Инцидентность (геометрия)

Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично, отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая l1 пересекает прямую l2», также являются утверждениями об отношении инцидентности, но в этом случае проще сказать: «существует точка P, инцидентная обоим прямым l1 и l2». Когда один тип объектов можно рассматривать как множество объектов другого типа (а именно, плоскость является множеством точек), отношение инцидентности можно рассматривать как включение.

Утверждения вида «любые две прямые на плоскости пересекаются» называются утверждениями инцидентности. Такие утверждения верны в проективных плоскостях, но не верны на евклидовых, где прямые могут быть параллельны. Исторически, проективная геометрия была предложена для того, чтобы утверждение инцидентности было верно без исключений. С точки зрения синтетической геометрии проективную геометрию следует создавать, используя такие утверждения в качестве аксиом. Наиболее существенен такой подход для проективных плоскостей ввиду верности теоремы Дезарга для более высоких размерностей.

Аналитический подход, напротив, определяет проективное пространство на основе линейной алгебры с использованием однородной системы координат. Отношение инцидентности выводится из следующего базового результата для векторных пространств: если даны подпространства U и W векторного пространства V (конечной размерности), размерность их пересечения равна dim U + dim W − dim (U + W). Если принять во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства P(V), ассоциированного с V, равна dim V − 1, и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, базовое утверждение инцидентности в этих условиях примет вид: линейные подпространства L и M проективного пространства P пересекаются при условии, что dim L + dim M ≥ dim PПоследующие разделы относятся к проективным плоскостям, определённым над полями. Такие плоскости часто обозначаются как PG(2, F) или P2F, где F — поле. Однако эти рассуждения можно естественным образом распространить на пространства более высоких размерностей, а поле может быть заменено на тело с учётом, что в этом случае умножение не будет коммутативным.

Источник: Википедия