Система линейных алгебраических уравнений

  • Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

    В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

    Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном видеПредставление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.
Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.
Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Подробнее: Точнорешаемая задача
Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают...

Упоминания в литературе

Наконец, всеми любимый многие годы, межотраслевой баланс (МОБ). По-существу, его необходимо было бы запретить в экономической практике, так как МОБ применим к экономике по поговорке «в огороде бузина, а в Киеве дядька». Применение статического МОБ только гробит экономическое развитие. Этот математический инструмент по всем своим характеристикам к экономике не имеет никакого отношения. Его предназначение – обеспечить некий «баланс коэффициентов» в системе линейных алгебраических уравнений (сделать систему алгебраических уравнений совместимой, т. е. решаемой). Однако сбалансированные системы по своему имманентному существу не имеют необходимого экономики алгоритма развития. Сбалансированные системы всегда «консервативны». Изменяться и, следовательно, развиваться может только система, которая имеет хотя бы одну разбалансированность. Кроме того, в МОБ слишком много ограничений, запрещающих его применение. Так, МОБ: не моделирует динамику экономики, не позволяет описать обратные связи, по своему существу не только не позволяет выполнить математическое описание изменений структуры экономического объекта, но и моделировать управление интенсивностью хаоса экономической динамики. В МОБ не представлены интегралы-накопители ресурсов, моделирующие накопления ресурсных резервов, часто используемые для генерации сигналов управления потоками ресурсов. И еще множество того, что говорит о непригодности этого инструмента для управления экономикой. Например, в МОБ невозможно выполнить математическое описание необходимых автоматических регуляторов экономической динамики.

Связанные понятия (продолжение)

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а...
Переопределённая система — система, число уравнений которой больше числа неизвестных.
Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные...
Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.
Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.
Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован...
Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций.
Фундаментальная система решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений (алгебраических или дифференциальных) — максимальный (то есть содержащий наибольшее возможное число элементов) набор линейно независимых решений этой системы.
Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.
Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным).
Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.
Алгоритм Гаусса — Ньютона используется для решения задач нелинейным методом наименьших квадратов. Алгоритм является модификацией метода Ньютона для нахождения минимума функции. В отличие от метода Ньютона, алгоритм Гаусса — Ньютона может быть использован только для минимизации суммы квадратов, но его преимущество в том, что метод не требует вычисления вторых производных, что может оказаться существенной трудностью.
Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичный метод итерации.
Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.
Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов...
Спектральные методы — это класс техник, используемых в прикладной математике для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, возможно, вовлекая Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в переписи решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид), а затем выбрать коэффициенты в сумме, чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению, насколько это возможно.

Подробнее: Спектральный метод
Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.
Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Алгоритм Риша — алгоритм для аналитического вычисления неопределённых интегралов, использующий методы дифференциальной алгебры. Он базируется на типе интегрируемой функции и на методах интегрирования рациональных функций, корней, логарифмов, и экспоненциальных функций.
В математике, матричная функция — это функция, отображающая матрицу в другую матрицу.
Функции Йоста (решения Йоста, англ. Jost functions, англ. Jost solutions) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.
Квадратичное программирование (англ. quadratic programming, QP) — это процесс решения задачи оптимизации специального типа, а именно — задачи оптимизации (минимизации или максимизации) квадратичной функции нескольких переменных при линейных ограничениях на эти переменные. Квадратичное программирование является частным случаем нелинейного программирования.
Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.
Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.
Линейные динамические системы — это динамические системы, эволюция которых во времени описывается линейным дифференциальным уравнением (для систем с дискретным временем - линейным разностным уравнением). В то время как динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения, линейные динамические системы могут быть решены точно, и у них есть большой набор математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания поведения общих динамических систем, путём расчета точек...

Подробнее: Линейная динамическая система
Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.
Полуопределённое программирование (en: Semidefinite programming, SDP) — это подраздел выпуклого программирования, которое занимается оптимизацией линейной целевой функции (целевая функция — это заданная пользователем функция, значение которой пользователь хочет минимизировать или максимизировать) на пересечении конусов положительно полуопределённых матриц с аффинным пространством.
Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.
Ве́ктор (от лат. vector, «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости).
Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.
А́лгебра (от араб. الْجَبْر‎, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Квазиньютоновские методы — методы оптимизации, основанные на накоплении информации о кривизне целевой функции по наблюдениям за изменением градиента, чем принципиально отличаются от ньютоновских методов. Класс квазиньютоновских методов исключает явное формирование матрицы Гессе, заменяя её некоторым приближением.
Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.
В прикладной статистике метод наименьших полных квадратов (МНПК, TLS — англ. Total Least Squares) — это вид регрессии с ошибками в переменных, техника моделирования данных с помощью метода наименьших квадратов, в которой принимаются во внимание ошибки как в зависимых, так и в независимых переменных. Метод является обобщением регрессии Деминга и ортогональной регрессии и может быть применён как к линейным, так и нелинейным моделям.
Интеграл Курцвейля — Хенстока — обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.
Метод главных компонент (англ. principal component analysis, PCA) — один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретён Карлом Пирсоном в 1901 году. Применяется во многих областях, в том числе, в эконометрике, биоинформатике, обработке изображений, для сжатия данных, в общественных науках.
Анзац-подход является важным методом при решении дифференциальных уравнений, где мы можем подставить пробные функции в систему уравнений и проверить наше решение.
В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных значений матрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы.

Подробнее: Алгоритм вычисления собственных значений
Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов, дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.
Ба́зис (др.-греч. βασις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.
Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я