Точечная группа в трёхмерном пространстве

Точечная группа в трёхмерном пространстве — это группа изометрий в трёхмерном пространстве, не перемещающая начало координат, или группа изометрий сферы. Группа является подгруппой ортогональной группы O(3), группы всех изометрий, оставляющих начало координат неподвижным, или, соответственно, группы ортогональных матриц. O(3) сама является подгруппой евклидовой группы E(3) движений 3-мерного пространства.

Группы симметрии объектов являются группами изометрии. Соответственно, анализ групп изометрии является анализом возможных симметрий. Все изометрии ограниченного трёхмерного объекта имеют одну или более фиксированных точек (не меняющих положение при симметрии). Мы выбираем начало координат в качестве одной из таких точек.

Группа симметрий объекта иногда называется полной группой симметрии как противопоставление его группе вращений или собственной группе симметрии, пересечению полной группы симметрии и группы вращений SO(3) трёхмерного пространства. Группа вращений объекта совпадает с его полной группой симметрии тогда и только тогда, когда объект хирален.

Точечные группы в трёхмерном пространстве интенсивно используются в химии, особенно при описании симметрий молекулы и молекулярных орбиталей, образующих ковалентные связи, и в этом контексте эти группы называются молекулярными точечными группами.

Конечные группы Коксетера являются специальным множеством точечных групп, образованных набором зеркальных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Группа Коксетера ранга n имеет n зеркал и представляется диаграммой Коксетера — Дынкина. Нотация Коксетера предоставляет скобочную запись, эквивалентную диаграмме Коксетера с символами разметки для вращательных и других точечных подгрупп симметрий.

Источник: Википедия