Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Артур Бенджамин, 2015

Почему нельзя было раньше узнавать о числах, алгебре и геометрии в такой увлекательной форме? Почему нельзя было сразу объяснить, зачем нам все эти параболы, интегралы и вероятности. Оказывается, математика окружает нас. Она повсюду! По параболе льется струя воды из фонтана, а инженеры используют свойства параболы, чтобы рассчитать траекторию полета самолетов и спутников. С помощью интегралов можно вычислить, сколько вам нужно линолеума, чтобы застелить помещение непрямоугольной формы. А умение вычислять вероятность события поможет выиграть в покер. «Магия математики» – та книга, о которой вы мечтали в школе. Все, от чего раньше голова шла кругом, теперь оказывается простым и ясным: треугольник Паскаля, математическая бесконечность, магические свойства чисел, последовательность Фибоначчи, золотое сечение. А ещё профессиональный фокусник Артур Бенджамин делится секретами математических фокусов. Продемонстрируйте их – ваши зрители точно потянутся за калькуляторами, чтобы пересчитать.

* * *

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Магия математики: Как найти x и зачем это нужно предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Купить и скачать полную версию книги в форматах FB2, ePub, MOBI, TXT, HTML, RTF и других

← Глава номер ноль

Глава номер два. Магия алгебры →

Глава номер один

Магия чисел

Числовые закономерности

Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи. И за всей этой рутиной часто не видим магию чисел, способную развлечь и удивить любого, кто решится всего лишь заглянуть чуть глубже.

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс^[2]. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников — скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ — 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний — от 1 до 50, нижний — от 51 до 100, причем в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая — 101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.

Собственно говоря, благодаря такой вот способности — не быстро считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку — Гаусс и стал одним из величайших математиков XIX столетия. В этой главе мы как раз и поговорим об интересных числовых закономерностях и, конечно, увидим танец чисел. Одни из этих примеров полезны тем, что развивают способности умственного счета, другие — просто красивы.

Только что мы последовали путем гауссовой логики, чтобы получить сумму первой сотни простых чисел. Но что, если нам нужна сумма 17 из них? Или тысячи? Миллиона? Логика Гаусса позволяет подсчитывать сумму первых n чисел, где n — любое нужное вам количество! Некоторым людям легче разобраться с математическими абстракциями, если они могут их визуализировать. К примеру, числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что изображен чуть ниже (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же считается треугольным). Согласно определению, треугольное число n равняется 1 + 2 + 3 +… + n.

Посмотрите, что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов — всего 30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется, уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет n × (n + 1) — ну или в более привычной записи — n(n + 1). В результате мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых n чисел:

Видите, закономерность, которую мы использовали для сложения первой сотни чисел, вполне применима к любому подобному ряду, сколько бы членов в него ни входило. И если вдруг нам понадобится сложить между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам.

Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:

2 + 4 + 6 +… + 2n = n(n + 1)

А как насчет суммы первых нечетных, спрóсите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа.

То, что справа — квадраты целых чисел. 1 × 1; 2 × 2; 3 × 3 и т. д. Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n × n. Или n². Но что, если это просто совпадение? Чуть позже, в главе 6, мы с вами увидим несколько путей развития этой формулы, но уже и сейчас понятно, что у такой простой закономерности должно быть не менее простое объяснение. Самое мое любимое — методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде 25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать первые 5 нечетных чисел с 5²? А просто посмотрите на квадрат размером 5 на 5:

Кружков в нем 5 × 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе. Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка, потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых будет соответственно 1, 3, 5…., (2n — 1) кружков. Это и есть формула суммы первых n нечетных чисел

1 + 3 + 5 +… + (2n — 1) = n²

Отступление

Чуть позже мы еще вернемся к методу подсчета кружков (как и к методу решения задачи двумя разными способами), и вы увидите, к каким интересным результатам он может привести в высшей математике. Но и для понимания основ он не менее полезен. Почему, например, 3 × 5 = 5 × 3? Уверен, вы никогда даже не задавались таким вопросом: просто однажды в детстве вам сказали, что порядок чисел при умножении абсолютно не важен (математики, кстати, называют это законом коммутативности). Но почему же три пакетика по пять жемчужин — это то же, что и пять пакетиков по три жемчужины? Самый простой способ объяснить этот закон — посчитать кружки в прямоугольнике размером 3 на 5. Считая ряд за рядом, мы видим 3 ряда, в каждом из них 5 кружков, то есть во всем прямоугольнике 3 × 5 кружков. С другой стороны, мы можем подсчитать столбики, а не ряды: по 3 кружка в каждом из 5 рядов, значит, всего кружков 5 × 3.

Эта закономерность может привести нас к другой, еще более красивой. Раз уж мы хотим заставить числа танцевать, почему бы не сделать это и с их квадратами?

Взгляните вот на такую пирамидку уравнений:

Какую закономерность вы видите? Подсчитать количество чисел в каждом ряду несложно: 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. А дальше неожиданность: первое число каждого ряда — по крайней мере, первых 5 записанных здесь рядов — является квадратом числа. И правда: 1, 4, 9, 16, 25… Почему так получается? Возьмем пятый ряд. Сколько чисел ему предшествуют? Давайте сложим их количество: 3 + 5 + 7 + 9. Прибавим к ним еще единицу, и у нас получится первое число пятого ряда — сумма первых 5 нечетных чисел, которая, как мы уже знаем, равна 5².

А теперь просчитаем пятое уравнение, ничего к нему не добавляя. Как бы это сделал Гаусс? Если пока не обращать внимания на начальное 25, слева у нас останется 5 чисел, каждое из которых будет ровно на 5 меньше, чем соответствующее ему число справа.

То есть сумма чисел справа будет ровно на 25 больше суммы чисел слева. Но это без учета 25, которые стоят в начале. А с ними у нас получается именно тот результат, который обещан нам знаком равенства. Следуя той же логике и призвав на помощь алгебру, мы докажем, что этот ряд можно продолжать бесконечно.

Отступление

А теперь — специально для тех, кто хотел немного алгебры. Ряду n предшествует количество чисел, равное 3 + 5 + 7 +… + (2n — 1) = n² — 1, поэтому левая сторона нашего уравнения должна начинаться с числа n², за которым следует n последовательных чисел, от n² + 1 до n² + n. Справа — n последовательных чисел, начиная с n² + n + 1, заканчивая n² + 2n. Если мы временно «забудем» про число n² слева, то увидим, что каждое из n чисел справа на n больше, чем соответствующее ему последовательное число слева. Разница при этом составляет n × n, то есть n². Закономерность эта компенсируется начальным n² слева, поэтому-то левая и правая части и равны.

Перейдем к другой закономерности. Как мы уже видели, из нечетных чисел можно составлять квадраты. А теперь посмотрим, что произойдет, если собрать их в один большой треугольник — вроде того, что изображен чуть ниже.

Так отлично видно, что 3 + 5 = 8, а 7 + 9 + 11 = 27, а 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Что общего у 1, 8, 27 и 64? Да это же полные кубы чисел! Например, если сложить между собой пять чисел пятого ряда, мы получим:

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 × 5 × 5 = 5³

Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду n будет равна n³. Но насколько верным будет этот вывод? Не простое ли это совпадение? Чтобы лучше понять эту закономерность, посмотрим на числа в середине 1, 3 и 5 рядов. Что мы видим? 1, 9 и 25. То есть квадраты. В середине 2 и 4 рядов чисел нет, но по сторонам центра 2 ряда видим числа 3 и 5, среднее арифметическое которых — 4, а по сторонам центра 4 ряда — 15 и 17 со средним арифметическим 16. Давайте подумаем, как эту закономерность можно использовать.

Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех чисел в нем есть 5³ — и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить: все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел — 5², уравнение преобразуется в 5² + 5² + 5² + 5² + 5² = 5 × 5², то есть 5³. То же справедливо и в отношении 4 ряда: среднее арифметическое всех чисел в нем — 4², их сумма — 4³. Чуть-чуть алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n², а их сумма равна n³, что и требовалось доказать.

Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 1³?

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. — числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. — треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 = 15² = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но в главе 6 пару доказательств увидим.

Как быстро считать в уме

Среди читателей наверняка найдутся те, кто, познакомившись с этими примерами, скажет: «Ух ты, здо́рово! Но какая от всего этого польза?» Здесь в любом математике проснулся бы художник, и в ответ вы услышали бы: «Разве нужно красоте оправдание иное, нежели сама красота?» Ведь чем лучше мы понимаем числовые закономерности, тем глубже постигаем их красоту. И все-таки иногда они приносят практическую пользу.

Вот простая закономерность, которую мне посчастливилось обнаружить в юности (даже если я и не был первооткрывателем). Я смотрел на пары чисел, которые в сумме давали 20 (10 и 10, например, или 9 и 11), и думал, а какие из них надо перемножить, чтобы получить наибольшее произведение? Логика подсказывала, что это 10 на 10, и моя схема эта подтвердила.

Эта закономерность была несомненна. Чем дальше отстояли друг от друга числа, тем меньше становилось произведение. И насколько они отдалялись от 100? На 1, на 4, на 9, 16, 25… То есть на 1², 2², 3², 4², 5² и т. д. А потом мне стало интересно, работает ли эта закономерность для чисел, дающих другую сумму. Я решил попробовать 26:

И я снова увидел, что наибольшее произведение дало умножение двух одинаковых чисел. А потом произведение стало уменьшаться с интервалом сначала 1, потом 4, потом 9 и т. д. Еще несколько подобных примеров убедили меня, что закономерность была строгой (ее алгебраическое выражение я покажу чуть позже). Выяснил я и то, что ее можно применять для быстрого возведения чисел в квадрат.

Допустим, нам нужно знать квадрат 13. Вместо того чтобы умножать 13 × 13, можно сделать умножение попроще: 10 × 16 = 160. До правильного ответа уже рукой подать, и чтобы его получить, достаточно будет прибавить возведенное в квадрат 3 — число, составляющее разницу между 13 и числами, которые мы перемножили. То есть:

13² = 10 × 16 + 3² = 160 + 9 = 169

Можно взять еще один пример, скажем, 98 × 98. Для удобства к первому числу добавим 2 до 100, а от второго отнимем 2 до 96. Значит, к их произведению нужно будет прибавить 2². Вот наше уравнение:

98²= 100 × 96 + 2² = 9600 + 4 = 9604

Особенно легко применять эту схему к числам, которые заканчиваются на 5: если уменьшить и увеличить их на 5, оперировать придется круглыми числами. Например:

35² = 30 × 40 + 5² = 1200 + 25 = 1225

55² = 50 × 60 +5² = 3000 + 25 = 3025

85² = 80 × 90 + 5² = 7200 + 25 = 7225

Теперь попробуем возвести в уме в квадрат 59. Увеличив и уменьшив это число на единицу, получим 59² = (60 × 58) + 1². Но как умножить в уме 60 на 58? Простой совет из двух слов: слева направо. Забудем на время про 0 и подсчитаем 6 × 58: 6 × 50 = 300 и 6 × 8 = 48. Потом сложим эти два результата (опять же, слева направо) и получим 348. И добавим ноль в конце, то есть 60 × 58 = 3480. Поэтому:

59² = 60 × 58 + 1² = 3480 + 1 = 3481

Отступление

А вот алгебраическое доказательство этого метода (перечитайте это отступление после того, как во второй главе мы поговорим о разнице квадратов):

А² = (A + d) (A–d) + d²

где A — число, возводимое в квадрат, d — разность с ближайшим круглым числом (формула, кстати, справедлива для любого d). Для примера возведем в квадрат 59: А = 59, d = 1, значит, формула превращается в (59 + 1) × (59 — 1) + 1², как и в предыдущем вычислении.

Теперь, когда вы профессионально возводите в квадрат двузначные числа, можно попробовать и трехзначные. Если помните, 12² = 144, значит:

112² = (100 × 124) + 12² = 12 400 + 144 = 12 544

Есть еще одна подобная формула, которая работает для любых двух чисел, близких к сотне. Человек, который становится случайным свидетелем таких вычислений, испытывает чувство, будто наблюдает за трюком фокусника. Вот, например, 104 × 109. Рядом с каждым из них пишем число, на которое оно превышает сотню (см. пример ниже). В левом столбце сложим первое число со второй разностью и запишем результат: 104 + 9 = 113. В правом столбце перемножим две разности: 4 × 9 = 36. «Соединим» эти числа, то есть запишем их одно за другим и — тадам! — волшебным образом получим ответ: 11 336.

Другие примеры и алгебраическую формулу такого вычисления я приведу чуть позже, в главе 2. И, раз уж мы об этом заговорили, кое-что еще о вычислениях в уме. Мы тратим уйму времени на то, чтобы научиться считать столбиком, хотя научиться делать это в уме куда быстрее. Задумайтесь: как часто в обычной жизни у нас есть время и возможность достать бумагу и провести все необходимые подсчеты? Для сложных вычислений можно воспользоваться калькулятором, но не будете же вы доставать его в магазине, читая данные об энергетической ценности на упаковке продуктов, или сидя в зале собрания, или дома, включив выпуск экономических новостей. Вот здесь-то, в оценке по-настоящему важных для вас цифр, и становятся очевидными все плюсы устного счета. Увы, в школе нас хорошо учат считать на бумаге, со счетом в уме дела обстоят плохо.

Строго говоря, эта тема достойна отдельной книги, но, раз уж мы говорим о магии, а не о способностях человеческого мозга, коснемся ее вскользь, обозначив лишь самые основные положения. Главный прием, о котором я не устаю говорить: считайте слева направо. Подсчеты в уме — это процесс постоянного упрощения. Вы начинаете с проблемы огромной, неподъемной, кажущейся непомерно сложной, и расщепляете ее на несколько элементарных и очевидных вопросов, пока не получите искомый результат.

Сложение в уме

Допустим, нам нужно подсчитать что-нибудь, вроде

314 + 159

(Я специально записываю это уравнение в одну строку, чтобы увести вас от искушения подсчитать столбиком.) Начнем с 314, прибавив сотню, чтобы упростить подсчеты:

414 + 59

Прибавить 50 к 414 еще проще. А затем:

464 + 9 = 473

Вот и вся суть сложения в уме. Есть еще один путь, не менее эффективный: превратить проблему сложения в более простую проблему вычитания. Способ этот хорош для подсчета цен в магазине. Возьмем, к примеру, сложим

$23,58 + $8,95

$8,95 меньше $9 лишь на 5 центов, поэтому легче сначала прибавить к $23,58 именно $9, а потом вычесть $0,05. И смотрите, как все сразу упрощается:

$32,58 — $0,05 = $32,53

Вычитание в уме

Главный прием при вычитании в уме — вычитать больше, чем нужно. Если вам нужно вычесть 9, гораздо легче вычесть 10, а потом прибавить лишнюю единицу. Например,

83 — 9 = 73 + 1 = 74

Соответственно, если вам нужно вычесть 39, вычтите 40 и прибавьте 1.

83 — 39 = 43 + 1 = 44

С двух — или трехзначными (как, впрочем, и с бóльшими) числами самая правильная стратегия — дополняющие числа (потом вы еще скажете мне за это спасибо). Дополняющее число — это разность между тем числом, которым вы оперируете, и ближайшим к нему бóльшим круглым. В принципе, то же самое, что и в нашем примере с 9: в этом случае дополняющим числом будет 1, а ближайшим круглым — 10 (как и для всех однозначных чисел). Для двузначных чисел это будет 100. Посмотрите на пары чисел, которые мы складываем, чтобы получить 100. Что вы видите?

Дополняющее число для 87 — 13, для 75 — 25 и так далее. И наоборот: дополняющее число для 13 — 87, а для 25 — 75. Решая каждую такую задачу слева направо, вы легко заметите, что во всех примерах (кроме последнего) сумма крайних левых чисел будет равна 9, а крайних правых — 10. Закономерность нарушается только тогда, когда числа заканчиваются на 0 (как в последнем примере): дополняющим числом для 80 будет 20.

Применим эту стратегию к вычислению 1234 — 567. Даже вычитание на бумаге в этом случае — не самое простое занятие, что уж говорить про подсчет в уме. Но с дополняющими числами этот зубодробительный пример вычитания превращается в простейший пример сложения! Вместо того чтобы вычитать 567, вычтем 600. Это гораздо проще, особенно если считать слева направо: 1234 — 600 = 634. Но ведь это не тот ответ, который нам нужен? Насколько не тот? Ровно на разность между 567 и 600 — такую же, как и между 67 и 100, то есть на 33. Значит,

1234 — 567 = 634 + 33 = 667

Правда, очень просто? Потому что при сложении ничего не нужно держать «в уме». И так просто дело будет обстоять почти всегда, когда вы используете дополняющие числа при вычитании, пусть и трехзначные:

В большинстве случаев (когда числа не заканчиваются на 0) сумма «основной» и «дополнительной» цифр равна 9, за исключением последней пары, равной 10. Например, для 789: 7 + 2 = 9; 8 + 1 = 9; 9 + 1 = 10. Следовательно, дополнительное число, считая слева направо, вычисляется так: 9 — 7 = 2, 9 — 8 = 1, 10 — 9 = 1. Метод дополнительных чисел пригодится при подсчете сдачи. Мои любимые бутерброды в соседнем магазине, например, стоят $6,76. Как узнать, сколько я получу, если расплачусь банкнотой в $10? Да как раз с помощью дополняющего до 1000 числа для 676 — 324. Значит, сдача будет $3,24.

Отступление

Каждый раз, покупая бутерброд, я волей-неволей замечаю, что и его цена, и возвращаемая мне сдача представляют собой квадраты чисел (26² = 676, а 18² = 324). Вопрос на засыпку: есть еще одна пара квадратов чисел, которые дают в сумме 1000. Сможете их найти?

Умножение в уме

Вы не поверите, но для того, чтобы легко умножать в уме, хотя бы примерно, достаточно выучить обычную таблицу умножения. А потом — набить руку (не беспокойтесь, учить больше ничего не придется) в решении примеров, в которых однозначное число умножается на двузначное. И снова: главный трюк — считать слева направо. Умножая, например, 8 на 24, умножьте сначала 8 × 20, а потом — 8 × 4:

8 × 24 = 8 × 20 + 8 × 4 = 160 + 32 = 192

Хорошо потренировавшись, переходите к перемножению одно — и трехзначных чисел. Это немного сложнее — просто потому, что чуть больше нужно держать в уме. Трюк в том, чтобы последовательно складывать промежуточные результаты и тем самым своевременно освобождать свою «оперативную» память. Например, при умножении 456 × 7 вашим предпоследним действием должно быть сложение 2800 + 350, а последним — прибавление 42.

Следующий шаг по пути мастера — операции с двузначными числами. Как по мне, так здесь-то и начинается самое веселье, хотя бы потому, что способов, которыми можно достичь нужного результата, много и все они разные. Это значит, что вы можете проверить себя — и одновременно насладиться стройностью арифметических чудес. Рассмотрим всего один пример: 32 × 38.

Самый популярный (и наиболее близкий к подсчету в столбик) метод — это метод сложения, безотказный в решении почти любой задачи. Он предлагает нам разбить одно из чисел (обычно то, которое состоит из меньших цифр) надвое, умножить каждую часть на второе число, а потом сложить результаты. Например,

32 × 38 = (30 + 2) × 38 = 30 × 38 + 2 × 38 =…

Как будем умножать 30 × 38? Сначала умножим 3 × 38, а в конце прибавим 0. То есть 3 × 38 = 90 + 24 = 114, поэтому 30 × 38 = 1140. А потом 2 × 38 = 60 + 16 = 76. В итоге

32 × 38 = 30 × 38 + 2 × 38 = 1140 + 76 = 1216

Другой способ решить наш пример (особенно если одно из наших чисел заканчивается на 7, 8 или 9) — использовать метод вычитания. Начать следует с того, что 38 = 40 — 2, а значит,

38 × 32 = 40 × 32 — 2 × 32 = 1280 — 64 = 1216

Сложность обоих методов — как сложения, так и вычитания — заключается в том, что они заставляют вас постоянно держать в голове большие числа (вроде 1140 или 1280), одновременно делая другие вычисления. Не самая простая задача. Мне больше по душе метод разложения на сомножители, особенно полезный всякий раз, когда одно из имеющихся у нас чисел является произведением двух однозначных чисел. В нашем примере это 32 — произведение 8 и 4. Следовательно,

38 × 32 = 38 × 8 × 4 = 304 × 4 = 1216

Если же мы разложим 32 на 4 и 8, получим 38 × 4 × 8 = 152 × 8 = 1216, но я лично предпочитаю умножать двузначное число сначала на больший сомножитель, а промежуточный результат (обычно трехзначный) — на меньший.

Отступление

Метод разложения отлично работает при умножении на 11 — хотя бы потому, что здесь есть один любопытный и при этом простой трюк: нужно просто сложить между собой цифры первого числа и поместить сумму в его середину. Для примера умножим 53 на 11: 5 + 3 = 8, значит, ответ будет 583. А вот 27 × 11 ÷ 2 + 7 = 9, в итоге получаем 297. А если сумма больше 9, берем последнюю цифру результата сложения, а первую цифру исходного числа увеличиваем на единицу. Например, 48 × 11 ÷ 4 + 8 = 12, значит, ответ будет 528. По аналогии: 74 × 11 = 814. Этот трюк работает и при умножении на числа, кратные 11, например,

74 × 33 = 74 × 11 × 3 = 814 × 3 = 2442

Другой интересный метод — метод сближения. Его можно использовать, когда двузначные числа, которые вы перемножаете, начинаются с одной и той же цифры. Неискушенному наблюдателю он может показаться настоящим фокусом. Ведь разве можно просто взять и поверить, что

38 × 32 = (30 × 40) + (8 × 2) = 1200 + 16 = 1216

Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3, а сумма их последних цифр — 8 и 2 — равна 10). Вот еще один пример:

83 × 87 = (80 × 90) + (3 × 7) = 7200 + 21 = 7221

Но даже если вторые цифры не дадут в сумме 10, метод от этого не станет менее эффективным и эффектным, да и вычисления усложнятся не так уж и сильно. Чтобы умножить, например, 41 на 44, сначала надо уменьшить меньшее из них на единицу (чтобы работать с круглым числом 40) и, соответственно, увеличить на ту же единицу большее число:

41 × 44 = (40 × 45) +(1×4) = 1800 + 4 = 1804

Для 34 × 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 = 41), а потом прибавляем 4 × 7:

34 × 37 = (30 × 41) + (4 × 7) = 1230 + 28 = 1258

Кстати, помните загадочный пример с 104 × 109? Там использовался тот же самый метод:

104 × 109 = (100 × 113) + (04 × 09) = 11 300 + 36 = 11 336

В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:

17 × 18 = (10 × 25) + (7 × 8) = 250 + 56 = 306

Как же так получается, что эта штука работает, спросите вы? Чтобы разобраться, нужно обратиться к алгебре — этим мы займемся в главе 2. А алгебра даст нам еще больше способов счета. Например, ту же задачу можно будет решить еще и вот так:

18 × 17 = (20 × 15) + ((–2) × (–3)) = 300 + 6 = 306

Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь, подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным, потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам в конце главы.

Приблизительный подсчет в уме. Деление в уме

Давайте начнем с очень простого вопроса, на который существует очень простой ответ, которому по какой-то неизвестной причине не учат в школах:

а) если вам нужно перемножить два трехзначных числа, сможете ли вы сразу сказать, из скольки знаков будет состоять результат?

И чуть посложнее:

б) число из скольки знаков получится, если умножить четырехзначное число на пятизначное?

В школе почти все время уходит на то, чтобы подбирать цифры при умножении и делении, а не на то, чтобы подумать о том, насколько большим будет результат. Да-да, умение примерно оценивать, насколько большим будет ответ, куда важнее умения находить его последние или даже первые цифры. (Подумайте сами, какой практический прок от знания того, что итог начинается с цифры 3, и не полезнее ли знать, к чему он будет ближе: к 30 или 300 000 или вовсе к 3 000 000?)

Ответ на вопрос (а) — из пяти или шести цифр. Знаете почему? Минимальный возможный пример — 100 × 100 = 10 000 (здесь пять цифр). Максимальный — 999 × 999, результат которого однозначно будет меньше семизначного 1000 × 1000 = 1 000 000 (пусть и ненамного). Но раз 999 × 999 меньше, значит, в ответе будет шесть цифр (давайте, кстати, вспомним, насколько легко это посчитать: 9992 = (1000 × 998) + 12 = 998 001.) Вот и вывод: результатом перемножения двух трехзначных чисел будет пяти — или шестизначное число.

Ответ на вопрос (б) — из восьми или девяти цифр. Почему? Наименьшее четырехзначное число — 1000, которое можно представить в виде 10³ (единица с тремя нолями). Наименьшее пятизначное число — 10 000, равное 10⁴. Следовательно, наименьшим произведением 10³ и 10⁴ будет 10⁷ — единица с семью нолями, восьмизначное число. (Откуда взялось 10⁷? Смотрите: 10³ × 10⁴ = (10 × 10 × 10) × (10 × 10 × 10 × 10) = 10⁷.) Ну а наименьшим произведением будет число, лишь ненамного меньшее десятизначного 10⁴ × 10⁵ = 10⁹, то есть девятизначное.

Такая логика приводит нас к простому правилу: умножение m-значного числа на n-значное даст число, в котором m + n или m + n — 1 знаков.

Конкретное количество цифр в ответе легче всего определить, взглянув на начальные (крайние левые) цифры перемножаемых чисел. Если их произведение больше или равно 10, тогда в ответе будет m + n цифр (например, в 271 × 828 произведение крайних левых цифр — 2 × 8 = 16 — больше десятки, поэтому ответом будет шестизначное число). Если произведение крайних левых цифр меньше или равно 4, тогда в ответе будет m + n — 1 цифр (например, 314 × 159 будет иметь пятизначный ответ). Ну а на случаи, в которых произведение крайних левых цифр будет равняться 5, 6, 7, 8 или 9, нам придется посмотреть чуть более внимательно. Например, произведение 222 и 444 — пятизначное, а вот 234 и 456 — шестизначное. Но куда важнее то, что оба ответа очень близки к 100 000.

В результате у нас получается еще более простое правило, уже в отношении деления: деление m-значного числа на n-значное даст число, в котором m — n или m — n + 1 знаков.

То есть девятизначное число, разделенное на пятизначное, даст нам четырех — или пятизначный результат. Правило определения более конкретного ответа здесь еще проще, чем в случае с умножением. Крайние левые цифры не нужно ни умножать, ни делить — достаточно их просто сравнить. Если крайняя левая цифра делимого меньше крайней левой цифры делителя, в частном будет меньшее количество цифр (m — n). Если же крайняя левая цифра делимого больше крайней левой цифры делителя, в частном будет больше (m — n + 1) цифр. Если же цифры обоих чисел одинаковые, смотрим на следующие после них цифры и применяем то же правило. Например, в результате деления 314 159 265 на 12 358 мы получим пятизначное число, а на 62 831 — четырехзначное. Деление 161 803 398 на 14 142 даст пятизначный ответ, потому что 16 больше 14.

Рассказывать в подробностях про процесс деления в уме я здесь не буду: он мало чем отличается от деления в столбик на бумаге (но каким бы методом вы ни воспользовались, считать нужно слева направо). Но есть парочка уловок, которые значительно облегчат вам жизнь.

Скажем, если вы делите на 5 (или на любое число, заканчивающееся на 5), удвойте числитель и знаменатель, и задача станет проще. Например,

После удвоения обоих чисел хорошо видно, что и 246, и 9 кратны 3 (мы поговорим об этом подробнее в главе 3), поэтому задача упрощается до деления отдельно числителя и знаменателя на 3.

Отступление

Взгляните на взаимно обратные числа для чисел от 1 до 10:

1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333…; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2;

1/6 = 0,1666…; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,111…; 1/10 = 0,1

Все дроби здесь либо конечны, либо цифры в них начинают повторяться со второго знака после запятой. Единственным исключением является десятичная дробь от 1/7, повторение в которой начинается с седьмой цифры:

1/7 = 0,142857142857…

(Причина этой закономерности в том, что все другие числа от 2 до 11 делятся на 10, 100, 1000, 9, 90 или 99, ближайший же делитель для 7 — 999 999.) Если же записать цифры десятичного аналога 1/7 в виде круга, произойдет чудо:

Что интересно, все другие дроби со знаменателем 1/7 тоже могут воссозданы с помощью бесконечного движения по этому кругу — меняться будет только точка начала этого движения. Посмотрите сами:

1/7 = 0,142857142857…; 2/7 = 0,285714285714…;

3/7 = 0,428571428571…; 4/7 = 0,571428571428…;

5/7 = 0,714285714285…; 6/7 = 0,857142857142…

Давайте закончим эту главу тем же вопросом, который мы уже задавали несколько страниц назад. Чему будет равняться сумма всех чисел в таблице умножения? На первый взгляд звучит пугающе — так же, как и попытка найти сумму первых ста чисел. Но знакомство со всеми описанными выше замечательными закономерностями, которые так ловко заставляют числа танцевать, значительно повышают наши шансы легко и красиво найти правильный ответ.

Начнем с первого ряда — посчитаем сумму всех чисел в нем. Можно — как Гаусс, можно — с помощью формулы треугольных чисел, а можно — путем обычного сложения: