Непрерывная функция

  • Непрерывная функция — функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

    График непрерывной функции является непрерывной линией.

    Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.
Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (или ко́мпле́ксной переме́нной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны...
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.
Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.

Упоминания в литературе

С идеологией дискретности связана и современная информационная техника. Первая механическая вычислительная машина была построена еще в XVII столетии Б. Паскалем. После с изобретением электронных ламп в 40-х годах XX века начинается постройка первых ЭВМ. Они, естественно, используют двоичную систему счисления (0,1), значение которой в деле алгоритмизации осознал еще Лейбниц («Адамов язык»). После Второй мировой войны в связи с прогрессом электроники начинается и ускоренное развитие электронных информационных устройств. Существенно, что вся эта техника – коммуникативная, вычислительная, аудио, видео – является цифровой, то есть использующей в качестве базисного бинарный алфавит (0,1). Все непрерывные функции в этой технике сводятся к ступенчатым, дискретным. Возможность подобного моделирования непрерывных процессов изучается целым отдельным направлением в математике, а возможность машинного моделирования – специальным отделом математической логики. С точки зрения этой технологии все процессы, все знание о мире в принципе может быть разложено в последовательность нулей и единиц, выражено одним линейным файлом, представлено в виде информации. Информация в этом смысле выступает как знание, доступное машинной обработке. Несмотря на головокружительные успехи цивилизации в этом направлении – решение задач распознавания образов, повышение скорости обработки информации, построение многофункциональных роботов, – идея превращения всего знания в информацию находит себе границу не только в естественном «гуманитарном инстинкте» человека, но и в конкретных научных разработках: наблюдениях над особенностями взаимодействия человека и машины (физиологическая и психологическая характеристики воздействия компьютера на человека), в осознании ограниченности эстетических возможностей электронных синтезаторов («грубость» цифровой музыки, изображения), в принципиальных вопросах алгоритмизации процесса познания (теорема Гёделя о неполноте, теоремы неразрешимости и т. д.). Однако, тем не менее, идеология дискретности остается на сегодня в высшей степени популярной.

Связанные понятия (продолжение)

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается...
Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.
Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.
Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как...

Подробнее: Квазианалитическая функция
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.
Особенность, или сингулярность в математике — это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема).
Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории катастроф и теории динамических систем.Названа в честь американского математика Артура Сарда.
Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Подробнее: Равенство смешанных производных
Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении.
Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными данными.
Двойственность, или принцип двойственности, — принцип, по которому задачи оптимизации можно рассматривать с двух точек зрения, как прямую задачу или двойственную задачу. Решение двойственной задачи даёт нижнюю границу прямой задачи (при минимизации). Однако, в общем случае, значения целевых функций оптимальных решений прямой и двойственной задач не обязательно совпадают. Разница этих значений, если она наблюдается, называется разрывом двойственности. Для задач выпуклого программирования разрыв двойственности...
В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Подробнее: Функциональная производная
В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Подробнее: Монодромия
В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

Подробнее: Вычет (комплексный анализ)
Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.
Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть...
Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу...
Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.
Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.
Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.
В математике, матричная функция — это функция, отображающая матрицу в другую матрицу.
Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.
Полицикл векторного поля (также используется термин сепаратрисный многоугольник) — это замкнутая инвариантная кривая, состоящая из особых точек и соединяющих их отрезков фазовых кривых. Различные задачи, связанные с предельными циклами (такие как проблема Дюлака, 16-я проблема Гильберта, проблема Гильберта-Арнольда и др.) зачастую сводятся к изучению бифуркаций векторных полей, содержащих полициклы. Поскольку векторное поле задает автономное дифференциальное уравнение и соответствующую динамическую...
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован...
Сглаживающие операторы — это гладкие функции со специальными свойствами, используемые в теории распределений для построения последовательности гладких функций, приближающей негладкую (обобщённую) функцию с помощью свёртки. Интуитивно, имея функцию с особенностями и осуществляя её свёртку со сглаживающей функцией, получаем «сглаженную функцию», в которой особенности исходной функции сглажены, хотя функция остаётся близкой к исходной функции. Операторы известны также как сглаживающие операторы Фридрихса...

Подробнее: Сглаживающий оператор
Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием.
Случайный элемент — обобщение понятия случайной величины. Термин был введён, по-видимому, М.Фреше (1948), отмечавшим, что «развитие теории вероятностей и расширение области её приложений привели к необходимости перейти от схем, где (случайные) исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, например, векторы, функции, процессы, поля, ряды, преобразования, а также множества или наборы множеств».
Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма...
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.
Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном видеПредставление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.
Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей.
Циклический порядок — способ расположения множества объектов на окружности. В отличие от большинства структур, в теории порядка циклический порядок не моделируется бинарным отношением, таким как «a < b». Нельзя сказать, что восток «больше по часовой стрелке», чем запад. Вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение , означающее, что «после a дoстигаем b раньше, чем c». Например, . Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно является циклическим, асимметричным...
При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Подробнее: Конструктивные способы определения вещественного числа
Гауссовский процесс назван так в честь Карла Фридриха Гаусса, поскольку в его основе лежит понятие гауссовского распределения (нормального распределения). Гауссовский процесс может рассматриваться как бесконечномерное обобщение многомерных нормальных распределений. Эти процессы применяются в статистическом моделировании; в частности используются свойства нормальности. Например, если случайный процесс моделируется как гауссовский, то распределения различных производных величин, такие как среднее значение...
Множество больших тригонометрических сумм — понятие теории чисел — множество индексов, в которых преобразование Фурье характеристической функции заданного подмножества группы принимает достаточно большие значения.
Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.
Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.
Ля́мбда-исчисле́ние (λ-исчисление) — формальная система, разработанная американским математиком Алонзо Чёрчем, для формализации и анализа понятия вычислимости.
Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я