Римановы пространства. Распознавание формул (структур) римановых многообразий нейронной сетью

Людмила Наумова

В 1854 году в Геттингене Риман прочитал знаменитую лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», где дал расширенное понятие пространства. Проникая в глубину мысли Римана автор логически констатирует следующее: римановых многообразий в широком смысле, в понятии, которому придавал сам Риман бесчисленное множество, и они существуют в реальном мире. Реальные пространства, их структура (формула) выявляются нейронными сетями.

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ. ШИРОКОЕ ПОНЯТИЕ ПРОСТРАНСТВА

Вообще, геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые необходимы для выполнения пространственных построений. Она дает номинальные определения понятий, тогда как существенные свойства определяемых объектов входят в форме аксиом. Но взаимоотношения понятий и аксиом может быть разными. Риман обратил внимание на общую концепцию многократно протяженных величин, к которым относятся и пространственные величины. Исходя из общего понятия о величине, Риман сконструировал понятие многократно протяженной величины. Многократно протяженной величине возможны различные мероопределения, и пространство есть не что иное, как ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ трижды протяженной величины. Риман предложил сконструировать пространство (по законам математики и логики) на основании общего понятия о величине (понятие величины много шире понятия пространственных величин). Есть величина массы, величина силы, величина скорости, величина температуры, величина времени и т. д. Что такое многократно протяженная величина? Классы многократно протяженных величин (пространств) различного типа, где единица измерения принадлежит к данному типу величин, вовсе не есть непременно единица длины, как в обычном пространстве. Поэтому в таких «сконструированных пространствах» возможны различные мероопределения, то есть различные законы построения и измерения фигур, т.е. возможна разная геометрия. Вот такое именно и есть пространство Римана в широком смысле этого слова. Свойства, которые выделяют такое риманово пространство из других мыслимых протяженных величин, могут быть почерпаны не иначе как из опыта. Мы должны выйти из мира, рамок плоского пространства. Математики открывают пока в математических символах новые пространства. Но реальная геометрия физического мира не выводится из общих свойств протяженных величин, напротив свойства, которые выделяет пространство из других мыслимых форм, могут почерпнуты не иначе как из опыта. Чистая математика никогда не сумеет сделать выбора и сказать каково оно истинное строение реального пространства. Лишь расчеты, полученные на реальных наблюдениях, могут дать результат. Мы расскажем как обученная нейронная сеть — это и есть тот расчет, который вычисляет римановы многообразия в широком смысле этого слова, нейронная сеть использует большие данные для определения структуры объекта (многообразия).