не были открыты («гравитон» остается абстрактным понятием, не имеющим «реального» содержания), можно предположить, что это происходит потому, что гравитация распространяется в пространстве быстрее света.

Л. Г. Пугачева, Человек в космосе мышления. Введение в эпистемологию (сборник), 2008

В настоящее время существуют две противоположные точки зрения. Одни исследователи по-прежнему отождествляют сверхфразовое единство, сложное синтаксическое целое и абзац или же, отказываясь совершенно от понятия сверхфразового единства, объявляют абзац сложным синтаксическим целым, т. е. синтаксической единицей высшего уровня. Так, крайнюю точку зрения высказывает Л. Г. Фридман, считающий, что сложное синтаксической целое не имеет четких границ и набора релевантных признаков: «Не обладая ни одним из релевантных показателей, определяющих статус синтаксической единицы, ССЦ именно поэтому не может, на наш взгляд, рассматриваться как таковая… Мы полагаем, что сверхфразовой синтаксической единицей, обладающей набором релевантных признаков, качественно отличающих ее от единиц более низкого уровня – предложений, является абзац».

О. И. Филимонов, Скрепа-фраза в языке, 2013

Условимся называть границей области гомеостазиса (или просто гомеостазиса) данной живой системы множество – линию, поверхность, гиперповерхность в пространстве параметров внешней среды, отделяющей область их значений, внутри которой существование живой системы возможно, от остального пространства. Переход из области гомеостазиса через ее границу означает прекращение возможности существования данного организма, данной живой системы.

Н. Н. Моисеев, Человек и ноосфера, 1990

Очевидно, что с изменением цели и условий деятельности человека рисунок окуломоторной активности меняется. При этом меняется не только содержание значимых элементов (где и что воспринимается), но и требования к их восприятию (как воспринимать, насколько точно или дифференцированно). С последним связано понятие функционального поля зрения, величина которого в ходе перцептивного процесса перманентно меняется. В силу многоканальности зрительной системы одной и той же направленности взора может соответствовать и элемент среды, на который он непосредственно ориентирован, и констелляция элементов, входящих в его окружение. Оценка предмета восприятия на основе местоположения точки фиксации перестает быть однозначной и требует использования дополнительных критериев. Вектор направленности взора может входить, а может не входить в границы функционального поля зрения либо находиться на его периферии. В любом случае образуется относительно самостоятельная область направленности глаз, обеспечивающая необходимое восприятие значимых элементов среды, – оперативная зона фиксаций, которая в зависимости от требований задачи легко меняет свою локализацию, форму и величину. Оперативная зона фиксаций комплексных объектов имеет неоднородное строение и включает 1) ядро, или «центр тяжести» – наиболее часто фиксируемые области предмета; 2) область менее интенсивных фоновых фиксаций, ограниченную поверхностью объекта; и 3) область разреженных фиксаций вне поверхности объекта (периферию). Расположение «центра тяжести» часто не совпадает ни с геометрическим центром поверхности объекта, ни с геометрическими центрами его компонентов. Возможно наличие нескольких «центров тяжести» одновременно. Фиксационный «центр тяжести» характеризуется следующими параметрами: локализацией, фронтом (формой) и интенсивностью. Его профиль, наряду с содержанием зрительной задачи, зависит от конфигурации поверхности объекта, его локализации в поле зрения и социокультурных навыков наблюдателя.

Коллектив авторов, Айтрекинг в психологической науке и практике, 2015

Однако при такой концепции числа остается совершенно непонятным и загадочным, почему реальный смысл математических символов внезапно испаряется, как только мы переступаем границу конечных рациональных чисел, тогда как переходы от одной группы чисел к другим совершаются по имманентным им законам, без всяких скачков, с нигде не нарушаемою непрерывностью. Непонятно также, каким образом эти математические символы, лишенные реального смысла, могут служить точным выражением таких объективных явлений, какие представляют собою пространство, движение в пространстве и т. п. Все эти по существу неразрешимые недоумения возникают, конечно, только в том случае, если исходить из эмпиристического взгляда абстракционной теории, по которому все вообще математические операции в конечном итоге сводятся к счету данных мышлению извне предметов.

Коллектив авторов, Новые идеи в философии. Сборник номер 5, 2015

Если к многочисленным научным определениям этой связи, начиная со старомодного термина эфир[49], и, далее, природного Разума (Э. Митчелл), квантовой голограммы (М. Каку), матрицы сущего (М.Планк) и других определений, добавить такие, которыми изобилуют религиозные и мистические источники, то и тогда мы не охватим всего разнообразия форм выражения идеи всеобщей связи. Признавая универсальную распространённость концепта ВЭС во всех мировоззренческих системах за исключением новоевропейского МР [50], важно, однако, опять же вернуться к вопросу о границе между миро– и макропроцессами или, иначе говоря, к психическим режимам, в которых может осуществляться связь между ними. Ведь при отсутствии таковой говорить о ВЭС просто бессмысленно. В рамках холономного подхода КМ эта тема обозначается как проблема пси-феноменов. Конкретные параллели между пси-феноменами и квантовой нелояльностью разработаны уже достаточно широко. Не стану отвлекаться на пересказ доказательств наличия универсальной связи в современных физических теориях – с ними можно познакомиться по соответствующей литературе [51].

А. А. Пелипенко, Избранные работы по теории культуры, 2014

• Абстрактные системы с установленными границами (далее – абстрактные системы). Эти системы не содержат физических артефактов, при этом они разработаны людьми, чтобы служить для некоторой разъяснительной цели. Абстрактные системы могут включать математические описания, стихи или философские системы. Подобные системы представляют собой упорядоченный продукт деятельности человеческого сознания. Определения систем, состоящих из функций и/или возможностей в качестве элементов, являются примерами абстракций, которые позднее могут быть зафиксированы в других созданных человеком системных формах, например в физической форме или в виде конкретных человеческих действий.

Гарольд Лоусон, Путешествие по системному ландшафту, -1

Приведу еще один прием, который также я ввел в логическую социологию и неоднократно использовал (он пригодится и в дальнейшем). При теоретическом исследовании объектов некоторого данного типа мы вправе выбрать для наблюдения их наиболее развитые и четко выраженные экземпляры. Рассматривая их, мы стремимся найти самое абстрактное их определение – идем от конкретного к абстрактному. При этом мы руководствуемся таким принципом. Самые абстрактные признаки объектов, включаемые в их исходное определение, суть признаки, определяющие их качество. Они сохраняются, пока существуют объекты. Они образуют «нижнюю» эволюционную границу объектов. Найдя такое исходное определение, мы восходим от него к высшему уровню развития объектов – идем от абстрактного к конкретному. При этом мы прослеживаем реальное развитие потенций объектов, изначально заложенных в их определенном выше качестве. В процессе развития абстрактные признаки в конце концов достигают уровня, на котором они воплощаются в особые структурные компоненты объектов, – реализуются в виде, близком к абстрактному «чистому» виду. Это и позволяет в конкретных наблюдаемых объектах найти их абстрактные основы и проследить процесс их развития от их исторического и логического начала до качественного «потолка», предела.

А. А. Зиновьев, На пути к сверхобществу, 2008

Отметим сразу, что единственное устройство, позволяющее моделировать искусственный интеллект, – это компьютер, работающий под управлением алгоритмов, представляющих собой последовательность команд, каждая из которых должна быть однозначно понимаема. Плюс к этому компьютер способен выполнять в одно и то же время только одну команду алгоритма. Существование параллельных вычислений в этом смысле мало что меняет. Возможность параллельных алгоритмов означает существование внутри алгоритма независимых частей, что-то вроде более простых алгоритмов. Эти технические ограничения мы обязаны иметь в виду при всех дальнейших рассуждениях. Системотехнические ограничения очерчивают жесткие границы возможного. А надо сказать, что архитектура вычислительной системы – на самом деле главный фактор эффективности. Настолько важный, что суперкомпьютеры стали таковыми не столько за счет высокой скорости работы процессоров, сколько за счет усложнения конструкции. Но пока даже нейронные сети – это не всегда реальные технические устройства, а лишь модели на базе традиционных компьютеров. И, несмотря на то что современная наука, электроника и теория алгоритмов уже уверенно видят новые горизонты производительности, старая добрая архитектура фон Неймана является основным техническим решением.

В. В. Потопахин, Романтика искусственного интеллекта, 2016

Понятие ГО опирается на феноменологически понятую пространственностъ, то есть «…пространство процессов, взятых вместе с мыслъю о них, с практикой»[255]. Родовые ГО – место, район, пространство, территория – взаимосвязаны генетически, поскольку деятельность по различению вещей, тел, материальной ткани мира и по осознанию, идентификации смыслов – ведет к их естественному упорядочению[256]. Образная география создает фактически свое пространство, в котором всякие вопросы «где» приобретают свой смысл[257]. Таким образом, пространство географии, развивающейся в определенной культуре, стремится в идеале идентифицировать себя с самим географическим пространством. Но постоянное движение, динамика самого пространства географии (она все время как бы уточняет собственные границы и координаты) приводит к несовпадению, образованию естественного зазора между ним и также трансформирующимся в результате этого процесса географическим пространством – происходит своего рода бесконечная и в то же время имеющая конечную цель «методологическая погоня». Постоянно существующий зазор между пространством географии и географическим пространством заполняется различными и разнообразными ГО, которые выполняют роль медиаторов или прокладок (рис. 3). Географические границы (между местами, районами, странами, ландшафтами) как несомненное свидетельство этих пространственно-географических «ножниц» являются, по существу, месторождениями наиболее важных, ярких и продуктивных географических образов.

Д. Н. Замятин, Культура и пространство. Моделирование географических образов, 2006

1. Расширить границы внутренней территории до размеров пятого слоя. Для этого необходимо неограниченно расширять воображаемую поверхность (границы осознания) от физического тела во внешнее пространство. Область внутри этой поверхности воспринимается как продолжение физического тела. «Расширение» переживается буквально только до размеров третьего слоя. На больших масштабах инструкция «расширять воображаемую поверхность» в значительной степени является метафорой, а не буквальным действием. Субъективно это переживается как способность одновременно «чувствовать глубоко внутри» множество известных и хорошо знакомых внешних объектов: фигуры людей, фрагменты ландшафта, строения, оборудование и т. д. Как уже сказано, формальным признаком ментального слоя является появление ощущения внутреннего наблюдателя.

М. Я. Пальчик, Реальна ли реальность?, 2014

3. Наконец, идиоматизация – динамический процесс, в ходе которого изменение языковой системы проходит через множество локальных обобщений, часть которых исчезает из языка, часть составляет его идиоматизированный компонент, часть расширяется до языковых правил широкого охвата. В этом смысле языковые единицы представляют собой континуум градуальных переходов по шкале «свободные – идиоматизированные» без четко очерченных границ.

М. В. Копотев, Исключение как правило: Переходные единицы в грамматике и словаре, 2016

С идеологией дискретности связана и современная информационная техника. Первая механическая вычислительная машина была построена еще в XVII столетии Б. Паскалем. После с изобретением электронных ламп в 40-х годах XX века начинается постройка первых ЭВМ. Они, естественно, используют двоичную систему счисления (0,1), значение которой в деле алгоритмизации осознал еще Лейбниц («Адамов язык»). После Второй мировой войны в связи с прогрессом электроники начинается и ускоренное развитие электронных информационных устройств. Существенно, что вся эта техника – коммуникативная, вычислительная, аудио, видео – является цифровой, то есть использующей в качестве базисного бинарный алфавит (0,1). Все непрерывные функции в этой технике сводятся к ступенчатым, дискретным. Возможность подобного моделирования непрерывных процессов изучается целым отдельным направлением в математике, а возможность машинного моделирования – специальным отделом математической логики. С точки зрения этой технологии все процессы, все знание о мире в принципе может быть разложено в последовательность нулей и единиц, выражено одним линейным файлом, представлено в виде информации. Информация в этом смысле выступает как знание, доступное машинной обработке. Несмотря на головокружительные успехи цивилизации в этом направлении – решение задач распознавания образов, повышение скорости обработки информации, построение многофункциональных роботов, – идея превращения всего знания в информацию находит себе границу не только в естественном «гуманитарном инстинкте» человека, но и в конкретных научных разработках: наблюдениях над особенностями взаимодействия человека и машины (физиологическая и психологическая характеристики воздействия компьютера на человека), в осознании ограниченности эстетических возможностей электронных синтезаторов («грубость» цифровой музыки, изображения), в принципиальных вопросах алгоритмизации процесса познания (теорема Гёделя о неполноте, теоремы неразрешимости и т. д.). Однако, тем не менее, идеология дискретности остается на сегодня в высшей степени популярной.

В. Н. Катасонов, О границах науки, 2017

Эти феномены принадлежат к другому множеству возможных миров, где можно встретить феномены, встречающиеся и в мире историка, но в которых происходят вещи, которые историк, пока не прошел переобучения, не может даже вообразить. В таких условиях единственным выходом оказывается переобучение: восстановление более старого словаря, его ассимиляция и исследование множества миров, к которым он дает доступ. Каузальная теория не перекидывает мост через границы, так как путешествия между мирами, которые она предусматривает, ограничены мирами в отдельном возможном с лексической точки зрения множестве. А при отсутствии моста, который пыталась построить каузальная теория, нет оснований рассуждать о постепенном устранении наукой всех миров, кроме одного реального мира. Такое рассуждение, хорошо иллюстрируемое обсуждением золота, но не воды, привело к варианту каузальной теории, который обычно описывали как постепенное приближение к истине или к реальному миру.

Томас Кун, После «Структуры научных революций», 2000

Достаточно очевидно при этом, что означенная Ивановым «заповедная» для именования черта не совпадает с тем апофатизмом, который всегда учитывается в имяславии и который тоже в определенном смысле означает некую границу компетенции языка. У Иванова речь несомненно идет о более «низкой» в вертикально-иерархических координатах ступени, нежели в имяславии, апофатизм которого «начинается» значительно «выше» – «за» тринитарной проблемой или во всяком случае «внутри» нее (ср. лосевский тезис о Перво-имени до и вне меонального тварного мира и булгаковскую идею рассмотрения соотношения Лиц Троицы по типу субъект-предикативного именовательного суждения[6]). Имяславский апофатизм означивает границу языка как такового (вполне, кстати, вероятно, что абсолютный языковой апофатизм признавался и Ивановым, но это никак, однако, не влияет на имеющиеся различия в рассматриваемой нами более частной теме), ивановская же «заповедная» черта отмечает границу компетенции собственно именования, границу, за которой еще продолжают действовать другие языковые силы и особые семантические процессы. Что же это за силы и процессы?

Людмила Гоготишвили, Непрямое говорение, 2006

Четыре окна проекции предназначены для отображения сцен. Вы можете менять их размеры путем перетаскивания границ. Щелчок правой кнопкой мыши на имени окна проекции приводит к появлению контекстного меню, в котором содержатся команды управления качеством отображения объектов, команды выбора типа проекции, а также целый ряд других команд по настройке окна.

Д. В. Рябцев, Дизайн помещений и интерьеров в 3ds Max 2009, 2010

Квадраты, окружающие Брахмастхану, за исключением квадратов по внешним краям мандалы, посвящены 12 солнечным божествам ( Адитья), число которых сведено, по существу, к восьми, так как восемь из них составляют иерогамные пары. Таким образом, божественные силы, излучаемые из места Брахмы, расходятся по восьми основным направлениям пространства. С другой стороны, восемь направлений ассоциируются с восемью планетами индуистской системы (пять планет в собственном смысле слова, Солнце, Луна и демон затмения Раху). Что касается наружных квадратов, они представляют лунный цикл: в мандале из 64 квадратов граница из 28 делений соответствует 28 лунным обителям; в мандале из 81 деления добавлены «владения» четырех хранителей основных областей. В обоих случаях над циклом границы мандалы властвуют 32 правителя Вселенной ( Пададева). Их иерархия возникает из четверичности пространства, развернутого в серии 4–8–16–32; в мандале из 64 квадратов четыре пары названных правителей занимают углы основного квадрата[34]. Таким образом, различие между двумя мандалами из 64 и 81 квадрата, по существу, то же самое, что и различие между двумя простейшими мандалами, соответственно посвященными Притхиви и Шиве, или принципу протяженности пространства и принципу времени. Кардинальный крест первой мандалы выглядит как «лента» из малых квадратов, а второй – только из линий.

Титус Буркхардт, Сакральное искусство Востока и Запада. Принципы и методы, 1967

Отсутствие энергетических потерь на взаимодействие с Ничто обуславливает бесконечное повторение космологического схлопывания – разворачивания, а бесконечность мира определяется тем, что граница между ним и Ничто не может быть определена опытным путем. Запрет на это логически вытекает из второго постулата специальной теории относительности Эйнштейна, утверждающего, что скорость света не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Проще говоря, никакой наблюдатель не сможет обогнать границу расширяющегося мира, чтобы пощупать руками это самое Ничто.

Георгий Долин, Бытие. Краткий путеводитель, 2012

При этом объектом такой привязки может быть любая видимая на экране фигура, в том числе фигуры на заблокированных слоях, а также границы плавающих видовых экранов и сегменты полилиний. Однако нельзя привязываться к объектам на отключенных слоях, а также к пробелам и сегментам штриховых линий.

М. И. Бабенко, AutoCAD 2010. Самоучитель, 2010

Однако использование прямоугольных регионов для указания областей отсечения совсем не обязательно. Использование отсечения по заданному непрямоугольному региону при рисовании произвольного окна наглядно представлено на рис. 1.3: а – исходный прямоугольный вид формы; б – используемый регион, формирующий область отсечения; в – вид формы, полученный в результате рисования с отсечением по границам заданного региона.

А. А. Чиртик, Программирование в Delphi. Трюки и эффекты, 2010

Вариационные принципы возникли в механике и сыграли выдающуюся роль в ее развитии и создании эффективных численных и аналитических методов решения различных прикладных задач. В последующем вариационный подход широко использовался и при создании более сложных физических теорий. На этом пути очень важные результаты были получены еще в 1931 г. создателем неравновесной термодинамики Л. Онсагером, который сформулировал следующий вариационный принцип15: при постоянных условиях на границе некоторого объема V имеет место равенство

Н. Н. Моисеев, Алгоритмы развития, 1987

Семиология ставит некоторые щекотливые вопросы – именно постольку, поскольку этот незавершенный способ познания распространяется вширь, не ведая своих границ, и ему следует эти границы поставить, хоть это и сложно. Когда к пространствам (например, городским) применяют коды, разработанные на основании литературных текстов, такое применение остается описательным; это нетрудно показать. Попытки же выстроить тем самым некую кодировку – процедуру расшифровки социального пространства – несут в себе риск свести это пространство к сообщению, а посещение его – к прочтению. А значит, отказаться от истории и от практики. Однако не было ли в прошлом, в XVI (Ренессанс и ренессансный город) – XIX веках, некоего единого архитектурного, урбанистического, политического кода, общего языка для жителей городов и деревень, для властей и для художников, языка, позволявшего не только «прочитывать» пространство, но и производить его? А если такой код существовал, то как он был порожден? Где, как, почему он исчез? На эти вопросы еще предстоит дать ответ.

Анри Лефевр, Производство пространства, 2000

Как показали эксперименты этой серии, движения глаз являются в основном плавными, что характерно для следящих движений и в обычных условиях (неограниченного поля зрения). Примеры записей траектории следящих движений глаз приведены на рисунке 1.23. Скорость этих движений при выполнении данного задания небольшая – от 3 до 10 град/сек. Она зависит от величины поля зрения. Так, для поля зрения 3° она составляет не более 5–7 град/сек, а для поля 5–10°–12 град/сек. Эта зависимость, по-видимому, обусловлена допустимой величиной запаздывания движения глаза по отношению к движущемуся световому пятну. Если бы величина запаздывания превышала диаметр поля зрения, то движущееся пятно могло бы оставаться за его границами, т. е. стать невидимым. Обычно в экспериментах этой серии контур обводился световым пятном один раз, но по просьбе испытуемого мог быть повторен. В этих экспериментах испытуемые опознавали фигуры с большим трудом. Хотя траектория движений глаз в этой серии экспериментов имеет максимальное подобие контуру фигуры, информация, поступающая от глазодвигательной системы, явно недостаточна для того, чтобы испытуемый мог повторить это движение или воспроизвести на рисунке.

Б. Ф. Ломов, Психическая регуляция деятельности. Избранные труды, 2006

Между реальными и номинальными определениями не всегда можно провести четкую границу. В толковых словарях, например, определения нередко содержат признаки и реальных, и номинальных.

С. С. Антюшин, Логика, 2013

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я