Парадокс пари

Парадокс пари (Парадокс галстуков) — известный парадокс, похожий на задачу о двух конвертах, также демонстрирующий особенности субъективного восприятия теории вероятностей.

Суть парадокса: двое мужчин дарят друг другу на Рождество галстуки, купленные их жёнами. За напитками они начинают спорить, у кого галстук дешевле. Они приходят к тому, чтобы заключить пари — они будут консультироваться со своими жёнами и выяснят, какой галстук дороже. Условия пари в том, что человек с более дорогим галстуком должен отдать его проигравшему как утешительный приз.

Первый человек рассуждает следующим образом:

«Победа и поражения одинаково вероятны. Если я выиграю, я потеряю стоимость моего галстука. Но если я проиграю, то я выиграю больше, чем стоимость моего галстука. Поэтому шансы в мою пользу».

Второй человек считает условия пари точно такими же, и, как ни парадоксально, кажется, оба мужчины имеют преимущество в этом пари. Это, очевидно, не представляется возможным.

Парадокс разрешается после более тщательного рассмотрения, что теряет проигравший участник и что приобретает выигравший.

Если предположить для простоты, что возможная цена галстука $20 или $30 и шансы получить дешёвый или дорогой равны, тогда получается четыре возможных исхода:

Из таблицы видно, что первый человек имеет шанс 50 % на нейтральный результат (стоимость их галстуков одинакова), шанс 25 % выиграть галстук за 30 $ и, соответственно, шанс 25 % этот галстук стоимостью 30 $ проиграть.

Касательно сценариев выигрыша и проигрыша — если человек теряет 30 $, это правда. Если он получает 30 $, также правдой является факт, что он получил больше, чем стоимость его галстука. Шанс выигрыша и проигрыша одинаков, и то, что мы называем «стоимостью галстука» в сценарии проигрыша, — то же самое, что и «стоимость галстука» в ситуации выигрыша.

Соответственно, ни один игрок не имеет преимущества.

В целом, ошибка кроется вот в чём:

когда первый игрок представляет тот исход пари, когда его галстук окажется менее ценным, он должен понизить свои ожидания, как в ситуации, когда он не обладает никакой дополнительной информацией.

В ситуации, когда первый игрок принимает пари, он ведёт себя так, словно его галстук стоит столько же, даже в ситуациях, когда он стоит меньше, или больше, чем галстук другого игрока. Разумеется, цена, уплаченная за галстук его женой, постоянна, и не меняется от итогов пари, когда может выясниться, что какой-то из галстуков стоит больше. Эта цена, какой бы она ни была, ему не известна. Это лишь его убеждения о цене, которые отличаются от тех убеждений, которые у него будут после дополнительной информации. А своё решение о том, принимать или не принимать ставку, игрок должен принимать исходя из первоначального представления о ценах.

Дополнительные условия: если цены на галстуки могут быть сколь угодно большими, то даже знание цены собственного галстука ничего не меняет. Однако же, если один игрок точно знает то, что ни один галстук не может стоить больше, например, 100 $, то, зная какой из них стоит больше, он может определить математическое ожидание ценности обоих галстуков (один возрастает, другой убывает).

Решение парадокса

На самом деле вышеприведённые рассуждения имеют слабое отношение к разрешению парадокса.

С точки зрения теории вероятностей в исходном рассуждении имеется грубая ошибка, которая заключается в неверности исходной посылки игроков «победа и поражения одинаково вероятны». Более того, вообще не имеет смысла говорить о вероятностях, пока не введено какое-либо вероятностное распределение.

Чтобы иметь возможность говорить о вероятности победы, необходимо предварительно ввести распределение цен галстуков. Иными словами, нужно для любого натурального n = 1, 2, … ввести число Pn, равное вероятности того, что у игрока окажется галстук стоимостью n центов. При этом сумма всех чисел P1 + P2 + P3 + … = 1.

Тогда если у вас имеется галстук стоимостью m, то вероятность того, что у противника галстук дешевле, равна P1 + P2 + … + P(m−1), а вероятность того, что у противника галстук дороже, равна P(m+1) + P(m+2) + P(m+3) + …

Утверждение «победа и поражения одинаково вероятны» означает, что эти суммы должны быть равны.

Однако очевидно, что эти суммы не могут быть равны одновременно для любого m, как бы мы ни подбирали числа Pn.

Поэтому неверна исходная посылка о равной вероятности победы и поражения, и парадокс пропадает.

Пример. Ваш галстук стоит минимальную цену (1 цент). Тогда ваш галстук не может оказаться дороже, и вы всегда выиграете, за исключением случая, когда у противника галстук стоит тот же 1 цент. Это означает, что победа и поражение могут быть равновероятны (причём имеют вероятность 0) только в тривиальном случае, когда P1 = 1, а P2 = P3 = … = 0, то есть все галстуки в мире стоят 1 цент, и в пари всегда будет ничья. Но никакого парадокса в этом случае нет.

Аналогично можно рассмотреть случай любой иной суммы.

Источник: Википедия