Высшая математика. Шпаргалка

Аурика Луковкина, 2009

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 — плоскость xOz, Ax = 0 — плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х₁, у₁, z₁) до плоскости:

Пусть имеются две плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0. Угол φ между этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂ = D₁ / D₂. Условие параллельности плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂. Условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х₁, у₁, z₁) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х — x₁) + В(у — y₁) + С(z — z₁) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂), М₃ (х₃, у₃, z₃):

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_x + B_y + C_z + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (х₁, у₁, z₁) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями: