Задача о самом широком пути

  • Задача о самом широком пути — это задача нахождения пути между двумя выбранными вершинами во взвешенном графе, максимизирующего вес минимального по весу ребра графа (если рассматривать вес ребра как ширину дороги, то задача стоит в выборе самой широкой дороги, связывающей две вершины). Задача о самом широком пути известна также как задача об узком месте или задача о пути с максимальной пропускной способностью. Можно приспособить алгоритмы кратчайшего пути для вычисления пропускной способности путём использования некоего специального значения вместо длины пути. Однако, во многих случаях возможны более быстрые алгоритмы.

    Например, в графе, который представляет соединения между маршрутизаторами в интернете, в котором вес ребра представляет полосу пропускания соединения между двумя маршрутизаторами, задача о самом широком пути соответствует задаче поиска сквозного пути между двумя узлами интернета, который имеет максимально широкую полосу. Наименьший вес ребра на этом пути известен как ёмкость или ширина пути. Наравне с приложениями в маршрутизации в сети задача о самом широком пути является также важной компонентой метода Шульце определения победителя в многоходовых выборах, она была использована в цифровом совмещении изображений , анализе метаболических потоков и для вычисления максимальных потоков.

    Тесно связанная задача о минимаксном пути спрашивает о пути, который минимизирует максимальный вес любого из рёбер (можно интерпретировать как поиск самой ровной дороги, имеющей минимальные углы подъёма и спуска). Эта задача находит приложение в планировании дорожного движения. Любой алгоритм для задачи о самом широком пути может быть преобразован в алгоритм о минимаксном пути и наоборот путём обращения смысла всех сравнений весов, предпринимаемых в алгоритме, или, эквивалентно, путём замены весов на отрицательные значения.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, сокращённо TSP) — одна из самых известных задач комбинаторной оптимизации, заключающаяся в поиске самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и тому подобное) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и тому подобного. Как правило, указывается, что...
В комбинаторной оптимизации под линейной задачей о назначениях на узкие места (linear bottleneck assignment problem, LBAP) понимается задача, похожая на задачу о назначениях.

Подробнее: Линейная задача о назначениях в узких местах
Зада́ча о кратча́йшем пути́ — задача поиска самого короткого пути (цепи) между двумя точками (вершинами) на графе, в которой минимизируется сумма весов рёбер, составляющих путь.
Геометрический остов (англ. geometric spanner) или t-остовной граф, или t-остов первоначально был введён как взвешенный граф на множестве точек в качестве вершин, для которого существует t-путь между любой парой вершин для фиксированного параметра t. t-Путь определяется как путь в графе с весом, не превосходящим в t раз пространственное расстояние между конечными точками. Параметр t называется коэффициентом растяжения остова.
Задача о самом длинном пути — это задача поиска простого пути максимальной длины в заданном графе. Путь называется простым, если в нём нет повторных вершин. Длина пути может быть измерена либо числом рёбер, либо (в случае взвешенных графов) суммой весов его рёбер. В отличие от задачи кратчайшего пути, которая может быть решена за полиномиальное время на графах без циклов с отрицательным весом, задача нахождения самого длинного пути является NP-трудной и не может быть решена за полиномиальное время...
Алгоритм сжатия цветков (англ. Blossom algorithm) — это алгоритм в теории графов для построения наибольших паросочетаний на графах. Алгоритм разработал Джек Эдмондс в 1961 году и опубликовал в 1965 году. Если дан граф G=(V, E) общего вида, алгоритм находит паросочетание M такое, что каждая вершина из V инцидентна не более чем одному ребру из M и M максимально. Паросочетание строится путём итеративного улучшения начального пустого паросочетания вдоль увеличивающих путей графа. В отличие от двудольного...
Задача о гамильтоновом пути и задача о гамильтоновом цикле — это задачи определения, существует ли гамильтонов путь (путь в неориентированном или ориентированном графе, который проходит все вершины графа ровно один раз) или гамильтонов цикл в заданном графе (ориентированном или неориентированном). Обе задачи NP-полны.
Поиск в ширину (англ. breadth-first search, BFS) — метод обхода графа и поиска пути в графе. Поиск в ширину является одним из неинформированных алгоритмов поиска.
Задача Штейнера о минимальном дереве состоит в поиске кратчайшей сети, соединяющей заданный конечный набор точек плоскости.
Алгоритм Флойда — Уоршелла — динамический алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом и Стивеном Уоршеллом. При этом алгоритм впервые разработал и опубликовал Бернард Рой (англ. Bernard Roy) в 1959 году.
Матема́тика ку́бика Ру́бика — совокупность математических методов для изучения свойств кубика Рубика с абстрактно-математической точки зрения. Эта математика изучает алгоритмы сборки кубика и оценивает их. Основана на теории графов, теории групп, теории вычислимости и комбинаторике.
Алгоритм для дерева сочленений — это метод, используемый в машинном обучении для извлечения маргинализации в графах общего вида. В сущности, алгоритм осуществляет распространение доверия на модифицированном графе, называемом деревом сочленений. Основная посылка алгоритма — исключить циклы путём кластеризации их в узлы.
Задача о змее в коробке в теории графов и информатике имеет дело с поиском определённого вида пути вдоль рёбер гиперкуба. Этот путь начинается с одного угла и проходит вдоль рёбер столько углов, сколько он может достичь. После того как достигается новый угол, предыдущий угол и все его соседи делаются недопустимыми для использования. Путь никогда не должен проходить через угол после того, как он помечен как недопустимый.
Максимальный разрез графа — это разрез, размер которого не меньше размера любого другого разреза. Задача определения максимального разреза для графа известна как задача о максимальном разрезе.
В математическом анализе и информатике кривая Мортона, Z-последовательность,Z-порядок, кривая Лебега, порядок Мортона или код Мортона — это функция, которая отображает многомерные данные в одномерные, сохраняя локальность точек данных. Функция была введена в 1966 Гаем Макдональдом Мортоном. Z-значение точки в многомерном пространстве легко вычисляется чередованием двоичных цифр его координатных значений. Когда данные запоминаются в этом порядке, могут быть использованы любые одномерные структуры...

Подробнее: Кривая Мортона
Задача о покрытии множества является классическим вопросом информатики и теории сложности. Данная задача обобщает NP-полную задачу о вершинном покрытии (и потому является NP-сложной). Несмотря на то, что задача о вершинном покрытии сходна с данной, подход, использованный в приближённом алгоритме, здесь не работает. Вместо этого мы рассмотрим жадный алгоритм. Даваемое им решение будет хуже оптимального в логарифмическое число раз. С ростом размера задачи качество решения ухудшается, но всё же довольно...
Алгоритм Брезенхе́ма (англ. Bresenham's line algorithm) — это алгоритм, определяющий, какие точки двумерного растра нужно закрасить, чтобы получить близкое приближение прямой линии между двумя заданными точками. Это один из старейших алгоритмов в машинной графике — он был разработан Джеком Элтоном Брезенхэмом (англ. Jack Elton Bresenham) в компании IBM в 1962 году. Алгоритм широко используется, в частности, для рисования линий на экране компьютера. Существует обобщение алгоритма Брезенхэма для построения...
В теории графов паросочетание или независимое множество рёбер в графе — это набор попарно несмежных рёбер.
Алгоритм Джонсона — позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин взвешенного ориентированного графа. Данный алгоритм работает, если в графе содержатся рёбра с положительным или отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом.
Обход дерева (известный также как поиск по дереву) — вид обхода графа, обусловливающий процесс посещения (проверки и/или обновления) каждого узла структуры дерева данных ровно один раз. Такие обходы классифицируются по порядку, в котором узлы посещаются. Алгоритмы в статье относятся к двоичным деревьям, но могут быть обобщены и для других деревьев.
Mетод присоединения соседей — алгоритм биоинформатики, разработанный Наруя Сайтоу и Масатоcи Нэи в 1987 году. Это восходящий кластерный метод для создания филогенетических деревьев. Обычно используется для деревьев, основанных на ДНК или белковых последовательностях. Для его реализации необходимо вычислить расстояния между каждой парой таксонов (например, видов или последовательностей).
Алгоритм Гилберта — Джонсона — Кёрти (англ. Gilbert — Johnson — Keerthi algorithm, сокращённо GJK) — алгоритм для определения минимального расстояния между двумя выпуклыми множествами (объектами). В отличие от многих других алгоритмов нахождения расстояния, GJK не требует, чтобы геометрические данные были сохранены в каком-либо специфическом формате. Вместо этого алгоритм GJK полностью полагается на носитель функции и итерационным методом (с помощью итераций) генерирует ближайшие симплексы для корректного...
В теории графов псевдолес — это неориентированный граф , в котором любая связная компонента имеет максимум один цикл. То есть это система вершин и рёбер, соединяющих пары вершин, такая, что никакие два цикла не имеют общих вершин и не могут быть связаны путём. Псевдодерево — это связный псевдолес.
Поиск восхождением к вершине (далее в статье просто восхождение) — это техника математической оптимизации, принадлежащая семейству алгоритмов локального поиска. Алгоритм является методом итерации, который начинается с произвольного решения задачи, а затем пытается найти лучшее решение путём пошагового изменения одного из элементов решения. Если решение даёт лучшее решение, делается приращение для получения нового решения и оно делается, пока не достигнем момента, в котором улучшение найти не удаётся...
Трансвычисли́тельная зада́ча (англ. Transcomputational problem) — в теории сложности вычислений задача, для решения которой требуется обработка более чем 1093 бит информации. Число 1093, называемое «пределом Бремерманна», согласно Гансу-Иоахиму Бремерманну, представляет собой общее число бит, обрабатываемых гипотетическим компьютером размером с Землю, работающим с максимально возможной скоростью, за период времени, равный общему времени существования Земли. Термин «трансвычислительность» был предложен...
Алгоритм динамической трансформации временно́й шкалы (DTW-алгоритм, от англ. dynamic time warping) — алгоритм, позволяющий найти оптимальное соответствие между временными последовательностями. Впервые применен в распознавании речи, где использован для определения того, как два речевых сигнала представляют одну и ту же исходную произнесённую фразу. Впоследствии были найдены применения и в других областях.
Раскраска графов находит применение и во многих практических областях, а не только в теоретических задачах. Помимо классических типов проблем, различные ограничения могут также быть наложены на граф, на способ присвоения цветов или на сами цвета. Этот метод, например, используется в популярной головоломке Судоку. В этой области всё ещё ведутся активные исследования.
Алгоритм Эдмондса или алгоритм Чу — Лью/Эдмондса — это алгоритм поиска остовного ориентированного корневого дерева минимального веса (иногда называемого оптимальным ветвлением).
Обучение дерева решений использует дерево решений (как предиктивную модель), чтобы перейти от наблюдений над объектами (представленными в ветвях) к заключениям о целевых значениях объектов (представленных в листьях). Это обучение является одним из подходов моделирования предсказаний, используемых в статистике, интеллектуальном анализе данных и обучении машин. Модели деревьев, в которых целевая переменная может принимать дискретный набор значений, называются деревьями классификации. В этих структурах...
Итеративное сжатие — это алгоритмическая техника разработки фиксированно-параметрически разрешимых алгоритмов, в которой один элемент (такой как вершина графа) добавляется в задачу на каждом шаге и используется небольшое решение задачи перед добавлением элемента, чтобы найти небольшое решение задачи после добавления.
Куб Фибоначчи можно определить в терминах кодов Фибоначчи и расстояния Хэмминга, независимых множеств вершин в путях, или через дистрибутивные решётки.
Минимальное остовное дерево (или минимальное покрывающее дерево) в связанном взвешенном неориентированном графе — это остовное дерево этого графа, имеющее минимальный возможный вес, где под весом дерева понимается сумма весов входящих в него рёбер.
В теории графов медианным графом называется неориентированный граф, в котором любые три вершины a, b, и c имеют единственную медиану — вершину m(a,b,c), которая принадлежит кратчайшим путям между каждой парой вершин a, b и c.

Подробнее: Медианный граф
Теорема Курселя — утверждение о том, что любое свойство графа, определяемое в логике графов второго порядка, может быть установлено за линейное время на графах с ограниченной древесной шириной. Результат впервые доказан Брюно Курселем в 1990 году и независимо переоткрыт Бори, Паркером и Товейем.
В математике методы проверки на простоту с помощью эллиптических кривых (англ. - Elliptic Curve Primality Proving, сокр. ЕСРР) являются одними из самых быстрых и наиболее широко используемых методов проверки на простоту . Эту идею выдвинули Шафи Гольдвассер и Джо Килиан в 1986 году; она была превращена в алгоритм А.О.Л. Аткином в том же году. Впоследствии алгоритм был несколько раз изменён и улучшен, в особенности Аткином и François Morain в 1993. Концепция использования факторизации с помощью эллиптических...

Подробнее: Тест простоты с использованием эллиптических кривых
Алгоритм Косарайю (в честь американского учёного индийского происхождения Самбасивы Рао Косарайю) — алгоритм поиска областей сильной связности в ориентированном графе. Чтобы найти области сильной связности, сначала выполняется поиск в глубину (DFS) на обращении исходного графа (рёбра инвертированы), вычисляя вектор обратного порядка обхода. Затем мы используем обращение этого вектора, чтобы выполнить поиск в глубину на исходном графе (в очередной раз берём вершину с максимальным номером, полученным...
Обобщённая задача коммивояжёра — задача комбинаторной оптимизации, являющаяся обобщением хорошо известной задачи коммивояжёра. Исходными данными для задачи является множество вершин, разбиение этого множества на так называемые кластеры, а также матрица стоимостей перехода из одной вершины в другую. Задача заключается в нахождении кратчайшего замкнутого пути, который бы посетил по одной вершине в каждом кластере (существует также модификация, когда путь должен посетить хотя бы по одной вершине в каждом...
Число Стралера, число Хортона — Стралера или число Стралера — Философова математического дерева — это численная мера сложности ветвления.
Тасование Фишера — Йетса (названо в честь Рональда Фишера и Франка Йетса (Frank Yates)), известное также под именем Тасование Кнута (в честь Дональда Кнута), — это алгоритм создания случайных перестановок конечного множества, попросту говоря, для случайного тасования множества. Вариант тасования Фишера-Йетса, известный как алгоритм Саттоло (Sattolo), может быть использован для генерации случайного цикла перестановок длины n. Правильно реализованный алгоритм тасования Фишера-Йетса несмещённый, так...
Сжатие звука без потерь — совокупность преобразований, позволяющая эффективно сжимать звуковые данные с возможностью их полного восстановления. Как и любое сжатие без потерь, сжатие звуковых данных эксплуатирует какую-либо особенность данных. В данном случае это...
В теории графов ориентированный граф может содержать ориентированные циклы, кольцо дуг, имеющих одно направление. В некоторых приложениях такие циклы нежелательны, мы можем исключить их и получить направленный ациклический граф (Directed Acyclic Graph, DAG). Один из способов исключения дуг — просто удаление дуг из графа. Разрезающий циклы набор дуг (Feedback Arc Set, FAS) или разрезающий циклы набор рёбер — это множество дуг, которые, при удалении их из графа, образуют DAG. Рассматривая под другим...

Подробнее: Разрезающий циклы набор рёбер
Не путать с «симплекс-методом» — методом оптимизации произвольной функции. См. Метод Нелдера — МидаСимплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве.

Подробнее: Симплекс-метод
Метод обратного распространения ошибки (англ. backpropagation) — метод вычисления градиента, который используется при обновлении весов многослойного перцептрона. Впервые метод был описан в 1974 г. А. И. Галушкиным, а также независимо и одновременно Полом Дж. Вербосом. Далее существенно развит в 1986 г. Дэвидом И. Румельхартом, Дж. Е. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно С.И. Барцевым и В.А. Охониным (Красноярская группа). Это итеративный градиентный алгоритм, который используется...
Кографы открывались независимо несколькими авторами, начиная с 1970-х годов. Самые ранние упоминания можно найти у Янга, Лерчса, Зайнше и Самнера. Эти графы назывались D*-графами, наследственными графами Дейси (после работы Джеймса Дейси об ортомодулярных решётках. Смотрите работу Самнера) и графы с двумя потомками Барлета и Ури.
Гамильто́нов граф — математический объект теории графов. Представляет собой граф (набор точек и соединяющих их линий), который содержит гамильтонов цикл. При этом гамильтоновым циклом является такой цикл (замкнутый путь), который проходит через каждую вершину данного графа ровно по одному разу.
Эллиптическая криптография — раздел криптографии, который изучает асимметричные криптосистемы, основанные на эллиптических кривых над конечными полями. Основное преимущество эллиптической криптографии заключается в том, что на сегодняшний день не известно существование субэкспоненциальных алгоритмов решения задачи дискретного логарифмирования.
Зада́ча о незави́симом мно́жестве относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Эквивалентна задаче о клике.
Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов обхода графа. Стратегия поиска в глубину, как и следует из названия, состоит в том, чтобы идти «вглубь» графа, насколько это возможно. Алгоритм поиска описывается рекурсивно: перебираем все исходящие из рассматриваемой вершины рёбра. Если ребро ведёт в вершину, которая не была рассмотрена ранее, то запускаем алгоритм от этой нерассмотренной вершины, а после возвращаемся и продолжаем перебирать рёбра. Возврат происходит в том случае...
Задача о рюкзаке (или задача о ранце) — NP-полная задача комбинаторной оптимизации. Своё название получила от конечной цели: уложить как можно большее число ценных вещей в рюкзак при условии, что вместимость рюкзака ограничена. С различными вариациями задачи о рюкзаке можно столкнуться в экономике, прикладной математике, криптографии и логистике.
Линейное зондирование — это схема в программировании для разрешения коллизий в хеш-таблицах, структурах данных для управления наборами пар ключ – значение и поиска значений, ассоциированных с данным ключом. Схему придумали в 1954 Джин Амдал, Элейн Макгроу и Артур Сэмюэл, а проанализировна она была в 1963 Дональдом Кнутом.
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я