Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

В геометрии японская теорема утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.

Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.

В частности, пусть □ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M1, M2, M3, M4 — центры вписанных в треугольники △ABD, △ABC, △BCD, △ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M1, M2, M3, M4, является прямоугольником.

Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках. Для доказательства случая четырёхугольника просто строим параллелограмм, проходящий через вершины четырёхугольника (центры окружностей), со сторонами, параллельными диагоналям вписанного четырёхугольника. Из построения следует, что получится ромб, что следует из утверждения, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся диагоналей, равны (а это следует из равенства сумм площадей пар треугольников).

Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).

Источник: Википедия