Высшая математика. Шпаргалка

Аурика Луковкина, 2009

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2), А3 (х3, у3), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х2х1) (у3у1) — (х3x1) (у2у1) = 0.

2. Пусть даны две точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х2х1)(у — у1) — (х — х1)(у2у1) = 0 или (х — х1) / (х2х1) = (у — у1) / (у2у1).

3. Пусть имеются точка М (х1, у1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

у — у1 = а(х — х1).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х — х1) + В(у — у1) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

у — у1 = — (х — х1) / а

или

а(у — у1) = х1х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х1, у1), описывается уравнением А (у — у1) — В(х — х1) = 0.

4. Пусть даны две точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А1, А2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах1 + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А1, А2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах1 + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А1, А2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах1 + + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок — это множество прямых, проходящих через одну точку М (х1, у1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у — у1 = к (х — х1) (параметр пучка к для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y — y1) = m(x — x1), где l, m — не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L1 и L2 соответственно имеют вид (А1х + В1у + С1) = 0 и (А2х + В2у + С2) = 0, то уравнение пучка: m1(А1х + В1у + С1) + m2(А2х + В2у + С2) = 0. Если прямые L1 и L2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х1, у1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:

Смотрите также

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я