Дерево (теория графов)

  • Дерево — это связный ациклический граф. Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути.

    Лес — упорядоченное множество упорядоченных деревьев.

    Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Перечислены связные 3-регулярные (кубические) простые графы с малым числом вершин.

Подробнее: Таблица простых кубических графов
Граф — абстрактный математический объект, представляющий собой множество вершин графа и набор рёбер, то есть соединений между парами вершин.
В теории графов псевдолес — это неориентированный граф , в котором любая связная компонента имеет максимум один цикл. То есть это система вершин и рёбер, соединяющих пары вершин, такая, что никакие два цикла не имеют общих вершин и не могут быть связаны путём. Псевдодерево — это связный псевдолес.
Ориентированный граф (кратко орграф) — (мульти) граф, рёбрам которого присвоено направление. Направленные рёбра именуются также дугами, а в некоторых источниках и просто рёбрами. Граф, ни одному ребру которого не присвоено направление, называется неориентированным графом или неорграфом.
Остовное дерево графа состоит из минимального подмножества рёбер графа, таких, что из любой вершины графа можно попасть в любую другую вершину, двигаясь по этим рёбрам.

Упоминания в литературе

Родовидовую схему графически представляет так называемое «дерево Порфирия» (названо в честь неоплатоника Порфирия, см. 3.1), показывающее последовательность разделения вышестоящих родов на нижестоящие. Иногда оно действительно имеет форму древовидного графа (рис. 1), но чаще представляется в «скобочной» форме (см. 3.4), в настоящее время обычно называется классификационным деревом. Исходно являясь логическим и не предполагая обязательного натурного соответствия, классификационное дерево, согласно одной из распространённых точек зрения, отражает прежде всего свойства мышления, а не свойства классифицируемого разнообразия (Корона, 1987), и потому может служить формой представления любой структуры разнообразия (Nelson, Platnick, 1981). В связи с этим следует отметить, что графическая древовидная схема представления «дерева Порфирия», строго говоря, не имеет отношения к филогенетическим деревьям, появившимся в XIX веке. Их предтечами являются не делительные классификационные деревья, а те соединительные схемы, известные в биологической систематике с XVII века, которые связывают группы по их взаимному сродству (см. 3.6.3).
На первом этапе деления исходного участка на четыре квадратных блока и одновременном «ветвлении» квадродерева образуется один неделимый далее элемент № 1 (ему соответствует «лист» дерева на рис. 8 справа) и три «узла» делимых далее квадратов первого уровня иерархии (принимая «корневой» уровень квадратного участка в целом за нулевой). За исключением девяти гомогенных квадратов, на втором иерархическом уровне все остальные элементы делятся далее, пока необходимость дальнейшего деления не будет исчерпана на последнем, четвертом, этапе.
Объедините все сплайны в одну форму командой Attach (Присоединение) из свитка Geometry (Геометрия) – обязательно в том же порядке, в каком будет создаваться поверхность, то есть от самого нижнего сплайна к самому верхнему. Затем перейдите на уровень редактируемых вершин, активизировав в дереве подобъектов строку Vertex (Вершина), и в области Display (Показывать) свитка Selection (Выделение) установите флажок Show Vertex Numbers (Показать нумерацию вершин). Как видно из рис. 1.19, все сплайны имеют разное количество вершин и порядок построения (по часовой стрелке и против часовой стрелки).
Очевидна своеобразная оптимальная самодостаточность, завершённость того интервала изменения параметров системы (в основном – пространственных), который демонстрирует 24-кратие, содержит 24 дискретные позиции. Потому в подобных случаях возможно построение целостных, уравновешенных моделей функционирования. Именно такова знаковая система рунического строя Футарка, вероятно, как-то связанная с принципом золотого отношения. Однако связь видится весьма опосредованной, скрытой, ибо центральный прямоугольник матрицы геометрически не содержит отрезков, зависящих от величины ?5 (рис. 6). Нетрудно заметить, что отношение его сторон составляет иррациональное число ?3=1,73… Среди прямоугольников, применявшихся древними для образования различных фигур – египетских и греческих памятников, статуй, ваз, предметов культа, – чаще всего встречаются с модулем ?5, а ?2 или ?3. Причём, значение ?2, ?3 никогда не появляются ни вместе, ни в сочетании с ?5, или числом золотого отношения. И если пропорции, характерные для живого царства, основаны на числе ?5, то в царстве минеральном преобладают отношения, как раз равные ?2 и ?3. Так что даже в названии матрицы – прямых алфавитов – невольно заложены особая правота и дополнительный смысл. Не зря, видно, она является наипростейшей, возможно, прекрасной, как кристалл, но не как цветок. Неспроста среди древних мастеров славились рунрезы по дереву и камню, которые высекали дошедшие до нас письмена…
40 – максимальное число сфер, касающихся каждой сферы при плотнейшей упаковке их в пятимерном пространстве. Количество расстановок 7 ферзей на доске 7*7, не угрожающих друг другу. 41 – наименьшее число, не выражаемое в форме |2x– 3y|, а его квадрат содержит в написании два квадрата. 42 – пятое число Каталана. Количество вариантов плоскостей гексагексафлексагона. 43 – количество гептиамондов. (Фигуры из 7 правильных треугольников). 46 – количество участков, на которые делят круг 9 прямых линий. 47 – наибольшее число кубов, из которых нельзя сложить куб. Количество деревьев с девятью звеньями. 48 – наименьшее число, имеющее 10 делителей.

Связанные понятия (продолжение)

Восходящее планарное представление направленного ациклического графа — это вложение графа в евклидово пространство, в котором рёбра представлены как непересекающиеся монотонно возрастающие кривые. То есть, кривая, представляющая любое ребро, должна иметь свойство, что любая горизонтальная прямая пересекает его максимум в одной точке, и никакие два ребра не могут пересекаться, разве что на концах. В этом смысле это идеальный случай для послойного рисования графа, стиля представления графа, в котором...
В теории графов медианным графом называется неориентированный граф, в котором любые три вершины a, b, и c имеют единственную медиану — вершину m(a,b,c), которая принадлежит кратчайшим путям между каждой парой вершин a, b и c.

Подробнее: Медианный граф
Кососимметрический граф — это ориентированный граф, который изоморфен своему собственному транспонированному графу, графу, образованному путём обращения всех дуг, с изоморфизмом, который является инволюцией без неподвижных точек. Кососимметрические графы идентичны двойным покрытиям двунаправленных графов.
st-Планарный граф — это биполярная ориентация планарного графа, для которого как источник, так и сток ориентации находятся на внешней грани графа. То есть это ориентированный граф, нарисованный без пересечений на плоскости таким образом, что не имеется ориентированных циклов в графе, точно одна вершина графа не имеет входных дуг, точно одна вершина графа не имеет исходящих дуг, и обе эти две специальные вершины лежат на внешней грани графа.
Мост — ребро в теории графов, удаление которого увеличивает число компонент связности. Такие рёбра также известны как разрезающие рёбра, разрезающие дуги или перешейки. Эквивалентное определение — ребро является мостом в том и только в том случае, если оно не содержится ни в одном цикле.
Два-графы не являются графами, и их не следует путать с другими объектами, которые называются 2-графами в теории графов, в частности, с 2-регулярными графами. Для их различения используется слово «два», а не цифра «2».
Дерево Тремо неориентированного графа G — это остовное дерево графа G с выделенным корнем со свойством, что любые две смежные вершины в графе G связаны друг с другом отношением предок/потомок. Все деревья поиска в глубину и все гамильтоновы пути являются деревьями Тремо.
В теории графов мультиграфом (или псевдографом) называется граф, в котором разрешается присутствие кратных рёбер (их также называют «параллельными»), то есть рёбер, имеющих те же самые конечные вершины. Таким образом, две вершины могут быть соединены более чем одним ребром (тем самым мультиграфы отличаются от гиперграфов, в которых каждое ребро может соединять любое число вершин, а не в точности две).

Подробнее: Мультиграф
Геометрический остов (англ. geometric spanner) или t-остовной граф, или t-остов первоначально был введён как взвешенный граф на множестве точек в качестве вершин, для которого существует t-путь между любой парой вершин для фиксированного параметра t. t-Путь определяется как путь в графе с весом, не превосходящим в t раз пространственное расстояние между конечными точками. Параметр t называется коэффициентом растяжения остова.
В теории графов глубина дерева связного неориентированного графа G — это числовой инвариант G, минимальная высота дерева Тремо для суперграфа графа G. Этот инвариант и близкие понятия встречаются под различными именами в литературе, включая число ранжирования вершин, упорядоченное хроматическое число и минимальная высота исключения дерева. Понятие близко также к таким понятиям, как циклический ранг ориентированных графов и высота итерации языка регулярных языков ; . Интуитивно, если древесная ширина...
Вырожденность известна также под именем k-ядерное число, ширина и зацепление, и, по существу, это то же самое, что и число раскраски или число Секереша — Вилфа. k-Вырожденные графы называются также k-индуктивными графами. Вырожденность графа может быть вычислена за линейное время с помощью алгоритма, который последовательно удаляет вершины с минимальной степенью. Компонента связности, оставшаяся после удаления всех вершин со степенью , меньшей k, называется k-ядром графа, и вырожденность графа равна...
Дерево — одна из наиболее широко распространённых структур данных в информатике, эмулирующая древовидную структуру в виде набора связанных узлов. Является связным графом, не содержащим циклы. Большинство источников также добавляют условие на то, что рёбра графа не должны быть ориентированными. В дополнение к этим трём ограничениям, в некоторых источниках указывается, что рёбра графа не должны быть взвешенными.
Биполярная ориентация или st-ориентация неориентированного графа — это назначение ориентации каждому ребру (ориентации), что превращает граф в направленный ациклический граф с единственным источником s и единственном стоком t, а st-нумерация графа — это топологическая сортировка полученного ориентированного ациклического графа.
Шарниром в теории графов называется вершина графа, при удалении которой количество компонент связности возрастает. Для обозначения этого понятия также используются термины «разделяющая вершина» и «точка сочленения».
В теории графов вершиной называется фундаментальная единица, образующая графы — неориентированный граф состоит из множества вершин и множества рёбер (неупорядоченных пар вершин), в то время как ориентированный граф состоит из множества вершин и множества дуг (упорядоченных пар вершин). На рисунках, представляющих граф, вершина обычно обозначается кружком с меткой, ребро — линией, дуга — стрелкой, соединяющей вершины.

Подробнее: Вершина (теория графов)
В теории графов графом-циклом называется граф, состоящий из единственного цикла, или, другими словами, некоторого числа вершин, соединённых замкнутой цепью. Граф-цикл с n вершинами обозначают как Cn. Число вершин в Cn равно числу рёбер и каждая вершина имеет степень 2, то есть любая вершина инцидентна ровно двум рёбрам.

Подробнее: Граф-цикл
Путевая ширина известна также как интервальная толщина (на единицу меньше размера наибольшей клики интервального суперграфа графа G), величина вершинного разделения или вершинно-поисковое число.
Связное доминирующее множество и остовное дерево с максимальной листвой являются двумя тесно связанными структурами, определёнными на неориентированном графе.
В теории графов графами Пэли (названы в честь Раймонда Пэли) называются плотные неориентированные графы, построенные из членов подходящего конечного поля путём соединения пар элементов, отличающихся на квадратичный вычет. Графы Пэли образуют бесконечное семейство конференсных графов, поскольку тесно связаны с бесконечным семейством симметричных конференсных матриц. Графы Пэли дают возможность применить теоретические средства теории графов в теории квадратичных вычетов и имеют интересные свойства...

Подробнее: Граф Пэли
Дистанционно-регулярный граф — регулярный граф такой, что для любых двух вершин v и w число вершин с расстоянием j от v и расстоянием k от w зависят только от j, k и i = d(v, w).
Направленный ациклический граф (ориентированный ациклический граф, DAG от англ. directed acyclic graph) — орграф, в котором отсутствуют направленные циклы, но могут быть «параллельные» пути, выходящие из одного узла и разными путями приходящие в конечный узел. Направленный ациклический граф является обобщением дерева (точнее, их объединения — леса).
Говорят, что ориентированный граф апериодичен, если нет целого числа k > 1, делящего длину любого цикла графа. Эквивалентно, граф апериодичен, если наибольший общий делитель длин его циклов равен единице. Этот наибольший общий делитель для графа G называется периодом графа G.
Группа Григорчука — первый пример конечнопорождённой группы промежуточного роста (то есть её рост быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального).
Куб Фибоначчи можно определить в терминах кодов Фибоначчи и расстояния Хэмминга, независимых множеств вершин в путях, или через дистрибутивные решётки.
Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера — это вид двойственности между раскрасками вершин заданного неориентированного графа и ориентациями его рёбер. Теорема утверждает, что минимальное число красок, необходимых для правильной раскраски любого графа G, на единицу больше длины максимального пути в ориентации графа G, в которой эта длина пути минимальна. В ориентации, в которых путь максимальной длины имеет минимальную длину, всегда входит по меньшей мере одна ациклическая ориентация.
В теории графов частичный куб — это подграф гиперкуба, сохраняющий расстояния (в терминах графов) — расстояние между любыми двумя вершинами подграфа, то же самое, что и в исходном графе. Эквивалентно, частичный куб — это граф, вершины которого можно пометить битовыми строками одинаковой длины, так что расстояние между двумя вершинами в графе равно расстоянию Хэмминга между этими двумя метками. Такая разметка называется разметкой Хэмминга и она представляет изометричное вложение частичного куба в...
Косое разбиение графа — это разбиение его вершин на два подмножества, такое что порождённый подграф, образованный одним из его подмножеств вершин является несвязным, а другой порождённый подграф, образованный другим подмножеством является дополнением несвязного графа. Косые разбиения играют важную роль в теории совершенных графов.
Гамильто́нов граф — математический объект теории графов. Представляет собой граф (набор точек и соединяющих их линий), который содержит гамильтонов цикл. При этом гамильтоновым циклом является такой цикл (замкнутый путь), который проходит через каждую вершину данного графа ровно по одному разу.
В теории графов графом гиперкуба Qn называется регулярный граф с 2n вершинами, 2n−1n рёбрами и n рёбрами, сходящимися в одной вершине. Его можно получить как одномерный скелет геометрического гиперкуба. Например, Q3 — это граф, образованный 8 вершинами и 12 рёбрами трёхмерного куба. Граф можно получить другим образом, отталкиваясь от семейства подмножеств множества с n элементами путём использования в качестве вершин все подмножества и соединением двух вершин ребром, если соответствующие множества...

Подробнее: Граф гиперкуба
Задача Штейнера о минимальном дереве состоит в поиске кратчайшей сети, соединяющей заданный конечный набор точек плоскости.
Путь в графе — последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена со следующей ребром.
Кографы открывались независимо несколькими авторами, начиная с 1970-х годов. Самые ранние упоминания можно найти у Янга, Лерчса, Зайнше и Самнера. Эти графы назывались D*-графами, наследственными графами Дейси (после работы Джеймса Дейси об ортомодулярных решётках. Смотрите работу Самнера) и графы с двумя потомками Барлета и Ури.
Алгоритм Эдмондса или алгоритм Чу — Лью/Эдмондса — это алгоритм поиска остовного ориентированного корневого дерева минимального веса (иногда называемого оптимальным ветвлением).
Граф Аполлония — это неориентированный граф, образованный рекурсивным процессом подразделения треугольника на три меньших треугольника. Графы Аполлония можно эквивалентно определить как планарные 3-деревья, как максимальные планарные хордальные графы, как однозначно 4-раскрашиваемые планарные графы или как графы блоковых многогранников. Графы названы именем Аполлония Пергского, изучавшего связанные построения упаковки кругов.
Разметка графа в математике — это назначение меток, которые традиционно представляются целыми числами, рёбрами, вершинами, или рёбрам, и вершинам графа.
Универсальное множество точек порядка n — это множество S точек евклидовой плоскости со свойством, что любой планарный граф с n вершинами имеет рисунок с прямыми рёбрами, в котором все вершины располагаются в точках множества S.
Алгоритм Косарайю (в честь американского учёного индийского происхождения Самбасивы Рао Косарайю) — алгоритм поиска областей сильной связности в ориентированном графе. Чтобы найти области сильной связности, сначала выполняется поиск в глубину (DFS) на обращении исходного графа (рёбра инвертированы), вычисляя вектор обратного порядка обхода. Затем мы используем обращение этого вектора, чтобы выполнить поиск в глубину на исходном графе (в очередной раз берём вершину с максимальным номером, полученным...
В математике константой Чигера (также числом Чигера или изопериметрическим числом) графа называется числовая характеристика графа, отражающая, есть ли у графа «узкое место» или нет. Константа Чигера как способ измерения наличия «узкого места» представляет интерес во многих областях, например, для создания сильно связанных компьютерных сетей, для тасования карт и в топологии малых размерностей (в частности, при изучении гиперболических 3-мерных многообразий). Названа в честь математика Джефа Чигера...
Эйлеров цикл — эйлеров путь, являющийся циклом, то есть замкнутый путь, проходящий через каждое ребро графа ровно по одному разу.
Теорема Курселя — утверждение о том, что любое свойство графа, определяемое в логике графов второго порядка, может быть установлено за линейное время на графах с ограниченной древесной шириной. Результат впервые доказан Брюно Курселем в 1990 году и независимо переоткрыт Бори, Паркером и Товейем.
Экспандеры — это класс графов, изучение которых первыми начали московские математики М. С. Пинскер, Л. А. Бассалыго и Г. А. Маргулис в семидесятые годы XX века.
В теории графов короной с 2n вершинами называется неориентированный граф с двумя наборами вершин ui и vi и рёбрами между ui и vj, если i ≠ j. Можно рассматривать корону как полный двудольный граф, из которого удалено совершенное паросочетание, как двойное покрытие двудольным графом полного графа, или как двудольный граф Кнезера Hn,1, представляющий подмножества из 1 элемента и (n − 1) элементов множества из n элементов с рёбрами между двумя подмножествами, если одно подмножество содержится в другом...

Подробнее: Корона (теория графов)
Симметричный граф (или транзитивный относительно дуг граф) — граф G, для любых двух пар смежных вершин которого u1—v1 и u2—v2 имеется автоморфизм...
В теории графов графом без клешней называется граф, который не содержит порождённых подграфов, изоморфных K1,3 (клешней).

Подробнее: Граф без клешней
Алгоритм Тарьяна — алгоритм поиска компонент сильной связности в орграфе, работающий за линейное время.

Упоминания в литературе (продолжение)

Но как узнать, рассматриваемая серия гаплотипов «однородная», от одного общего предка, или разнородная, от разных общих предков, и дальнейшие расчеты в таком виде бессмысленны? Это – важный, и даже важнейший вопрос, который в ДНК-генеалогии решается двумя путями – графическим и аналитическим. Графический метод – это постройка дерева гаплотипов и его рассмотрение, симметричное ли дерево, или состоит из различных ветвей. Если симметричное (примеры даны ниже), то можно применять простые метода расчета, как линейный или с помощью калькулятора Килина-Клёсова. Если дерево состоит из четко разделяющихся ветвей, как на рис. 13, то расчеты (линейный или калькуляторный) следует проводить по каждой ветви раздельно.
Очертания облаков, морских побережий и русел рек, горных хребтов, поверхности порошков и других пористых сред, геометрия деревьев, листьев и лепестков цветов, артерии и реснички, покрывающие стенки кишечника человека – всё это фракталы. Норвежский физик Е. Федер показывает, что береговая линия Норвегии, изрезанная фьордами, представляет собой фрактальную структуру с размерностью D 1,52[61]. Береговая линия Великобритании менее изрезана и имеет размерность D ?1,3. Это означает, что рисунки береговых линий не полностью хаотичны, а повторяются в различных масштабах. Кроме того, это, строго говоря, не линии и не поверхности, а нечто среднее. Так же как фрактальность структуры облака (характеризирующейся обычно фрактальной размерностью, заключенной между 2 и 3) означает, что оно – не объем и не поверхность, а некоторое промежуточное образование. Фрактальная геометрия – это изящный, красивый и информационно компактный способ описания сложного. Фракталы открывают простоту сложного.
В случае деревьев решений объяснение может строиться путем выписывания последовательности условий, проверенных для данного испытуемого на пути от корня дерева до листа. Эти условия образуют конъюнкцию, т. е. легко интерпретируемое логическое правило (Воронцов, 2007). Пример дерева, построенного с использованием выборки значений интерпретированных выше главных компонент SR-матриц и предсказывающего успешность выполнения задания теста Равена, приведен на рисунке 5.
Сознание – это тоже обычные натуральные числа, и оно находится там же, где натуральные и топологические числа. Сознание подчинено как квантовому эффекту, так и натуральным числам. Известно, что топологические числа имеют форму дерева. Ту же форму имеют практически все энергетические структуры: разряды молнии, река с ее притоками, растения, артериальная система, нервная система с головным мозгом в организме человека, разломы в ГПК при конденсации плазмы и т. д. Все виды рецепторов в живых системах, все системы без исключения имеют форму дерева или корня. Но главным отличием «живого» от «неживого» является направление диссипации энергии в этих структурах, в зависимости от формы оно противоположно.
Поган Кеплер был первым, кто заметил присутствие золотой пропорции в архитектонике ботанических экземпляров. В XIX веке исследования в этой области приобрели особый размах. Немецкими учёными было показано, что углы растительного ветвления подчинены именно этому принципу, обеспечивая оптимальную освещённость солнцем лиственного покрова деревьев. Ветвь отклоняется от ствола в среднем на угол 137,5°, в квадрат числа золотого отношения меньший, чем целостность в 360°. Кстати, само число 137 – поистине загадочное в своей природной универсальности.
Природными фракталами являются береговые линии, горы, русла рек, деревья с их ветвистыми кронами и листьями, снежинки, кровеносная и нервная системы человека и др. Фрактальные свойства демонстрируют социальные и культурные системы, имеющие иерархические уровни: например, страна – город – квартал; народ – социокультурная группа – семья, и т. п. Более того, любой социокультурный объект на каждом из множества самых разных иерархических уровней культуры – от государственного устройства до индивидуальной моды, от планировки города до способа упаковывать подарки и т. д. – символически являет собой самоподобную модель своей культуры. Важно иметь в виду, что подобие не означает абсолютной идентичности, речь идет о некотором принципиальном сходстве, которое может проявляться пространственно или концептуально.
Дендрохронологи измеряют кольца на деревьях, для которых точно известна дата образования любого из колец, отсчитанная назад от года, когда дерево было повалено. На основании этих данных составляется дендрохронологическая таблица, с которой можно сравнить образец дерева, возраст которого вы хотите установить. В итоге вы можете получить примерно такой ответ: “Эта балка содержит характерную последовательность колец, совпадающую с образцом из коллекции и соответствующую 1541–1547 годам. Таким образом, дом был построен после 1547 года”.
Перспективой называется зрительное изменение предметов по мере их удаления от наблюдателя. Различают линейную и воздушную перспективу. Известно, что на горизонте уходящие параллельные линии сходятся. При этом все вертикальные линии остаются вертикальными, уменьшаясь по величине, – чем дальше они от наблюдателя, тем меньше. Можно заметить и то, что невысокие растения на переднем плане могут казаться выше более высоких, расположенных вдали. Этот эффект носит название линейной перспективы. Воздушная перспектива – это изменение яркости и четкости предметов, а также их цвета по мере удаления от точки наблюдения. Эффекты воздушной перспективы строятся на законах восприятия цвета и эмоционального воздействия его на человека. В ландшафтном искусстве глубина пространства – это реальность, и использование законов перспективы (уменьшение величины предметов с их отдалением, смягчение контраста света и тени, изменение насыщенности цвета и появление голубой дымки, окутывающей задний план пейзажа) помогает созданию необходимой иллюзии углубления или, наоборот, сокращения пространства. Перспектива включает в себя точку обзора, тот объект, который подлежит обозрению, и промежуточное поле. Все эти три компонента должны создавать единство и обычно задумываются как единое целое. Перспектива обрамляется тремя плоскостями – верхней (небо или листва раскидистых деревьев), горизонтальной («пол» сада), вертикальной («стены» сада). Чтобы зрительно увеличить глубину пространства, когда размеры сада ограничены, можно сознательно создать систему промежуточных планов из растений (их называют кулисами), которые направляют взгляд к горизонту. Для увеличения глубины пейзажа размещают группы деревьев и кустарников так, чтобы по мере удаления от зрителя их размеры сокращались. Обратная задача – оптическое сокращение пространства – обычно возникает на крупных по площади участках. Для этого увеличивают количество кулис и последовательно расширяют обзор, раздвигая их в стороны.
Яркий пример различий в интерпретации – глаголы движения. Х идет понимается как одно и то же длящееся «положение вещей» только в результате того, что мы отвлекаемся от того факта, что в каждый последующий момент положение Х-а другое. Но если мы сфокусируем внимание на этом, на том, что это «история», цепочка последовательных разных С, то получим различные глаголы СВ (в зависимости от того, какие пространственные ориентиры выбираются, и их места в «истории» движения): Х прошел 5 м / 3 км и т. д. = 'Х находится в некотором (конкретно не определенном) пункте Y→Х идет → Х находится в некотором (конкретно не определенном) пункте Z, расстояние от Y до Z = 5 м / 3 км'; Х подошел к дереву = 'Х не находился около дерева → Х шел → Х находится около дерева'; Х прошел мимо дерева – более сложная «история», которая, однако, легко может быть описана аналогичным образом; и т. д. [ср. Кошелев 1988: 46].
Предположение о том, что эти законы масштабирования могут быть совпадением, что каждый из них есть независимое явление, «особый» случай, отражающий только свою собственную уникальную динамику и организацию, причудливый набор случайностей эволюционной динамики, что масштабирование частоты сердцебиения никак не связано с масштабированием уровня метаболизма или высоты деревьев, – такое предположение кажется невозможным, почти дьявольским. Разумеется, каждый организм, каждый биологический вид и каждый экологический комплекс уникален и отражает различия генетического состава, онтогенетических путей, условий окружающей среды и эволюционной истории. Поэтому можно было бы ожидать, что в отсутствие каких бы то ни было физических ограничений разные организмы – или по меньшей мере разные группы родственных организмов, обитающих в сходных условиях, – могут иметь разные связанные с размерами схемы вариаций структуры и функций. То, что это не так, – что данные почти во всех случаях в самом широком диапазоне размеров и вариантов оказываются близки к простому степенному закону, – ставит перед нами весьма непростые вопросы. А тот факт, что показатели этих степенных законов почти всегда равны простым кратным ?, ставит задачу еще более сложную.
В пределах растительного мира об аналогичном характере превращений можно судить по циклическому движению в цепи “растение-плод-семя-новое растение-”, по внешнему виду и внутреннему строению деревьев, кустов, травы, листьев, плодов (что схематически представлено на рис. 1).
Бесчисленные природные формы симметричны, по крайней мере внешне: фигура человека, тело животного, семя растения, яйцо. Или они стремятся к определенной симметрии, вроде свободно растущего дерева. Симметричный облик человека, с двумя глазами и двумя руками, отражается в симметричном облике книги и книжного титула, строки которого выключены по центру. Симметричная архитектура эпохи Возрождения таким же образом отвечала симметрии стоящего перед ней человека. Симметричный порядок – не признак стиля и тем более не отражение общественного устройства, это только форма, развивающаяся практически сама по себе, которая существует во все времена и при самых разных общественных строях. Правда, симметричный порядок отличается тем, что он явно тяготеет к равновесию, к середине.
В отличие от них, объекты и правила внешней территории разными людьми воспринимаются одинаково. Мы будем использовать термин разделяемая реальность. Например, понятия «дерево», «животное», «строение» относятся к разделяемой реальности, а утверждения о качествах этих объектов, например, «красивое» дерево, «опасное» животное, «высокое» или «низкое» строение, зависят от типа внутренней аксиоматики.
Величину элементов и деталей выбирают в зависимости от общих размеров предмета и его положения относительно человека, причем делают это до исполнения предмета в натуре. Дело в том, что о форме, взятой как таковой без сравнения или сопоставления с другими деталями композиции, нельзя сказать ничего определенного относительно ее размера. И круг, и квадрат, и любая другая фигура могут быть оценены лишь в связи с примыкающими или заполняющими их деталями, о которых уже что-то известно. Так, их величину можно оценить исходя из рисунка текстуры дерева или размеров креплений, шурупов, шпилек, фурнитуры и т. п. Учитывая, что предмет должен оцениваться глазом с единого обзора, а не по частям, причем этот единый зрительный охват должен одинаково оценить как общее построение, т. е. структуру предмета, так и детали, и следует выбирать размер входящих в композицию элементов. Так, на шкатулке, рассматриваемой на близком расстоянии, и на наборной двери платяного шкафа детали могут быть схожими по форме, но обязательно должны быть разными по величине. Сделать дверь в таком же мелком наборе, как и шкатулку, и, наоборот, шкатулку отделать так же крупно, как дверь, будет неверно. Предметы потеряют масштабность, т. е. станут по внешнему виду в неподобающее им относительно человека положение. Этим объясняется важность масштабности композиционного решения. Все средства и приемы, используемые при создании композиции, не дадут должного эффекта, если общее решение будет немасштабным.
Иерархическое представление – далеко не новость в автоматизированном проектировании. Однако в данном случае узлами дерева являются не отдельные части графического изображения, которые, как правило, неинформативны и не несут никакой смысловой нагрузки, а конкретные объекты, разделенные по определенному признаку.
Этого мы не знаем. До настоящего времени никакие тесты в этом отношении не проводились. Соответствующие эксперименты выполнить было бы очень непросто, поскольку они требуют измерений на уровне отдельно взятых животных или клеток, в частности измерений их естественных частот и их реакций на внешние воздействия разной силы и в определенные моменты времени, а также на уровне сети в целом, чтобы количественно оценить взаимодействия между осцилляторами и результирующее коллективное поведение. Особенно трудно измерить взаимодействия между парами осцилляторов. Если эти пары осцилляторов оставить в сети, то на результатах наших измерений может сказаться влияние со стороны других осцилляторов; если же эти пары осцилляторов изъять из сети, хирургическим или иным способом, то в процессе такого изъятия могут пострадать окружающие осцилляторы и соединения между ними. Кроме того, соединения внутри сетей, как правило, остаются неизвестными за исключением нескольких малых систем нейронов. Не зная, кто с кем взаимодействует, невозможно выполнить количественное тестирование моделей. Например, если на дереве расположилось множество светлячков, то вам пришлось бы точно определить, какие из них кого видят, измерить естественные частоты мерцания каждого из них и, наконец, измерить функции чувствительности и влияния каждого насекомого. Никто не пытался выполнить такой эксперимент даже для двух светлячков, не говоря уж о том, чтобы выполнить его для большой совокупности светлячков.
Дело в том, что в данном контексте речь идет об эффекте ближней зоны, который фактически никак не учитывается в современных исследованиях пространства в рамках философии и социологии. На этот эффект восприятия пространства обратил внимание академик Б. В. Раушенбах в ходе выполнения космических программ, и проведенный им комплексный анализ обнаружил, что различия между ближней и дальней зонами определяются психофизиологией человека. Достаточно сказать, что на небольших расстояниях человек видит в слабой обратной перспективе, в то время как на больших – в прямой. Еще Э. Мах не только указывал на существование ближней зоны, но и фактически точно назвал размеры: «Зрительное пространство скорее похоже на построения метагеометров, чем на пространство Евклида. Оно не только ограниченно, но кажется имеющим весьма тесные пределы. Один опыт Платона показывает, что последовательный зрительный образ не увеличивается уже заметно, если проецируется на поверхность, постепенно отступающую от глаза далее 30 метров расстояния»[30]. Эффект ближней зоны объясняет, почему в традиционной культуре шаман может залезть по дереву на небо, а боги, жившие на Акрополе, действительно представляли собой небожителей – в обоих случаях «высота неба» совпадает с радиусом ближней зоны, в которой была сосредоточена жизнь. Следует обратить внимание также на то, что «пространство», как самостоятельный феномен, на небольших расстояниях не воспринимается, для него нужен навык дальновидения. Тем самым разговор о «пространстве» применительно к ближней зоне, представляющей собой совокупность разрозненных предметов, оказывается некорректным. «Дорефлексивное» представление составляет специфику мыслительных механизмов, ответственных за восприятие ближней зоны.
Автоструктуры появляются в энергетических явлениях, например, молниях. В этот же ряд можно поместить русло реки, сосудистую систему человека, простое дерево и т. д. и т. п. Обращает на себя внимание абсолютная похожесть форм всех автоструктур. Единственным отличием в них является направление диссипации энергии… В движущихся она направлена к «верхушке», у остановившихся – к «корню». По отношению к Инь и Ян материального тела автоструктуры также не безразличны…
Те начатки классификации, что можно найти у ятрохимиков, не сильно отличались от прочих попыток того времени. Обычно растения делили на деревья, травы и кустарники – почтенная традиция, идущая ещё от Феофраста. По мере увеличения числа растений, которые требовалось различить в одной работе, увеличивалась изощрённость классификации. В этом смысле ведущим был количественный рост. Чем обширнее был некий ботанический сад, чем больше в нём было видов растений (прежде всего лекарственных), тем более дробная система требовалась для описания этих растений (логическая, схоластическая выучка у ятрохимиков была на высоте – все они наследовали схоластике с её изощрённым умением различений).
Важно подчеркнуть еще один принципиальный момент. Общий признак есть уже оформленное в нашем языке представление о каком-то свойстве действительности. Оно вошло в словарь и редко далее меняется. Напротив, представление о строении достаточно сложного объекта, каким является организм, есть результат научного изучения. Поэтому понятие о строении того же цветка, в отличие от понятия дерева или ягодоносных растений, может и должно меняться с ростом наших знаний о цветке. Причем оно будет меняться и экстенсионально, и интенсионально. Цветок возник не на голом месте, он имеет свою естественную доцветковую историю. Напомним, что Линней настойчиво искал и не находил на доступном в то время морфологическом уровне цветок у тайнобрачных. Но если мы перейдем к генетической характеристике цветка, в частности к анализу гомеобоксных MAD S-генов, определяющих структуру цветка, то нам удастся проследить этапы становления цветка на генетическом уровне. Разные MADS-box-гены определяют специфичность цветковой меристемы, дифференциальную скорость размножения клеток, структуру элементов цветка, мужскую фертильность и ряд других процессов; существуют гены, поддерживающие архитектуру цветка (подробнее см. Шаталкин, 2007).
Надземная часть дерева представляет множество различных по своему размеру, возрасту, назначению и размещению в пространстве ветвей. Все ветви дерева составляют его крону. Центральная часть дерева, его ось называется стволом. У одних деревьев ствол ярковыраженный и четко определяется, у других он отклоняется в сторону и разветвляется так, что его невозможно выделить среди других ветвей (рис. 1).
Изменения в числе солнечных пятен существенно влияют на перемены погоды и, следовательно, на растительность и на все живое на Земле. Так, например, толщина годичных колец на срезе ствола сосны меняется с явным одиннадцатилетним периодом, следующим за периодичностью солнечных пятен. На рисунке 15 кривая солнечных пятен за 1830–1910 годы сравнивается со средней кривой роста деревьев для нескольких европейских стран. Параллелизм вполне ясен и здесь, хотя картина осложняется действием других причин, не зависящих от солнечных пятен. Таким образом, несомненно, что солнечные пятна составляют важный фактор в жизни земной поверхности.
Групповое размещение деревьев и кустарников делает ландшафт более красочным. Группы могут быть самыми разнообразными по составу (одно- и многопородные), форме и окраске крон (гармоничные и контрастные), структуре (плотные и рыхлые) и размеру (малые, средние, большие). Насаждения в группах могут быть одно-, двух- и многоярусные. Последние наиболее декоративны и красивы. При этом высота растений уменьшается от центра или вершины композиции (если она эксцентрическая) к периферии. При таком построении все растения оптимально освещены, поэтому они будут хорошо развиваться и противостоять ветровым нагрузкам.
Статические законы скульптуры и ритм танца сочетаются, создавая совершенство классической статуи танцующего Шивы. Движение понимается как вращение вокруг неподвижной оси; благодаря разложению на четыре характерных жеста, следующих один за другим как разные фазы, оно как бы опирается на свою полноту; оно совершенно не скованно, но его ритм поддерживается статической формулой, подобно волнам жидкости в сосуде; время поглощено не-временем. Руки и ноги божества расположены таким образом, что человек, который смотрит на статую спереди, видит сразу все ее формы: они заключены в круге пламени, символе Пракрити, но их пространственная поливалентность от этого никоим образом не страдает. Напротив, с какой бы стороны человек ни смотрел на статую, ее статическое равновесие остается совершенным, подобно равновесию дерева, распростертого в пространстве. Пластическая точность деталей созвучна с непрерывной длительностью жестов.
Используемые ренессансными авторами образы несут в себе двойную нагрузку: например, образы храмов и зданий, с одной стороны, занимают то же самое место, что и в традиционной средневековой иконографии, то есть остаются традиционным знаком, а с другой, напоминают реальные архитектурные прототипы, то есть приобретают актуальные пространственные референции. Контекст ренессансного видения, перекомбинация элементов меняет значение таких отдельных предметов, как скала, пещера, дерево, здание, корабль, крыша, колонна, облако, арка и др. Франкастель отмечает, что в искусстве Ренессанса значительно увеличивается количество комбинаций предметов и их набор («Поклонение волхвов» Дж. де Фабриано, с его огромным множеством элементов, с разнообразными значениями).
Р. Майер выделил три типа семантических полей: 1) естественные (названия деревьев, животных, частей тела, чувственных восприятий и под.), 2) искусственные (названия воинских чинов, составные части механизмов и под.) и 3) полуискусственные (терминология охотников или рыбаков, этнические понятия и под.) (Там же: 105).
Осуществив квантификацию, получают многоуровневое иерархическое дерево целей, на нижнем уровне которого оказывается полный набор измеримых целей. Для обеспечения полноты в набор целей нижнего уровня приходится включать цели, характеризующие различные стороны процесса функционирования системы. Дерево целей позволяет иметь полный перечень задач для подсистем любого уровня иерархии. При этом проектировщик формулирует технические задания для подсистем, в которых учитываются цели и задачи более высокого уровня.
При радиальном разрезе годичный слой напоминает разные по высоте и диаметру конусы, нанизанные друг на друга. По ним определяется возраст дерева, причем не в любом месте ствола, а только на уровне корневой шейки. По мере приближения к вершине ствола годичных колец становится все меньше, поэтому он постепенно уменьшается в диаметре.
Однако поскольку дерево является живым, я не могу, используя его в качестве примера, утверждать, что вычисление предшествует жизни (хотя это представляет собой убедительный пример вычисления, которое предшествовало появлению людей). Чтобы проиллюстрировать пребиотическую природу способности материи обрабатывать информацию, нам следует рассмотреть более фундаментальную систему. Именно здесь пригодятся химические системы, которые завораживали Пригожина.
Второй элемент – Дерево. Дерево включает в себя все растения, символизирует рост и развитие творческих способностей. Основной характеристикой считается крепость и в то же время гибкость. Стихия Дерево приносит удачу и материальное благосостояние. Направление – восток; цвет – зеленый; время года – весна; погода – ветренная. Предметы, символизирующие Дерево имеют высокую, продолговатую и прямоугольную форму.
Как новичку, так и человеку, профессионально работающему с трехмерной графикой, пригодится наличие библиотеки материалов и текстур, созданной одним из описанных выше способов. Имеет смысл сформировать отдельную коллекцию чистых (без признаков воздействия внешней среды) основных материалов. К основным материалам можно отнести камень различной фактуры, металл, отражающий и матовый, ткани разных видов, дерево, пластик, стекло, бумагу, кожу, резину. Как правило, изображение основного материала накладывается на трехмерную модель в качестве карты цвета диффузного рассеивания либо служит первым слоем при создании сложной многослойной текстуры в программе редактирования двумерных изображений. Намного проще отредактировать чистые образцовые материалы в соответствии с требованиями проекта, чем преобразовывать текстуры, измененные окружающей средой. Пополнить библиотеки материалов можно через Интернет. На сайтах, посвященных компьютерной графике, всегда можно найти отдельные изображения, а иногда и целые коллекции карт текстур.
Шарообразная шляпка упрощает выдергивание гвоздя за счет ее несминаемости. Шляпку в виде выпуклой полусферы будет труднее полностью ввести в дерево (по сравнению с обычной), а шляпку, вогнутую внутрь – наоборот. Т-образная шляпка затрудняет выдергивание гвоздя за счет возможности более глубокого ее проникновения в древесину и (или) деформации при взаимодействии с гвоздодером. Все перечисленные эффекты могут найти реальное применение. Более того, если очень захотеть, можно придумать еще не один десяток отличительных признаков гвоздя.
Однако подходить к наличию подобных нормативов надо критично, так как кустарник кустарнику рознь, да и деревья не все одинаковые. Необходимо представить, насколько раскидистой станет с возрастом крона, насколько глубокой или широкой будет корневая система, насколько дерево устойчиво к воздействию ветра и т. д.
При введении центра в структуру «четырех явлений» образуется пять элементов (пять столбов, пять стихий). Это Дерево, Огонь, Земля, Металл и Вода. Они описывают мировой круговорот и взаимосвязь всех предметов и явлений, которые распределены по признаку принадлежности к сфере того или иного первоэлемента.
Издавна человек использовал природные объекты в своих целях. Палкой можно сбить плод с дерева, перевернуть камень, её можно применить в качестве оружия – дротика. Выступая в качестве инструмента достижения цели, природный объект уже может считаться техническим объектом.
Древовидный (дендрический) рисунок речной сети, характеризуется беспорядочными извилистыми очертаниями довольно густой сети. Притоки могут впадать в реки под любым углом. Рисунок напоминает ветвистое дерево. Условия, которые способствуют формированию этого рисунка, являются однородные. Нет крутых склонов, крутопадающих пород, ослабленных зон. В большинстве районов развития данного рисунка отмечены несцементированные пески, глины. Направления водотоков здесь случайно. При отсутствии зон тектонических нарушений могут развиваться в районах развития метаморфизованных осадочных пород. В общем, это аккумулятивные равнины – плато.
Смещение – линейное движение, при котором все точки тела перемещаются равномерно вдоль оси в одном направлении. Например, линейным является движение поезда в тоннеле. Вращение – движение, при котором все точки тела неравномерно перемещаются вокруг оси, пронизывающей плоскость. Точки, расположенные ближе к оси, вращаются с меньшей скоростью, чем расположенные дальше от нее. Вращение колес машины, или падение спиленного дерева отражают закономерности вращательного движения.
До изобретения уличного освещения Луна и звезды были так же хорошо знакомы большинству людей, как и близлежащие реки, деревья и горы. Когда заходило Солнце, появлялись звезды. Луна двигалась в собственном ритме и по собственному расписанию, иногда она появлялась в небесах среди бела дня и выглядела как бледный призрак, но по ночам светила намного ярче. Тем не менее закономерности в ее движении тоже присутствовали. Всякий, кто наблюдал бы Луну хотя бы между делом на протяжении нескольких месяцев, скоро заметил бы, что она следует регулярному ритму и каждые 29 дней меняет форму с тонкого полумесяца до полного диска и обратно. Кроме того, она заметно сдвигается от ночи к ночи, проходя по небу одним и тем же повторяющимся из раза в раз замкнутым маршрутом.
Вообще большинство чудес, описанных в Библии, давно нашли ясное научное объяснение, например, для Ветхого завета – в книге Зенона Косидовского «Библейские сказания», а для Нового завета – в его же книге «Сказания евангелистов». К примеру, манна небесная это съедобные семена одного из видов деревьев, хождение по воде – результат резкого обмеления Красного моря, возгорание куста – следствие концентрации солнечных лучей (эффект линзы) и т. д.
Что касается ткачества, то следует отметить, что фрагменты тканей, время создания которых от 6500 до 3400 г. до н. э. были обнаружены на территории современной Турции и в египетских додинастических погребениях. Появление первых ткацких станков примитивной конструкции также относят к этому времени. Первоначально нити, предназначенные для создания ткани, просто подвязывались к горизонтальным ветвям деревьев, а снизу прикреплялись к стволам поваленных деревьев или зажимались камнями.
Клетка (1; 4) – вещество увеличить. Книга состоит из целлюлозы, обработанной древесины. Увеличим количество древесины: тонна, миллион тонн, миллиард… – пока ничего нового. Древесина во всю планету, корни проникают в недра до самого центра, ветки деревянной планеты уходят в космос. Люди живут внутри дерева, передвигаются по капиллярам, как по ветвям выходят в межпланетное пространство… Эта идея рассматривалась как «смелый проект Г. Полякова – космический лифт с Луны на Землю» в журнале «Техника – молодежи» в № 4 за 1979 год.
Люди нуждаются в таком же разнообразии способов описания процессов социального мира, как и мира физического; использование Единого принципа в социальной жизни делает ее унылой. Людям нужно «многобожие». Им необходимы домовые, лешие, русалки, черти, духи ручьев, духи деревьев, духи машин и гаражей, люди занимаются магией для разнообразия своей жизни. Летчик обживает самолет: он для летчика родной, а для пассажира – нет, это всего лишь машина. У людей должен быть выбор, во что верить и с кем (чем) взаимодействовать. Дерево под окном живое и имеет большое значение – для тех, чье это окно.
а) на косоурах или тетивах, которые представляют собой основу несущей части. Для крепления проступей в тетивы в последних выбираются пазы. Косоуры имеют пилообразную форму. Сверху на балку помещаются проступи, с торцов – подступенки. Они могут быть не только зубчатыми, но и прямыми или округлыми. Лестницы на косоурах и тетивах обычно изготавливают из дерева. При этом следует учесть несколько моментов: благодаря массивному декору их отличает значительный вес; массивная лестница в помещении становится доминантой; даже идеально просчитанная и возведенная конструкция со временем начинает поскрипывать;
1. Белка сидит на одной стороне дерева, а напротив, по другую сторону дерева, стоит человек. Он начинает обходить дерево, но белка также перемещается вокруг ствола, чтобы спрятаться от человека. Они продолжают двигаться, пока каждый не проходит полный круг вокруг дерева. Обошел ли человек вокруг белки в том смысле, что он:
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я