Пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня в 2024 году

Екатерина Дмитриевна Сойникова, 2023

Пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня содержит:– краткий теоретический материал по каждому заданию проекта КИМ 2024 года от ФИПИ, где собраны все необходимые формулы и определения, и ничего лишнего;– подробный разбор демонстрационного варианта проекта КИМ 2024 года от ФИПИ;– подробный разбор открытого варианта КИМ 2023 года от ФИПИ;– большое количество прототипов заданий 19-21 для самостоятельного решения, выгруженных из открытого банка заданий ФИПИ.С помощью данной книги школьник сможет четко понимать, то какие определения и формулы ему необходимы для решения конкретного задания ЕГЭ по математике базового уровня.

Задание 7. Анализ графиков и диаграмм

7.1. Общие вопросы

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2024 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 7 указывается «умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция, производная, определять значение функции по значению аргумента; описывать по графику поведение и свойства функции».

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 7.

Чтобы решить задание 7 по математике базового уровня необходимо знать:

• что такое линейная функция и её график;

• что такое производная функции;

• геометрический смысл производной;

• как исследовать график функции.

Линейная функция

Линейная функция (прямая) имеет вид y = kx + b, где k — угловой коэффициент, который характеризует угол, который образует прямая y = kx + b положительным направлением оси Ох. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0, то — тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней.

Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, где α — угол наклона касательной.

Также для удобства составим таблицу, которая будет демонстрировать зависимость коэффициента k от угла наклона прямой:

Производная функции

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует

Геометрический смысл производной функции

Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.

Значение производной функции y = f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

f^'(x) = k.

Если производная функции y = f(x) в точке x₀ равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x₀, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, то

f^'(x₀ ) = tg α.

Исследование функции

Промежутки монотонности функции (промежутки возрастания и убывания функции)

Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁ < x₂, справедливо неравенство f(x₁) < f(x₂).

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁ < x₂, справедливо неравенство f(x₁) > f(x₂).

Точки экстремума (точки максимума и минимума функции)

Точка x_max области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(x_max). Значение y_max = f(x_max) называется максимумом этой функции.

Точка x_min области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(x_min). Значение y_max = f(x_min) называется минимумом этой функции.

7.2. Примеры заданий и методика их выполнения

Пример 1 [4]

Условие

На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.

ГРАФИКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) 0,75

2) — 0,2

3) 3

4) — 5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение

Данное задание можно решить наглядно, найдя значение производной. Затем учесть, что оно равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, то мы можем достроить все прямые до прямоугольного треугольника и найти тангенс угла наклона:

Так тангенс прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему, найдем поочерёдно значение k для каждой из прямых:

А) k = 3/1 = 3, так как 45° < α < 90°, k < — 1, следовательно k = 3

Б) k = 5/1 = 5, так как 90° < α < 135°, k < — 1, следовательно k = — 5

В) k = 3/3 = 0,75, так как 0° < α < 45°, k < — 1, следовательно k = 0,75

Г) k = 1/5 = 0,2, так как 135° < α < 180°, — 1 < k < 0, следовательно k = — 0,2

Заполним таблицу:

Ответ: 3412.

Пример 2 [3]

Условие

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение

Так как значение производной равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Поэтому определим угловые коэффициенты для каждой из прямых. Для удобства пронумеруем их на рисунке и покажем угол наклона каждой прямой с положительным направлением оси Ox:

Составим таблицу, в которой определим коэффициент угла наклона каждой прямой

Заполним таблицу:

Ответ: 2143.

Пример 3 [3]

Условие

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [-1; 1].

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Функция имеет точку максимума на отрезке [1; 1].

2) Функция имеет точку минимума на отрезке [1; 1].

3) Функция возрастает на отрезке [1; 1].

4) Функция убывает на отрезке [1; 1].

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение

Рассмотрим подробнее каждую из представленных функций:

А) Данная функция убывает на отрезке [–1; 1], так как f(–1) > f(1).

Б) Данная функция имеет точку максимума на отрезке [–1; 1].

В) Данная функция возрастает на отрезке [1; 1], так как f(–1) < f(1).

Г) Данная функция имеет точку минимума на отрезке [1; 1].

Подтвердим данные отверждения дополнительными обозначениями на рисунке:

Заполним таблицу:

Ответ: 4132.

Пример 4 [3]

Условие

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

Решение

При решении подобного задания будет удобно выделить на графике нужные интервалы, и посмотреть, то как ведет себя график на конкретном интервале:

Таким образом, очевидно, что на интервале А температура не превышала 30°C, на интервале Б рост температуры был самым медленным, на области В температура находилась в пределах от 40°C до 80°C, а в области Г температура падала.

Заполним таблицу:

Ответ: 4132.