Теорема отделимости

Теорема отделимости — теорема о топологических свойствах метрического пространства.

Связанные понятия

Теорема Бека — это один из нескольких результатов комбинаторной геометрии, два из которых приведены ниже.

Неконструктивное доказательство (неэффективное доказательство) — класс математических доказательств, доказывающих лишь существование в заданном (как правило, бесконечном) множестве элемента, удовлетворяющего заданным свойствам, но не дающее никакой информации о других свойствах элемента, то есть не позволяющие ни предъявить его, ни приблизительно описать. Доказательства, которые доказывают существование элемента, предъявляя способ получения этого элемента, называются конструктивными.

Теорема об уголках — доказанный результат в области аддитивной комбинаторики, утверждающий присутствие некой упорядоченной (в арифметическом смысле) структуры, называемой уголком, в достаточно больших двумерных множествах любой фиксированной плотности.

Китайская теорема об остатках — несколько связанных утверждений о решении линейной системы сравнений.

Теория Рамсея — раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. Названа в честь Фрэнка Рамсея.

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным.

Задача Нелсона — Эрдёша — Хадвигера — задача комбинаторной геометрии, первоначально поставленная как задача о раскраске или хроматическом числе евклидова пространства.

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Подробнее: Конструктивные способы определения вещественного числа

Принцип Дирихле нередко применяется при доказательстве теорем, особенно в дискретной математике; в частности, в теории диофантовых приближений при анализе систем линейных неравенств.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Подробнее: Монодромия

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории катастроф и теории динамических систем.Названа в честь американского математика Артура Сарда.

Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Теорема о причёсывании ежа утверждает, что на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке, которое определено во всех точках сферы и непрерывно зависит от точки. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так, чтобы у него не торчала ни одна иголка — отсюда и упоминание ежа в названии теоремы.

Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.

Задача трёх тел (в астрономии) — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известно лишь несколько точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Совершенное множество — замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Рациональное решето — это алгоритм общего вида для разложения целых чисел на простые множители. Алгоритм является частным случаем общего метода решета числового поля. Хотя он менее эффективен, чем общий алгоритм, концептуально он проще. Алгоритм может помочь понять, как работает общий метод решета числового поля.

Теорема де Брёйна — Эрдёша — классическая теорема теории графов доказанная Палом Эрдёшем и Николаасом де Брёйном.

Двенадцатикратный путь или двенадцать сценариев — это систематическая классификация 12 связанных перечислительных задач, касающихся двух конечных множеств, которые включают классические задачи подсчёта перестановок, сочетаний, мультимножеств и разбиений либо множества, либо числа. Идею классификации приписывают Джиану-Карло Роту, а название двенадцатикратный путь предложил Джоэл Спенсер. Название намекает, что используя те же подходы в 12 случаях, но с небольшими изменениями в условиях, мы получаем...

Теорема Рамсея — теорема комбинаторики о разбиениях множеств, сформулированная и доказанная английским математиком Фрэнком Рамсеем в 1930 году. Встречается в литературе в разных формулировках. Эта теорема положила начало теории Рамсея.

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

В геометрии теорема Декарта утверждает, что для любых трёх взаимно касающихся окружностей радиусы окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Решив это уравнение, можно построить четвёртую окружность, касающуюся остальных трёх заданных окружностей. Теорема названа в честь Рене Декарта, который сформулировал её в 1643 году.

Идеальные числа были введены в 1847 году немецким математиком Эрнстом Эдуардом Куммером и послужили отправной точкой для определения идеалов колец, введённых позже Дедекиндом.

Подробнее: Идеальное число

Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорем эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность.

Произведением Мояля — самый известный пример звёздочного произведения в фазовом пространстве.

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Синглетон — множество с единственным элементом. Например, множество {0} является синглетоном.

Гипотеза об экспоненциальном времени — это недоказанное допущение о вычислительной сложности, которое сформулировали Импальяццо и Патури. Гипотеза утверждает, что 3-SAT (или любая из связанных NP-полных задач) не может быть решена за субэкспоненциальное время в худшем случае. Из верности гипотезы об экспоненциальном времени, если она верна, следовало бы, что P ≠ NP, но гипотеза является более сильным утверждением. Из утверждения гипотезы можно показать, что многие вычислительные задачи эквиваленты...

Теорема Э́рдёша — Се́кереша в комбинаторике — утверждение, уточняющее одно из следствий теоремы Рамсея для финитного случая. В то время как теорема Рамсея облегчает доказательство того, что каждая последовательность разных действительных чисел содержит монотонно возрастающую бесконечную подпоследовательность или монотонно убывающую бесконечную подпоследовательность, результат, доказанный Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, идёт дальше. Для данных r, s они показали, что любая последовательность разных...

Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности, главное свойство которой — отсутствие треугольников (однако структура содержит много четырёхугольников). Обобщённый четырёхугольник является по определению полярным пространством ранга два. Обобщённые четырёхугольники являются обобщёнными многоугольниками с n = 4 и почти 2n-угольниками с n = 2. Они являются также в точности частичными геометриями pg(s,t,α) с α = 1.

Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.

Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.

Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности.

Теорема Жордана — классическая теорема геометрии известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Вероятностный метод — неконструктивный метод доказательства существования математического объекта с заданными свойствами. В основном используется в комбинаторике, но также и в теории чисел, линейной алгебре и математическом анализе, а также в информатике (например, метод вероятностного округления) и теории информации.

Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.

Сюрреальные числа (англ. surreal number — название принадлежит американскому математику Дональду Кнуту) впервые были использованы под другим названием («числа» — англ. number) в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр.

Факторизация многочлена — представление данного многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней.

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей.

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...

Омега-язык (ω-язык) — это множество бесконечно длинных последовательностей символов.

Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача о равносоставленности круга и равновеликого квадрата.

Теорема о 9 точках на кубической кривой — теорема алгебраической геометрии, которая гласит, что...

Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, или принцип непрерывности Кантора — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Теорема о четырёх вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по меньшей мере четыре локальных экстремума (в частности, по меньшей мере два локальных максимума и по меньшей мере два локальных минимума). Название теоремы отражает соглашение называть экстремальные точки функции кривизны вершинами.

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я