Связанные понятия
Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.
Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины ́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, С.Р. Рао, Б. Рамачандран.
Упоминания в литературе
Во вторых же системах, а именно – вероятностных, напротив, действует постулат независимых испытаний, т. е. каждый отдельно взятый опыт должен быть поставлен вне всякой связи с другим, ему аналогичным. В этом контексте на все вероятностно трактуемые события налагается условие независимости их друг от друга. Таков основной постулат классической теории вероятностей. О нем нередко забывают, используя без коррекций и оговорок эту теорию применительно к реальной макродействительности, т. е. по отношению к системам геологическим, биологическим, социологическим (прогнозы и зондаж общественного мнения, ввиду их некорректности, как и следовало ожидать, очень часто несостоятельные, далекие от действительности). Более адекватным было бы исходить из новой, неклассической
теории вероятности событий как частично зависимых и на этой основе создать новую эпистемологию и новую квантовую теорию макромира, описывающую эволюцию и динамику систем природы и общества. В описывающей события субатомного мира классической квантовой теории (механике, теории поля, электродинамике и пр.) основным орудием служит волновая функция, аргументы которой неименованные величины, вероятности. Поэтому иногда говорят (в частности, так высказался известный немецкий физик К. Ф. Вейцзеккер), что «квантовая теория есть не что иное как общая теория вероятностей»[117].
Небезынтересно сравнить роль и задачу операций, как они выступают при трактовке интерсубъективности и при определении специфических объектов отдельных наук. В первом контексте операции играют роль конкретных процедур, посредством которых разные субъекты могут достигнуть согласия насчет применимости некоторых понятий. Во втором контексте они играют роль условий, которые надо выполнять, вводя базовые предикаты и строя таким образом специфические объекты данной науки.
Ясно, что эти две функции различны. Однако между ними есть глубинное родство. Действительно, мы подчеркивали, что критерии объективности операциональны постольку, поскольку задаются через указание инструментов и предписаний для их использования. Более того, смысл этих предписаний, как мы отмечали, состоит в том, что каждый оператор, способный правильно им следовать, в определенных условиях должен получить те же самые результаты, являющиеся результатами операций, составляющих определение предиката, используемого при проверке претензий любого другого оператора относительно конкретного данного. Этот факт ясно указывает, что прежние условия всеобщности, инвариантности и независимости от субъекта, которые были самыми типичными признаками объективности, понимаемой как интерсубъективность, также включаются в значение объективности, понимаемой как «отнесение к специфическим научным объектам».
Авторы указывают, что, согласно А. А. Любищеву, «форма… вовсе не приспособлена к функции, как ключ к замку. Именно поэтому возможны пре адаптации… По той
же причине простая функция может выполняться чрезвычайно разнообразными органами, а на один и тот же тип органа могут быть возложены самые разнообразные функции» (с. 119). Возможность преадаптации, следовательно, Любищев связывает с независимостью друг от друга формы и функции. Но что же такое тогда преадаптация, как не все то же соответствие структуры – некоторой функции, но только еще не осуществившейся, а потенциальной?
Явления, которые мы воспринимаем непосредственно нашими чувствами и при помощи научных инструментов – то есть весь мир, изучаемый механистической наукой – представляют лишь фрагмент реальности, развернутый или эксплицитный (явный) порядок. Это особая форма, источником и генерирующей матрицей которой является более фундаментальная всеобщность существования – свернутый или имплицитный (неявный) порядок, в нем эта форма содержится и из него возникает. В имплицитном порядке пространство и время уже не являются доминирующими факторами, детерминирующими отношения
зависимости или независимости различных элементов. Различные аспекты существования значимо связаны с целым, они выполняют особые функции ради конечной цели, а не являются независимыми строительными блоками. Образ Вселенной напоминает, следовательно, живой организм, органы, ткани и клетки которого имеют смысл только в отношении к целому.
Тем не менее, эта собственно спинозистская перспектива не имеет в виду только лишь аксиому Аристотеля. Мы не понимаем, почему сам Аристотель и многие другие не дошли до теории параллелизма. Спиноза охотно признает: «Истинная же идея, как мы показали… показывает, каким образом или почему что-либо есть или произошло и что ее объективные действия в душе происходят в соответствии с формальной сущностью самого объекта; это то же самое, что говорили древние, именно, что истинная наука идет от причины к действиям; только древние, насколько я знаю, никогда не представляли, как мы здесь, душу, действующей по известным законам и как бы некиим духовным автоматом».[188] «Духовный автомат» прежде всего означает то, что идея, будучи модусом мышления, не находит свою причину (действующую и формальную) где-то еще, кроме как в атрибуте мышления. Точно также, объект, каков бы он ни был, находит свою действующую и формальную причину только в атрибуте, чьим модусом он является и чье понятие [concept] он свертывает. Следовательно, вот что отделяет Спинозу от древней традиции: между идеями и вещами, вещами и идеями исключается любая действующая или формальная каузальность (особенно материальная и конечная). Такой двойной вывод не отсылает к аксиоме, но является объектом доказательства, которое занимает начало книги II Этики.[189] Следовательно,
Спиноза может утверждать независимость двух серий, серии вещей и серии идей. То, что – в любой идее – соответствует чему-либо, является, в данных условиях, первым элементом параллелизма.
Связанные понятия (продолжение)
Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу , характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна.
Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Ковариа́ция (корреляционный момент, ковариационный момент) — в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.
Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.
Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором.
Апостерио́рная вероя́тность — условная вероятность случайного события при условии того, что известны апостериорные данные, т.е. полученные после опыта.
Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.
Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Подробнее: Центральная предельная теорема
В теории вероятностей случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число значений с равными вероятностями.
Подробнее: Дискретное равномерное распределение
Функция потерь — функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения между истинным значением оцениваемого параметра и оценкой параметра.
Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).
То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.
Вероятностный метод — неконструктивный метод доказательства существования математического объекта с заданными свойствами. В основном используется в комбинаторике, но также и в теории чисел, линейной алгебре и математическом анализе, а также в информатике (например, метод вероятностного округления) и теории информации.
Ме́тод максима́льного правдоподо́бия или метод наибольшего правдоподобия (ММП, ML, MLE — англ. maximum likelihood estimation) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия.
Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.
Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.
Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов...
Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.
Подробнее: Измеримая функция
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Выпуклая функция (выпуклая вниз функция) — функция, для которой любой отрезок между двумя любыми точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика. Эквивалентно, выпуклой является функция, надграфик которой является выпуклым множеством.
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.
Закон больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей — принцип, описывающий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Состоя́тельная оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру.
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Гауссовский процесс назван так в честь Карла Фридриха Гаусса, поскольку в его основе лежит понятие гауссовского распределения (нормального распределения). Гауссовский процесс может рассматриваться как бесконечномерное обобщение многомерных нормальных распределений. Эти процессы применяются в статистическом моделировании; в частности используются свойства нормальности. Например, если случайный процесс моделируется как гауссовский, то распределения различных производных величин, такие как среднее значение...
Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и y будет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты).
Логистическая регрессия или логит-регрессия (англ. logit model) — это статистическая модель, используемая для прогнозирования вероятности возникновения некоторого события путём подгонки данных к логистической кривой.
Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.
Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным).
В теории чисел гладким числом называется целое число, все простые делители которого малы.
Подробнее: Гладкое число
В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).
«Тогда́ и то́лько тогда ́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение...
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (или собственным значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная...
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.
Подробнее: Конечные разности
В теории вероятностей говорят, что событие почти достоверно или что оно произойдет почти наверняка, если это произойдет с вероятностью 1. Понятие является аналогом понятия «почти всюду» в теории меры. В то время, как во многих основных вероятностных экспериментах нет никакой разницы между «почти достоверно» и «достоверно», (то есть, событие произойдет совершенно точно), это различие важно в более сложных случаях, относящихся к случаям рассмотрения какой-либо бесконечности. Например, термин часто...
Подробнее: Почти достоверное событие Упоминания в литературе (продолжение)
2.0122. Предметы независимы настолько, насколько они способны воплощаться во всех возможных позициях, но эта форма независимости является и формой связи с позициями, формой
зависимости. (Невозможно, чтобы слова одновременно выступали и сами по себе, и в суждениях.)
Потеряв в специальной теории относительности свою «независимость» от движущихся тел и друг от друга, пространство и время как бы «нашли» друг друга в едином пространственно-временном четырехмерном континууме. Автор континуума математик Герман Минковский опубликовал в 1908 г. работу «Основания теории электромагнитных процессов», в которой утверждал, что отныне пространство само по себе и время само по себе должны быть низведены до роли теней и только некоторый вид соединения обоих должен по-прежнему сохранять самостоятельность. Идея А. Эйнштейна и состояла в том, чтобы представить все физические законы как свойства этого континуума, как его метрику. С этой новой позиции А. Эйнштейн рассмотрел закон тяготения И. Ньютона. Вместо силы тяготения он стал оперировать полем тяготения. Поля тяготения были включены в пространственно-временной континуум как его «искривление». Метрика континуума стала неевклидовой, «римановской» метрикой. «Кривизна» континуума
стала рассматриваться как результат распределения движущихся в нем масс. Новая теория объяснила не согласующуюся с ньютоновским законом тяготения траекторию вращения Меркурия вокруг Солнца, а также отклонения луча звездного света, проходящего вблизи Солнца.
Наиболее объективную версию этого тезиса м-ра Мида мы находим во второй главе – в противопоставлении прошлого, соотнесенного с настоящим, и прошлого как абсолюта. Он утверждает, особенно в критике Александера, что прошлое, которого требует физика, есть лишь выражение тождественных связей в природе, а не предшествующая среда, существующая сама по себе и порождающая в своем обособленном бытии всю последующую реальность. Пространство-время в метафизике Александера
представляет собой, видимо, математическую структуру, извлеченную из связи с интерпретируемыми ею физическими данными и ставшую, во всей ее абстрактной независимости, метафизической матрицей, из которой должны каким-то образом выводиться все тонкости природы. Именно этим, на взгляд Мида, и было бы прошлое «как таковое»: обусловливающей фазой природного процесса, превращенной в метафизическую субстанцию. Поиск такой субстанции не исключается для тех, кого она может интересовать. Но ученому-исследователю нет никакого дела до такого рода вещей.
Символическая логика применяется для строгого логического анализа формализованных конкретных теорий, в которых «наряду с аксиоматизацией и точным установлением логических средств понятия и выражения данной теории заменяются некоторыми символическими обозначениями» [1, 235]. Логический анализ состоит в проверке независимости и непротиворечивости аксиом, правильности и строгости применения правил формальной логики, выявлении возможности обобщения аксиом и замены аксиомы другой, противоположной по смыслу аксиомой и т. д. Безусловно, такой анализ дает возможность уточнять и развивать конкретную теорию. Но при этом упускается из виду, что идеальный конструкт – это теоретическая
схема реального объекта. Изучая как угодно полно и точно теоретическую схему, мы можем получить некоторые знания об объекте только в том случае, если теоретическая схема достаточно полно в качественном отношении и достаточно точно в количественном отношении соответствует объекту.
В самом широком смысле понятие ценностей было применено антропологами в «Сравнительном исследовании ценностей пяти культур (навахо, зуньи, мормонов, тексанцев и испано-американцев)», которое было проведено Гарвардским университетом. В этом исследовании фигурируют такие широкие ценности, как «гармония универсума» (позитивно оцениваемое состояние дел у навахо) и «индивидуальная независимость» (позитивно оцениваемое состояние у тексанцев). Схожей же традиции придерживался, развивая свою модель, и Парсонс (тоже в Гарварде), однако парсонсовская схема выводила на передний план классификацию этих и без того уже широких абстракций и преобразование их в компонентную таксономию ценностных типов.
(Например, основополагающие ценности общества могут быть просто классифицированы по их характеру как «универсалистско-достиженческие» или «партикуляристско-аскрипционные»; см.: Parsons and Shils, 1952). Такого рода типология полезна в некоторой степени как эвристический инструмент; оправданность ее использования в качестве аналитического инструмента мы обсудим позже.
Мы упомянули выше о лейбницевском идеализме. Здесь можно присовокупить, что этот идеализм, исходя из [учения] о представляющей монаде, которая определена как для-себя-сущая, дошел лишь до только что рассмотренного нами отталкивания, и притом лишь до множественности, как таковой, в которой каждое «одно» есть лишь для себя, безразлично к наличному бытию и для-себя-бытию иных или, иначе говоря, иных вообще нет для «одного». Монада есть для себя весь замкнутый мир; она не нуждается в других монадах. Но это внутреннее многообразие, которым она обладает в своем представлении, ничего не меняет в ее определении – быть для себя. Лейбницевский идеализм понимает множественность непосредственно как нечто данное и не постигает ее как некое отталкивание монады; для него поэтому множественность имеется лишь со стороны ее абстрактной внешности. У атомистики нет понятия идеальности; она понимает «одно» не как нечто такое, чтó содержит внутри самого себя оба момента, момент для-себя-бытия и момент для-него-бытия, понимает его, стало быть, не как идеальное, а лишь как просто, чисто (trocken) для-себя-сущее. Но она идет дальше одной лишь безразличной множественности; атомы приобретают
дальнейшее определение в отношении друг друга, хотя это происходит, собственно говоря, непоследовательно; между тем как, напротив, в указанной безразличной независимости монад множественность остается неподвижным основным определением, так что их соотношение имеет место лишь в монаде монад или в рассматривающем их философе.
Во-вторых, в логическом атомизме
Витгенштейна получили более наглядное выражение «онтологические» следствия использования экстенсионального языка в качестве «образа» мира. Независимость атомарных фактов друг от друга, отсутствие в реальности какой-либо иной необходимости, кроме логической, – все это черты мира, подчиненного принципам экстенсиональной логики.
Однако метафора прибирания к рукам – хоть и стержневой признак, производный от manipula, но отнюдь не единственный, конституирующий психологическую манипуляцию. В процессе своего становления, как мы видели, этот признак был дополнен другими качествами. Во-первых, для манипуляции характерны искусность, ловкость, мастерство исполнения. Действительно, топорно состряпанное воздействие не подпадает под то интуитивное ощущение манипуляции, которым мы привыкли руководствоваться. И во-вторых, манипуляция предполагает создание иллюзии. Не имело бы смысла называть некое действие манипуляцией, если бы оно совершалось явно. Плох тот иллюзионист, который не может создать требуемую по замыслу фокуса иллюзию, все уловки которого на виду. Плох тот кукольник, который не способен заставить зрителей забыть, что действующие в пьесе лица – всего лишь куклы-марионетки. Поэтому манипуляция в метафорическом
значении предполагает также и создание иллюзии независимости адресата воздействия от постороннего влияния, иллюзии самостоятельности принимаемых им решений и выполняемых действий.
Люди, сознательным образом управляющие своими психическими процессами, берут под контроль доступный вриль и захламленные участки психики переводят в активный режим. Этому сопутствует преодоление иллюзий личности, которые являются неотъемлемой
частью подобных процессов. Те, кто способен сформировать камертонные свойства в своей психике, обладают значительной степенью независимости от социальных процессов и сами оказывают влияние на них.
Биты получили свободу. С появлением Сети биты обрели независимость от людей и свое место – виртуальную реальность. Вот подходящее определение реальности:
Объективные законы суть законы эмпирических объектов, но сами они эмпирическими объектами не являются. Они сами по себе не возникают, не изменяются и не исчезают. Это не значит, что они вечны и неизменны. Просто по самому смыслу понятий к ним нельзя применять понятия возникновения, изменения, исчезновения, неизменности, вечности. Они не
имеют независимости от объектов существования. Об их существовании мы судим не путем их непосредственного наблюдения (их невозможно видеть, слышать, трогать руками), а по их проявлениям в ситуациях с эмпирическими объектами. Они открываются на основе наблюдений эмпирических фактов, но открываются благодаря особого рода интеллектуальным операциям.
В отличие от гуманитарного знания, в науках (естественных и социальных) между исследователем и объектом исследования стоит метод, который призван обеспечить достижение истины и независимость результатов от познающего субъекта[6]. В пр отивоположность субъективности художников (и, в определенной степени, представителей гуманитарного знания) ученые стремятся к интерсубъективной воспроизводимости
результатов. Можно добавить, что принципиальной характеристикой исследований в естественных и социальных науках, в сравнении с философскими построениями, являются эмпирическое тестирование и проверка полученных результатов, а не только иллюстрация теоретических моделей. И, в отличие от исторических исследований, в них открыто используются (и критикуются) теоретические модели при анализе эмпирического материала.
«Не стоит имитировать других», – однажды сказал Леонардо да Винчи. Его эпоха и в особенности темное время до Возрождения
были наводнены непроверенными теориями о природе, носящими догматический характер. Независимость мышления, привычка ставить под сомнение общепринятые парадигмы позволили великому мастеру быть ближе к истине, чем кому-либо.
4. Аксиома независимости потребителя. Данная
аксиома гласит, что степень удовлетворения потребителя зависит только от количества потребляемых им благ и не зависит от количества благ, потребляемых другими потребителями.