Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Юрий Вениаминович Красков, 2021

В данной книге показано, как знаменитая научная проблема под названием «Великая теорема Ферма» позволяет раскрывать несостоятельность и недееспособность науки, в которой арифметика по разным историческим причинам лишилась статуса первоосновы всех знаний. Необычный жанр книги назван в ней самой "Научный блокбастер", что означает сочетание остросюжетного повествования в стиле художественной прозы с отдельными фрагментами чисто научного содержания.

3. Что такое число?

3.1. Определение понятия числа

Вопрос о сущности понятия числа во все времена был для учёных некоей вещью в себе. Подспудно они, конечно, понимали, что не могут чётко ответить на этот вопрос, но и признаться в этом они тоже не могут, поскольку это плохо отразилось бы на поддержании престижа науки. В чём тут проблема? Да в том, что число во всех случаях должно получаться из других чисел, иначе оно не сможет восприниматься как число. Чтобы понять, например, число 365, нужно сложить три сотни, шесть десятков и пять единиц. Отсюда, следует, что понятие числа не раскладывается на качественно отличные от него компоненты и таким вот обычным для науки способом, т.е. путем анализа проникнуть в тайну его сущности не удаётся.

Учёные, которые задавались вопросом о сущности числа сразу упирались в эту проблему и приходили к выводу, что общего определения понятия числа просто не существует. Но не таков был Пьер Ферма, который подошёл к этой проблеме с другой стороны. Он задался вопросом: «Откуда вообще появляется понятие числа?», и пришёл к выводу о том, что его предшественниками были понятия «больше», «меньше» и «равно» как результаты сравнений некоторых свойств, присущих разным предметам [30].

Если разные предметы сравниваются по некоторому свойству с одним и тем же предметом, то появляется такое понятие как измерение и тогда может быть через измерение и следует выявлять сущность числа? Однако это не так. По отношению к измерению число первично, т.е. если нет чисел, то не может быть и никаких измерений. Понимание сущности числа становится возможно только после установления того, что число неразрывно связано понятием «функция». А вот это понятие определить совсем не сложно:

Функция — это заданная последовательность действий с её аргументами.

В свою очередь, действия не могут существовать сами по себе, т.е. в состав функции, кроме них должны входить компоненты, с которыми эти действия выполняются. Эти компоненты называются «аргументы функции». Отсюда следует и общее определение понятия числа:

Число есть объективная реальность, существующая как счётная величина, которая состоит из аргументов функции и действий между ними.

Например, a + b + c = d, где a, b, c — аргументы, d — счётная величина или числовое значение³².

Чтобы понять, какая пропасть отделяет Пьера Ферма от остального учёного мира, достаточно сравнить это простое определение с тем пониманием, которое есть в сегодняшней науке [13, 29]. А вот понимание, явно присутствующее в научном творчестве Ферма, позволило ему ещё в те далёкие времена достигать результатов, которые для других учёных оказывались либо сопряжены с чрезвычайными трудностями, либо вообще недостижимы.

Можно дать и более широкое определение понятия числа, а именно:

Число есть разновидность данных, представляемых в виде функций.

Это расширенное определение понятия числа выходит за рамки математики, поэтому его можно назвать общим, а предыдущее определение — математическим. Во втором определении нужно ещё разъяснить сущность понятия «данные», однако для науки этот вопрос не менее трудный, чем вопрос о сущности понятия числа³³.

Рису. 30. Пифагор

Из общего определения понятия числа следует истинность знаменитого утверждения Пифагора о том, что всё сущее может отображаться как число. Действительно, если число — это особая разновидность информации, то вот это очень смелое по тем временам утверждение не только обосновано, но и подтверждено современной практикой его применения на компьютерах, где реализуются три известных способа представления данных: числовой, (или оцифрованный), символьный, (или текстовый), и аналоговый (изображения, звук и видео). Все три способа существуют одновременно.

Рис. 31. Готфрид Лейбниц

Поразительно смелое даже по нынешним временам утверждение о том, что мышление есть неосознанный процесс вычислений, высказал ещё в XVII веке Готфрид Лейбниц (Gottfried Leibniz). Под мышлением здесь явно понимается процесс обработки данных, которые во всех случаях могут представляться как числа. Тогда понятно, как появляются вычисления, но понимание сути этого процесса у современной науки пока отсутствует ³⁴.

У всех данных здесь определений понятия числа есть одна общая основа:

Числа существуют объективно в том смысле, что они присутствуют в законах окружающего мира, познавать которые можно только через числа.

Со школьной скамьи все узнают о числах из детской считалки: раз, два три, четыре, пять и т.д. Откуда взялась эта считалка, один Господь ведает. Впрочем, были и попытки объяснить её происхождение с помощью аксиом. Однако происхождение их такое же непонятное, как и считалки. Скорее это похоже на некое подражание «Началам» Евклида, чтобы придать знаниям образ науки и внешнюю видимость солидности и фундаментальности.

Ситуация совсем иная, когда есть математическое определение сущности числа. Тогда для более полного его понимания становятся необходимостью и аксиомы, и считалка. Действительно, данное определение сущности числа включает в себя аргументы, действия и счётную величину. Но аргументы — это тоже числа, и они должны представляться не конкретно каждое из них, а по умолчанию, т.е. в форме общепринятой и неизменной функции, которая называется системой счисления, а она-то никак уже не может появиться без такого понятия как счёт. Вот теперь уже по отношению к счёту, аксиомы оказываются весьма кстати и без них он может появиться разве только от пришельцев. Да, собственно, в действительности это так и было, поскольку такие источники знаний как «Начала» Евклида или «Арифметика» Диофанта созданы явно не нашей, а совсем другой цивилизацией³⁵.

Если аксиомы регламентируют счёт, то они первичны по отношению к нему. Однако нет никакой надобности определять их сущность через введение новых понятий, т.к. смысл любых аксиом как раз в их изначальности т.е. они всегда по сути есть границы знаний. Таким образом, аксиомы получают ещё более основополагающий статус, чем до сих пор, когда они ограничивались лишь обоснованием какой-либо конкретной системы.

В частности, система аксиом, разработанная итальянским математиком Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano), очень близко соответствуют решению задачи построения системы счёта, хотя вот это основное их предназначение никак не разъяснялось, видимо, с намёком на обоснование сущности понятия числа. Научное сообщество воспринимало их только как некую «формализацию арифметики», совершенно не замечая, что эти аксиомы ни коим образом не отражают сущность чисел, а только создают основы для их представления по умолчанию, т.е. через счёт.

Рис. 32. Джузеппе Пеано

Если основное содержание аксиом — это определение границ знаний, относящихся к общепринятым способам представления чисел, то их следует выстраивать как из определения сущности понятия числа, так и с целью обеспечения прочности и устойчивости всего здания науки. До сих пор из-за отсутствия такого понимания способов построения основ знаний вопрос о сущности числа никогда даже и не ставился, а только усложнялся и запутывался. Но теперь, когда он проясняется, причём без каких-либо особенных затруднений, вся наука может получить новый и очень мощный импульс для своего развития. И вот тогда именно на такой прочной основе она приобретает способности с невероятной лёгкостью преодолевать такие сложнейшие преграды, которые в прежние времена, когда понимания сущности числа не было, представлялись науке как совершенно неприступные крепости ³⁶.

3.2. Аксиомы арифметики

3.2.1. Аксиомы счёта

Этот путь впервые был проложен в конце XIX столетия аксиомами Пеано³⁷. Мы внесём в них изменения, исходя из нашего понимания сущности числа.

Аксиома 1. Натуральным является число, сложенное из единиц ³⁸.

Аксиома 2. Единица является исходным натуральным числом.

Аксиома 3. Все натуральные числа образуют бесконечный ряд, в котором каждое следующее число образуется путём прибавления к предыдущему числу единицы.

Аксиома 4. Единица не следует ни за каким натуральным числом.

Аксиома 5. Если какое-либо предложение доказано для единицы, (начало индукции), и если из допущения, что оно верно для натурального числа N, вытекает, что оно верно также для следующего за N натурального числа, (индукционное предположение), то это предложение будет верно для всех натуральных чисел.

Аксиома 6. Кроме натуральных могут существовать и другие производные от них числа, но только в том случае, если они обладают всеми без исключения базовыми свойствами натуральных чисел.

Первая аксиома является прямым следствием определения сущности числа, поэтому у Пеано её просто не могло быть. Теперь эта первая аксиома передаёт смысл определения понятия числа всем остальным аксиомам.

Вторая, четвертая и пятая аксиомы сохраняются, как и у Пеано почти без изменений, но из этой новой системы полностью изъята четвертая аксиома Пеано как избыточная. Вторая аксиома имеет тот же смысл, что и первая в списке Пеано, но уточняется, чтобы стать следствием новой первой аксиомы.

Третья аксиома — это новая редакция второй аксиомы Пеано. Понятие натурального ряда дано здесь проще, чем у Пеано, где нужно догадываться о нём через понятие «следующего» числа.

Четвертая аксиома точно такая же, как и третья аксиома Пеано.

Пятая аксиома такая же, как у Пеано, которая считается главным итогом всей системы. По сути, эта аксиома является формулировкой очень ценного для науки метода индукции, который в данном случае позволяет обосновать и построить систему счёта. Однако счёт присутствует в том или ином виде не только в натуральных, но и в любых других числах, следовательно, необходима ещё одна заключительная аксиома.

Шестая аксиома распространяет базовые свойства натуральных чисел на любые производные от них числа, поскольку если окажется, что какие-либо величины, полученные вычислениями из натуральных чисел, противоречат их базовым свойствам, то эти величины не могут относиться к категории чисел.

Вот теперь арифметика получает все предпосылки для того, чтобы иметь статус самой фундаментальной из всех научных дисциплин. С точки зрения сущности счёта всё становится намного проще и понятнее, чем до сих пор. На основе этой обновлённой системы аксиом нет нужды «создавать» одно за другим натуральные числа, а затем «доказывать» для начальных чисел действия сложения и умножения. Теперь достаточно только дать имена этим начальным числам в рамках общепринятой системы счисления.

Если эта система десятичная, то символы от 0 до 9 должны получить статус начальных чисел, сложенных из единиц, в частности: число «один» обозначается как 1=1, число «два» — как 2=1+1, число «три» — как 3=1+1+1 и т.д. до числа «девять». Числа после 9 и до 99 складываются из десятков и единиц, например, 23=(10+10)+(1+1+1) и получают соответствующие имена: «десять», «одиннадцать», «двенадцать»… «девяносто девять». Числа после 99 складываются из сотен, десятков и единиц и т.д. Таким образом, имена только начальных чисел должны быть заранее сосчитаны из единиц. Все остальные числа именуются так, чтобы их величину можно было сосчитать, используя только начальные числа³⁹.

3.2.2. Аксиомы действий

Все арифметические действия входят составной частью в определение сущности числа. В компактном виде они представляются следующим образом:

1. Сложение: n = (1+1…)+(1+1+1…) = (1+1+1+1+1…)

2. Умножение: a+a+a+…+a=a×b=c

3. Возведение в степень: a×a×a×…×a=a^b=c

4. Вычитание: a+b=c → b=c−a

5. Деление: a×b=c → b=c: a

6. Логарифм: a^b = c → b=log_ac

Отсюда можно сформулировать все нужные определения в виде аксиом.

Аксиома 1. Действие сложения нескольких чисел (слагаемых) — это их соединение в одно число (сумму).

Аксиома 2. Все арифметические действия являются либо сложением, либо производными от сложения.

Аксиома 3. Существуют прямые и обратные арифметические действия.

Аксиома 4. Прямые действия — это разновидности сложения. Кроме самого сложения к ним относятся также умножение и возведение в степень.

Аксиома 5. Обратные действия — это вычисление аргументов функций. К ним относятся вычитание, деление и логарифм.

Аксиома 6. Не существуют иные действия с числами, кроме комбинаций из шести арифметических действий ⁴⁰.

3.2.3. Базовые свойства чисел

Следствием аксиом действий являются следующие базовые свойства чисел, обусловленные необходимостью практических вычислений:

1. Наполнение: a+1>a

2. Нейтральность единицы: a×1=a:1=a

3. Коммутативность: a+b=b+a; ab=ba

4. Ассоциативность: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)

5. Дистрибутивность: (a+b)c=ac+bc

6. Сопряженность: a=c → a±b=b±c; ab=bc; a:b=c:b; a^b=c^b;

log_ba= log_bc

Эти свойства известны давным-давно как азы начальной школы и до сих пор они воспринимались как элементарные и очевидные. Отсутствие должного понимания происхождения этих свойств из сущности понятия числа стало причиной разрушения науки как целостной системы знаний, которую нужно теперь отстраивать, начиная с азов и сохраняя при этом всё то ценное, что осталось от настоящей науки. Приведённая выше аксиоматика исходит из определения сущности понятия числа и поэтому представляет собой единое целое. Однако этого недостаточно для того, чтобы оградить науку от другой напасти, т.е. чтобы в процессе развития она не утонула в океане собственных изысканий, или не запуталась в сложных переплетениях большого множества разных идей.

В этом смысле нужно очень чётко понимать, что аксиомы не являются утверждениями, принятыми без доказательств. В отличие от теорем, они есть только констатации и ограничения, синтезированные из опыта вычислений, без которых просто никак нельзя обойтись. Иной смысл в базовых теоремах, близких к аксиомам, но доказуемым. К одной из них относится основная или фундаментальная теорема арифметики. Это настолько важная теорема, что её доказательство должно быть максимально надёжным, иначе последствия могут быть непредсказуемыми.

Рис. 33. Пирамиды начальных чисел

3.3. Основная теорема арифметики

3.3.1. Ошибки великих и письмо-завещание Ферма

Самая ранняя из известных версий теоремы дана в «Началах Евклида», книга IX, предложение 14:

Если число будет наименьшим измеряемым <данными> первыми числами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кроме первоначально измерявших <его>.

Далее разъясняется: «Пусть число A будет наименьшим измеряемым первыми числами B, C, D; я утверждаю, что A не измерится никаким иным первым числом, кроме B, C, D». Доказательство этой теоремы только на первый взгляд выглядит убедительно, и эта видимость основательности усиливается цепочкой ссылок: IX-14 → VII-30 → VII-20 → VII-4 → VII-2. Однако здесь допущена элементарная и даже очень грубая ошибка. Её суть в следующем:

Пусть A=BCD, где числа B, C, D простые, (первые). Если допустить теперь существование простого E, отличного от B, C, D, и такого, что A=EI, то делается вывод, что в этом случае A=BCD не делится на E. Это последнее утверждение неверно, поскольку теорема ведь ещё не доказана и не исключено, например, BCD=EFGH, где E, F, G, H простые числа, отличные от B, C, D. Тогда A:E=BCD:E=EFGH:E=FGH, т.е. в этом случае станет возможно, что число A может делиться на число E и тогда доказательство теоремы опирается на аргумент, который ещё не доказан, поэтому конечный вывод неверный. Та же ошибка может попасть и в другие теоремы, использующие разложение целых чисел на простые множители. Видимо, из-за архаичной лексики «Начал Евклида», даже такой великий учёный как Эйлер не обратил должного внимания на эту теорему, иначе вряд ли бы он стал использовать на практике «комплексные числа», которые ей не подчиняются.

Такая же история произошла и с Гауссом, который, также не заметил этой теоремы в «Началах» Евклида, но всё же сформулировал её, когда в ней возникла необходимость. Формулировка и доказательство Гаусса следующие:

«Каждое составное число может быть разложено на простые сомножители только одним единственным образом.

Если мы предположим, что составное число A, равное a^αb^βc^γ…, где a,b,c,… обозначают различные простые числа, разложимо на простые сомножители ещё и другим способом, то прежде всего ясно, что в этой второй системе сомножителей не может встречаться других простых чисел, кроме a,b,c,…, т.к. составленное из этих последних число A не может делиться ни на какое другое простое число» [11, 25].

Это почти точное повторение ошибочной аргументации в доказательстве Евклида. Но если эта теорема не доказана, то всё построенное на натуральных числах основание науки рушится, а все следствия из определений и аксиом теряют свою значимость. И как же теперь быть? Ведь если с доказательством теоремы не справились такие гиганты науки как Евклид и Гаусс, то куда уж нам-то грешным. Но выход всё-таки есть, и он указан в одном удивительном документе, называемом «Письмо-завещание Ферма».

Это письмо было отправлено Ферма в августе 1659 г. его давнему другу и бывшему коллеге по парламенту Тулузы королевскому библиотекарю Пьеру де Каркави, от которого его получил известный французский учёный Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens), первым возглавивший созданную в 1666 г. Французскую Академию Наук. Здесь мы приведём только отдельные выдержки из этого existписьма Ферма, которые нас особенно интересуют [9, 36].

«Сводка открытий в науке о числах.…

1. Поскольку обычные методы, изложенные в Книгах, не достаточны для доказательства очень трудных предложений, я нашёл, наконец, для их решения совершенно особый путь. Я назвал этот способ доказательства бесконечным или неопределённым спуском. Сначала я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений, как, например: …что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратом». Подробности см. Приложение II.

Наукой о числах названа арифметика и дальнейшее содержание письма не оставляет в этом никаких сомнений. Именно с арифметики начинаются не только математические, но и все другие науки. А в самой арифметике метод спуска один из основополагающих. Далее даются примеры задач, решение которых без этого метода не только очень затруднено, но иногда и вообще вряд ли возможно. Здесь мы назовём только некоторые из этих примеров.

«2. Долгое время я не мог приложить мой метод к утвердительным предложениям, потому что обходы и окольные пути для достижения цели гораздо более трудны, чем те, которые послужили мне для отрицательных предложений. Поэтому, когда мне надо было доказать, что каждое простое число, которое превосходит на 1 кратное четырех, состоит из <суммы> двух квадратов, я был в сильнейшем затруднении. Но, наконец, многократно повторенные размышления пролили свет, которого мне не доставало, и утвердительное предложение стало возможным трактовать моим методом с помощью некоторых новых принципов, которые необходимо было к ним присоединить. Этот прогресс в моих рассуждениях для случая утвердительных предложений таков: если некоторое простое число, которое превосходит на единицу кратное 4-х, не состоит из двух квадратов, то имеется простое число той же природы, меньшее данного, а затем третье, ещё меньшее, и т.д. спускаясь до тех пор, пока не придёте к числу 5, которое является наименьшим из всех чисел этой природы. Оно, следовательно, не может состоять из двух квадратов, что, однако имеет место. Отсюда можно заключить путём доказательства от противного, что все простые числа этой природы должны состоять из двух квадратов».

Эту теорему Ферма своим способом впервые доказал Эйлер в 1760 г. [38], а в рамках очень сложной «Арифметики вычетов» Гаусса эта теорема доказывается в одном абзаце [23]. Однако повторить доказательство самого Ферма никому так и не удалось. «… 3. Имеется бесконечно много вопросов такого рода, но существуют и другие, которые требуют новых принципов для применения к ним метода спуска… Таков следующий вопрос, который Баше, как он сознаётся в своём комментарии к Диофанту, не смог доказать. По этому поводу Декарт в своих письмах сделал такое же заявление, признаваясь, что считает его настолько трудным, что не видит никакого пути для его решения. Каждое число есть квадрат или состоит из двух, трех или четырех квадратов».

Ещё раньше 22 года назад в октябре 1636 года письмом к Мерсенну Ферма сообщал о той же задаче как о своём открытии, но в общем виде, т.е. для любых многоугольных чисел (напр., треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д.). Впоследствии он даже назвал эту теорему золотой. Следовательно, метод спуска был открыт им в самом начале его исследований по арифметике. К моменту написания письма-завещания Ферма уже знал от Каркави, что вопрос о создании Французской Академии наук практически решён и ему нужно лишь дождаться окончания строительства здания, чтобы сбылась мечта всей его жизни стать профессиональным учёным, причём в ранге академика. Гюйгенсу было поручено собрать материалы первых академических изданий. Для них Ферма предлагал открытый им метод спуска и решение на его основе конкретных арифметических задач.

Однако о том, что эти задачи очень трудны, мало кто знал и Ферма было понятно, что опубликуй он их решения, то они вообще не произведут никакого впечатления. У него уже был такой опыт и теперь он приготовил настоящий сюрприз. Для тех, кто не оценит по достоинству его решения, он предложит решить ещё одну задачу. Это основная теорема арифметики, имеющая особую значимость для всей науки, поскольку без неё вся теория теряет силу. Ферма обнаружил в доказательстве Евклида ошибку и пришёл к выводу, что доказать эту теорему без применения метода спуска чрезвычайно трудно, если вообще возможно. Однако теперь-то мы можем раскрыть и эту тайну с помощью наших возможностей заглянуть в тайник Ферма с «еретическими письменами» и вернуть его утраченное доказательство науке в виде представленной ниже реконструкции.

3.3.2. Доказательство Ферма

Итак, чтобы доказать основную теорему арифметики, предположим, что существуют равные натуральные числа A, B, состоящие из разных простых множителей:

A=B где A=pp₁p₂ …p_n; B=хx₁x₂ …x_m; n≥1; m≥1 (1)

В силу равенства чисел A, B каждое из них делится на любое из простых чисел p_i или x_i. Каждое из чисел A, B может состоять из любого набора простых множителей, в т. ч. и одинаковых, но при этом среди них нет ни одного p_i равного x_i, иначе в (1) они были бы сокращены. Теперь (1) можно представить, как: pQ=xY где p, x — минимальные простые числа среди p_i, x_i; Q=A/p; Y=B/x (2)

Поскольку множители p, x разные, условимся, что p>x; x=p–δ₁, тогда pQ=(p–δ₁)(Q+δ₂) где δ₁=p–x; δ₂=Y–Q (3)

Откуда следует: Qδ₁=(p — δ₁)δ₂ или Qδ₁=xδ₂ (4)

Уравнение (4) — это прямое следствие предположения (1). Правая часть этого уравнения содержит в явном виде простой множитель x. Однако в левой части уравнения (4) число δ₁ не может содержать множитель x, т.к. δ₁=p–x не делится на x из-за того, что p — простое число. Число Q также не содержит множитель x, т.к. по нашему предположению оно состоит из множителей p_i, среди которых нет ни одного равного x. Таким образом, справа в уравнения (4) есть множитель x, а слева его нет. Тем не менее нет оснований утверждать, что это невозможно, т.к. мы изначально допускаем существование равных чисел с разными простыми множителями. Тогда остаётся лишь признать, что если существуют натуральные числа A=B, составленные из разных простых множителей, то необходимо, чтобы в этом случае существовали и другие натуральные числа A₁= Qδ₁ и B₁=xδ₂; также равные между собой и составленные из разных простых множителей. Если учитывать, что δ₁=(p–x)<p, а δ₂=(Y–Q)<Y, то после сопоставления уравнения (4) с уравнением (2) можно констатировать: A₁ = B₁, где A₁<A; B₁<B (5)

Теперь мы получаем ситуацию, аналогичную ситуации с числами A, B, только с меньшими числами A₁, B₁. Анализируя затем (5) изложенным выше способом, мы будем вынуждены признать, что должны существовать числа A₂=B₂, где A₂<A₁; B₂<B₁ (6)

Следуя этим путем, мы неизбежно придем к случаю, когда существование чисел

A_k=B_k, где A_k<A_k-1; B_k<B_k-1 как прямое следствие предположения (1) станет невозможно. Следовательно, наше начальное предположение (1) также невозможно и таким образом теорема доказана⁴¹. Глядя на это очень простое и даже элементарное доказательство методом спуска, естественно, возникают недоуменные вопросы, как же это могло так случиться, что в течение многих веков наука не только это доказательство не получила, но и была в полном неведении, что у неё нет никакого доказательства вообще?

С другой стороны, даже заблуждаясь в этом вопросе, т.е. считая, что эта теорема была доказана ещё Евклидом, как наука могла её игнорировать, используя «комплексные числа» и обрекая себя тем самым на разрушение изнутри? И наконец, как же можно объяснить, что эта очень простая, по сути, теорема, на которой держится вся наука, вообще не преподаётся в средней школе?

Что же касается метода спуска, то данное доказательство является одним из самых простых примеров его применения, что встречается довольно редко из-за широкой универсальности этого метода. Гораздо чаще для применения метода спуска требуется большое напряжение мысли, чтобы подвести под него логическую цепь рассуждений. С этой точки зрения могут быть поучительны и некоторые другие особые примеры решения задач этим методом.

3.4. Метод спуска

3.4.1. Немножко «остроты ума» для очень трудной задачи

Мы рассмотрим теперь ещё один пример задачи из письма-завещания Ферма, которая сформулирована там следующим образом:

Существует только один целый квадрат, который, увеличенный на два, даёт куб, этот квадрат равен 25.

Когда по предложению Ферма её попытался решить лучший английский математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать. Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на применении «комплексных чисел», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются основной теореме арифметики. И только в конце ХХ века Андрé Вейль (André Weil) с помощью метода треугольников Ферма, всё-таки сумел получить доказательство [17]. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он явно был притянут за уши. Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы также извлечём из тайника, что позволит нам раскрыть и эту тайну науки в виде следующей реконструкции. Итак, мы имеем уравнение p³=q²+2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение

P>p=3, Q>q=5, которое удовлетворяет уравнению

P³=Q²+2 (1)

Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть

Q=P+δ (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

P²(P–1)–2δP–δ²=2 (3)

Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что δ>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу δ=P, то слева (3) будет:

P²(P–4)>2, что не подходит, следовательно, должно существовать число δ₁=δ–P. Тогда, подставляя δ=P+δ₁ в (3), получим

P²(P–4)–4δ₁P–δ₁² = 2 (4)

Теперь-то мы непременно заметим, что δ₁>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим:

P²(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число δ₂=δ₁–P, и подставляя δ₁=P+δ₂ в (4), получим:

P²(P–9)–6δ₂P–δ₂²=2 (5)

Вот здесь-то уже можно совсем не сомневаться, что так будет продолжаться без конца и края. Действительно, путем проб δ_i=P каждый раз мы получаем P²(P−K_i)>2. Каким бы ни было число K_i, это уравнение невыполнимо, поскольку если K_i<P и P>3, то P²(P−K_i)>2, а если K_i≥P, то такой вариант исключается, т.к. тогда P²(P−K_i)≤0. Продолжать так бесконечно явно бессмысленно, следовательно, наше начальное предположение о существовании других решений P>3, Q>5 неверно и эта теорема Ферма доказана.

В часто упоминаемой нами книге Сингха эта задача приводится как пример «головоломок», которые «придумывал» Ферма. Но теперь выясняется, что универсальный метод спуска и простой приём с пробами приравненных чисел делают эту задачу одним из очень эффективных примеров для обучения в школе. Имея это доказательство, школьники без труда смогут доказать ещё одну теорему из письма-завещания Ферма, которую в своё время мог решить только такой знаменитый на весь мир учёный, как Леонард Эйлер:

Существуют только два целочисленных квадрата, которые, увеличенные на 4, дают кубы, эти квадраты будут 4 и 121.

Иными словами, уравнение p³=q²+4 имеет только два решения в целых числах.

3.4.2 Золотая теорема Ферма

Напомним, что в известном нам письме-завещании Ферма, (п. 3.3.1), изложен только частный случай этой теоремы для квадратов. Но и этот упрощённый вариант задачи оказался не по силам не только представителям высшей французской аристократии Баше и Декарту, но даже и королевско-императорскому математику Эйлеру.

Другой королевский математик Лагранж, благодаря тождеству, найденному Эйлером, всё же сумел справиться с квадратами и его доказательство только одного этого частного случая ЗТФ тиражируется до сих пор чуть ли не во всех учебниках. Однако, не поддаётся никакому разумному объяснению то, что общее доказательство ЗТФ для всех многоугольных чисел, полученное Коши в 1815 г., было просто проигнорировано научным сообществом.

Наше исследование мы начнём с формулировки ЗТФ из письма Ферма к Мерсенну 1636 г. следующим образом:

Всякое <натуральное> число равно

одному, двум или трём треугольникам,

одному, 2, 3 или 4 квадратам,

одному, 2, 3, 4 или 5 пятиугольникам, и так до бесконечности [31].

Поскольку многоугольные числа явно не в почёте у сегодняшней науки, мы дадим здесь все необходимые разъяснения. Формула вычисления любого многоугольного числа представляется как m_i =i+(k−2)(i−1)i/2 где m — многоугольное число, i — порядковый номер, k — количество углов.

Таким образом, m₁=1; m₂=k; а для всех остальных i значения m_i варьируются в широких пределах, как показано в Табл. 1.

Для вычисления m_i достаточно получить по формуле только треугольные числа, что очень легко, поскольку разница между ними с каждым шагом растёт на единицу. А все остальные m_i можно вычислять путём прибавления в столбцах предыдущего треугольного числа. Например, в столбце i=2 числа увеличиваются на единицу, в столбце i=3 — на три, в столбце i=4 — на шесть и т.д., т.е. как раз на величину треугольного числа из предыдущего столбца.

Табл. 1. Многоугольные числа

Убедиться в том, что любое натуральное число представляется суммой не более чем k k-угольных чисел, довольно легко. Например, треугольное число 10, состоит из одного слагаемого. Далее 11=10+1, 12=6+6, 13=10+1 из двух, 14=10+3+1 из трёх, 15 вновь из одного слагаемого. И так будет происходить регулярно со всеми натуральными числами. Удивительно то, что количество необходимых слагаемых ограничивается именно числом k. Так что же это за чудодейственная сила, которая неизменно даёт такой результат?

Для примера возьмём натуральное число 41. Если в качестве слагаемого будет ближайшее к нему треугольное число 36, то уложиться в три многоугольных числа не получится никак, поскольку иначе как из 4-х слагаемых, т.е. 41=36+3+1+1 это число не получается. Однако, если мы вместо 36 возьмём другие треугольные числа, например, 41=28+10+3, или 41=21+10+10, то опять каким-то неведомым чудесным образом всё будет так, как утверждает ЗТФ.

На первый взгляд представляется просто невероятным, что можно как-то с этим разобраться? Но мы всё же обратим внимание на существование особых натуральных чисел, которые представляются не менее, чем из k k-угольных чисел и обозначим их как S-числа. Такие числа легко найти, например, для треугольников — это 5, 8, 14, для квадратов — 7, 15, 23, для пятиугольников — 9, 16, 31 и т.д. И вот такое простое наше наблюдение позволяет двигаться к цели напрямую, т.е. не задействуя хитроумные приёмы или мощную «остроту ума».

Теперь, чтобы доказать ЗТФ, предположим обратное, т.е. что существует некое минимальное натуральное число N, представляемое не менее, чем из k+1 k-угольных чисел. Тогда понятно, что это наше предполагаемое число должно находиться между какими-нибудь k-угольными числами m_i и m_i+1 и может представляться как

N = m_i + δ₁, где δ₁ = N− m_i (1)

Вполне очевидно, что δ₁ должно быть S-числом, поскольку иначе это будет противоречить нашему предположению о числе N. Далее мы поступаем также, как и в нашей пробе с числом 41, т.е. представляем предполагаемое число как N = m_i-1 + δ₂= m_i-2 + δ₃; где δ₂ = N − m_i-1; δ₃ = N − m_i-2 и т.д. Теперь δ₂, δ₃ и т.д. также должны быть S-числами. И вот так мы будем двигаться по спуску до самого конца, т.е. до

δ_i-1 = N − m₂ = N − k и δ_i = N − m₁ = N — 1 (2).

Таким образом, в последовательности чисел от δ₁ до δ_i все они должны быть S-числами, в то время как наше предполагаемое число N будет состоять не менее чем из k+1 k-угольных чисел. Из (1) и (2) следует: N−m_i =S_i (3).

Следовательно, если отнимать от нашего предполагаемого числа N любое меньшее его многоугольное число m_i, то согласно нашему предположению, в результате должно получаться только S-число. Конечно, это условие выглядит просто невероятным и создаётся впечатление, что мы уже у цели, но как же тогда доказать, что это невозможно?

Если бы мы дали здесь ответ на этот вопрос, то эта знаменитая теорема Ферма сразу превратилась бы в самую обычную школьную задачку и интерес к ней был бы утрачен. Чтобы этого не произошло, мы пока остановимся на том, что доказательство изложено здесь только на 99%, а остающийся 1% мы предложим найти тем, кому это будет интересно, чтобы оценить истинное великолепие этого научного достижения Ферма особенно в сравнении с доказательством ЗТФ Коши.⁴²

Рис.34. Титульная страница доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Рис. 35. Одна из 43-х страниц доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

3.4.3. Задача Архимеда-Ферма

Постановка задачи выглядит следующим образом:

Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат.

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].

Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см. рис. 37-38.

Рис. 36. Джон Валлис

Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».

Рис. 37. Титульная страница публикации Валлиса

Commercium epistolicum

И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г. [36]: «Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, примененного умело и надлежащим образом». Однако это решение Ферма так и осталось для всех тайной за семью печатями!

Рис. 38. Страница 64 Commercium epistolicum,

демонстрирующая метод Валлиса

Мы попробуем здесь немножко приоткрыть завесу над этой тайной. Для этого мы рассмотрим простой пример вычислений по методу Валлиса и затем сравним его с тем, как можно было бы сделать эти вычисления по методу Ферма. Итак, нам нужно найти самое маленькие числа x и y, удовлетворяющие уравнению Ax²+1=y². Пусть A=29, тогда вычисления методом Валлиса выглядят следующим образом [32]:

Из этой последовательности вычислений цепочка подходящих дробей получается обратным ходом, т.е. от a₅ до a₀ и выглядит как: 5/1; 11/2; 16/3; 27/5. В итоге получаем 70/13. Тогда минимальным решением будет:

X₁√29+у₁=(13√29+70)²=1820√29+9801; x₁=1820; y₁=9820

Валлис не сумел доказать, что такой способ вычислений даёт решения для любого неквадратного числа A. Однако он догадался, что цепочка вычислений заканчивается там, где a₆ будет вычисляться по той же формуле, что и a₁. Чтобы понимать смысл этой цепочки вычислений, нужно изучить очень объёмистую и исключительно трудную теорию [7, 14, 19, 23, 26, 32], которую Ферма в то время не смог бы разработать. Поскольку никаких рабочих рукописей Ферма по арифметики не сохранилось, то возникает естественный вопрос: как же он мог сформулировать такую трудную задачу, о которой до него было очень мало сведений?

Для сегодняшней науки такой вопрос явно выходит за рамки её возможностей, т.к. для неё верхом достижений при решении задач Ферма является любой результат, даже раздутый до таких невероятных размеров, которые мы имеем сегодня. Однако трудно себе представить, как будет удручена эта наша уважаемая наука, когда из этой книжки она узнает, что задача была решена Ферма вовсе не для великих учёных, а… для школьников!!! Но мы здесь не можем позволить себе её так сильно огорчать, поэтому отметим только то, что приводимый в учебниках пример очень неудачный, т.к. он решается совсем просто, а именно: x=2mz, где m<x, z<y, Am²−1=z². Это последнее уравнение отличается от исходного лишь знаком и даже методом обычных проб, не прибегая к иррациональным числам, можно легко найти решение m=13; z=70; x=2×13×70=1820; y=9820.

Очевидно, что в учебниках было бы гораздо уместнее демонстрировать пример с числом 61, т.е. наименьшим числом, предложенным самим Ферма. Как он сам решил эту задачу, науке неизвестно, но мы-то уже неоднократно демонстрировали, что узнать это для нас не проблема. Нужно всего-то лишь ещё разочек заглянуть в тайник тулузского сенатора и, как только нам это удалось, мы быстро нашли нужный пример, чтобы его можно было сравнить с методом Валлиса. В этом примере можно вычислить x=2mz, где m и z это решения соответствующего уравнения 61m²–z²=1. Тогда цепочка вычислений получается следующим образом:

61m²−z²=1

m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z²=61×3805²−1=29718²

61m₁²−z₁²=3

m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z₁²=61×722²−1=29718²

61m₂²−z₂²=9

m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z₂²=61×137²−1=29718²

61m₃²−z₃²=27

m₃=(8m₄±z₄)/3=(8×5+38)/3=26; z₃²=61×26²−27=203²

61m₄²−z₄²=81

m₄=(8m₅±z₅)/3=(8×2−1)/3=5; z₄²=61×5²−81=38²

61m₅²−z₅²=243

m₅=2; z₅²=1

Мы не будем раскрывать все нюансы этого метода, иначе всякий интерес к этой задаче был бы утрачен. Мы отметим лишь, что по сравнению с методом Валлиса, где метод спуска не применяется, здесь он присутствует в явном виде. Это выражается в том, что если числа m и z, удовлетворяющие уравнению 61m²–z²=1, существуют, то должны ещё существовать числа m₁<m и z₁<z, удовлетворяющие уравнению 61m₁²–z₁²=3, а также числа m₂<m₁ и z₂<z₁, из уравнения 61m₂²–z₂²=9, и т.д. вплоть до минимальных значений m₅<m₄ и z₅<z₄. Число 3, фигурирующее в спуске, вычисляется как 64–61, т.е. как разница между 61 и ближайшим к нему квадратом. Вычисления, также, как и при методе Валлиса, ведутся в обратном порядке, т.е. только после того, как будут вычислены минимальные значения m_{5 и} z₅. В результате получаем: m=3805; z=29718;

x=2mz=2×3805×29718=226153980;

y=√(61×226153980²+1)=1766319049

Конечно, знатоки существующей ныне теории быстро заметят в этом примере то, что полученные в нём результаты вычислений в точности совпадут с теми, которые можно получить методом Валлиса. Однако для этого им придётся использовать иррациональное число √61, а наш пример с методом Ферма показал, что можно делать вычисления исключительно в рамках арифметики, т.е. только в натуральных числах. Несомненно также, что знатоки без особых усилий догадаются, как получить формулы, показанные в нашем примере. Однако для них будет совсем непросто объяснить, как применять этот метод Ферма в общем случае, ведь из нашего примера совсем не ясно, как можно определить, что конечной целью является решение уравнения 61m₅² — z₅²=243, из которого следует вести вычисления с обратным отсчётом.

Было бы просто превосходно, если бы сегодняшняя наука смогла объяснить метод Ферма во всех деталях, однако даже призрачные надежды на это пока не просматриваются. Более реалистично было бы ожидать, что будут предприняты попытки опровержений данного примера как демонстрации неизвестного науке метода решения проблемы. Тем не менее, ей придётся считаться с тем, что этот пример пока остаётся единственным за всю историю (!!!) подтверждением того, о чём Ферма сообщал в своём письме-завещании. Когда эта тайна будет раскрыта полностью, то все скептики будут посрамлены, и им не останется ничего иного, как признать Ферма более великим, чем все остальные величайшие учёные. Ведь их признавали таковыми главным образом потому, что они создавали теории, настолько трудные для понимания нормальных людей, что они могли только вызывать непомерный ужас у студентов, которым приходится теперь отдуваться за такую науку:

https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ

https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4

https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY ⁴³

В этом смысле следующий пример решения задачи с применением метода спуска будет особенно любопытен тем, что она была предложена в письме Ферма к Мерсенну в конце 1636 г., т.е. возраст этой задачи составляет уже почти четыре столетия. Доказательство Эйлера [8, 30] было некорректно из-за применения в нём «комплексных чисел». Однако даже исправленная версия Андре Вейля 1983 г. [17] слишком сложна для школьного обучения.

3.4.4. Задача Ферма с возрастом 385 лет

В первоначальном варианте в 1636 г. эта задача была сформулирована так:

Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб.

Эта формулировка была использована оппонентами Ферма как факт того, что Ферма не имел доказательства ВТФ и ограничился только этими двумя частными случаями. Однако само название «Великая теорема Ферма» появилось только после публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма в 1670 г., т.е. через пять лет после его смерти. Поэтому утверждать, что Ферма заявил о ВТФ в 1637 г., нет никаких оснований.

Первый случай для четвёртой степени мы подробно рассмотрели в Приложении II. Что же касается случая для третьей степени, то представленный нами ниже способ доказательства самого Ферма не оставит никаких шансов решениям этой проблемы Эйлера и Вейля остаться частью науки, поскольку с точки зрения простоты и изящества авторского решения проблемы, они станут просто ненужными.

Чтобы доказать, что не существует два куба, сумма которых есть куб, мы применим простейший подход, основанный на делимости чисел, откуда следует, что в исходном уравнении

a³+b³ = c³ (1)

числа a, b и c могут рассматриваться как взаимно простые, т.е. не имеющие общих делителей, однако в общем случае это не обязательно, поскольку если мы докажем, что уравнение (1) не может иметь решений в любых целых числах, в т.ч. имеющих общие множители, то этим мы докажем, что взаимно простые числа тем более не могут быть решениями исходного уравнения. Тогда мы будем исходить из того, что обе стороны уравнения (1) во всех случаях должны делиться на число c², тогда уравнение (1) можно представить как

c³ = c²(x+y) = a³+b³ (2)

В этом случае легко убедиться, что существует только одна возможность получить решения уравнения (1), если числа c, x, y, а также x+y будут кубами, т.е.

с = x+y = p³+q³= z³; x = p³; y = q³ (3)

Тогда уравнение (1) должно иметь вид:

(z³)³=(z³)²(p³+q³) (4)

Таким образом, мы выяснили, что если существуют числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению (1), то должны существовать числа p<a, q<b и z<c, удовлетворяющие уравнению (3)

p³+q³= z³

Если теперь мы применим тот же подход к решению этого уравнения, который мы применили к решению уравнения (1), то мы получим такое же уравнение, только с меньшими числами. Однако поскольку невозможно бесконечно уменьшать натуральные числа, то из этого следует, что решений в целых числах уравнения (1) не существует.

На первый взгляд, мы получили очень простое и вполне убедительное доказательство задачи Ферма методом спуска, которую никто не мог получить таким простым способом в течение 385 лет, и этому можно только радоваться. Однако такой вывод был бы слишком поспешным, т.к. это доказательство на самом деле неверно и может быть опровергнуто самым неожиданным образом. Тем не менее, это опровержение настолько удивительно, что мы не будем здесь его раскрывать, потому что оно открывает путь не только для самого простого доказательства ВТФ, но и автоматически позволяет вывести на самое простое доказательство гипотезы Биэла. Обнародование способа опровержения доказательства, данного выше, вызвало бы настоящую сумятицу в учёном мире, поэтому эту тайну мы включим в число наших загадок (см. Приложение V, п. 41).

Итак, мы продемонстрировали здесь решения задач Ферма (только методом спуска!):

1) Доказательство Основной теоремы арифметики.

2) Доказательство теоремы о единственном решении уравнения

p³=q²+2.

3) Способ доказательства Золотой теоремы Ферма.

4) Способ решения уравнении Архимеда-Ферма Ax²+1=y².

5) Способ доказательства невозможности a³+b³= c³.

6) Доказательство грандиозного открытия Ферма о простых

числах типа 4n+1=a²+b², которое мы изложим в другом

стиле (Приложение IV, рассказ Год 1680).

За прошедшие 350 (!!!) лет после публикации этих задач Ферма, всей существующей науке такой результат не мог даже и присниться!

3.5. Метод чётности

Перед тем как приступить к теме «Великая теорема Ферма», отметим, что эта задача не была решена самим Ферма методом спуска, иначе в его формулировке ВТФ не было бы упоминания о «поистине удивительном доказательстве», которое безусловно относилось к другим методам. Поэтому к изложенным выше примерам применения метода спуска мы добавим наше представление о двух неизвестных сегодняшней науке методах, относящихся к доказательству ВТФ от самого Ферма. Наиболее экстравагантный из них — это метод чётности. Отметим также, что само понятие чётности очень часто используется в логических построениях математиков и в этом смысле оно банально. Но в нашем методе оно принимает особую форму числа.

3.5.1. Определение чётности как числа

Из основной теоремы арифметики следует простая, но очень эффективная идея определения чётности как числа, которое формулируется следующим образом:

Чётность данного числа — это количество делений этого числа на два без остатка до тех пор, пока результат деления станет нечётным.

Введем условное обозначение чётности угловыми скобками. Тогда выражение ‹x› = y будет означать: чётность числа икс равна игрек.

Например, выражение «чётность числа сорок равна трём» можно представить как: ‹40› = 3. Из данного определения чётности следует:

— Чётность нечётного числа равна нулю.

— Чётность нуля равна бесконечно большому числу.

— Любое натуральное число «n» можно представить как:

n = 2^w(2N — 1) где N — основание натурального числа,

w — четность.

3.5.2. Закон четности

На основе приведенного выше определения чётности можно констатировать, что равные числа имеют равную чётность. Применительно к какому-либо уравнению это положение относится к его сторонам и безусловно необходимо для того, чтобы оно могло иметь решения в целых числах. Отсюда следует закон чётности для уравнений:

Уравнение может иметь решения в целых числах в том и только в том случае, если чётности обеих его сторон равны.

Математическое выражение закона чётности W_L = W_R, где W_L и W_R — соответственно чётности левой и правой сторон уравнения. Отличительная особенность закона чётности заключается в том, что о равенстве чисел нельзя судить по равенству их чётности, но если их чётности не равны, то это безусловно означает и неравенство чисел.

3.5.3. Правила вычисления четности

Чётность суммы или разности двух чисел a и b

Если ‹a› < ‹b›, то ‹a ± b› = ‹a› Отсюда следует, в частности, что сумма или разность чётного и нечётного числа всегда даёт число с нулевой чётностью.

Если ‹a› = ‹b› = x

то либо ‹a + b› = x + 1, при этом ‹a — b› > x + 1,

либо ‹a — b› = x + 1, при этом ‹a + b› > x + 1.

Эти формулы обусловлены тем, что

‹(a + b) + (a — b)› = ‹2a› = ‹a› + 1

Отсюда следует также, что сумма или разность двух чётных или

двух нечётных чисел дает чётное число.

Чётность суммы или разности двух степеней aⁿ и bⁿ

Если ‹a› < ‹b›, то ‹aⁿ ± bⁿ› = ‹aⁿ›.

Если ‹a› = ‹b› = x, то:

только для чётных n:

‹aⁿ — bⁿ› = ‹a — b›+ ‹a + b›+ x(n — 2) + ‹n› — 1;

‹aⁿ + bⁿ› = xn + 1;

только для нечётных n:

‹aⁿ ± bⁿ› = ‹a ± b› + x(n — 1)

При умножении натуральных чисел их чётности

складываются

‹ab› = ‹a› + ‹b›

При делении натуральных чисел их чётности вычитаются

‹a: b› = ‹a› — ‹b›

При возведении натурального числа в степень его чётность

умножается на степень

‹a^b› = ‹a› × b

При извлечении корня натурального числа его чётность

делится на степень корня

‹^b√a› = ‹a›: b

3.6. Метод ключевой формулы

Для решения уравнений со многими неизвестными в целых числах на практике очень часто применяется подход, когда к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение и решение исходного ищется в системе из двух уравнений. Это второе уравнение мы называем ключевой формулой. До сих пор из-за своей простоты этот метод не выделялся среди других методов, однако мы здесь покажем, насколько он эффективный и явно заслуживает особого внимания. В первую очередь мы отметим важную особенность метода, которая состоит в том, что:

Ключевая формула не может появиться иначе как выведенная из исходного уравнения.

Если эту особенность метода не учитывать, т.е. добавлять к исходному уравнению некоторое другое, то в этом случае вместо решения исходного уравнения мы получим лишь результат, указывающий на совместимость этих двух уравнений. В частности, мы можем получить не все решения исходного уравнения, а только те, которые ограничиваются вторым уравнением. В случае же, когда второе уравнение выведено из исходного, результат будет исчерпывающим, т.е. либо все решения, либо неразрешимость в целых числах исходного уравнения.

Для примера рассмотрим уравнение z³=x²+y². Чтобы найти все его решения, мы будем исходить из того, что обязательным условием (ключевой формулой) должно быть z=a²+b², т.к. правая часть исходного уравнения не может быть получена иначе как произведение чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов. Этот вывод основан на том, что произведение чисел, состоящих из суммы двух квадратов, во всех случаях даёт число, также состоящее из суммы двух квадратов. Верно и обратное: если дано составное число, состоящее из суммы двух квадратов, то оно не может иметь простые множители, не состоящие из суммы двух квадратов. В этом легко убедиться из тождества

(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad−bc)²=(ac−bd)²+(ad+bc)²

Тогда из (a²+b²)(a²+b²)=(aa+bb)²+(ab−ba)²=(a²−b²)²+(ab+ba)² следует, что квадрат числа, состоящего из суммы двух квадратов, даёт не два разложения на сумму двух квадратов, (как это должно быть в соответствии с тождеством), а только одно, поскольку (ab−ba)²=0, что не является натуральным числом, иначе любое квадратное число после прибавления к нему нуля можно было бы формально считать суммой двух квадратов. Однако это не так, поскольку существуют квадраты, которые не могут состоять из суммы двух квадратов. Как установил Пьер Ферма, таковыми являются все числа, содержащие хотя бы один простой множитель типа 4n−1. Теперь из a²−b²=c; ab+ba=2ab=d; (a²+b²)²=c²+d² следует итоговое решение:

z³=(a²+b²)³=(a²+b²)(c²+d²)=x²+y²

где a, b любые натуральные числа, а все остальные вычисляются как c=a²−b²; d=2ab; x=ac−bd; y=ad+bc (либо x=ac+bd; y=ad−bc).

Таким образом, мы установили, что исходное уравнение z³=x²+y² имеет бесчисленное множество решений в целых числах, а для конкретных заданных чисел a, b — два решения.

Из этого примера также понятно, почему одна из теорем Ферма утверждает, что:

Простое число типа 4n+1 и его квадрат только один раз раскладываются на сумму двух квадратов, его куб и биквадрат два раза, его пятая и шестая степени три и т.д. до бесконечности.

Примечания

32

Для математиков и программистов понятие аргумента функции вполне обычно и уже давно общепринято. В частности, как f(x,y,z) обозначают функцию с переменными аргументами x,y,z. Определение сущности числа через понятие аргументов функции делает его очень простым, понятным и действенным, поскольку всё, что известно о числе, исходит отсюда, а то, что этому определению не соответствует должно подвергаться сомнению. Это не просто необходимая осторожность, но и эффективный способ проверки на прочность всякого рода конструкций, незаметно подменяющих сущность числа на сомнительные нововведения, делающие науку бестолковой и непригодной для обучения.

33

Точного определения понятия «данные» не существует, если не относить к нему описание из толкового словаря. Отсюда следует и неопределённость производных от него понятий, таких как «форматы данных», «обработка данных», «операции с данными» и т.п. Такая неопределённая терминология порождает шаблонное мышление, указывающее на то, что разум не развивается, а тупеет и, достигая в этой мешанине из пустых слов некоторой критической точки, просто перестает соображать. В данной работе это определение понятия «данные» дано в п. 5.3.2, но для этого требуется дать самое общее определение понятия «информация», которое по своей трудности будет ещё и покруче определения понятия числа, поскольку и само число есть информация. Подвижки в этом вопросе настолько значимы, что за ними следует реальный технологический прорыв с таким потенциалом эффективности, который будет несопоставимо выше того, что был обусловлен появлением компьютеров.

34

Вычисления — это не только действия с числами, но и применение методов достижения конечного результата. С действиями справляется даже машина, если разум оснащает её соответствующими методами. Но если разум сам становится подобием машины, т.е. не осознаёт методов вычислений, то он способен создавать только чудовища, которые его же и уничтожат. Именно к этому всё сейчас и идёт из-за полного отсутствия решения проблемы обеспечения безопасности данных. А вся эта проблема в том, что информатика как наука просто не существует.

35

Специалисты, комментирующие древние, по их мнению, «Начала» Евклида и «Арифметику» Диофанта, будто завороженные видят, но никак не могут признать очевидное. Ни Евклид, ни Диофант не могут быть создателями содержания этих книг, это не под силу даже современной науке. Более того, эти книги появились только в эпоху позднего средневековья, когда уже развилась необходимая для этого письменность. Авторы этих книг были всего лишь переводчиками действительно древних источников, принадлежавших другой цивилизации. В наше время людей с такими способностями называют экстрасенсами.

36

Если мы с самого начала не определились с понятием числа и имеем представление о нём только через прототипы, (количество пальцев рук, или дней недели и др.), то рано или поздно мы обнаружим, что вообще ничего о числах не знаем и при вычислениях следуем необъятному множеству способов и правил, полученных эмпирическим путем. Но если же изначально мы имеем точное определение понятия числа, то при любых вычислениях сможем следовать только одному этому определению и вытекающему из него относительно небольшому перечню правил. Если мы сами создаём требуемые числа, то сможем это делать через аргументы функции, представляемые в общепринятой системе счисления. А вот когда нужно вычислить неизвестные числа, соответствующие заданной функции и условиям задачи, то зачастую потребуются особые методы, которые без понимания сущности чисел будут очень трудными.

37

Содержание аксиом Пеано следующее:

(А1) 1 есть натуральное число.

(А2) Для любого натурального числа n есть натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом, следующим за n.

(А3) Если m' = n' для каких-либо натуральных чисел m,n, то m = n.

(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1.

(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P, и для любого числа n, обладающего свойством P, следующее за ним число n' также обладает свойством P, то всякое натуральное число обладает свойством P.

38

В «Началах» Евклида есть нечто похожее на эту аксиому:

«1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым. 2. Число же — множество, составленное из единиц», (Книга VII, Определения.).

39

Итак, считалка — это именованные начальные числа в готовом, (сосчитанном), виде, чтобы на их основе стало возможно, используя аналогичный метод, именовать также любые другие числа. Всё это, конечно, совсем не сложно, но почему же этому не учат в школе, а просто заставляют всё заучивать без объяснений? Ответ очень простой — потому что наука просто не знает, что есть число, а признаться в этом никак не может.

40

Аксиомы действий, которые до сих пор отдельно не выделялись, также являются прямым следствием определения сущности понятия числа. Они, как способствуют обучению, так и устанавливают определенную ответственность за обоснованность любых научных изысканий в области чисел. В этом смысле последняя 6-я аксиома выглядит даже слишком категоричной. Но без такого рода ограничений в систему знаний можно протаскивать любую тарабарщину и затем называть это «прорывом в науке».

41

В этом реконструированном доказательстве Ферма исключается ошибка, допущенная у Евклида. Однако, начиная с Гаусса, другие известные доказательств основной теоремы арифметики повторяют эту же самую ошибку. Исключением является доказательство, которое получил немецкий математик Эрнст Цермело, см. Приложение I.

42

Факсимиле издания с доказательством ЗТФ Коши опубликовано Google под названием MEMIRES DE LA CLASSE DES SCIENCES MATHTÉMATIQUES ET PHYSIQUES DE L’INSTITUT DE France. ANNEES 1813, 1814, 1815: https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177#v=onepage&q&f=false. То, что нам нужно находится на стр. 177 под названием DEMONSTRATION DU THÉORÉME GÉNÉRAL DE FERMAT, SUR LES NOMBRES POLYGONES. Par M. A. L. CAUCHY. Lu à l’Académie, le 13 novembre 1815 (см. рис. 34, 35). Общее доказательство Коши занимает 43 (!!!) страницы, и только одно это обстоятельство указывает на то, что ни в один учебник оно не влезает. Аналогичный труд с доказательством ВТФ для n=7 выполнил коллега Коши по Академии наук Габриэль Ламе. Подобные творения не то, что студентам, но и академикам не по силам, т.к. первые ничего не могут в них понять, а вторые просто не располагают для этого необходимым временем. Тогда выходит, что такие доказательства вряд ли возможно проверить, насколько они убедительны, т.е. являются ли вообще доказательствами. А вот если бы Коши применил рекомендованный Ферма метод спуска, то доказательство стало бы настолько убедительным, что никаких проверок просто не потребовалось бы. Отсюда следует очень простой вывод: Золотая теорема Ферма, также как некоторые другие его теоремы до сих пор остаются недоказанными.

43

Примеры демонстрируются во множестве видео из Интернета, впрочем, эти примеры никак не умаляет достоинств профессоров, отлично знающих своё дело.