Большие числа

Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни.

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (англ. googology). Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом.

Источник: Википедия

Упоминания в литературе

Особенно большое распространение в статистической науке получили такие направления математики, как теория вероятностей и математическая статистика. В статистике употребляются операции, которые прямым образом рассчитываются с помощью правил теории вероятностей. Это выборочный метод наблюдения. Основное из этих правил – ряд теорем, выражающих закон больших чисел. Суть этого закона заключается в исчезновении в сводном показателе элемента случайности, с которой связаны индивидуальные характеристики, по мере объединения в нем все большего их числа.

Нина Владимировна Коник, Общая теория статистики: конспект лекции

В рассматриваемый период впервые поднимаются серьёзные проблемы критериев отбора признаков (см. Козо-Полянский, 1922; Turrill, 1942а). Здесь достаточно чётко обозначились две позиции, соответствующие двум трактовкам Естественной системы – по Кювье и по Адансону-Жюсьё. В первом случае речь идёт о небольшом числе значимых признаков, выбранных на априорной основе: такова позиция Геккеля, она получила популярность главным образом среди зоологов (Гекели, Лэнкестер, Гертвиг и др.: см. Зенкевич, 1937). Во втором случае система строится по большому числу признаков с более или менее одинаковыми «весами»: наиболее обоснована та родословная схема и основанная на ней система организмов, которая поддерживается наибольшим числом признаков (в современной терминологии – это критерий или принцип конгруэнтности, см. 6.6.2), при этом не связанных напрямую с частными адаптациями (принцип Дарвина, 4.3.4). Этой позиции придерживаются в основном ботаники (см. Turrill, 1942 a,b).

И. Я. Павлинов, Биологическая систематика: Эволюция идей, 2011

Какова же тогда природа более профессионального и эзотерического исследования, которое становится возможным после принятия группой ученых единой парадигмы? Если парадигма представляет собой работу, которая сделана однажды и для всех, то спрашивается, какие проблемы она оставляет для последующего решения данной группе? Эти вопросы будут представляться тем более безотлагательными, если мы укажем, в каком отношении использованные нами до сих пор термины могут привести к недоразумению. В своем установившемся употреблении понятие парадигмы означает принятую модель или образец; именно этот аспект значения слова «парадигма» за неимением лучшего позволяет мне использовать его здесь. Но, как вскоре будет выяснено, смысл слов «модель» и «образец», подразумевающих соответствие объекту, не полностью покрывает определение парадигмы. В грамматике, например, «amo, amas, amat»[20] есть парадигма, поскольку эту модель можно использовать как образец, по которому спрягается большое число латинских глаголов: например, таким же образом можно образовать формы «laudo, laudas, laudat»[21] и т. д. В этом стандартном применении парадигма функционирует в качестве разрешения на копирование примеров, каждый из которых может в принципе ее заменить. В науке, с другой стороны, парадигма редко является объектом копирования. Вместо этого, подобно принятому судом решению в рамках общего закона, она представляет собой объект для дальнейшей разработки и конкретизации в новых или более трудных условиях.

Томас Кун, Структура научных революций

К тому же внутренняя вероятность теории уменьшается по мере увеличения ее диапазона. Я имею в виду, что в той мере, в которой она применима ко всё большему и большему числу объектов и претендует на то, чтобы всё больше и больше сообщить нам о них, – настолько же она становится менее вероятной. Очевидно, что чем больше вы декларируете, тем больше ошибок вы можете совершить. Сила этого критерия состоит в том, чтобы приписать меньшую вероятность скорее тем теориям, которые описывают все материальные тела, чем тем, например, которые описывают только все тела, находящиеся на земле, или скорее тем теориям, которые описывают все металлы, чем тем, которые описывают только медь. Однако, как правило, если теория утрачивает диапазон, то она также утрачивает и простоту, поскольку любое ограничение диапазона чаще всего произвольно и всё усложняет. Почему выбрано ограничение телами, находящимися на земле? Утверждение относительно поведения всех материальных объектов выглядит проще. Вот поэтому я и не думаю, что критерий узкого диапазона имеет большое значение для определения предварительной вероятности, и потому в дальнейшем я сосредоточу внимание главным образом на двух других критериях предварительной вероятности, обращаясь к данному критерию лишь в ключевых моментах. Теория обладает объяснительной силой в той мере, в какой она влечет за собой или делает вероятным возникновение многих различных феноменов, доступных наблюдению, возникновение которых невозможно каким-то иным способом.

Ричард Суинберн, Существование Бога, 1979

В ДНК-генеалогии произвольные значения продолжительности поколений не используются, поскольку использовать столь «плавающую» величину для расчётов в широких временных диапазонах и для разных народов не представляется возможным или разумным. Исходя из этого положения, скорости мутаций откалиброваны под условно взятое поколение продолжительностью 25 лет.[50] Если кому-то больше нравится 30 лет на поколение или любое другое количество лет, скорости можно перекалибровать, и в итоге окажутся ровно те же величины в годах. Так что сколько лет приходится на поколение – в данном случае не имеет значения, потому что при расчётах меньшему числу лет на поколение будет просто соответствовать пропорционально большее число поколений, и итоговая величина в годах не изменится.

А. А. Клёсов, Кому мешает ДНК-генеалогия? Ложь, инсинуации, и русофобия в современной российской науке, 2016

Любое большое число можно привести к элементарному. Для этого необходимо сложить все цифры этого числа. Если при этом вновь получается сложное число, то есть 10 или более, то следует вновь сложить и эти цифры. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получат элементарное число от 1 до 9.

Сестра Стефания, Как назвать ребенка, чтобы он был счастлив, 2007

Принцип идиоматичности заключается в том, что говорящий/ая имеет в своем распоряжении большое число полуоформленных фраз, которые представляют собой уже готовые единицы, даже несмотря на то, что при анализе их можно разбить на сегменты [Sinclair 1991:105][30].

М. В. Копотев, Исключение как правило: Переходные единицы в грамматике и словаре, 2016

Ранним стадиям наук, которые Кун описывает как «допарадигмальные периоды», свойственны концептуальный хаос и конкуренция большого числа расходящихся воззрений на природу. Ни одно из них нельзя сразу отбросить как неверное, так как все они приблизительно соответствуют наблюдениям и научным методам своего времени. Простая, элегантная и правдоподобная концептуализация данных, готовая объяснить большую часть имеющихся наблюдений и обещающая служить руководящей линией для будущих исследований, начинает в данной ситуации играть роль доминирующей парадигмы. Когда парадигму принимает большая часть научного сообщества, она становится обязательной точкой зрения. На этом этапе имеется опасность ошибочно увидеть в ней точное описание реальности, а не вспомогательную карту, удобное приближение и модель для организации существующих данных. Такое смешение карты с территорией характерно для истории науки. Ограниченное знание о природе, существовавшее на протяжении последовательных исторических периодов, представлялось научным деятелям тех времен исчерпывающей картиной реальности, в которой не хватает лишь деталей. Это наблюдение столь впечатляет, что историк легко мог бы представить развитие науки историей ошибок и идиосинкразий, а не систематическим накоплением информации и постепенным приближением к окончательной истине.

Станислав Гроф, За пределами мозга. Рождение, смерть и трансценденция в психотерапии, 1985

Само слово семиотика происходит от греческого понятия semeion – знак, признак, semeiotos – обозначенный. Таким образом, сегодня под словом семиотика понимается наука, исследующая свойства знаков и знаковых систем, а также изучающая естественные и искусственные языки как знаковые системы. Знаковыми системами, изучаемыми семиотикой, могут быть не только естественные и искусственные языки, но и системы предложений научных теорий, химическая символика, алгоритмические языки и языки программирования, информационные языки, системы сигнализации в человеческом обществе и животном мире (от азбуки Морзе и системы знаков уличного движения до языка пчел или дельфинов). При определенных условиях в качестве знаковых систем могут рассматриваться языки изобразительных искусств и музыки. Соединение в рамках семиотики столь широкого разнообразия объектов изучения связано с фиксацией внимания на определенном их аспекте – на рассмотрении их именно как систем знаков, в конечном счете служащих (или могущих служить) для выражения некоторого содержания. Естественность такого подхода определяется всем развитием науки, в ходе которого устанавливается все большее число общих для различных знаковых систем закономерностей (см. Изоморфизм). Ранними зачинателями семиотики можно считать Блаженного Августина, У. Оккама, Т. Гоббса и Г. Лейбница. Корни современной семиотики можно найти в работах языковедов-философов XIX–XX вв. В. фон Гумбольдта, А. А. Потебни, К. Л. Бюлера, И. А. Бодуэна де Куртенэ.

С. Т. Махлина, Лекции по семиотике культуры и лингвистике, 2010

Конечно, биологи – не математики, однако правило полезное. Множество рассматриваемых адаптационистами гипотез очень широки, их формулировки имеют крайне общий характер. Это вовсе не всегда достоинство – при работе с такими общими гипотезами обычно выясняется, что доказательства, в них используемые, крайне не герметичны – они с необходимостью включают неопределенно большое число добавочных положений самого разного качества. Это обесценивает доказательства, работающие с такой «обширной» гипотезой. Причина в том, что в биологии пока мало абстрактных понятий, большинство слов биологического языка – понятия с очень богатым содержанием, причем не слишком формально проработаны. Поэтому общие гипотезы оказываются вовсе не стройными конструктами определенного значения, а очень расплывчатыми, богатыми разнообразным содержанием построениями, каждое из которых включает на деле чуть все биологические факты. Смысл стремления к герметичности доказательства в том, чтобы можно было отдавать себе отчет, что именно включают привлекаемые положения и аргументы, а чего они точно не включают. Е.Н. Панов множество раз указывает на антропоморфизмы, проникающие в аргументацию тех или иных положений теории о форме отбора. Авторы наивно привносят в теоретизирование весь «здравый смысл» отношений полов в человеческом обществе, полагая, что наскоро сформулированные гипотезы обладают биологическим смыслом, а не являются мифами современной культуры.

Е. Н. Панов, Половой отбор: теория или миф? Полевая зоология против кабинетного знания, 2014

Частотными следует считать те морфемы и блоки, которые повторяются в разных словах не менее двух-трех раз. Ясно, что чем большей степенью частотности, т. е. большим числом употреблений, обладают части производных, тем более значительную роль они имеют в терминологии. Некоторые высокочастотные морфемы и блоки участвуют в образовании десятков терминов. Многие морфемы древнегреческого и латинского языков приобрели в терминологии специфические, иногда новые, несвойственные им прежде в древнем языке-источнике значения. Такие значения называются терминологическими. Так, например, греческое слово kytos (сосуд, полость) в латинизированном виде cytus стало использоваться как регулярная корневая морфема в структуре десятков терминов – производных слов – в значении «клетка». Суффикс древнегреческих прилагательных -itis, придававший им общее значение «относящийся, принадлежащий», стал регулярной частью терминов – существительных со значением «воспаление».

А. И. Штунь, Латинский язык для медиков: конспект лекций, -1

Тезис о «рекомбинации конфигураций» обладает тем достоинством, что отвечает на вопрос, откуда берутся элементы, и тем самым соединяет анализ процесса нововведения с изучением других естественных процессов, в которых «новое» состояние системы является функцией «старого». Однако хотя здесь и исключается проблема прерывности, одновременно обостряется дополнительная проблема преемственности. Каждое нововведение, а, стало быть, и всякое культурное изменение должны в этом случае рассматриваться как рекомбинация заранее существующих конфигураций. Это делает любую эволюционную последовательность в культуре сопоставимой с развитием логических следствий из некоторого набора аксиоматических суждений и предполагает, что «начало» должно существовать там, где можно найти некоторые простейшие конфигурации, из которых были произведены все последующие рекомбинации. Но ведь это в точности совпадает с понятием Elementargedanken10* Бастиана, которое оказалось неадекватной основой для исследований культурной эволюции, а также природы психического единства человечества (см.: Wallace, 1961). Еще одно следствие, вытекающее из тезиса о рекомбинации, состоит в том, что существует конечное, пусть даже очень большое число возможных конфигураций, диапазон которых определяется размером изначального набора элементов и отношений. Это в свою очередь требует дедуктивного умозаключения о существовании ограниченного числа возможных культур.

Коллектив авторов, Антология исследований культуры. Символическое поле культуры, 2011

Чтобы сократить большие числа в элементарные, были созданы различные системы. Простейший метод – сложить все цифры числа, а в итоге, когда получается 10 или более, сложить эти цифры тоже. Это сложение нужно продолжать, пока не получится число от 1 до 9.

Э. В. Пятницына, Самая нужная книга определения будущего. Нумерология и хиромантия, 2015

Близкого понимания придерживается и Ф. Слоун [Sloan 1972]. Он разбирает проблему таксономизации систематики. Когда то, из чего построена система, стало таксоном? Слоун считает, что ботаники XVI–XVII вв. и даже XVIII в. строили системы из биоморф. И эта история не заканчивается Линнеем – едва начинается. Когда же появились таксоны и каким образом? Слоун отвечает следующим образом. Видимо, группируя виды по сходству, обычно получали биоморфы, но с ростом числа описанных видов все более дробно выделяли тесно сходственные группы – и среди биоморф стали появляться таксоны. Постепенно выделяли всё более тонкие отличительные признаки, способные в общей массе сходных растений и животных выделить наиболее близкие друг к другу – где глубинное сходство замаскировано общим сходством. Так возникло представление о таксонах – и затем, вторично – о биоморфах, и так появилась – уже после Дарвина – филогенетика на базе эволюционной анатомии. То есть ответ Слоуна будет звучать так: таксоны порядочным образом появились начиная с Хеннига, в 60-х годах ХХ в., вот только что. Большая система всё ещё – в очень значительной степени – выстроена из биоморф. Она вот прямо сейчас таксономизируется – всё большее число групп переисследуется и прежние группировки заменяются на полноценные таксоны.

Г. Ю. Любарский, Рождение науки. Аналитическая морфология, классификационная система, научный метод, 2015

В качестве отправной точки размышлений возьмем число «пи» в его дробном выражении, знакомом еще Архимеду и дающем приближение до трех цифр: π = 22: 7 = 3,14. Поскольку π – это длина окружности, деленная на два радиуса (L: 2R), то, если мы будем считать числовым значением длины окружности 22, длина радиуса равна: диаметр, деленный на два: 7: 2 = 3,5. Посчитаем теперь периметр шестиугольника: он равен значению радиуса, умноженному на шесть. Итак – 3,5 × 6 = 21, число Больших Арканов без Шута (Дурака, нулевого Аркана). Далее: длина окружности равна 22, отнимем от нее периметр шестиугольника 21, получим 1. Это ?? («дельта фи") – та разница, которая дает прирост площади круга (Дурак в некоторых толкованиях – это новизна, например новый путь в жизни человека).

Л. Г. Пугачева, Человек в космосе мышления. Введение в эпистемологию (сборник), 2008

Во всех этих выражениях буквами а, Ь, с обозначены избытки числа над 5. Если мы имеем дело только с числами не свыше 10, то а, Ь, с меньше 5. Произведение двух чисел больших пяти, в таком обозначении, изобразится следующим образом:

Я. И. Перельман, Загадки и диковинки в мире чисел, 2008

Другими словами, река знаний действительно распадается на все большее число рукавов и проток, но это не приводит к их усыханию, ибо непрерывно идет и обратный процесс. Он тоже очень многолик и многогранен и приводит не только к объединению разных дисциплин и развитию конкретных областей знаний, но и к новому целостному видению мира. И оно для Человека не менее необходимо, чем конкретные знания конкретных наук. Особенно в те времена, когда история общества переживает эпоху перехода от одних жизненных стандартов к другим.

Н. Н. Моисеев, Человек и ноосфера, 1990

Если рассмотреть первый виток Спирали Качеств, включающий в себя 1–9 Большие Арканы и 2-10 Малые Арканы четырех стихий, линейным образом, то его функционирование можно понять как взаимодействие девяти ключевых качеств между собой, образование большого числа комбинаций и как следствие свойств живой материи. Однако такое линейное понимание не позволит воспроизвести эти механизмы искусственным образом.

Константин Добрев, ТАРО Иерофанта. Архитектура человека по системе ТАРО, 2016

Более сложные случаи – рассматривается взаимное воздействие объектов друг на друга, принимается во внимание большое число объектов и т. д. При исследовании сложных объектов операции перехода от абстрактного к конкретному совершаются по многим линиям и в несколько этапов. Эти операции разнообразятся в зависимости от характера объектов, их связей и видов логических правил переходов. Процесс познания и изображения объекта оказывается многомерным и многоступенчатым движением мысли от предельно абстрактных оснований ко все более конкретной картине объекта.

А. А. Зиновьев, На пути к сверхобществу, 2008

Не приближаются авторы «Философии науки» к построению теоретической схемы объекта и в вопросе «Зачем вводятся в науку идеальные объекты?» Ответ дается со ссылкой на Э. Маха «Он считал, что главной целью научных теорий является их способность экономно репрезентировать всю имеющуюся эмпирическую информацию об определенной предметной области. Способом реализации данной цели, согласно Маху, (видимо, опущено слово «является», Л.Я.) построение таких логических моделей эмпирии, когда из относительно небольшого числа допущений выводилось бы максимально большое число эмпирически проверяемых следствий. Введение идеальных объектов и является той платой, которую мышлению приходится заплатить за эффективное выполнение указанной выше цели» [1,143]. «Логические модели действительности с необходимостью требуют ее упрощения, схематизации, идеализации, введения целого ряда понятий, которые имеют не объективно-содержательный, а чисто инструментальный характер» [1, 144].

Л. С. Якунин, Философские вопросы науковедения, 2017

С конца 1970-х годов ОЯЗО использовался в очень большом числе исследований. Достаточно полный обзор полученных в этих исследованиях результатов, рассмотренных в контексте их критериальной, или прогностической валидности, представил Маккелви (McKelvie, 1995). Он установил, что имеется четкая связь (средняя корреляция +0.377) между яркостью мысленных образов, оцененной по ОЯЗО, и другими измерениями, основанными на самоотчетах о «ментальных состояниях». Была выявлена также более слабая, но все же приемлемая взаимосвязь (средняя корреляция +0.273) между яркостью мысленных образов по ОЯЗО и объективными показателями выполнения когнитивных и перцептивных заданий. Наконец, была показана сравнительно слабая (средняя корреляция +0.137) взаимосвязь между яркостью мысленных образов по ОЯЗО и результатами выполнения тестов на научение и память. Действительно, результаты выполнения некоторых заданий, требующих относительно тонких суждений относительно физических характеристик знакомых людей или объектов, зачастую отрицательно коррелируют с яркостью мысленных образов по ОЯЗО. Этот эффект может быть связан с тем, что люди с хорошей образной способностью не могут отличить истинные, неподдельные воспоминания от правдоподобных выдумок (Cohen and Saslona, 1990; Reisberg, Culver, Heuer and Fischman, 1986; Reisberg and Leak, 1987).

Д. Т. Ричардсон, Мысленные образы. Когнитивный подход, -1

Кроме того, Ч. Рагин выделяет несколько преимуществ сравнительного метода по сравнению со статистическим. Во-первых, метод позволяет исследовать сложную и множественную причинность, что в случае статистических техник затруднительно и требует анализа очень большого числа случаев, а это часто невозможно. Во-вторых, сравнительный метод побуждает объяснять каждый случай, так что отклонения от ожидаемого становятся очевидны. В-третьих, он не предполагает выборку из абстрактной (часто трудно определяемой) генеральной совокупности: границы анализа устанавливаются исследовательским вопросом. Наконец, в-четвертых, сравнительный метод подталкивает к более глубокому анализу каждого из объектов и их осмысленному сравнению, он оперирует самими случаями, не «раскладывая» их на универсальный набор переменных.

Коллектив авторов, Сравнительная социология, 2015

Коммуникация – это феномен, характерный для сложных адаптивных систем. Сложные адаптивные системы (биологические системы и системы социальные) обладают свойствами самоорганизации, эмерджентности, открытости (вернее, операциональной замкнутости), нелинейности. Сложность системы определяется числом элементов системы и сложности взаимодействий (в данном случае коммуникационных взаимодействий) между ними. Самоорганизация – это спонтанное, самопроизвольное возникновение порядка из беспорядка. С точки зрения теории сложных адаптивных систем, можно поставить вопрос о том, какое количество элементов группы оптимально для самоорганизации и плодотворной коммуникации. Слишком большое число коммуницирующих существ может создать эффект толпы, когда теряется индивидуальность каждого. Длительная и креативная коммуникация между двумя людьми отнюдь не всегда возможна. Из истории человеческой культуры нам известны немногие примеры: Ландау и Лифшиц, Ильф и Петров… Слишком сложны коммуникативные отношения между двумя персонами, и в упомянутых случаях мы имеем дело, вообще говоря, с формированием симбиозных личностей, с их творческим взаимным срастанием. Оптимальное число участников для креативной коммуникации – это, пожалуй, численность сплоченной команды, 7-15 человек.

Коллектив авторов, Инновационная сложность, 2015

Распространение математики вширь сопровождается её проникновением вглубь; математика занимает теперь видное положение в жизни общества. Изменилось и традиционное представление о математиках: место паганелеобразных чудаков заняли молодые люди в ковбойках, увлекающиеся лыжным спортом. Всё большее число родителей желает определить своих детей в школы с математическим уклоном: математика стала модной профессией.

В. А. Успенский, Апология математики (сборник статей), -1

Однако один из публичных политиков усмотрел, что в брошюре содержится пропаганда нацисткой символики, и обратился по этому поводу в органы прокуратуры. Специально проведенный в связи с этим фактом экспертный анализ показал: несмотря на то, что книга «Фашисты. Вчера. Сегодня. Завтра?» содержит большое число фотографий нацистских деятелей, немецких солдат Второй мировой войны и атрибутики фашистов, размещение этих материалов нельзя расценить в качестве пропаганды нацистской символики. Сопровождающий изображения текст и все содержание брошюры раскрывает суть фашизма как геноцида людей по расовому признаку и осуждает идеологию нацизма. Очевидно, что демонстрация нацистской символики в таком случае не пропагандирует, а наоборот, дискредитирует ее[42].

М. С. Андрианов, Невербальная коммуникация, 2007