Вычислительная устойчивость

В вычислительной математике вычислительная устойчивость является обычно желательным свойством численных алгоритмов.

Точное определение устойчивости зависит от контекста.

Один из них — численная линейная алгебра,

другой — алгоритмы решения обыкновенных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения.

В численной линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к различным особенностям(singularity),

таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения.

С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений

проблема заключается в увеличении ошибок округления и/или изначально небольших флуктуаций в исходных данных,

которые могут привести к значительному отклонению окончательного ответа от точного решения.

Некоторые численные алгоритмы могут ослаблять небольшие отклонения (ошибки) во входных данных; другие могут увеличить такие ошибки.

Расчеты, которые, как можно доказать, не увеличивают ошибки аппроксимации, называются вычислительно устойчивыми.

Одна из распространенных задач численного анализа — попытаться выбрать надежные алгоритмы,

то есть не дать сильно отличающийся результат при очень небольшом изменении входных данных.

Противоположным явлением является неустойчивость.

Как правило, алгоритм включает в себя приближенный метод, и в некоторых случаях можно доказать,

что алгоритм будет приближаться к правильному решению в некотором пределе

(при использовании на самом деле действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой).

Даже в этом случае нет гарантии, что он будет сходиться к правильному решению,

потому что ошибки округления или усечения с плавающей точкой могут расти, а не уменьшаться,

что приведет к экспоненциальному росту отклонения от точного решения.

Источник: Википедия