Среднее арифметическое

  • Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) множества чисел — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции.

    Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами.

    Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).

    При стремлении количества элементов множества чисел стационарного случайного процесса к бесконечности среднее арифметическое стремится к математическому ожиданию случайной величины.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Сре́днее значе́ние — числовая характеристика множества чисел или функций (в математике); — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений.
Медиа́на (от лат. mediāna — середина) в математической статистике — число, характеризующее выборку (например, набор чисел). Если все элементы выборки различны, то медиана — это такое число выборки, что ровно половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше него. В более общем случае медиану можно найти, упорядочив элементы выборки по возрастанию или убыванию и взяв средний элемент. Например, выборка {11, 9, 3, 5, 5} после упорядочивания превращается в {3, 5, 5, 9, 11} и её медианой...
Винсоризованное среднее представляет собой винсоризованную статистическую меру центральной тенденции как некую конволюцию среднего арифметического и усеченного среднего.
Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее степенное, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.

Подробнее: Показатели центра распределения
Коэффициент Джини — статистический показатель степени расслоения общества данной страны или региона по отношению к какому-либо изучаемому признаку. Используется для оценки экономического неравенства.

Упоминания в литературе

Базой для расчета простой средней арифметической являются первичные записи результатов наблюдения. Предположим, что известны значения признака x1x2, …, хп. Каждое из этих значений повторяется один раз (или теоретически одинаковое количество раз), т. е. данные не сгруппированы. Тогда для такого ряда следует использовать формулу средней арифметической простого ряда или простую среднюю арифметическую:
Наиболее распространенными характеристиками статистического распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая (или выборочная средняя). Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наибольшая частота. Медиана (Ме) равна варианте, которая расположена в середине статистического распределения. Она делит статистический (вариационный) ряд на две равные части. Выборочная средняя (ХВ) определяется как среднее арифметическое значение вариант статистического ряда.
Вероятность определяется на основе объективных и субъективных оценок. При объективном вычислении вероятности наступления события за основу берется частота реализации схожих событий, при субъективном – экспертные мнения. Основой статистической оценки рисков принят показатель, называемый средним квадратичным отклонением (σ). Данный показатель характеризует среднюю величину отклонений отдельно взятых величин от среднего значения. При расчете среднего квадратичного отклонения используются следующие показатели: частные величины (xi), количество частных величин (n) и простая средняя арифметическая частной величины x. Стандартное среднее квадратичное отклонение (возведение в квадрат используется для избежания отрицательных знаков в результате) рассчитывается следующим образом:
Однако, как было сказано, мы собираемся работать с экспоненциальной скользящей средней. В чем отличие? Экспоненциальная скользящая средняя (exponential moving average – ЕМА) более показательна, так как она берет среднее арифметическое значение максимумов (минимумов или закрытий), но при этом конечное значение в большей степени учитывает недавние значения, вследствие чего экспоненциальная линия в большей степени отражает текущий настрой рынка. Формула подсчета экспоненциальной скользящей средней выглядит так:
Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех чисел в нем есть 5? – и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить: все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел – 5², уравнение преобразуется в 5² + 5² + 5² + 5² + 5² = 5 × 5², то есть 5?. То же справедливо и в отношении 4 ряда: среднее арифметическое всех чисел в нем – 4², их сумма – 4?. Чуть-чуть алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n², а их сумма равна n?, что и требовалось доказать.

Связанные понятия (продолжение)

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).
Среднее усечённое представляет собой статистическую меру центральной тенденции, рассчитанную как среднее значение для имеющегося набора данных, из которого исключены k % наибольших и k % наименьших значений. Как правило, процент удаляемых значений устанавливается в диапазоне от 5 % до 25 %.
Закон больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей — принцип, описывающий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Кривая Лоренца — это альтернативное (в иных координатах) графическое изображение функции распределения. Она была предложена американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения. В таком представлении она есть изображение функции распределения, в котором аккумулируются доли численности и доходов населения. В прямоугольной системе координат кривая Лоренца является выпуклой вниз и проходит под диагональю единичного квадрата, расположенного в I координатной...
Среднее Тьюки (средневзвешенное Тьюки) представляет собой меру центральной тенденции, относящуюся к разряду устойчивых (робастных) мер. Расчет среднего Тьюки может носить как одношаговый, так и итерационный характер.
В статистике степенной закон (англ. power law) - это такая функциональная зависимость между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой величины, независимо от исходных значений этих величин: зависимость одной величины от другой представляет собой степенную функцию. Например, рассмотрим зависимость площади квадрата от длины его стороны. Если длина будет увеличена вдвое, то площадь увеличится вчетверо.
Индекс Аткинсона — один из индексов социального неравенства. Предложен в 1970 г. Энтони Барнсом Аткинсоном. Используется ведомством по переписи населения США.
Праймориал (англ. Primorial, иногда именуется также «примориал») — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.
Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Подробнее: Центральная предельная теорема
Весьма избыточное число или высокоизбыточное число — это натуральное число, сумма делителей которого (включая само число) больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.
Полуинварианты, или семиинварианты, или кумулянты — коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд Маклорена.
Проце́нт (лат. per cent «на сотню; сотая») — сотая часть; обозначается знаком «%»; используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо также утверждение, что 200 % от 500 кг является 1000 кг, поскольку 1 % от 500 кг равен 5 кг, и 5 × 200 = 1000.
В теории вычислительной сложности сложность алгоритма в среднем — это количество неких вычислительных ресурсов (обычно — время), требуемое для работы алгоритма, усреднённое по всем возможным входным данным. Понятие часто противопоставляется сложности в худшем случае, где рассматривается максимальная сложность алгоритма по всем входным данным.
Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее (англ. moving average, MA) — общее название для семейства функций, значения которых в каждой точке определения равны среднему значению исходной функции за предыдущий период.
Частотное распределение — метод статистического описания данных (измеренных значений, характерных значений). Математически распределение частот является функцией, которая в первую очередь определяет для каждого показателя идеальное значение, так как эта величина обычно уже измерена. Такое распределение можно представить в виде таблицы или графика, моделируя функциональные уравнения. В описательной статистике частота распределения имеет ряд математических функций, которые используются для выравнивания...
Округление — замена числа на его приближённое значение (с определённой точностью), записанное с меньшим количеством значащих цифр. Модуль разности между заменяемым и заменяющим числом называется ошибкой округления.
Двоичная, бинарная или дихотомическая классификация — это задача классификации элементов заданного множества в две группы (предсказание, какой из групп принадлежит каждый элемент множества) на основе правила классификации. Контекст, в котором требуется решение, имеет ли объект некоторое качественное свойство, некоторые специфичные характеристики или некоторую типичную двоичную классификацию, включает...
Теорема об уголках — доказанный результат в области аддитивной комбинаторики, утверждающий присутствие некой упорядоченной (в арифметическом смысле) структуры, называемой уголком, в достаточно больших двумерных множествах любой фиксированной плотности.
Множество больших тригонометрических сумм — понятие теории чисел — множество индексов, в которых преобразование Фурье характеристической функции заданного подмножества группы принимает достаточно большие значения.
Складной нож (англ. jackknife) — один из методов ресэмплинга (линейное приближением статистического бутстрэпа), используемый для оценки погрешности в статистическом выводе. Способ заключается в следующем: для каждого элемента вычисляется среднее значение выборки без учёта данного элемента, а затем — среднее всех таких значений. Для выборки из N элементов оценка получается путём вычисления среднего значения остальных N-1 элементов.
Индекс Тейла представляет собой показатель измерения социального неравенства, предложенный в 1967 году нидерландским экономистом Анри Тейлом. Индекс Тейла основан на предложенном Шенноном понятии информационной энтропии. В отличие от коэффициента Джини индекс Тейла разложим, то есть, если популяция разбита на группы, то индекс Тейла всей популяции можно записать в виде взвешенной суммы индексов Тейла каждой из групп и показателя социального неравенства между группами. Разложимость индекса Тейла позволяет...
Тождество максимумов и минимумов — математическое соотношение между максимальным элементом конечного множества чисел и минимальными элементами всех его непустых подмножеств.
Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений.
Доля единицы (аликвотная дробь) — это рациональное число в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — положительное целое число. Доля единицы, таким образом, является обратным числом положительного целого числа, 1/n. Примеры — 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д.
Т-критерий Вилкоксона — (также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных или независимых измерений по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном. Другие названия — W-критерий Вилкоксона, критерий знаковых...

Подробнее: Критерий Уилкоксона
Экспоненциальное (или показательное) распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Дисперсионный анализ — метод в математической статистике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях. В отличие от t-критерия, позволяет сравнивать средние значения трёх и более групп. Разработан Р. Фишером для анализа результатов экспериментальных исследований. В литературе также встречается обозначение ANOVA (от англ. ANalysis Of VAriance).
Феномен Уилла Роджерса — кажущийся парадокс, заключающийся в том, что перемещение (численного) элемента из одного множества в другое может увеличить среднее значение обоих множеств.
Диаграмма «стебель-листья» — схема представления статистических данных в описательной статистике. Даёт возможность визуально оценить форму и размах распределения данных. В отличие от гистограммы, не требует предварительной группировки данных в интервалы, хотя и для составления диаграммы «стебель-листья» может требоваться округление до двух десятичных знаков.
Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.
Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.
Регрессия Деминга эквивалентна оценке максимального правдоподобия на модели с ошибками в переменных, в которой ошибки двух переменных считаются независимыми и имеют нормальное распределение, а отношение их дисперсий, δ, известно . На практике это отношение может быть оценено из исходных данных. Однако процедура регрессии не принимает во внимание возможные ошибки в оценке отношений дисперсии.
Семплирование по Гиббсу — алгоритм для генерации выборки совместного распределения множества случайных величин. Он используется для оценки совместного распределения и для вычисления интегралов методом Монте-Карло. Этот алгоритм является частным случаем алгоритма Метрополиса-Гастингса и назван в честь физика Джозайи Гиббса.
В комбинаторной математике под числом встреч понимается число перестановок множества {1, ..., n} с заданным числом неподвижных элементов.

Подробнее: Число встреч (комбинаторика)
Качественная, дискретная, или категорийная переменная — это переменная, которая может принимать одно из ограниченного и, обычно, фиксированного числа возможных значений, назначая каждую единицу наблюдения определённой группе или номинальной категории на основе некоторого качественного свойства. В информатике и некоторых других ветвях математики качественные переменные называются перечислениями или перечисляемыми типами. Обычно (хотя не в этой статье), каждое из возможных значений качественной переменной...
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Коэффициент сетчатости — инвариант планарных графов, измеряющий число ограниченных граней графа по отношению к возможному числу граней других планарных графов с тем же числом вершин. Коэффициент принимает значения от 0 для деревьев до 1 для максимальных планарных графов.
Сюрреальные числа (англ. surreal number — название принадлежит американскому математику Дональду Кнуту) впервые были использованы под другим названием («числа» — англ. number) в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр.
Цензурированная регрессия (англ. Censored regression) — регрессия, с зависимой переменной, наблюдаемой с ограничением (цензурированием) возможных значений. При этом модель может быть цензурирована только с одной стороны (снизу или сверху) или с обеих сторон. Цензурированная регрессия отличается от усеченной регрессии (англ. truncated regression), тем что значения факторов, в отличие от зависимой переменной, наблюдаются без ограничений.
Теория среднего поля или теория самосогласованного поля — подход к изучению поведения больших и сложных стохастических систем в физике и теории вероятностей через исследование простых моделей. Такие модели рассматривают многочисленные малые компоненты, которые взаимодействуют между собой. Влияние других индивидуальных компонент на заданный объект аппроксимируется усредненным эффектом, благодаря чему задача многих тел сводится к одночастичной задаче.
Ящик с усами, диаграмма размаха (англ. box-and-whiskers diagram or plot, box plot) — график, использующийся в описательной статистике, компактно изображающий одномерное распределение вероятностей.
Длинная арифметика — выполняемые с помощью вычислительной машины арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, элементарные функции) над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. Эти операции реализуются не аппаратно, а программно, с использованием базовых аппаратных средств работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена...
Вероятностный метод — неконструктивный метод доказательства существования математического объекта с заданными свойствами. В основном используется в комбинаторике, но также и в теории чисел, линейной алгебре и математическом анализе, а также в информатике (например, метод вероятностного округления) и теории информации.
Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική (árithmitikí) — от ἀριθμός (árithmós) «число») — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая...
Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой.

Упоминания в литературе (продолжение)

В аналитических расчетах применяют различные формы средних величин – средняя арифметическая простая, среднеквадратическая, средняя гармоническая, средняя хронологическая моментного ряда и др. При их использовании следует учитывать, что они дают обобщенную характеристику явлений, основываясь на массовых данных. Поэтому при оценке экономических явлений необходимо раскрывать содержание средних величин, дополняя их среднегрупповыми, а в некоторых случаях и индивидуальными показателями.
Учитывая наблюдающееся варьирование различных показателей физического развития ребенка, нужно знать так называемое нормальное, или гаусс-лапласовское, распределение. Характеристиками этого распределения являются средняя арифметическая величина признака, или показателя (М), и величина среднего квадратического отклонения, или сигмы (сиг). Величины, выходящие за пределы М ? 2 сиг стандарта для здоровых детей, как правило, свидетельствуют о патологии.
Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака:
• индекс может базироваться на среднем геометрическом или на среднем арифметическом значении цен на акции;
Приблизительный средний конечный рост ребенка, имеющего «костный» возраст, соответствующий паспортному, можно рассчитать, зная показатели роста обоих родителей и рассчитав среднее арифметическое между длиной тела отца и длиной тела матери. Пользуясь формулой, необходимо учитывать, что при расчете конечной длины тела у мальчиков к полученному значению прибавляют, а у девочек вычитают 5 см.
Для каждого компонента трудового потенциала рассчитываются соответствующие индексы по шкале от 0 до 1, после чего находится среднее арифметическое пяти частных индексов:
Как следует из представленного рис. 2, наблюдается тенденция увеличения повторяемости пасмурного неба и одновременно с ней тенденция уменьшения количества приходящей солнечной коротковолновой радиации. Необходимо отметить наличие прямой зависимости повторяемости ясного неба и сумм суммарной радиации и обратной зависимости для повторяемости пасмурного неба. При этом стоит отметить, что между повторяемостями ясного и пасмурного неба зависимость обратная, что при бета-распределении не является тривиальным результатом. Именно поэтому метод оценки характеристик облачности, основанный на анализе отдельных ее градаций (0–2 и 8–10 баллов), более корректен, чем оценка облачности с помощью величины среднего арифметического. Использование последней не позволяет выявить влияние облачности на приходящую суммарную радиацию, поскольку увеличение максимума и уменьшение минимума на оценку среднего арифметического в общем случае влияет слабо.
2. Средняя арифметическая (взвешенная). Применяется, когда известны отдельные значения признака и их веса (fi):
Если расчет коэффициента эластичности ведется сразу по нескольким потребительским группам, то общий (по всем группам) коэффициент эластичности рассчитывается как средняя арифметическая, взвешенная из групповых коэффициентов; веса – частоты, в частности по каждой группе:
Даже оставляя в стороне неустойчивость, связанную со спекуляцией, приходится считаться еще с неустойчивостью, проистекающей из определенного свойства человеческой природы, которое выражается в том, что заметная часть наших действий, поскольку они направлены на что-то позитивное, зависит скорее от самопроизвольного оптимизма, нежели от скрупулезных расчетов, основанных на моральных, гедонистических или экономических мотивах. Вероятно, большинство наших решений позитивного характера, последствия которых скажутся в полной мере лишь по прошествии многих дней, принимается под влиянием одной лишь жизнерадостности (animal spirits) – этой спонтанно возникающей решимости действовать, а не сидеть сложа руки, но отнюдь не в результате определения арифметической средней из тех или иных количественно измеренных выгод, взвешенных по вероятности каждой из них. Предпринимателям остается лишь изображать деятельность, которая якобы направляется в основном мотивами, сформулированными в их собственных планах на будущее, какими бы искренними и правдивыми они ни были. Лишь в немного бо́льшей степени, чем экспедиция на Южный полюс, предпринимательство основывается на точных расчетах ожидаемого дохода. Поэтому, когда жизнерадостность (animal spirits) затухает, самопроизвольный154 оптимизм поколеблен и нам не остается ничего другого, как полагаться на один только математический расчет, предпринимательство хиреет и испускает дух – даже если опасения потерпеть убытки столь же неосновательны, какими прежде были надежды на прибыль.
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я