Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности.
Математика может быть занимательной, математические фокусы — впечатляющими, отношения, в которые вступают между собой цифры — причудливыми. Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.
Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия есть качество величайшей ценности, но у тов. Ларина её маленький избыток.
Я люблю математику за то, что в ней нет ничего человеческого, за то, что с нашей планетой, со всей вселенной её, по существу, ничего не связывает. За то, что любовь к ней… безответна.
Использование программы для доказательства теоремы о четырех красках не изменит математики. Оно просто покажет, что задача, которая оставалась нерешенной в течении столетия, возможно, не так уж важна для математики.
Профессия криминального адвоката манила жаждой побед и эстетикой процесса познания, холодного и эмоционально отстраненного от познаваемого объекта. Та же игра ума, что и в математике, только вместо цифр — людские судьбы.
Мне кажется, что логика учит нас познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых уже рассуждений и доказательств; но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства — этому я не верю.
Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. «А, такой-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.»
Я вознамерился говорить о Физической, Метафизической, и Математической — о Вещественной и Духовной Вселенной: о ее Сущности, ее Происхождении, ее Сотворении, ее Настоящем Состоянии, и Участи ее.
Духовный свет в человеке есть свет его разума, предметы которого суть истины, располагаемые им в аналитическом порядке, на основании которых он рассуждает и выводит последовательные заключения. (HH 130)
В математике ум исключительно занят собственными формами познавания — временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом.
Он был мал, этот самый первый искусственный спутник нашей старой планеты, но его звонкие позывные разнеслись по все́м материкам и среди всех народов как воплощение дерзновенной мечты человечества.
Человек не устраним из философии. Познающий философ погружен в бытие и существует до познания бытия и существования, и от этого зависит качество его познания. Он познает бытие, потому что сам есть бытие.
Мне кажется, у людей очень узкое понимание того, что возможно в реальном мире, им кажется, что нас окружает разверстая бездна непознаваемого, и никто не знает, что там в ней.
Средневековые образы и символы - отличная пища для воображения. Они пытаются описать мироздание так, как будто в нём больше логики и порядка, чем на самом деле. И эта идея западает в голову куда лучше, чем реальный мир.
Маркс не был хорошим математиком. Он все время путался в цифрах и формулах, его трудовая теория стоимости не слишком содержательна, но, в сущности, я интерпретирую Маркса, и Маркс интересен мне как классический экономист.
Математики пренебрегли вызовом и предпочли бежать от природы путём изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.
Говорить, что религия недоступна разуму, значит допускать, что она не создана для разумных существ; значит согласиться с тем, что сами доктора богословия ничего не смыслят в тайнах, которые они каждодневно проповедуют.
Стремление снизу вверх неистощимо. О каких бы основаниях ни размышляли философы и психологи — о самосохранении, принципе удовольствия, уравнивании — всё это не более, чем отдалённые репрезентации великого движения ввысь.
Кажущиеся теперь столь наивными представления о небесном своде — по сути, точная внутренняя граница нашего знания, которую объявили внешней. Этот непрозрачный колпак, который мы несем с собою, чуть колышется при каждом шаге.
«Никто не требует от вас выводить на экзамене всю аналитическую геометрию. Это было сделано до вас многими умными людьми. Некоторые вещи надо просто знать». (На сдаче, получив от студента неточный ответ.)
Единение людей с людьми, основанное на реальном различии между людьми, понятие человеческого рода, перенесённое с неба абстракции на реальную землю,— что это такое, как не понятие общества!
Процесс, который привёл от амёбы к появлению человека для философов должен быть очевиден как прогресс, хотя неизвестно, согласилась бы амёба с этим мнением.
В программировании трудно найти правильную единицу времени для измерения прогресса. Некоторые соборы строились веками. Можно ли вообразить грандиозность и размер программы, на которую затратили столько времени?
Любое государство как таковое есть машина, а у машины нет разума, по каким бы разумным образцам она не была построена — и вся надежда на то, что, как и всякая машина, оно не вечно.
Действительно, достаточно хорошо замечено, что уже древние геометры для разрешения всевозможных проблем применяли известный анализ, хотя и не пожелали передать его потомству.
Тогда наши две полосы, как бы узки они ни были, всегда будут иметь общую площадь, тем меньшую, чем меньше будет их ширина, и пределом её будет то, что чистый геометр называет точкой.
Тоже нет, так как то пространство, которому могут научить нас наши чувства, абсолютно отлично от пространства геометра.