Правильный многогранник

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного и каждому ребру исходного — ребро двойственного. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью.

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, который внёс значительный вклад в геометрию и другие области математики.

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Выпуклый многогранник — частный случай многогранника, пересечение конечного числа замкнутых полупространств.

Упоминания в литературе

Если мы попытаемся совместить более шести равносторонних треугольников, четырех квадратов или трех любых бо́льших правильных многоугольников, нам не хватит места и мы просто не сможем разместить вокруг вершины их суммарный угол. И поэтому пять платоновых тел – это все конечные правильные многогранники, которые могут существовать.

Фрэнк Вильчек, Красота физики. Постигая устройство природы, 2015

Согласно их икосаэдро-додекаэдрической теории (ИДСЗ), в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Наталия Осьминина, Квантовая биомеханика тела. Методика оздоровления опорно-двигательного аппарата человека. Часть II, 2017

Связанные понятия (продолжение)

Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

Подробнее: Полуправильный многогранник

Звёздчатый многогра́нник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами).

В геометрии усечение — это операция в пространстве любой размерности, которая отсекает вершины политопа и при которой образуются новые грани на месте вершин. Термин берёт начало от названий архимедовых тел, данных Кеплером.

Диэдр — вид многогранника, состоящего из двух многоугольных граней, имеющих общий набор рёбер. В трёхмерном евклидовом пространстве он является вырожденным, если его грани плоские, в то время как в трёхмерном сферическом пространстве диэдр с плоскими гранями может рассматриваться как линза, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L(p,q) .

В геометрии вершина — это вид точки, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников.

Соединение многогранников — это фигура, составленная из некоторых многогранников, имеющих общий центр. Соединения являются трёхмерными аналогами многоугольных соединений, таких как гексаграмма.

В геометрии треугольная призма — это призма с тремя боковыми гранями. Этот многогранник имеет в качестве граней треугольное основание, его копию, полученную в результате параллельного переноса и 3 грани, соединяющие соответствующие стороны. Прямая треугольная призма имеет прямоугольные боковые стороны, в противном случае призма называется косой.

В геометрии n-угольный осоэдр — это такая мозаика из двуугольников на сферической поверхности, что каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.

Большой додекаэдр — это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли {5,5/2} и диаграммой Коксетера — Дынкина . Это один из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 пятиугольных граней (шесть пар параллельных пятиугольников), с пятью пятиугольниками в каждой вершине, пересекающих друг друга и делая рисунок пентаграммы.

В геометрии квадратная пирамида — это пирамида, имеющая квадратное основание. Если вершина пирамиды находится на перпендикуляре от центра квадрата, пирамида имеет симметрию C4v.

В геометрии сферический многогранник или сферическая мозаика — это тa мозаика на сфере, в которой поверхность разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками. Большая часть теории симметричных многогранников использует сферические многогранники.

Многогранник размерности 3 и выше называется изоэдральным или гране транзитивным, если все его грани одинаковы. Точнее сказать, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны прилежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая отображает A в B. По этой причине выпуклые изоэдральные многогранники имеют формы правильных игральных костей.

Подробнее: Изоэдральное тело

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.

В геометрии образование звёздчатой формы — процесс расширения многоугольника (в пространстве размерности 2), или многогранника в пространствах размерности 3 и выше с образованием новой фигуры.

В евклидовой геометрии спрямление или полное усечение — это процесс усечения многогранника путём пометки середины всех его рёбер и отсечения всех вершин вплоть до этих точек . Получающийся многогранник будет ограничен фасетами (гранями размерности n-1, в трёхмерном пространстве это многоугольники) вершинных фигур и усечёнными фасетами исходного многогранника. Операции спрямления даётся однобуквенный символ r. Так, например, r{4,3} — спрямлённый куб, т.е. кубооктаэдр.

Подробнее: Полное усечение (геометрия)

Курно́сый куб, или плосконо́сый куб, — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

В геометрии политоп (многогранник, многоугольник или замощение, например) изогонален или вершинно транзитивен, если, грубо говоря, все его вершины эквивалентны. Отсюда следует, что все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями.

Подробнее: Изогональная фигура

Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Подробнее: Правильный четырёхмерный многогранник

Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их...

В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный...

Подробнее: Хиральность (математика)

В геометрии 4-мерный многогранник — это многогранник в четырёхмерном пространстве. Многогранник является связанной замкнутой фигурой, состоящей из многогранных элементов меньшей размерности — вершин, рёбер, граней (многоугольников) и ячеек (3-мерных многогранников). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам.

Вписанная сфера — сфера, находящаяся внутри многогранника и касающаяся каждой его грани. Является наибольшей сферой, полностью содержащейся внутри многогранника. Двойственна описанной сфере двойственному данному многогранника.

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Пятиугольная призма — это призма с пятиугольным основанием. Это вид семигранника с 7 гранями, 15 рёбрами и 10 вершинами.

Пра́вильный додека́эдр (от др.-греч. δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Треуго́льный парке́т (треугольный паркета́ж) или треугольная мозаика — это замощение плоскости равными правильными треугольниками, расположенными сторона к стороне.

Ребро в геометрии — отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше). В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней. Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю.

Правильный (или равносторонний) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Фаска или усечение рёбер в геометрии — это топологическая операция, которая преобразует многогранник в другой многогранник. Операция подобна растяжению, передвигающему грани, удаляя их от центра. Для трёхмерных многогранников операция фаски добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра.

В геометрии пространственный многоугольник — это многоугольник, вершины которого не компланарны. Пространственные многоугольники должны иметь по меньшей мере 4 вершины. Внутренняя поверхность таких многоугольников однозначно не определяется.

В геометрии построение Витхоффа, или конструкция Витхоффа — это метод построения однородных многогранников или мозаик на плоскости. Метод назван по имени математика В. А. Витхоффа. Часто метод построения Витхоффа называют калейдоскопным построением.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Си́мплекс или n-мерный тетра́эдр (от лат. simplex ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Многоугольник Петри для правильного многогранника в размерности n — это пространственный многоугольник, такой что любые (n-1) последовательных ребра (но не n) принадлежат одной (n-1)-мерной грани.

Однородная мозаика может существовать как на евклидовой плоскости, так и на гиперболической плоскости. Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками, которые можно считать однородными замощениями сферы.

Куб (др.-греч. κύβος) (иногда гекса́эдр или правильный гекса́эдр) — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.

В геометрии шестиугольная призма — это призма с шестиугольным основанием. У этого многогранника 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.

Подробнее: Двадцатичетырёхъячейник

Усечённый кубооктаэдр, усечённый кубоктаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.

Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно.

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я