Группа комплексных отражений

Группа комплексных отражений — конечная группа, действующая на конечномерном комплексном векторном пространстве определённым образом.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Фраза группа лиева типа обычно означает конечную группу, которая тесно связана с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле. Термин «группа лиева типа» не имеет общепризнанного точного определения, но важный набор конечных простых групп лиева типа точное определение имеет и они составляют большинство групп в классификации простых конечных групп.

Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий...

Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C: V → V. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам.

Таблица характеров — это двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям группы, а столбцы которой соответствует классам сопряжённости элементов группы. Элементы матрицы состоят из характеров, следов матриц, представляющих группу элементов класса столбца в определяемом строкoй представлении группы.

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени.

Группа G называется просто приводимой, или SR-группой (от англ. simply reducible), если она обладает следующими свойствами: каждый элемент группы G сопряжён со своим обратным и в разложении тензорного произведения любых двух неприводимых представлений группы G каждое неприводимое представление входит не более одного раза. Этот класс групп был введён лауреатом нобелевской премии по физике Юджином Вигнером в связи с задачами на собственные функции уравнения Шрёдингера квантовой механики. Данный класс...

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это компактное пространство с индуцированной топологией, максимальное среди всех подгрупп. Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и, особенно, в классификации полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли в общем случае не единственны, но единственны с точностью до сопряжённости — они являются существенно сопряжёнными.

Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.

Если дано топологическое пространство и группа действий на нём, образы отдельной точки под действием группы действий образуют орбиты действий. Фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит в точности по одной точке из каждой орбиты. Она даёт геометрическую реализацию абстрактного множества представителей орбит.

Подробнее: Фундаментальная область

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации.

Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру (подгруппа, подкольцо, в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы), показывающая степень некоммутативности групповой операции.

Диэдральная группа (группа диэдра) — группа симметрии правильного многоугольника, включающая как вращения, так и осевые симметрии. Диэдральные группы являются простейшими примерами конечных групп и играют важную роль в теории групп, геометрии и химии. Хорошо известно и совершенно тривиально проверяется, что группа, образованная двумя инволюциями с конечным числом элементов в области определения является диэдральной группой.

Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Точечная группа в трёхмерном пространстве — это группа изометрий в трёхмерном пространстве, не перемещающая начало координат, или группа изометрий сферы. Группа является подгруппой ортогональной группы O(3), группы всех изометрий, оставляющих начало координат неподвижным, или, соответственно, группы ортогональных матриц. O(3) сама является подгруппой евклидовой группы E(3) движений 3-мерного пространства.

Следующий список содержит конечные группы малого порядка с точностью до изоморфизма групп.

Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике.

n-Мерная целочисленная решётка (или кубическая решётка), обозначается Zn, — это решётка в евклидовом пространстве Rn, точки которой являются n-кортежами целых чисел. Двумерная целочисленная решётка называется также квадратной решёткой. Zn является наиболее простым примером решётки корней. Целочисленная решётка является нечётной унимодулярной решёткой.

Гру́ппа Галуа́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

АТ-группа или группа алёшинского типа — группа автоморфизмов бесконечного слойно однородного дерева, порожденная корневыми и продольными автоморфизмами (аналог активного и пассивного порождающего в сплетениях групп).

В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: междурародная нотация, орбифолдная нотация и нотация Коксетера.

Подробнее: Список плоских групп симметрии

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных...

Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор эрмитова симметрического пространства по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Модулярные поверхности Гильберта и модулярные многообразия Зигеля находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры...

Группа антисимметрии в теории симметрии — группа, состоящая из преобразований, которые могут менять не только геометрическое положение объекта, но и также его некоторую двухзначную характеристику. Такой двухзначной характеристикой может быть, например, заряд (плюс-минус), цвет (чёрный-белый), знак вещественной функции, направление спина (вверх-вниз).

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции.

Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Циклический порядок — способ расположения множества объектов на окружности. В отличие от большинства структур, в теории порядка циклический порядок не моделируется бинарным отношением, таким как «a < b». Нельзя сказать, что восток «больше по часовой стрелке», чем запад. Вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение , означающее, что «после a дoстигаем b раньше, чем c». Например, . Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно является циклическим, асимметричным...

Произведением Мояля — самый известный пример звёздочного произведения в фазовом пространстве.

В математике путь в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f из единичного отрезка I = в X...

Фальшивая проективная плоскость (или поверхность Мамфорда) — это одна из 50 комплексных алгебраических поверхностей, которые имеют те же числа Бетти, что и у проективной плоскости, но не гомеоморфны ей.

Степень роста группы — характеристика в теории групп, показывающая скорость прироста конечнопорождённых групп в виде класса функций, ставящих в соответствие количеству порождающих элементов порядок группы. Введена советским математиком Шварцем (1955) в рамках исследования вопроса о росте универсальных накрывающих римановых пространств и независимо от него американским математиком Милнором (1968) в связи с проблемами фундаментальных групп компактных римановых многообразий с ограничениями на кривизну...

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Подробнее: Монодромия

Система Штейнера (названа именем Якоба Штейнера) — вариант блок-схем, точнее, t-схемы с λ = 1 и t ≥ 2.

Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве.

Подробнее: Список кристаллографических групп

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.

Подробнее: Универсальное свойство

Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии, наряду с символами Германа — Могена. Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891.

Теорема о классификации простых конечных групп — теорема теории групп, классифицирующая с точностью до изоморфизма простые конечные группы.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G...

Классификация Петрова (иногда классификация Петрова — Пирани, редко классификация Петрова — Пирани — Пенроуза) описывает возможные алгебраические симметрии тензора Вейля для каждого события на псевдоримановом многообразии.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Категория абелевых групп (обозначается Ab) — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Является прототипом абелевой категории., в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab.

Граф циклов группы иллюстрирует различные циклы в группе и, в частности, используется для визуализации структуры малых конечных групп.

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я